MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankval3b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rankval3b 9770
Description: The value of the rank function expressed recursively: the rank of a set is the smallest ordinal number containing the ranks of all members of the set. Proposition 9.17 of [TakeutiZaring] p. 79. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
rankval3b (𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) β†’ (rankβ€˜π΄) = ∩ {π‘₯ ∈ On ∣ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (rankβ€˜π‘¦) ∈ π‘₯})
Distinct variable group:   π‘₯,𝑦,𝐴

Proof of Theorem rankval3b
StepHypRef Expression
1 rankon 9739 . . . . . . . . . 10 (rankβ€˜π΄) ∈ On
2 simprl 770 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) ∧ (π‘₯ ∈ On ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (rankβ€˜π‘¦) ∈ π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ On)
3 ontri1 6355 . . . . . . . . . 10 (((rankβ€˜π΄) ∈ On ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ ((rankβ€˜π΄) βŠ† π‘₯ ↔ Β¬ π‘₯ ∈ (rankβ€˜π΄)))
41, 2, 3sylancr 588 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) ∧ (π‘₯ ∈ On ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (rankβ€˜π‘¦) ∈ π‘₯)) β†’ ((rankβ€˜π΄) βŠ† π‘₯ ↔ Β¬ π‘₯ ∈ (rankβ€˜π΄)))
54con2bid 355 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) ∧ (π‘₯ ∈ On ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (rankβ€˜π‘¦) ∈ π‘₯)) β†’ (π‘₯ ∈ (rankβ€˜π΄) ↔ Β¬ (rankβ€˜π΄) βŠ† π‘₯))
6 r1elssi 9749 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ (𝑅1 β€œ On))
76adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) ∧ π‘₯ ∈ (rankβ€˜π΄)) β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ (𝑅1 β€œ On))
87sselda 3948 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) ∧ π‘₯ ∈ (rankβ€˜π΄)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On))
9 rankdmr1 9745 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (rankβ€˜π΄) ∈ dom 𝑅1
10 r1funlim 9710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
1110simpri 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Lim dom 𝑅1
12 limord 6381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Lim dom 𝑅1 β†’ Ord dom 𝑅1)
13 ordtr1 6364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Ord dom 𝑅1 β†’ ((π‘₯ ∈ (rankβ€˜π΄) ∧ (rankβ€˜π΄) ∈ dom 𝑅1) β†’ π‘₯ ∈ dom 𝑅1))
1411, 12, 13mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘₯ ∈ (rankβ€˜π΄) ∧ (rankβ€˜π΄) ∈ dom 𝑅1) β†’ π‘₯ ∈ dom 𝑅1)
159, 14mpan2 690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ (rankβ€˜π΄) β†’ π‘₯ ∈ dom 𝑅1)
1615ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) ∧ π‘₯ ∈ (rankβ€˜π΄)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ dom 𝑅1)
17 rankr1ag 9746 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) ∧ π‘₯ ∈ dom 𝑅1) β†’ (𝑦 ∈ (𝑅1β€˜π‘₯) ↔ (rankβ€˜π‘¦) ∈ π‘₯))
188, 16, 17syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) ∧ π‘₯ ∈ (rankβ€˜π΄)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 ∈ (𝑅1β€˜π‘₯) ↔ (rankβ€˜π‘¦) ∈ π‘₯))
1918ralbidva 3169 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) ∧ π‘₯ ∈ (rankβ€˜π΄)) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝑅1β€˜π‘₯) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (rankβ€˜π‘¦) ∈ π‘₯))
2019biimpar 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) ∧ π‘₯ ∈ (rankβ€˜π΄)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (rankβ€˜π‘¦) ∈ π‘₯) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝑅1β€˜π‘₯))
2120an32s 651 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (rankβ€˜π‘¦) ∈ π‘₯) ∧ π‘₯ ∈ (rankβ€˜π΄)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝑅1β€˜π‘₯))
22 dfss3 3936 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 βŠ† (𝑅1β€˜π‘₯) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝑅1β€˜π‘₯))
2321, 22sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (rankβ€˜π‘¦) ∈ π‘₯) ∧ π‘₯ ∈ (rankβ€˜π΄)) β†’ 𝐴 βŠ† (𝑅1β€˜π‘₯))
24 simpll 766 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (rankβ€˜π‘¦) ∈ π‘₯) ∧ π‘₯ ∈ (rankβ€˜π΄)) β†’ 𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On))
2515adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (rankβ€˜π‘¦) ∈ π‘₯) ∧ π‘₯ ∈ (rankβ€˜π΄)) β†’ π‘₯ ∈ dom 𝑅1)
