Theorem ontr1 6372

Description: Transitive law for ordinal numbers. Theorem 7M(b) of [Enderton] p. 192. Theorem 1.9(ii) of [Schloeder] p. 1. (Contributed by NM, 11-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
ontr1	⊢ (𝐶 ∈ On → ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐶))

Proof of Theorem ontr1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 6335	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ On → Ord 𝐶)
2		ordtr1 6369	. 2 ⊢ (Ord 𝐶 → ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐶))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐶 ∈ On → ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  Ord word 6324  Oncon0 6325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-tru 1545  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ral 3053  df-v 3444  df-ss 3920  df-uni 4866  df-tr 5208  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-ord 6328  df-on 6329

This theorem is referenced by:  epweon  7730  smoiun  8303  dif20el  8442  oeordi  8525  omabs  8589  omsmolem  8595  naddel12  8638  naddsuc2  8639  cofsmo  10191  cfsmolem  10192  inar1  10698  grur1a  10742  nosupno  27683  nosupbnd2lem1  27695  noinfno  27698  noinfbnd2lem1  27710  lrrecpo  27949  addsproplem2  27978  r1elcl  35275  onexoegt  43601  oneltr  43613  oaun3lem1  43731  nadd2rabtr  43741  naddwordnexlem0  43753  oawordex3  43757  naddwordnexlem4  43758