Theorem ontr1 6409

Description: Transitive law for ordinal numbers. Theorem 7M(b) of [Enderton] p. 192. Theorem 1.9(ii) of [Schloeder] p. 1. (Contributed by NM, 11-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
ontr1	⊢ (𝐶 ∈ On → ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐶))

Proof of Theorem ontr1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 6371	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ On → Ord 𝐶)
2		ordtr1 6406	. 2 ⊢ (Ord 𝐶 → ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐶))
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝐶 ∈ On → ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2149  Ord word 6360  Oncon0 6361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-ext 2741

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-tru 1570  df-ex 1807  df-sb 2098  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-ral 3086  df-v 3465  df-ss 3930  df-uni 4877  df-tr 5223  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-ord 6364  df-on 6365

This theorem is referenced by:  epweon  7774  smoiun  8348  dif20el  8490  oeordi  8573  omabs  8637  omsmolem  8643  naddel12  8687  naddsuc2  8688  cofsmo  10253  cfsmolem  10254  inar1  10760  grur1a  10804  nosupno  27833  nosupbnd2lem1  27845  noinfno  27848  noinfbnd2lem1  27860  lrrecpo  28100  addsproplem2  28129  r1elcl  35434  onexoegt  43863  oneltr  43875  oaun3lem1  43993  nadd2rabtr  44003  naddwordnexlem0  44015  oawordex3  44019  naddwordnexlem4  44020