MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  onssr1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem onssr1 9823
Description: Initial segments of the ordinals are contained in initial segments of the cumulative hierarchy. (Contributed by FL, 20-Apr-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
onssr1 (𝐴 ∈ dom 𝑅1 β†’ 𝐴 βŠ† (𝑅1β€˜π΄))

Proof of Theorem onssr1
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r1funlim 9758 . . . . . . . . . 10 (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
21simpri 485 . . . . . . . . 9 Lim dom 𝑅1
3 limord 6415 . . . . . . . . 9 (Lim dom 𝑅1 β†’ Ord dom 𝑅1)
4 ordtr1 6398 . . . . . . . . 9 (Ord dom 𝑅1 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑅1) β†’ π‘₯ ∈ dom 𝑅1))
52, 3, 4mp2b 10 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑅1) β†’ π‘₯ ∈ dom 𝑅1)
65ancoms 458 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ dom 𝑅1)
7 rankonidlem 9820 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ dom 𝑅1 β†’ (π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) ∧ (rankβ€˜π‘₯) = π‘₯))
86, 7syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) ∧ (rankβ€˜π‘₯) = π‘₯))
98simprd 495 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (rankβ€˜π‘₯) = π‘₯)
10 simpr 484 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
119, 10eqeltrd 2825 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (rankβ€˜π‘₯) ∈ 𝐴)
128simpld 494 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On))
13 simpl 482 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ dom 𝑅1)
14 rankr1ag 9794 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑅1) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑅1β€˜π΄) ↔ (rankβ€˜π‘₯) ∈ 𝐴))
1512, 13, 14syl2anc 583 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑅1β€˜π΄) ↔ (rankβ€˜π‘₯) ∈ 𝐴))
1611, 15mpbird 257 . . 3 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ (𝑅1β€˜π΄))
1716ex 412 . 2 (𝐴 ∈ dom 𝑅1 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ π‘₯ ∈ (𝑅1β€˜π΄)))
1817ssrdv 3981 1 (𝐴 ∈ dom 𝑅1 β†’ 𝐴 βŠ† (𝑅1β€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3941  βˆͺ cuni 4900  dom cdm 5667   β€œ cima 5670  Ord word 6354  Oncon0 6355  Lim wlim 6356  Fun wfun 6528  β€˜cfv 6534  π‘…1cr1 9754  rankcrnk 9755
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-r1 9756  df-rank 9757
This theorem is referenced by:  rankr1id  9854  ackbij2  10235  wunom  10712  r1limwun  10728  inar1  10767  r1tskina  10774  r1rankcld  43504
  Copyright terms: Public domain W3C validator