Theorem cofsmo 9685

Description: Any cofinal map implies the existence of a strictly monotone cofinal map with a domain no larger than the original. Proposition 11.7 of [TakeutiZaring] p. 101. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cofsmo.1	⊢ 𝐶 = {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑓‘𝑤) ∈ (𝑓‘𝑦)}
cofsmo.2	⊢ 𝐾 = ∩ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑥)}
cofsmo.3	⊢ 𝑂 = OrdIso( E , 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
cofsmo	⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) → (∃𝑓(𝑓:𝐵⟶𝐴 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)) → ∃𝑥 ∈ suc 𝐵∃𝑔(𝑔:𝑥⟶𝐴 ∧ Smo 𝑔 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑣 ∈ 𝑥 𝑧 ⊆ (𝑔‘𝑣))))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑣,𝑤,𝑥,𝑧,𝐴   𝑦,𝑓,𝐵,𝑣,𝑤,𝑥,𝑧   𝑣,𝐶   𝑣,𝐾,𝑤,𝑦   𝑔,𝑂,𝑣,𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑔)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑓,𝑔)   𝐾(𝑥,𝑧,𝑓,𝑔)   𝑂(𝑦,𝑤,𝑓)

Proof of Theorem cofsmo

Dummy variables 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cofsmo.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐶 = {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑓‘𝑤) ∈ (𝑓‘𝑦)}
2	1	ssrab3 4057	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐶 ⊆ 𝐵
3		ssexg 5220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ On) → 𝐶 ∈ V)
4	2, 3	mpan 688	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ On → 𝐶 ∈ V)
5		onss 7499	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ On → 𝐵 ⊆ On)
6	2, 5	sstrid 3978	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ On → 𝐶 ⊆ On)
7		epweon 7491	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ E We On
8		wess 5537	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 ⊆ On → ( E We On → E We 𝐶))
9	6, 7, 8	mpisyl 21	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ On → E We 𝐶)
10		cofsmo.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑂 = OrdIso( E , 𝐶)
11	10	oiiso 8995	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ E We 𝐶) → 𝑂 Isom E , E (dom 𝑂, 𝐶))
12	4, 9, 11	syl2anc 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ On → 𝑂 Isom E , E (dom 𝑂, 𝐶))
13	12	ad2antlr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑓:𝐵⟶𝐴) → 𝑂 Isom E , E (dom 𝑂, 𝐶))
14		isof1o 7070	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑂 Isom E , E (dom 𝑂, 𝐶) → 𝑂:dom 𝑂–1-1-onto→𝐶)
15		f1ofo 6617	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑂:dom 𝑂–1-1-onto→𝐶 → 𝑂:dom 𝑂–onto→𝐶)
16	13, 14, 15	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑓:𝐵⟶𝐴) → 𝑂:dom 𝑂–onto→𝐶)
17		fof 6585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑂:dom 𝑂–onto→𝐶 → 𝑂:dom 𝑂⟶𝐶)
18		fss 6522	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑂:dom 𝑂⟶𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵) → 𝑂:dom 𝑂⟶𝐵)
19	17, 2, 18	sylancl 588	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑂:dom 𝑂–onto→𝐶 → 𝑂:dom 𝑂⟶𝐵)
20	16, 19	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑓:𝐵⟶𝐴) → 𝑂:dom 𝑂⟶𝐵)
21	10	oion 8994	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ V → dom 𝑂 ∈ On)
22	4, 21	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ On → dom 𝑂 ∈ On)
23	22	ad2antlr 725	. . . . . . . 8 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑓:𝐵⟶𝐴) → dom 𝑂 ∈ On)
24		simplr 767	. . . . . . . 8 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑓:𝐵⟶𝐴) → 𝐵 ∈ On)
25		eloni 6196	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (dom 𝑂 ∈ On → Ord dom 𝑂)
26		smoiso2 8000	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Ord dom 𝑂 ∧ 𝐶 ⊆ On) → ((𝑂:dom 𝑂–onto→𝐶 ∧ Smo 𝑂) ↔ 𝑂 Isom E , E (dom 𝑂, 𝐶)))
27	25, 6, 26	syl2an 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((dom 𝑂 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝑂:dom 𝑂–onto→𝐶 ∧ Smo 𝑂) ↔ 𝑂 Isom E , E (dom 𝑂, 𝐶)))
