MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  onssr1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem onssr1 9848
Description: Initial segments of the ordinals are contained in initial segments of the cumulative hierarchy. (Contributed by FL, 20-Apr-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
onssr1 (𝐴 ∈ dom 𝑅1 β†’ 𝐴 βŠ† (𝑅1β€˜π΄))

Proof of Theorem onssr1
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r1funlim 9783 . . . . . . . . . 10 (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
21simpri 485 . . . . . . . . 9 Lim dom 𝑅1
3 limord 6423 . . . . . . . . 9 (Lim dom 𝑅1 β†’ Ord dom 𝑅1)
4 ordtr1 6406 . . . . . . . . 9 (Ord dom 𝑅1 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑅1) β†’ π‘₯ ∈ dom 𝑅1))
52, 3, 4mp2b 10 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑅1) β†’ π‘₯ ∈ dom 𝑅1)
65ancoms 458 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ dom 𝑅1)
7 rankonidlem 9845 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ dom 𝑅1 β†’ (π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) ∧ (rankβ€˜π‘₯) = π‘₯))
86, 7syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) ∧ (rankβ€˜π‘₯) = π‘₯))
98simprd 495 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (rankβ€˜π‘₯) = π‘₯)
10 simpr 484 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
119, 10eqeltrd 2829 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (rankβ€˜π‘₯) ∈ 𝐴)
128simpld 494 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On))
13 simpl 482 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ dom 𝑅1)
14 rankr1ag 9819 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑅1) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑅1β€˜π΄) ↔ (rankβ€˜π‘₯) ∈ 𝐴))
1512, 13, 14syl2anc 583 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑅1β€˜π΄) ↔ (rankβ€˜π‘₯) ∈ 𝐴))
1611, 15mpbird 257 . . 3 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ (𝑅1β€˜π΄))
1716ex 412 . 2 (𝐴 ∈ dom 𝑅1 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ π‘₯ ∈ (𝑅1β€˜π΄)))
1817ssrdv 3984 1 (𝐴 ∈ dom 𝑅1 β†’ 𝐴 βŠ† (𝑅1β€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   βŠ† wss 3945  βˆͺ cuni 4903  dom cdm 5672   β€œ cima 5675  Ord word 6362  Oncon0 6363  Lim wlim 6364  Fun wfun 6536  β€˜cfv 6542  π‘…1cr1 9779  rankcrnk 9780
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-r1 9781  df-rank 9782
This theorem is referenced by:  rankr1id  9879  ackbij2  10260  wunom  10737  r1limwun  10753  inar1  10792  r1tskina  10799  r1rankcld  43662
  Copyright terms: Public domain W3C validator