MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankval3b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rankval3b 9823
Description: The value of the rank function expressed recursively: the rank of a set is the smallest ordinal number containing the ranks of all members of the set. Proposition 9.17 of [TakeutiZaring] p. 79. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
rankval3b (𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) β†’ (rankβ€˜π΄) = ∩ {π‘₯ ∈ On ∣ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (rankβ€˜π‘¦) ∈ π‘₯})
Distinct variable group:   π‘₯,𝑦,𝐴

Proof of Theorem rankval3b
StepHypRef Expression
1 rankon 9792 . . . . . . . . . 10 (rankβ€˜π΄) ∈ On
2 simprl 769 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) ∧ (π‘₯ ∈ On ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (rankβ€˜π‘¦) ∈ π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ On)
3 ontri1 6398 . . . . . . . . . 10 (((rankβ€˜π΄) ∈ On ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ ((rankβ€˜π΄) βŠ† π‘₯ ↔ Β¬ π‘₯ ∈ (rankβ€˜π΄)))
41, 2, 3sylancr 587 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) ∧ (π‘₯ ∈ On ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (rankβ€˜π‘¦) ∈ π‘₯)) β†’ ((rankβ€˜π΄) βŠ† π‘₯ ↔ Β¬ π‘₯ ∈ (rankβ€˜π΄)))
54con2bid 354 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) ∧ (π‘₯ ∈ On ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (rankβ€˜π‘¦) ∈ π‘₯)) β†’ (π‘₯ ∈ (rankβ€˜π΄) ↔ Β¬ (rankβ€˜π΄) βŠ† π‘₯))
6 r1elssi 9802 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ (𝑅1 β€œ On))
76adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) ∧ π‘₯ ∈ (rankβ€˜π΄)) β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ (𝑅1 β€œ On))
87sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) ∧ π‘₯ ∈ (rankβ€˜π΄)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On))
9 rankdmr1 9798 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (rankβ€˜π΄) ∈ dom 𝑅1
10 r1funlim 9763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
1110simpri 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Lim dom 𝑅1
12 limord 6424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Lim dom 𝑅1 β†’ Ord dom 𝑅1)
13 ordtr1 6407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Ord dom 𝑅1 β†’ ((π‘₯ ∈ (rankβ€˜π΄) ∧ (rankβ€˜π΄) ∈ dom 𝑅1) β†’ π‘₯ ∈ dom 𝑅1))
1411, 12, 13mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘₯ ∈ (rankβ€˜π΄) ∧ (rankβ€˜π΄) ∈ dom 𝑅1) β†’ π‘₯ ∈ dom 𝑅1)
159, 14mpan2 689 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ (rankβ€˜π΄) β†’ π‘₯ ∈ dom 𝑅1)
1615ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) ∧ π‘₯ ∈ (rankβ€˜π΄)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ dom 𝑅1)
17 rankr1ag 9799 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) ∧ π‘₯ ∈ dom 𝑅1) β†’ (𝑦 ∈ (𝑅1β€˜π‘₯) ↔ (rankβ€˜π‘¦) ∈ π‘₯))
188, 16, 17syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) ∧ π‘₯ ∈ (rankβ€˜π΄)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 ∈ (𝑅1β€˜π‘₯) ↔ (rankβ€˜π‘¦) ∈ π‘₯))
1918ralbidva 3175 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) ∧ π‘₯ ∈ (rankβ€˜π΄)) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝑅1β€˜π‘₯) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (rankβ€˜π‘¦) ∈ π‘₯))
2019biimpar 478 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) ∧ π‘₯ ∈ (rankβ€˜π΄)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (rankβ€˜π‘¦) ∈ π‘₯) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝑅1β€˜π‘₯))
2120an32s 650 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (rankβ€˜π‘¦) ∈ π‘₯) ∧ π‘₯ ∈ (rankβ€˜π΄)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝑅1β€˜π‘₯))
22 dfss3 3970 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 βŠ† (𝑅1β€˜π‘₯) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝑅1β€˜π‘₯))
2321, 22sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (rankβ€˜π‘¦) ∈ π‘₯) ∧ π‘₯ ∈ (rankβ€˜π΄)) β†’ 𝐴 βŠ† (𝑅1β€˜π‘₯))
24 simpll 765 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (rankβ€˜π‘¦) ∈ π‘₯) ∧ π‘₯ ∈ (rankβ€˜π΄)) β†’ 𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On))
2515adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (rankβ€˜π‘¦) ∈ π‘₯) ∧ π‘₯ ∈ (rankβ€˜π΄)) β†’ π‘₯ ∈ dom 𝑅1)