28	27	biimpar 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((dom 𝑂 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑂 Isom E , E (dom 𝑂, 𝐶)) → (𝑂:dom 𝑂–onto→𝐶 ∧ Smo 𝑂))
29	28	simprd 498	. . . . . . . 8 ⊢ (((dom 𝑂 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑂 Isom E , E (dom 𝑂, 𝐶)) → Smo 𝑂)
30	23, 24, 13, 29	syl21anc 835	. . . . . . 7 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑓:𝐵⟶𝐴) → Smo 𝑂)
31		eloni 6196	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
32	31	ad2antlr 725	. . . . . . 7 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑓:𝐵⟶𝐴) → Ord 𝐵)
33		smorndom 7999	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑂:dom 𝑂⟶𝐵 ∧ Smo 𝑂 ∧ Ord 𝐵) → dom 𝑂 ⊆ 𝐵)
34	20, 30, 32, 33	syl3anc 1367	. . . . . 6 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑓:𝐵⟶𝐴) → dom 𝑂 ⊆ 𝐵)
35		onsssuc 6273	. . . . . . 7 ⊢ ((dom 𝑂 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (dom 𝑂 ⊆ 𝐵 ↔ dom 𝑂 ∈ suc 𝐵))
36	23, 24, 35	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑓:𝐵⟶𝐴) → (dom 𝑂 ⊆ 𝐵 ↔ dom 𝑂 ∈ suc 𝐵))
37	34, 36	mpbid 234	. . . . 5 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑓:𝐵⟶𝐴) → dom 𝑂 ∈ suc 𝐵)
38	37	adantrr 715	. . . 4 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑓:𝐵⟶𝐴 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤))) → dom 𝑂 ∈ suc 𝐵)
39		vex 3498	. . . . . 6 ⊢ 𝑓 ∈ V
40	10	oiexg 8993	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ V → 𝑂 ∈ V)
41	4, 40	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ On → 𝑂 ∈ V)
42	41	ad2antlr 725	. . . . . 6 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑓:𝐵⟶𝐴 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤))) → 𝑂 ∈ V)
43		coexg 7628	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ V ∧ 𝑂 ∈ V) → (𝑓 ∘ 𝑂) ∈ V)
44	39, 42, 43	sylancr 589	. . . . 5 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑓:𝐵⟶𝐴 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤))) → (𝑓 ∘ 𝑂) ∈ V)
45		simprl 769	. . . . . . 7 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑓:𝐵⟶𝐴 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤))) → 𝑓:𝐵⟶𝐴)
46	20	adantrr 715	. . . . . . 7 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑓:𝐵⟶𝐴 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤))) → 𝑂:dom 𝑂⟶𝐵)
47		fco 6526	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝑂:dom 𝑂⟶𝐵) → (𝑓 ∘ 𝑂):dom 𝑂⟶𝐴)
48	45, 46, 47	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑓:𝐵⟶𝐴 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤))) → (𝑓 ∘ 𝑂):dom 𝑂⟶𝐴)
49		simpr 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑓:𝐵⟶𝐴) → 𝑓:𝐵⟶𝐴)
50	49, 20, 47	syl2anc 586	. . . . . . . 8 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑓:𝐵⟶𝐴) → (𝑓 ∘ 𝑂):dom 𝑂⟶𝐴)
51		ordsson 7498	. . . . . . . . 9 ⊢ (Ord 𝐴 → 𝐴 ⊆ On)
52	51	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑓:𝐵⟶𝐴) → 𝐴 ⊆ On)
53	23, 25	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑓:𝐵⟶𝐴) → Ord dom 𝑂)
54	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑓:𝐵⟶𝐴) → 𝑂:dom 𝑂⟶𝐶)
55		simpl 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑠 ∈ dom 𝑂 ∧ 𝑡 ∈ 𝑠) → 𝑠 ∈ dom 𝑂)
56		ffvelrn 6844	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑂:dom 𝑂⟶𝐶 ∧ 𝑠 ∈ dom 𝑂) → (𝑂‘𝑠) ∈ 𝐶)
57	54, 55, 56	syl2an 597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑓:𝐵⟶𝐴) ∧ (𝑠 ∈ dom 𝑂 ∧ 𝑡 ∈ 𝑠)) → (𝑂‘𝑠) ∈ 𝐶)
58		ffn 6509	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑂:dom 𝑂⟶𝐶 → 𝑂 Fn dom 𝑂)
59	16, 17, 58	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑓:𝐵⟶𝐴) → 𝑂 Fn dom 𝑂)
60	59, 30	jca 514	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑓:𝐵⟶𝐴) → (𝑂 Fn dom 𝑂 ∧ Smo 𝑂))
61		smoel2 7994	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑂 Fn dom 𝑂 ∧ Smo 𝑂) ∧ (𝑠 ∈ dom 𝑂 ∧ 𝑡 ∈ 𝑠)) → (𝑂‘𝑡) ∈ (𝑂‘𝑠))
62	60, 61	sylan 582	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑓:𝐵⟶𝐴) ∧ (𝑠 ∈ dom 𝑂 ∧ 𝑡 ∈ 𝑠)) → (𝑂‘𝑡) ∈ (𝑂‘𝑠))
63		fveq2 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = (𝑂‘𝑠) → (𝑓‘𝑧) = (𝑓‘(𝑂‘𝑠)))
