Theorem n0elim 39412

Description: Implication of that the empty set is not an element of a class. (Contributed by Peter Mazsa, 30-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
n0elim	⊢ (¬ ∅ ∈ 𝐴 → (dom (◡ E ↾ 𝐴) / (◡ E ↾ 𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem n0elim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0el2 39012	. . . 4 ⊢ (¬ ∅ ∈ 𝐴 ↔ dom (◡ E ↾ 𝐴) = 𝐴)
2	1	biimpi 219	. . 3 ⊢ (¬ ∅ ∈ 𝐴 → dom (◡ E ↾ 𝐴) = 𝐴)
3	2	qseq1d 8753	. 2 ⊢ (¬ ∅ ∈ 𝐴 → (dom (◡ E ↾ 𝐴) / (◡ E ↾ 𝐴)) = (𝐴 / (◡ E ↾ 𝐴)))
4		qsresid 39008	. . 3 ⊢ (𝐴 / (◡ E ↾ 𝐴)) = (𝐴 / ◡ E )
5		qsid 8775	. . 3 ⊢ (𝐴 / ◡ E ) = 𝐴
6	4, 5	eqtri 2786	. 2 ⊢ (𝐴 / (◡ E ↾ 𝐴)) = 𝐴
7	3, 6	eqtrdi 2814	1 ⊢ (¬ ∅ ∈ 𝐴 → (dom (◡ E ↾ 𝐴) / (◡ E ↾ 𝐴)) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∅c0 4286   E cep 5560  ^◡ccnv 5660  dom cdm 5661   ↾ cres 5663   / cqs 8689

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-pr 5404

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-br 5110  df-opab 5174  df-eprel 5561  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-ec 8692  df-qs 8696

This theorem is used by:  n0el3  39413