Theorem onssr1 9719

Description: Initial segments of the ordinals are contained in initial segments of the cumulative hierarchy. (Contributed by FL, 20-Apr-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
onssr1	⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → 𝐴 ⊆ (𝑅1‘𝐴))

Proof of Theorem onssr1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r1funlim 9654	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
2	1	simpri 485	. . . . . . . . 9 ⊢ Lim dom 𝑅1
3		limord 6362	. . . . . . . . 9 ⊢ (Lim dom 𝑅1 → Ord dom 𝑅1)
4		ordtr1 6345	. . . . . . . . 9 ⊢ (Ord dom 𝑅1 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑅1) → 𝑥 ∈ dom 𝑅1))
5	2, 3, 4	mp2b 10	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑅1) → 𝑥 ∈ dom 𝑅1)
6	5	ancoms 458	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ dom 𝑅1)
7		rankonidlem 9716	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ dom 𝑅1 → (𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ (rank‘𝑥) = 𝑥))
8	6, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ (rank‘𝑥) = 𝑥))
9	8	simprd 495	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (rank‘𝑥) = 𝑥)
10		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
11	9, 10	eqeltrd 2831	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (rank‘𝑥) ∈ 𝐴)
12	8	simpld 494	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
13		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ dom 𝑅1)
14		rankr1ag 9690	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑅1) → (𝑥 ∈ (𝑅1‘𝐴) ↔ (rank‘𝑥) ∈ 𝐴))
15	12, 13, 14	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ (𝑅1‘𝐴) ↔ (rank‘𝑥) ∈ 𝐴))
16	11, 15	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝐴))
17	16	ex 412	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝐴)))
18	17	ssrdv 3935	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → 𝐴 ⊆ (𝑅1‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3897  ∪ cuni 4854  dom cdm 5611   “ cima 5614  Ord word 6300  Oncon0 6301  Lim wlim 6302  Fun wfun 6470  ‘cfv 6476  𝑅₁cr1 9650  rankcrnk 9651

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-ov 7344  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-r1 9652  df-rank 9653

This theorem is referenced by:  rankr1id  9750  ackbij2  10128  wunom  10606  r1limwun  10622  inar1  10661  r1tskina  10668  r1rankcld  44264