64	63	eleq2d 2898	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = (𝑂‘𝑠) → ((𝑓‘𝑥) ∈ (𝑓‘𝑧) ↔ (𝑓‘𝑥) ∈ (𝑓‘(𝑂‘𝑠))))
65	64	raleqbi1dv 3404	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = (𝑂‘𝑠) → (∀𝑥 ∈ 𝑧 (𝑓‘𝑥) ∈ (𝑓‘𝑧) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑂‘𝑠)(𝑓‘𝑥) ∈ (𝑓‘(𝑂‘𝑠))))
66		fveq2 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑓‘𝑤) = (𝑓‘𝑥))
67	66	eleq1d 2897	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → ((𝑓‘𝑤) ∈ (𝑓‘𝑦) ↔ (𝑓‘𝑥) ∈ (𝑓‘𝑦)))
68	67	cbvralvw 3450	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑓‘𝑤) ∈ (𝑓‘𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑦 (𝑓‘𝑥) ∈ (𝑓‘𝑦))
69		fveq2 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑓‘𝑦) = (𝑓‘𝑧))
70	69	eleq2d 2898	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝑓‘𝑥) ∈ (𝑓‘𝑦) ↔ (𝑓‘𝑥) ∈ (𝑓‘𝑧)))
71	70	raleqbi1dv 3404	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (∀𝑥 ∈ 𝑦 (𝑓‘𝑥) ∈ (𝑓‘𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑧 (𝑓‘𝑥) ∈ (𝑓‘𝑧)))
72	68, 71	syl5bb 285	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑓‘𝑤) ∈ (𝑓‘𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑧 (𝑓‘𝑥) ∈ (𝑓‘𝑧)))
73	72	cbvrabv 3492	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑓‘𝑤) ∈ (𝑓‘𝑦)} = {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑧 (𝑓‘𝑥) ∈ (𝑓‘𝑧)}
74	1, 73	eqtri 2844	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐶 = {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑧 (𝑓‘𝑥) ∈ (𝑓‘𝑧)}
75	65, 74	elrab2 3683	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑂‘𝑠) ∈ 𝐶 ↔ ((𝑂‘𝑠) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑂‘𝑠)(𝑓‘𝑥) ∈ (𝑓‘(𝑂‘𝑠))))
76	75	simprbi 499	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑂‘𝑠) ∈ 𝐶 → ∀𝑥 ∈ (𝑂‘𝑠)(𝑓‘𝑥) ∈ (𝑓‘(𝑂‘𝑠)))
77		fveq2 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (𝑂‘𝑡) → (𝑓‘𝑥) = (𝑓‘(𝑂‘𝑡)))
78	77	eleq1d 2897	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑂‘𝑡) → ((𝑓‘𝑥) ∈ (𝑓‘(𝑂‘𝑠)) ↔ (𝑓‘(𝑂‘𝑡)) ∈ (𝑓‘(𝑂‘𝑠))))
79	78	rspccv 3620	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝑂‘𝑠)(𝑓‘𝑥) ∈ (𝑓‘(𝑂‘𝑠)) → ((𝑂‘𝑡) ∈ (𝑂‘𝑠) → (𝑓‘(𝑂‘𝑡)) ∈ (𝑓‘(𝑂‘𝑠))))
80	76, 79	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑂‘𝑠) ∈ 𝐶 → ((𝑂‘𝑡) ∈ (𝑂‘𝑠) → (𝑓‘(𝑂‘𝑡)) ∈ (𝑓‘(𝑂‘𝑠))))
81	57, 62, 80	sylc 65	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑓:𝐵⟶𝐴) ∧ (𝑠 ∈ dom 𝑂 ∧ 𝑡 ∈ 𝑠)) → (𝑓‘(𝑂‘𝑡)) ∈ (𝑓‘(𝑂‘𝑠)))
82		ordtr1 6229	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Ord dom 𝑂 → ((𝑡 ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 ∈ dom 𝑂) → 𝑡 ∈ dom 𝑂))
83	82	ancomsd 468	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Ord dom 𝑂 → ((𝑠 ∈ dom 𝑂 ∧ 𝑡 ∈ 𝑠) → 𝑡 ∈ dom 𝑂))
84	23, 25, 83	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑓:𝐵⟶𝐴) → ((𝑠 ∈ dom 𝑂 ∧ 𝑡 ∈ 𝑠) → 𝑡 ∈ dom 𝑂))
85	84	imp 409	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑓:𝐵⟶𝐴) ∧ (𝑠 ∈ dom 𝑂 ∧ 𝑡 ∈ 𝑠)) → 𝑡 ∈ dom 𝑂)
86		fvco3 6755	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑂:dom 𝑂⟶𝐵 ∧ 𝑡 ∈ dom 𝑂) → ((𝑓 ∘ 𝑂)‘𝑡) = (𝑓‘(𝑂‘𝑡)))
87	20, 85, 86	syl2an2r 683	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑓:𝐵⟶𝐴) ∧ (𝑠 ∈ dom 𝑂 ∧ 𝑡 ∈ 𝑠)) → ((𝑓 ∘ 𝑂)‘𝑡) = (𝑓‘(𝑂‘𝑡)))
88		simprl 769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑓:𝐵⟶𝐴) ∧ (𝑠 ∈ dom 𝑂 ∧ 𝑡 ∈ 𝑠)) → 𝑠 ∈ dom 𝑂)
89		fvco3 6755	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑂:dom 𝑂⟶𝐵 ∧ 𝑠 ∈ dom 𝑂) → ((𝑓 ∘ 𝑂)‘𝑠) = (𝑓‘(𝑂‘𝑠)))
90	20, 88, 89	syl2an2r 683	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑓:𝐵⟶𝐴) ∧ (𝑠 ∈ dom 𝑂 ∧ 𝑡 ∈ 𝑠)) → ((𝑓 ∘ 𝑂)‘𝑠) = (𝑓‘(𝑂‘𝑠)))
91	81, 87, 90	3eltr4d 2928	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑓:𝐵⟶𝐴) ∧ (𝑠 ∈ dom 𝑂 ∧ 𝑡 ∈ 𝑠)) → ((𝑓 ∘ 𝑂)‘𝑡) ∈ ((𝑓 ∘ 𝑂)‘𝑠))
92	91	ralrimivva 3191	. . . . . . . 8 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑓:𝐵⟶𝐴) → ∀𝑠 ∈ dom 𝑂∀𝑡 ∈ 𝑠 ((𝑓 ∘ 𝑂)‘𝑡) ∈ ((𝑓 ∘ 𝑂)‘𝑠))
93		issmo2 7980	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∘ 𝑂):dom 𝑂⟶𝐴 → ((𝐴 ⊆ On ∧ Ord dom 𝑂 ∧ ∀𝑠 ∈ dom 𝑂∀𝑡 ∈ 𝑠 ((𝑓 ∘ 𝑂)‘𝑡) ∈ ((𝑓 ∘ 𝑂)‘𝑠)) → Smo (𝑓 ∘ 𝑂)))
