MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  onssr1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem onssr1 9775
Description: Initial segments of the ordinals are contained in initial segments of the cumulative hierarchy. (Contributed by FL, 20-Apr-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
onssr1 (𝐴 ∈ dom 𝑅1 β†’ 𝐴 βŠ† (𝑅1β€˜π΄))

Proof of Theorem onssr1
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r1funlim 9710 . . . . . . . . . 10 (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
21simpri 487 . . . . . . . . 9 Lim dom 𝑅1
3 limord 6381 . . . . . . . . 9 (Lim dom 𝑅1 β†’ Ord dom 𝑅1)
4 ordtr1 6364 . . . . . . . . 9 (Ord dom 𝑅1 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑅1) β†’ π‘₯ ∈ dom 𝑅1))
52, 3, 4mp2b 10 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑅1) β†’ π‘₯ ∈ dom 𝑅1)
65ancoms 460 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ dom 𝑅1)
7 rankonidlem 9772 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ dom 𝑅1 β†’ (π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) ∧ (rankβ€˜π‘₯) = π‘₯))
86, 7syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) ∧ (rankβ€˜π‘₯) = π‘₯))
98simprd 497 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (rankβ€˜π‘₯) = π‘₯)
10 simpr 486 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
119, 10eqeltrd 2834 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (rankβ€˜π‘₯) ∈ 𝐴)
128simpld 496 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On))
13 simpl 484 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ dom 𝑅1)
14 rankr1ag 9746 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑅1) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑅1β€˜π΄) ↔ (rankβ€˜π‘₯) ∈ 𝐴))
1512, 13, 14syl2anc 585 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑅1β€˜π΄) ↔ (rankβ€˜π‘₯) ∈ 𝐴))
1611, 15mpbird 257 . . 3 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ (𝑅1β€˜π΄))
1716ex 414 . 2 (𝐴 ∈ dom 𝑅1 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ π‘₯ ∈ (𝑅1β€˜π΄)))
1817ssrdv 3954 1 (𝐴 ∈ dom 𝑅1 β†’ 𝐴 βŠ† (𝑅1β€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3914  βˆͺ cuni 4869  dom cdm 5637   β€œ cima 5640  Ord word 6320  Oncon0 6321  Lim wlim 6322  Fun wfun 6494  β€˜cfv 6500  π‘…1cr1 9706  rankcrnk 9707
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-r1 9708  df-rank 9709
This theorem is referenced by:  rankr1id  9806  ackbij2  10187  wunom  10664  r1limwun  10680  inar1  10719  r1tskina  10726  r1rankcld  42603
  Copyright terms: Public domain W3C validator