Theorem ordtr1 6433

Description: Transitive law for ordinal classes. (Contributed by NM, 12-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
ordtr1	⊢ (Ord 𝐶 → ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐶))

Proof of Theorem ordtr1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtr 6402	. 2 ⊢ (Ord 𝐶 → Tr 𝐶)
2		trel 5226	. 2 ⊢ (Tr 𝐶 → ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐶))
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (Ord 𝐶 → ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147  Tr wtr 5218  Ord word 6387

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-tru 1573  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-v 3456  df-ss 3901  df-uni 4873  df-tr 5219  df-ord 6391

This theorem is used by:  ontr1  6436  dfsmo2  8393  smores2  8400  smoel  8406  smogt  8413  ordiso2  9546  r1ordg  9822  r1pwss  9828  r1val1  9830  rankr1ai  9843  rankval3b  9873  rankonidlem  9875  onssr1  9880  r1filimi  9940  cofsmo  10386  fpwwe2lem8  10762  nosepssdm  28100  bnj1098  35525  bnj594  35653  rankfilimb  35853