94	93	imp 409	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑓 ∘ 𝑂):dom 𝑂⟶𝐴 ∧ (𝐴 ⊆ On ∧ Ord dom 𝑂 ∧ ∀𝑠 ∈ dom 𝑂∀𝑡 ∈ 𝑠 ((𝑓 ∘ 𝑂)‘𝑡) ∈ ((𝑓 ∘ 𝑂)‘𝑠))) → Smo (𝑓 ∘ 𝑂))
95	50, 52, 53, 92, 94	syl13anc 1368	. . . . . . 7 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑓:𝐵⟶𝐴) → Smo (𝑓 ∘ 𝑂))
96	95	adantrr 715	. . . . . 6 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑓:𝐵⟶𝐴 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤))) → Smo (𝑓 ∘ 𝑂))
97		rabn0 4339	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ({𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤))
98		ssrab2 4056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)} ⊆ 𝐵
99	98, 5	sstrid 3978	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐵 ∈ On → {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)} ⊆ On)
100		cofsmo.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 𝐾 = ∩ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑥)}
101		fveq2 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝑤))
102	101	sseq2d 3999	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑥) ↔ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)))
103	102	cbvrabv 3492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑥)} = {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)}
104	103	inteqi 4873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ∩ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑥)} = ∩ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)}
105	100, 104	eqtri 2844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝐾 = ∩ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)}
106		onint 7504	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (({𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)} ⊆ On ∧ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)} ≠ ∅) → ∩ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)} ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)})
107	105, 106	eqeltrid 2917	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (({𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)} ⊆ On ∧ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)} ≠ ∅) → 𝐾 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)})
108	99, 107	sylan 582	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)} ≠ ∅) → 𝐾 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)})
109	97, 108	sylan2br 596	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)) → 𝐾 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)})
110		fveq2 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑤 = 𝐾 → (𝑓‘𝑤) = (𝑓‘𝐾))
111	110	sseq2d 3999	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 = 𝐾 → (𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤) ↔ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝐾)))
112	111	elrab 3680	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)} ↔ (𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝐾)))
113	109, 112	sylib 220	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)) → (𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝐾)))
114	113	ex 415	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 ∈ On → (∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤) → (𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝐾))))
115	114	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) → (∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤) → (𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝐾))))
116		simpr2 1191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑓:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝐾))) → 𝐾 ∈ 𝐵)
117		simp3 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑓:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝐾)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐾) → 𝑤 ∈ 𝐾)
118	105	eleq2i 2904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐾 ↔ 𝑤 ∈ ∩ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)})