26 rankr1bg 9747 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) ∧ π‘₯ ∈ dom 𝑅1) β†’ (𝐴 βŠ† (𝑅1β€˜π‘₯) ↔ (rankβ€˜π΄) βŠ† π‘₯))
2724, 25, 26syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (rankβ€˜π‘¦) ∈ π‘₯) ∧ π‘₯ ∈ (rankβ€˜π΄)) β†’ (𝐴 βŠ† (𝑅1β€˜π‘₯) ↔ (rankβ€˜π΄) βŠ† π‘₯))
2823, 27mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (rankβ€˜π‘¦) ∈ π‘₯) ∧ π‘₯ ∈ (rankβ€˜π΄)) β†’ (rankβ€˜π΄) βŠ† π‘₯)
2928ex 414 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (rankβ€˜π‘¦) ∈ π‘₯) β†’ (π‘₯ ∈ (rankβ€˜π΄) β†’ (rankβ€˜π΄) βŠ† π‘₯))
3029adantrl 715 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) ∧ (π‘₯ ∈ On ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (rankβ€˜π‘¦) ∈ π‘₯)) β†’ (π‘₯ ∈ (rankβ€˜π΄) β†’ (rankβ€˜π΄) βŠ† π‘₯))
315, 30sylbird 260 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) ∧ (π‘₯ ∈ On ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (rankβ€˜π‘¦) ∈ π‘₯)) β†’ (Β¬ (rankβ€˜π΄) βŠ† π‘₯ β†’ (rankβ€˜π΄) βŠ† π‘₯))
3231pm2.18d 127 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) ∧ (π‘₯ ∈ On ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (rankβ€˜π‘¦) ∈ π‘₯)) β†’ (rankβ€˜π΄) βŠ† π‘₯)
3332ex 414 . . . . 5 (𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) β†’ ((π‘₯ ∈ On ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (rankβ€˜π‘¦) ∈ π‘₯) β†’ (rankβ€˜π΄) βŠ† π‘₯))
3433alrimiv 1931 . . . 4 (𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) β†’ βˆ€π‘₯((π‘₯ ∈ On ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (rankβ€˜π‘¦) ∈ π‘₯) β†’ (rankβ€˜π΄) βŠ† π‘₯))
35 ssintab 4930 . . . 4 ((rankβ€˜π΄) βŠ† ∩ {π‘₯ ∣ (π‘₯ ∈ On ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (rankβ€˜π‘¦) ∈ π‘₯)} ↔ βˆ€π‘₯((π‘₯ ∈ On ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (rankβ€˜π‘¦) ∈ π‘₯) β†’ (rankβ€˜π΄) βŠ† π‘₯))
3634, 35sylibr 233 . . 3 (𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) β†’ (rankβ€˜π΄) βŠ† ∩ {π‘₯ ∣ (π‘₯ ∈ On ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (rankβ€˜π‘¦) ∈ π‘₯)})
37 df-rab 3407 . . . 4 {π‘₯ ∈ On ∣ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (rankβ€˜π‘¦) ∈ π‘₯} = {π‘₯ ∣ (π‘₯ ∈ On ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (rankβ€˜π‘¦) ∈ π‘₯)}
3837inteqi 4915 . . 3 ∩ {π‘₯ ∈ On ∣ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (rankβ€˜π‘¦) ∈ π‘₯} = ∩ {π‘₯ ∣ (π‘₯ ∈ On ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (rankβ€˜π‘¦) ∈ π‘₯)}
3936, 38sseqtrrdi 3999 . 2 (𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) β†’ (rankβ€˜π΄) βŠ† ∩ {π‘₯ ∈ On ∣ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (rankβ€˜π‘¦) ∈ π‘₯})
40 rankelb 9768 . . . 4 (𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ (rankβ€˜π‘¦) ∈ (rankβ€˜π΄)))
4140ralrimiv 3139 . . 3 (𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (rankβ€˜π‘¦) ∈ (rankβ€˜π΄))
42 eleq2 2823 . . . . 5 (π‘₯ = (rankβ€˜π΄) β†’ ((rankβ€˜π‘¦) ∈ π‘₯ ↔ (rankβ€˜π‘¦) ∈ (rankβ€˜π΄)))
4342ralbidv 3171 . . . 4 (π‘₯ = (rankβ€˜π΄) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (rankβ€˜π‘¦) ∈ π‘₯ ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (rankβ€˜π‘¦) ∈ (rankβ€˜π΄)))
4443onintss 6372 . . 3 ((rankβ€˜π΄) ∈ On β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (rankβ€˜π‘¦) ∈ (rankβ€˜π΄) β†’ ∩ {π‘₯ ∈ On ∣ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (rankβ€˜π‘¦) ∈ π‘₯} βŠ† (rankβ€˜π΄)))
451, 41, 44mpsyl 68 . 2 (𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) β†’ ∩ {π‘₯ ∈ On ∣ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (rankβ€˜π‘¦) ∈ π‘₯} βŠ† (rankβ€˜π΄))
4639, 45eqssd 3965 1 (𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) β†’ (rankβ€˜π΄) = ∩ {π‘₯ ∈ On ∣ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (rankβ€˜π‘¦) ∈ π‘₯})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397  βˆ€wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {cab 2710  βˆ€wral 3061  {crab 3406   βŠ† wss 3914  βˆͺ cuni 4869  βˆ© cint 4911  dom cdm 5637   β€œ cima 5640  Ord word 6320  Oncon0 6321  Lim wlim 6322  Fun wfun 6494  β€˜cfv 6500  π‘…1cr1 9706  rankcrnk 9707
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-r1 9708  df-rank 9709
This theorem is referenced by:  ranksnb  9771  rankonidlem  9772  rankval3  9784  rankunb  9794  rankuni2b  9797  tcrank  9828
  Copyright terms: Public domain W3C validator