26 rankr1bg 9800 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) ∧ π‘₯ ∈ dom 𝑅1) β†’ (𝐴 βŠ† (𝑅1β€˜π‘₯) ↔ (rankβ€˜π΄) βŠ† π‘₯))
2724, 25, 26syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (rankβ€˜π‘¦) ∈ π‘₯) ∧ π‘₯ ∈ (rankβ€˜π΄)) β†’ (𝐴 βŠ† (𝑅1β€˜π‘₯) ↔ (rankβ€˜π΄) βŠ† π‘₯))
2823, 27mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (rankβ€˜π‘¦) ∈ π‘₯) ∧ π‘₯ ∈ (rankβ€˜π΄)) β†’ (rankβ€˜π΄) βŠ† π‘₯)
2928ex 413 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (rankβ€˜π‘¦) ∈ π‘₯) β†’ (π‘₯ ∈ (rankβ€˜π΄) β†’ (rankβ€˜π΄) βŠ† π‘₯))
3029adantrl 714 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) ∧ (π‘₯ ∈ On ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (rankβ€˜π‘¦) ∈ π‘₯)) β†’ (π‘₯ ∈ (rankβ€˜π΄) β†’ (rankβ€˜π΄) βŠ† π‘₯))
315, 30sylbird 259 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) ∧ (π‘₯ ∈ On ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (rankβ€˜π‘¦) ∈ π‘₯)) β†’ (Β¬ (rankβ€˜π΄) βŠ† π‘₯ β†’ (rankβ€˜π΄) βŠ† π‘₯))
3231pm2.18d 127 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) ∧ (π‘₯ ∈ On ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (rankβ€˜π‘¦) ∈ π‘₯)) β†’ (rankβ€˜π΄) βŠ† π‘₯)
3332ex 413 . . . . 5 (𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) β†’ ((π‘₯ ∈ On ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (rankβ€˜π‘¦) ∈ π‘₯) β†’ (rankβ€˜π΄) βŠ† π‘₯))
3433alrimiv 1930 . . . 4 (𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) β†’ βˆ€π‘₯((π‘₯ ∈ On ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (rankβ€˜π‘¦) ∈ π‘₯) β†’ (rankβ€˜π΄) βŠ† π‘₯))
35 ssintab 4969 . . . 4 ((rankβ€˜π΄) βŠ† ∩ {π‘₯ ∣ (π‘₯ ∈ On ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (rankβ€˜π‘¦) ∈ π‘₯)} ↔ βˆ€π‘₯((π‘₯ ∈ On ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (rankβ€˜π‘¦) ∈ π‘₯) β†’ (rankβ€˜π΄) βŠ† π‘₯))
3634, 35sylibr 233 . . 3 (𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) β†’ (rankβ€˜π΄) βŠ† ∩ {π‘₯ ∣ (π‘₯ ∈ On ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (rankβ€˜π‘¦) ∈ π‘₯)})
37 df-rab 3433 . . . 4 {π‘₯ ∈ On ∣ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (rankβ€˜π‘¦) ∈ π‘₯} = {π‘₯ ∣ (π‘₯ ∈ On ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (rankβ€˜π‘¦) ∈ π‘₯)}
3837inteqi 4954 . . 3 ∩ {π‘₯ ∈ On ∣ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (rankβ€˜π‘¦) ∈ π‘₯} = ∩ {π‘₯ ∣ (π‘₯ ∈ On ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (rankβ€˜π‘¦) ∈ π‘₯)}
3936, 38sseqtrrdi 4033 . 2 (𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) β†’ (rankβ€˜π΄) βŠ† ∩ {π‘₯ ∈ On ∣ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (rankβ€˜π‘¦) ∈ π‘₯})
40 rankelb 9821 . . . 4 (𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ (rankβ€˜π‘¦) ∈ (rankβ€˜π΄)))
4140ralrimiv 3145 . . 3 (𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (rankβ€˜π‘¦) ∈ (rankβ€˜π΄))
42 eleq2 2822 . . . . 5 (π‘₯ = (rankβ€˜π΄) β†’ ((rankβ€˜π‘¦) ∈ π‘₯ ↔ (rankβ€˜π‘¦) ∈ (rankβ€˜π΄)))
4342ralbidv 3177 . . . 4 (π‘₯ = (rankβ€˜π΄) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (rankβ€˜π‘¦) ∈ π‘₯ ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (rankβ€˜π‘¦) ∈ (rankβ€˜π΄)))
4443onintss 6415 . . 3 ((rankβ€˜π΄) ∈ On β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (rankβ€˜π‘¦) ∈ (rankβ€˜π΄) β†’ ∩ {π‘₯ ∈ On ∣ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (rankβ€˜π‘¦) ∈ π‘₯} βŠ† (rankβ€˜π΄)))
451, 41, 44mpsyl 68 . 2 (𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) β†’ ∩ {π‘₯ ∈ On ∣ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (rankβ€˜π‘¦) ∈ π‘₯} βŠ† (rankβ€˜π΄))
4639, 45eqssd 3999 1 (𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) β†’ (rankβ€˜π΄) = ∩ {π‘₯ ∈ On ∣ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (rankβ€˜π‘¦) ∈ π‘₯})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396  βˆ€wal 1539   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {cab 2709  βˆ€wral 3061  {crab 3432   βŠ† wss 3948  βˆͺ cuni 4908  βˆ© cint 4950  dom cdm 5676   β€œ cima 5679  Ord word 6363  Oncon0 6364  Lim wlim 6365  Fun wfun 6537  β€˜cfv 6543  π‘…1cr1 9759  rankcrnk 9760
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-r1 9761  df-rank 9762
This theorem is referenced by:  ranksnb  9824  rankonidlem  9825  rankval3  9837  rankunb  9847  rankuni2b  9850  tcrank  9881
  Copyright terms: Public domain W3C validator