119		simp21 1202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑓:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝐾)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐾) → 𝑓:𝐵⟶𝐴)
120		simp1l 1193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑓:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝐾)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐾) → Ord 𝐴)
121	120, 51	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑓:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝐾)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐾) → 𝐴 ⊆ On)
122	119, 121	fssd 6523	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑓:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝐾)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐾) → 𝑓:𝐵⟶On)
123		simp22 1203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑓:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝐾)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐾) → 𝐾 ∈ 𝐵)
124	122, 123	ffvelrnd 6847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑓:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝐾)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐾) → (𝑓‘𝐾) ∈ On)
125		simp1r 1194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑓:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝐾)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐾) → 𝐵 ∈ On)
126		ontr1 6232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝐵 ∈ On → ((𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝐾 ∈ 𝐵) → 𝑤 ∈ 𝐵))
127	126	3impib 1112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝐾 ∈ 𝐵) → 𝑤 ∈ 𝐵)
128	125, 117, 123, 127	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑓:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝐾)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐾) → 𝑤 ∈ 𝐵)
129	122, 128	ffvelrnd 6847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑓:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝐾)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐾) → (𝑓‘𝑤) ∈ On)
130		ontri1 6220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑓‘𝐾) ∈ On ∧ (𝑓‘𝑤) ∈ On) → ((𝑓‘𝐾) ⊆ (𝑓‘𝑤) ↔ ¬ (𝑓‘𝑤) ∈ (𝑓‘𝐾)))
131	124, 129, 130	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑓:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝐾)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐾) → ((𝑓‘𝐾) ⊆ (𝑓‘𝑤) ↔ ¬ (𝑓‘𝑤) ∈ (𝑓‘𝐾)))
132		simp23 1204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑓:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝐾)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐾) → 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝐾))
133		simpl1 1187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝐾 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ⊆ (𝑓‘𝐾) ∧ (𝑓‘𝐾) ⊆ (𝑓‘𝑤))) → 𝐵 ∈ On)
134	133, 99	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝐾 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ⊆ (𝑓‘𝐾) ∧ (𝑓‘𝐾) ⊆ (𝑓‘𝑤))) → {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)} ⊆ On)
135		sstr 3975	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑧 ⊆ (𝑓‘𝐾) ∧ (𝑓‘𝐾) ⊆ (𝑓‘𝑤)) → 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤))
136	127, 135	anim12i 614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝐾 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ⊆ (𝑓‘𝐾) ∧ (𝑓‘𝐾) ⊆ (𝑓‘𝑤))) → (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)))
137		rabid 3379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)} ↔ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)))
138	136, 137	sylibr 236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝐾 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ⊆ (𝑓‘𝐾) ∧ (𝑓‘𝐾) ⊆ (𝑓‘𝑤))) → 𝑤 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)})
139		onnmin 7512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (({𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)} ⊆ On ∧ 𝑤 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)}) → ¬ 𝑤 ∈ ∩ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)})
