Theorem onelss 6423

Description: An element of an ordinal number is a subset of the number. (Contributed by NM, 5-Jun-1994.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 25-Jul-2011.)

Assertion

Ref	Expression
onelss	⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐵 ∈ 𝐴 → 𝐵 ⊆ 𝐴))

Proof of Theorem onelss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 6390	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
2		ordelss 6396	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
3	2	ex 418	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝐵 ∈ 𝐴 → 𝐵 ⊆ 𝐴))
4	1, 3	syl 18	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐵 ∈ 𝐴 → 𝐵 ⊆ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900  Ord word 6379  Oncon0 6380

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-tru 1573  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ral 3081  df-v 3456  df-ss 3901  df-uni 4871  df-tr 5216  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-ord 6383  df-on 6384

This theorem is used by:  ordunidif  6431  onelssi  6497  ssorduni  7817  tfisi  7894  poseq  8202  tfrlem9  8421  tfrlem11  8424  oaordex  8594  oaass  8597  odi  8615  omass  8616  oewordri  8629  nnaordex  8675  domtriord  9170  hartogs  9565  card2on  9575  tskwe  10058  infxpenlem  10119  cfub  10353  cfsuc  10362  coflim  10366  hsmexlem2  10532  ondomon  10674  pwcfsdom  10695  inar1  10887  tskord  10892  grudomon  10929  gruina  10930  ltsres  28049  nosupno  28090  nosupbday  28092  noinfno  28105  oldssmade  28283  madebday  28316  mulsproplem13  28544  mulsproplem14  28545  maxssj0  36006  dfrdg2  36735  onelssd  37128  aomclem6  44254  nnoeomeqom  44506  naddgeoa  44588  naddwordnexlem1  44591  naddwordnexlem4  44595  iscard5  44729