Theorem onssr1 9746

Description: Initial segments of the ordinals are contained in initial segments of the cumulative hierarchy. (Contributed by FL, 20-Apr-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
onssr1	⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → 𝐴 ⊆ (𝑅1‘𝐴))

Proof of Theorem onssr1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r1funlim 9681	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
2	1	simpri 486	. . . . . . . . 9 ⊢ Lim dom 𝑅1
3		limord 6371	. . . . . . . . 9 ⊢ (Lim dom 𝑅1 → Ord dom 𝑅1)
4		ordtr1 6354	. . . . . . . . 9 ⊢ (Ord dom 𝑅1 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑅1) → 𝑥 ∈ dom 𝑅1))
5	2, 3, 4	mp2b 10	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑅1) → 𝑥 ∈ dom 𝑅1)
6	5	ancoms 459	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ dom 𝑅1)
7		rankonidlem 9743	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ dom 𝑅1 → (𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ (rank‘𝑥) = 𝑥))
8	6, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ (rank‘𝑥) = 𝑥))
9	8	simprd 496	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (rank‘𝑥) = 𝑥)
10		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
11	9, 10	eqeltrd 2839	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (rank‘𝑥) ∈ 𝐴)
12	8	simpld 495	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
13		simpl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ dom 𝑅1)
14		rankr1ag 9717	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑅1) → (𝑥 ∈ (𝑅1‘𝐴) ↔ (rank‘𝑥) ∈ 𝐴))
15	12, 13, 14	syl2anc 590	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ (𝑅1‘𝐴) ↔ (rank‘𝑥) ∈ 𝐴))
16	11, 15	mpbird 258	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝐴))
17	16	ex 413	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝐴)))
18	17	ssrdv 3921	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → 𝐴 ⊆ (𝑅1‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ⊆ wss 3883  ∪ cuni 4838  dom cdm 5618   “ cima 5621  Ord word 6309  Oncon0 6310  Lim wlim 6311  Fun wfun 6479  ‘cfv 6485  𝑅₁cr1 9677  rankcrnk 9678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-ov 7359  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-r1 9679  df-rank 9680

This theorem is referenced by:  rankr1id  9777  ackbij2  10155  wunom  10634  r1limwun  10650  inar1  10689  r1tskina  10696  r1rankcld  44675