Theorem onssr1 9755

Description: Initial segments of the ordinals are contained in initial segments of the cumulative hierarchy. (Contributed by FL, 20-Apr-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
onssr1	⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → 𝐴 ⊆ (𝑅1‘𝐴))

Proof of Theorem onssr1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r1funlim 9690	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
2	1	simpri 485	. . . . . . . . 9 ⊢ Lim dom 𝑅1
3		limord 6386	. . . . . . . . 9 ⊢ (Lim dom 𝑅1 → Ord dom 𝑅1)
4		ordtr1 6369	. . . . . . . . 9 ⊢ (Ord dom 𝑅1 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑅1) → 𝑥 ∈ dom 𝑅1))
5	2, 3, 4	mp2b 10	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑅1) → 𝑥 ∈ dom 𝑅1)
6	5	ancoms 458	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ dom 𝑅1)
7		rankonidlem 9752	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ dom 𝑅1 → (𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ (rank‘𝑥) = 𝑥))
8	6, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ (rank‘𝑥) = 𝑥))
9	8	simprd 495	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (rank‘𝑥) = 𝑥)
10		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
11	9, 10	eqeltrd 2837	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (rank‘𝑥) ∈ 𝐴)
12	8	simpld 494	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
13		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ dom 𝑅1)
14		rankr1ag 9726	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑅1) → (𝑥 ∈ (𝑅1‘𝐴) ↔ (rank‘𝑥) ∈ 𝐴))
15	12, 13, 14	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ (𝑅1‘𝐴) ↔ (rank‘𝑥) ∈ 𝐴))
16	11, 15	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝐴))
17	16	ex 412	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝐴)))
18	17	ssrdv 3941	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → 𝐴 ⊆ (𝑅1‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3903  ∪ cuni 4865  dom cdm 5632   “ cima 5635  Ord word 6324  Oncon0 6325  Lim wlim 6326  Fun wfun 6494  ‘cfv 6500  𝑅₁cr1 9686  rankcrnk 9687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-r1 9688  df-rank 9689

This theorem is referenced by:  rankr1id  9786  ackbij2  10164  wunom  10643  r1limwun  10659  inar1  10698  r1tskina  10705  r1rankcld  44587