Theorem onssr1 9783

Description: Initial segments of the ordinals are contained in initial segments of the cumulative hierarchy. (Contributed by FL, 20-Apr-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
onssr1	⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → 𝐴 ⊆ (𝑅1‘𝐴))

Proof of Theorem onssr1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r1funlim 9718	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
2	1	simpri 489	. . . . . . . . 9 ⊢ Lim dom 𝑅1
3		limord 6402	. . . . . . . . 9 ⊢ (Lim dom 𝑅1 → Ord dom 𝑅1)
4		ordtr1 6385	. . . . . . . . 9 ⊢ (Ord dom 𝑅1 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑅1) → 𝑥 ∈ dom 𝑅1))
5	2, 3, 4	mp2b 10	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑅1) → 𝑥 ∈ dom 𝑅1)
6	5	ancoms 462	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ dom 𝑅1)
7		rankonidlem 9780	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ dom 𝑅1 → (𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ (rank‘𝑥) = 𝑥))
8	6, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ (rank‘𝑥) = 𝑥))
9	8	simprd 499	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (rank‘𝑥) = 𝑥)
10		simpr 488	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
11	9, 10	eqeltrd 2861	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (rank‘𝑥) ∈ 𝐴)
12	8	simpld 498	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
13		simpl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ dom 𝑅1)
14		rankr1ag 9754	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑅1) → (𝑥 ∈ (𝑅1‘𝐴) ↔ (rank‘𝑥) ∈ 𝐴))
15	12, 13, 14	syl2anc 593	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ (𝑅1‘𝐴) ↔ (rank‘𝑥) ∈ 𝐴))
16	11, 15	mpbird 259	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝐴))
17	16	ex 416	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝐴)))
18	17	ssrdv 3940	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → 𝐴 ⊆ (𝑅1‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ⊆ wss 3902  ∪ cuni 4862  dom cdm 5643   “ cima 5646  Ord word 6340  Oncon0 6341  Lim wlim 6342  Fun wfun 6510  ‘cfv 6516  𝑅₁cr1 9714  rankcrnk 9715

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-ov 7394  df-om 7842  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-r1 9716  df-rank 9717

This theorem is referenced by:  rankr1id  9814  ackbij2  10192  wunom  10672  r1limwun  10688  inar1  10727  r1tskina  10734  r1rankcld  44768