140	134, 138, 139	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝐾 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ⊆ (𝑓‘𝐾) ∧ (𝑓‘𝐾) ⊆ (𝑓‘𝑤))) → ¬ 𝑤 ∈ ∩ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)})
141	140	expr 459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝐾 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝐾)) → ((𝑓‘𝐾) ⊆ (𝑓‘𝑤) → ¬ 𝑤 ∈ ∩ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)}))
142	125, 117, 123, 132, 141	syl31anc 1369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑓:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝐾)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐾) → ((𝑓‘𝐾) ⊆ (𝑓‘𝑤) → ¬ 𝑤 ∈ ∩ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)}))
143	131, 142	sylbird 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑓:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝐾)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐾) → (¬ (𝑓‘𝑤) ∈ (𝑓‘𝐾) → ¬ 𝑤 ∈ ∩ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)}))
144	143	con4d 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑓:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝐾)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐾) → (𝑤 ∈ ∩ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)} → (𝑓‘𝑤) ∈ (𝑓‘𝐾)))
145	118, 144	syl5bi 244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑓:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝐾)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐾) → (𝑤 ∈ 𝐾 → (𝑓‘𝑤) ∈ (𝑓‘𝐾)))
146	117, 145	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑓:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝐾)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐾) → (𝑓‘𝑤) ∈ (𝑓‘𝐾))
147	146	3expia 1117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑓:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝐾))) → (𝑤 ∈ 𝐾 → (𝑓‘𝑤) ∈ (𝑓‘𝐾)))
148	147	ralrimiv 3181	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑓:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝐾))) → ∀𝑤 ∈ 𝐾 (𝑓‘𝑤) ∈ (𝑓‘𝐾))
149		fveq2 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = 𝐾 → (𝑓‘𝑦) = (𝑓‘𝐾))
150	149	eleq2d 2898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = 𝐾 → ((𝑓‘𝑤) ∈ (𝑓‘𝑦) ↔ (𝑓‘𝑤) ∈ (𝑓‘𝐾)))
151	150	raleqbi1dv 3404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = 𝐾 → (∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑓‘𝑤) ∈ (𝑓‘𝑦) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐾 (𝑓‘𝑤) ∈ (𝑓‘𝐾)))
152	151, 1	elrab2 3683	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐶 ↔ (𝐾 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐾 (𝑓‘𝑤) ∈ (𝑓‘𝐾)))
153	116, 148, 152	sylanbrc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑓:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝐾))) → 𝐾 ∈ 𝐶)
154	153	expcom 416	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑓:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝐾)) → ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) → 𝐾 ∈ 𝐶))
155	154	3expib 1118	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓:𝐵⟶𝐴 → ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝐾)) → ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) → 𝐾 ∈ 𝐶)))
156	155	com13 88	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝐾)) → (𝑓:𝐵⟶𝐴 → 𝐾 ∈ 𝐶)))
157	115, 156	syld 47	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) → (∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤) → (𝑓:𝐵⟶𝐴 → 𝐾 ∈ 𝐶)))
158	157	com23 86	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝑓:𝐵⟶𝐴 → (∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤) → 𝐾 ∈ 𝐶)))
159	158	imp31 420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑓:𝐵⟶𝐴) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)) → 𝐾 ∈ 𝐶)
160		foelrn 6867	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑂:dom 𝑂–onto→𝐶 ∧ 𝐾 ∈ 𝐶) → ∃𝑣 ∈ dom 𝑂 𝐾 = (𝑂‘𝑣))
