MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  onssr1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem onssr1 9252
Description: Initial segments of the ordinals are contained in initial segments of the cumulative hierarchy. (Contributed by FL, 20-Apr-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
onssr1 (𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐴 ⊆ (𝑅1𝐴))

Proof of Theorem onssr1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r1funlim 9187 . . . . . . . . . 10 (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
21simpri 488 . . . . . . . . 9 Lim dom 𝑅1
3 limord 6243 . . . . . . . . 9 (Lim dom 𝑅1 → Ord dom 𝑅1)
4 ordtr1 6227 . . . . . . . . 9 (Ord dom 𝑅1 → ((𝑥𝐴𝐴 ∈ dom 𝑅1) → 𝑥 ∈ dom 𝑅1))
52, 3, 4mp2b 10 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴𝐴 ∈ dom 𝑅1) → 𝑥 ∈ dom 𝑅1)
65ancoms 461 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ dom 𝑅1)
7 rankonidlem 9249 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ dom 𝑅1 → (𝑥 (𝑅1 “ On) ∧ (rank‘𝑥) = 𝑥))
86, 7syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝑥𝐴) → (𝑥 (𝑅1 “ On) ∧ (rank‘𝑥) = 𝑥))
98simprd 498 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝑥𝐴) → (rank‘𝑥) = 𝑥)
10 simpr 487 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
119, 10eqeltrd 2911 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝑥𝐴) → (rank‘𝑥) ∈ 𝐴)
128simpld 497 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝑥𝐴) → 𝑥 (𝑅1 “ On))
13 simpl 485 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝑥𝐴) → 𝐴 ∈ dom 𝑅1)
14 rankr1ag 9223 . . . . 5 ((𝑥 (𝑅1 “ On) ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑅1) → (𝑥 ∈ (𝑅1𝐴) ↔ (rank‘𝑥) ∈ 𝐴))
1512, 13, 14syl2anc 586 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝑥𝐴) → (𝑥 ∈ (𝑅1𝐴) ↔ (rank‘𝑥) ∈ 𝐴))
1611, 15mpbird 259 . . 3 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ (𝑅1𝐴))
1716ex 415 . 2 (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (𝑥𝐴𝑥 ∈ (𝑅1𝐴)))
1817ssrdv 3971 1 (𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐴 ⊆ (𝑅1𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398   = wceq 1531  wcel 2108  wss 3934   cuni 4830  dom cdm 5548  cima 5551  Ord word 6183  Oncon0 6184  Lim wlim 6185  Fun wfun 6342  cfv 6348  𝑅1cr1 9183  rankcrnk 9184
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-om 7573  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-r1 9185  df-rank 9186
This theorem is referenced by:  rankr1id  9283  ackbij2  9657  wunom  10134  r1limwun  10150  inar1  10189  r1tskina  10196  r1rankcld  40557
  Copyright terms: Public domain W3C validator