Theorem ontr1 6365

Description: Transitive law for ordinal numbers. Theorem 7M(b) of [Enderton] p. 192. Theorem 1.9(ii) of [Schloeder] p. 1. (Contributed by NM, 11-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
ontr1	⊢ (𝐶 ∈ On → ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐶))

Proof of Theorem ontr1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 6328	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ On → Ord 𝐶)
2		ordtr1 6362	. 2 ⊢ (Ord 𝐶 → ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐶))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐶 ∈ On → ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  Ord word 6317  Oncon0 6318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-tru 1545  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ral 3053  df-v 3432  df-ss 3907  df-uni 4852  df-tr 5194  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-ord 6321  df-on 6322

This theorem is referenced by:  epweon  7723  smoiun  8295  dif20el  8434  oeordi  8517  omabs  8581  omsmolem  8587  naddel12  8630  naddsuc2  8631  cofsmo  10185  cfsmolem  10186  inar1  10692  grur1a  10736  nosupno  27684  nosupbnd2lem1  27696  noinfno  27699  noinfbnd2lem1  27711  lrrecpo  27950  addsproplem2  27979  r1elcl  35260  onexoegt  43693  oneltr  43705  oaun3lem1  43823  nadd2rabtr  43833  naddwordnexlem0  43845  oawordex3  43849  naddwordnexlem4  43850