Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  onssr1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem onssr1 9252
 Description: Initial segments of the ordinals are contained in initial segments of the cumulative hierarchy. (Contributed by FL, 20-Apr-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
onssr1 (𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐴 ⊆ (𝑅1𝐴))

Proof of Theorem onssr1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r1funlim 9187 . . . . . . . . . 10 (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
21simpri 488 . . . . . . . . 9 Lim dom 𝑅1
3 limord 6243 . . . . . . . . 9 (Lim dom 𝑅1 → Ord dom 𝑅1)
4 ordtr1 6227 . . . . . . . . 9 (Ord dom 𝑅1 → ((𝑥𝐴𝐴 ∈ dom 𝑅1) → 𝑥 ∈ dom 𝑅1))
52, 3, 4mp2b 10 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴𝐴 ∈ dom 𝑅1) → 𝑥 ∈ dom 𝑅1)
65ancoms 461 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ dom 𝑅1)
7 rankonidlem 9249 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ dom 𝑅1 → (𝑥 (𝑅1 “ On) ∧ (rank‘𝑥) = 𝑥))
86, 7syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝑥𝐴) → (𝑥 (𝑅1 “ On) ∧ (rank‘𝑥) = 𝑥))
98simprd 498 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝑥𝐴) → (rank‘𝑥) = 𝑥)
10 simpr 487 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
119, 10eqeltrd 2911 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝑥𝐴) → (rank‘𝑥) ∈ 𝐴)
128simpld 497 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝑥𝐴) → 𝑥 (𝑅1 “ On))
13 simpl 485 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝑥𝐴) → 𝐴 ∈ dom 𝑅1)
14 rankr1ag 9223 . . . . 5 ((𝑥 (𝑅1 “ On) ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑅1) → (𝑥 ∈ (𝑅1𝐴) ↔ (rank‘𝑥) ∈ 𝐴))
1512, 13, 14syl2anc 586 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝑥𝐴) → (𝑥 ∈ (𝑅1𝐴) ↔ (rank‘𝑥) ∈ 𝐴))
1611, 15mpbird 259 . . 3 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ (𝑅1𝐴))
1716ex 415 . 2 (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (𝑥𝐴𝑥 ∈ (𝑅1𝐴)))
1817ssrdv 3971 1 (𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐴 ⊆ (𝑅1𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1531   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3934  ∪ cuni 4830  dom cdm 5548   “ cima 5551  Ord word 6183  Oncon0 6184  Lim wlim 6185  Fun wfun 6342  ‘cfv 6348  𝑅1cr1 9183  rankcrnk 9184 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-om 7573  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-r1 9185  df-rank 9186 This theorem is referenced by:  rankr1id  9283  ackbij2  9657  wunom  10134  r1limwun  10150  inar1  10189  r1tskina  10196  r1rankcld  40557
 Copyright terms: Public domain W3C validator