Theorem n0elim 39870

Description: Implication of that the empty set is not an element of a class. (Contributed by Peter Mazsa, 30-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
n0elim	⊢ (¬ ∅ ∈ 𝐴 → (dom (◡ E ↾ 𝐴) / (◡ E ↾ 𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem n0elim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0el2 39470	. . . 4 ⊢ (¬ ∅ ∈ 𝐴 ↔ dom (◡ E ↾ 𝐴) = 𝐴)
2	1	biimpi 219	. . 3 ⊢ (¬ ∅ ∈ 𝐴 → dom (◡ E ↾ 𝐴) = 𝐴)
3	2	qseq1d 8811	. 2 ⊢ (¬ ∅ ∈ 𝐴 → (dom (◡ E ↾ 𝐴) / (◡ E ↾ 𝐴)) = (𝐴 / (◡ E ↾ 𝐴)))
4		qsresid 39466	. . 3 ⊢ (𝐴 / (◡ E ↾ 𝐴)) = (𝐴 / ◡ E )
5		qsid 8833	. . 3 ⊢ (𝐴 / ◡ E ) = 𝐴
6	4, 5	eqtri 2786	. 2 ⊢ (𝐴 / (◡ E ↾ 𝐴)) = 𝐴
7	3, 6	eqtrdi 2814	1 ⊢ (¬ ∅ ∈ 𝐴 → (dom (◡ E ↾ 𝐴) / (◡ E ↾ 𝐴)) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∅c0 4281   E cep 5555  ^◡ccnv 5655  dom cdm 5656   ↾ cres 5658   / cqs 8747

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-pr 5396

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-br 5107  df-opab 5172  df-eprel 5556  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-ec 8750  df-qs 8754

This theorem is used by:  n0el3  39871