Theorem n0elim 38632

Description: Implication of that the empty set is not an element of a class. (Contributed by Peter Mazsa, 30-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
n0elim	⊢ (¬ ∅ ∈ 𝐴 → (dom (◡ E ↾ 𝐴) / (◡ E ↾ 𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem n0elim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0el2 38315	. . . 4 ⊢ (¬ ∅ ∈ 𝐴 ↔ dom (◡ E ↾ 𝐴) = 𝐴)
2	1	biimpi 216	. . 3 ⊢ (¬ ∅ ∈ 𝐴 → dom (◡ E ↾ 𝐴) = 𝐴)
3	2	qseq1d 8803	. 2 ⊢ (¬ ∅ ∈ 𝐴 → (dom (◡ E ↾ 𝐴) / (◡ E ↾ 𝐴)) = (𝐴 / (◡ E ↾ 𝐴)))
4		qsresid 38307	. . 3 ⊢ (𝐴 / (◡ E ↾ 𝐴)) = (𝐴 / ◡ E )
5		qsid 8822	. . 3 ⊢ (𝐴 / ◡ E ) = 𝐴
6	4, 5	eqtri 2763	. 2 ⊢ (𝐴 / (◡ E ↾ 𝐴)) = 𝐴
7	3, 6	eqtrdi 2791	1 ⊢ (¬ ∅ ∈ 𝐴 → (dom (◡ E ↾ 𝐴) / (◡ E ↾ 𝐴)) = 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∅c0 4339   E cep 5588  ^◡ccnv 5688  dom cdm 5689   ↾ cres 5691   / cqs 8743

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-br 5149  df-opab 5211  df-eprel 5589  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ec 8746  df-qs 8750

This theorem is referenced by:  n0el3  38633