161	16, 159, 160	syl2an2r 683	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑓:𝐵⟶𝐴) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)) → ∃𝑣 ∈ dom 𝑂 𝐾 = (𝑂‘𝑣))
162		eleq1 2900	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾 = (𝑂‘𝑣) → (𝐾 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)} ↔ (𝑂‘𝑣) ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)}))
163	162	biimpcd 251	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)} → (𝐾 = (𝑂‘𝑣) → (𝑂‘𝑣) ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)}))
164		fveq2 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = (𝑂‘𝑣) → (𝑓‘𝑥) = (𝑓‘(𝑂‘𝑣)))
165	164	sseq2d 3999	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = (𝑂‘𝑣) → (𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑥) ↔ 𝑧 ⊆ (𝑓‘(𝑂‘𝑣))))
166	66	sseq2d 3999	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤) ↔ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑥)))
167	166	cbvrabv 3492	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑥)}
168	165, 167	elrab2 3683	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑂‘𝑣) ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)} ↔ ((𝑂‘𝑣) ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑓‘(𝑂‘𝑣))))
169	168	simprbi 499	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑂‘𝑣) ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)} → 𝑧 ⊆ (𝑓‘(𝑂‘𝑣)))
170	163, 169	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)} → (𝐾 = (𝑂‘𝑣) → 𝑧 ⊆ (𝑓‘(𝑂‘𝑣))))
171	109, 170	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)) → (𝐾 = (𝑂‘𝑣) → 𝑧 ⊆ (𝑓‘(𝑂‘𝑣))))
172	171	ad5ant24 759	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑓:𝐵⟶𝐴) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)) ∧ 𝑣 ∈ dom 𝑂) → (𝐾 = (𝑂‘𝑣) → 𝑧 ⊆ (𝑓‘(𝑂‘𝑣))))
173	20	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑓:𝐵⟶𝐴) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)) ∧ 𝑣 ∈ dom 𝑂) → 𝑂:dom 𝑂⟶𝐵)
174		fvco3 6755	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑂:dom 𝑂⟶𝐵 ∧ 𝑣 ∈ dom 𝑂) → ((𝑓 ∘ 𝑂)‘𝑣) = (𝑓‘(𝑂‘𝑣)))
175	173, 174	sylancom 590	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑓:𝐵⟶𝐴) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)) ∧ 𝑣 ∈ dom 𝑂) → ((𝑓 ∘ 𝑂)‘𝑣) = (𝑓‘(𝑂‘𝑣)))
176	175	sseq2d 3999	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑓:𝐵⟶𝐴) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)) ∧ 𝑣 ∈ dom 𝑂) → (𝑧 ⊆ ((𝑓 ∘ 𝑂)‘𝑣) ↔ 𝑧 ⊆ (𝑓‘(𝑂‘𝑣))))
177	172, 176	sylibrd 261	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑓:𝐵⟶𝐴) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)) ∧ 𝑣 ∈ dom 𝑂) → (𝐾 = (𝑂‘𝑣) → 𝑧 ⊆ ((𝑓 ∘ 𝑂)‘𝑣)))
178	177	reximdva 3274	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑓:𝐵⟶𝐴) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)) → (∃𝑣 ∈ dom 𝑂 𝐾 = (𝑂‘𝑣) → ∃𝑣 ∈ dom 𝑂 𝑧 ⊆ ((𝑓 ∘ 𝑂)‘𝑣)))
179	161, 178	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑓:𝐵⟶𝐴) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)) → ∃𝑣 ∈ dom 𝑂 𝑧 ⊆ ((𝑓 ∘ 𝑂)‘𝑣))
180	179	ex 415	. . . . . . . 8 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑓:𝐵⟶𝐴) → (∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤) → ∃𝑣 ∈ dom 𝑂 𝑧 ⊆ ((𝑓 ∘ 𝑂)‘𝑣)))
181	180	ralimdv 3178	. . . . . . 7 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑓:𝐵⟶𝐴) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑣 ∈ dom 𝑂 𝑧 ⊆ ((𝑓 ∘ 𝑂)‘𝑣)))
182	181	impr 457	. . . . . 6 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑓:𝐵⟶𝐴 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤))) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑣 ∈ dom 𝑂 𝑧 ⊆ ((𝑓 ∘ 𝑂)‘𝑣))
183	48, 96, 182	3jca 1124	. . . . 5 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑓:𝐵⟶𝐴 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤))) → ((𝑓 ∘ 𝑂):dom 𝑂⟶𝐴 ∧ Smo (𝑓 ∘ 𝑂) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑣 ∈ dom 𝑂 𝑧 ⊆ ((𝑓 ∘ 𝑂)‘𝑣)))
184		feq1 6490	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = (𝑓 ∘ 𝑂) → (𝑔:dom 𝑂⟶𝐴 ↔ (𝑓 ∘ 𝑂):dom 𝑂⟶𝐴))
185		smoeq 7981	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = (𝑓 ∘ 𝑂) → (Smo 𝑔 ↔ Smo (𝑓 ∘ 𝑂)))
186		fveq1 6664	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = (𝑓 ∘ 𝑂) → (𝑔‘𝑣) = ((𝑓 ∘ 𝑂)‘𝑣))
187	186	sseq2d 3999	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = (𝑓 ∘ 𝑂) → (𝑧 ⊆ (𝑔‘𝑣) ↔ 𝑧 ⊆ ((𝑓 ∘ 𝑂)‘𝑣)))
188	187	rexbidv 3297	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = (𝑓 ∘ 𝑂) → (∃𝑣 ∈ dom 𝑂 𝑧 ⊆ (𝑔‘𝑣) ↔ ∃𝑣 ∈ dom 𝑂 𝑧 ⊆ ((𝑓 ∘ 𝑂)‘𝑣)))
189	188	ralbidv 3197	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = (𝑓 ∘ 𝑂) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑣 ∈ dom 𝑂 𝑧 ⊆ (𝑔‘𝑣) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑣 ∈ dom 𝑂 𝑧 ⊆ ((𝑓 ∘ 𝑂)‘𝑣)))
190	184, 185, 189	3anbi123d 1432	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = (𝑓 ∘ 𝑂) → ((𝑔:dom 𝑂⟶𝐴 ∧ Smo 𝑔 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑣 ∈ dom 𝑂 𝑧 ⊆ (𝑔‘𝑣)) ↔ ((𝑓 ∘ 𝑂):dom 𝑂⟶𝐴 ∧ Smo (𝑓 ∘ 𝑂) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑣 ∈ dom 𝑂 𝑧 ⊆ ((𝑓 ∘ 𝑂)‘𝑣))))
191	44, 183, 190	spcedv 3599	. . . 4 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑓:𝐵⟶𝐴 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤))) → ∃𝑔(𝑔:dom 𝑂⟶𝐴 ∧ Smo 𝑔 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑣 ∈ dom 𝑂 𝑧 ⊆ (𝑔‘𝑣)))
192		feq2 6491	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = dom 𝑂 → (𝑔:𝑥⟶𝐴 ↔ 𝑔:dom 𝑂⟶𝐴))
193		rexeq 3407	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = dom 𝑂 → (∃𝑣 ∈ 𝑥 𝑧 ⊆ (𝑔‘𝑣) ↔ ∃𝑣 ∈ dom 𝑂 𝑧 ⊆ (𝑔‘𝑣)))
194	193	ralbidv 3197	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = dom 𝑂 → (∀𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑣 ∈ 𝑥 𝑧 ⊆ (𝑔‘𝑣) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑣 ∈ dom 𝑂 𝑧 ⊆ (𝑔‘𝑣)))
195	192, 194	3anbi13d 1434	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = dom 𝑂 → ((𝑔:𝑥⟶𝐴 ∧ Smo 𝑔 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑣 ∈ 𝑥 𝑧 ⊆ (𝑔‘𝑣)) ↔ (𝑔:dom 𝑂⟶𝐴 ∧ Smo 𝑔 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑣 ∈ dom 𝑂 𝑧 ⊆ (𝑔‘𝑣))))
196	195	exbidv 1918	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = dom 𝑂 → (∃𝑔(𝑔:𝑥⟶𝐴 ∧ Smo 𝑔 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑣 ∈ 𝑥 𝑧 ⊆ (𝑔‘𝑣)) ↔ ∃𝑔(𝑔:dom 𝑂⟶𝐴 ∧ Smo 𝑔 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑣 ∈ dom 𝑂 𝑧 ⊆ (𝑔‘𝑣))))
197	196	rspcev 3623	. . . 4 ⊢ ((dom 𝑂 ∈ suc 𝐵 ∧ ∃𝑔(𝑔:dom 𝑂⟶𝐴 ∧ Smo 𝑔 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑣 ∈ dom 𝑂 𝑧 ⊆ (𝑔‘𝑣))) → ∃𝑥 ∈ suc 𝐵∃𝑔(𝑔:𝑥⟶𝐴 ∧ Smo 𝑔 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑣 ∈ 𝑥 𝑧 ⊆ (𝑔‘𝑣)))
198	38, 191, 197	syl2anc 586	. . 3 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑓:𝐵⟶𝐴 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤))) → ∃𝑥 ∈ suc 𝐵∃𝑔(𝑔:𝑥⟶𝐴 ∧ Smo 𝑔 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑣 ∈ 𝑥 𝑧 ⊆ (𝑔‘𝑣)))
199	198	ex 415	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝑓:𝐵⟶𝐴 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)) → ∃𝑥 ∈ suc 𝐵∃𝑔(𝑔:𝑥⟶𝐴 ∧ Smo 𝑔 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑣 ∈ 𝑥 𝑧 ⊆ (𝑔‘𝑣))))
200	199	exlimdv 1930	1 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) → (∃𝑓(𝑓:𝐵⟶𝐴 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)) → ∃𝑥 ∈ suc 𝐵∃𝑔(𝑔:𝑥⟶𝐴 ∧ Smo 𝑔 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑣 ∈ 𝑥 𝑧 ⊆ (𝑔‘𝑣))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533  ∃wex 1776   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  ∀wral 3138  ∃wrex 3139  {crab 3142  Vcvv 3495   ⊆ wss 3936  ∅c0 4291  ∩ cint 4869   E cep 5459   We wwe 5508  dom cdm 5550   ∘ ccom 5554  Ord word 6185  Oncon0 6186  suc csuc 6188   Fn wfn 6345  ⟶wf 6346  –onto→wfo 6348  –1-1-onto→wf1o 6349  ‘cfv 6350   Isom wiso 6351  Smo wsmo 7976  OrdIsocoi 8967

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-isom 6359  df-riota 7108  df-wrecs 7941  df-smo 7977  df-recs 8002  df-oi 8968

This theorem is referenced by:  cfcof  9690