Theorem cofsmo 10347

Description: Any cofinal map implies the existence of a strictly monotone cofinal map with a domain no larger than the original. Proposition 11.7 of [TakeutiZaring] p. 101. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cofsmo.1	⊢ 𝐶 = {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑓‘𝑤) ∈ (𝑓‘𝑦)}
cofsmo.2	⊢ 𝐾 = ∩ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑥)}
cofsmo.3	⊢ 𝑂 = OrdIso( E , 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
cofsmo	⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) → (∃𝑓(𝑓:𝐵⟶𝐴 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)) → ∃𝑥 ∈ suc 𝐵∃𝑔(𝑔:𝑥⟶𝐴 ∧ Smo 𝑔 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑣 ∈ 𝑥 𝑧 ⊆ (𝑔‘𝑣))))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑣,𝑤,𝑥,𝑧,𝐴   𝑦,𝑓,𝐵,𝑣,𝑤,𝑥,𝑧   𝑣,𝐶   𝑣,𝐾,𝑤,𝑦   𝑔,𝑂,𝑣,𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑔)   𝐶(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑓, 𝑔)   𝐾(𝑥, 𝑧, 𝑓, 𝑔)   𝑂(𝑦, 𝑤, 𝑓)

Proof of Theorem cofsmo

Dummy variables 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cofsmo.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐶 = {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑓‘𝑤) ∈ (𝑓‘𝑦)}
2	1	ssrab3 4007	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐶 ⊆ 𝐵
3		ssexg 5280	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ On) → 𝐶 ∈ V)
4	2, 3	mpan 703	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ On → 𝐶 ∈ V)
5		onss 7799	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ On → 𝐵 ⊆ On)
6	2, 5	sstrid 3919	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ On → 𝐶 ⊆ On)
7		epweon 7789	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ E We On
8		wess 5636	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 ⊆ On → ( E We On → E We 𝐶))
9	6, 7, 8	mpisyl 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ On → E We 𝐶)
10		cofsmo.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑂 = OrdIso( E , 𝐶)
11	10	oiiso 9531	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ E We 𝐶) → 𝑂 Isom E , E (dom 𝑂, 𝐶))
12	4, 9, 11	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ On → 𝑂 Isom E , E (dom 𝑂, 𝐶))
13	12	ad2antlr 740	. . . . . . . . 9 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑓:𝐵⟶𝐴) → 𝑂 Isom E , E (dom 𝑂, 𝐶))
14		isof1o 7331	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑂 Isom E , E (dom 𝑂, 𝐶) → 𝑂:dom 𝑂–1-1-onto→𝐶)
15		f1ofo 6832	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑂:dom 𝑂–1-1-onto→𝐶 → 𝑂:dom 𝑂–onto→𝐶)
16	13, 14, 15	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑓:𝐵⟶𝐴) → 𝑂:dom 𝑂–onto→𝐶)
17		fof 6796	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑂:dom 𝑂–onto→𝐶 → 𝑂:dom 𝑂⟶𝐶)
18		fss 6726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑂:dom 𝑂⟶𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵) → 𝑂:dom 𝑂⟶𝐵)
19	17, 2, 18	sylancl 598	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑂:dom 𝑂–onto→𝐶 → 𝑂:dom 𝑂⟶𝐵)
20	16, 19	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑓:𝐵⟶𝐴) → 𝑂:dom 𝑂⟶𝐵)
21	10	oion 9530	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ V → dom 𝑂 ∈ On)
22	4, 21	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ On → dom 𝑂 ∈ On)
23	22	ad2antlr 740	. . . . . . . 8 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑓:𝐵⟶𝐴) → dom 𝑂 ∈ On)
24		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑓:𝐵⟶𝐴) → 𝐵 ∈ On)
25		eloni 6372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (dom 𝑂 ∈ On → Ord dom 𝑂)
26		smoiso2 8377	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Ord dom 𝑂 ∧ 𝐶 ⊆ On) → ((𝑂:dom 𝑂–onto→𝐶 ∧ Smo 𝑂) ↔ 𝑂 Isom E , E (dom 𝑂, 𝐶)))
27	25, 6, 26	syl2an 608	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((dom 𝑂 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝑂:dom 𝑂–onto→𝐶 ∧ Smo 𝑂) ↔ 𝑂 Isom E , E (dom 𝑂, 𝐶)))
28	27	biimpar 483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((dom 𝑂 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑂 Isom E , E (dom 𝑂, 𝐶)) → (𝑂:dom 𝑂–onto→𝐶 ∧ Smo 𝑂))
29	28	simprd 501	. . . . . . . 8 ⊢ (((dom 𝑂 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑂 Isom E , E (dom 𝑂, 𝐶)) → Smo 𝑂)
30	23, 24, 13, 29	syl21anc 851	. . . . . . 7 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑓:𝐵⟶𝐴) → Smo 𝑂)
31		eloni 6372	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
32	31	ad2antlr 740	. . . . . . 7 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑓:𝐵⟶𝐴) → Ord 𝐵)
33		smocdmdom 8376	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑂:dom 𝑂⟶𝐵 ∧ Smo 𝑂 ∧ Ord 𝐵) → dom 𝑂 ⊆ 𝐵)
34	20, 30, 32, 33	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑓:𝐵⟶𝐴) → dom 𝑂 ⊆ 𝐵)
35		onsssuc 6455	. . . . . . 7 ⊢ ((dom 𝑂 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (dom 𝑂 ⊆ 𝐵 ↔ dom 𝑂 ∈ suc 𝐵))
36	23, 24, 35	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑓:𝐵⟶𝐴) → (dom 𝑂 ⊆ 𝐵 ↔ dom 𝑂 ∈ suc 𝐵))
37	34, 36	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑓:𝐵⟶𝐴) → dom 𝑂 ∈ suc 𝐵)
38	37	adantrr 730	. . . 4 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑓:𝐵⟶𝐴 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤))) → dom 𝑂 ∈ suc 𝐵)
39		vex 3454	. . . . . 6 ⊢ 𝑓 ∈ V
40	10	oiexg 9529	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ V → 𝑂 ∈ V)
41	4, 40	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ On → 𝑂 ∈ V)
42	41	ad2antlr 740	. . . . . 6 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑓:𝐵⟶𝐴 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤))) → 𝑂 ∈ V)
43		coexg 7941	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ V ∧ 𝑂 ∈ V) → (𝑓 ∘ 𝑂) ∈ V)
44	39, 42, 43	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑓:𝐵⟶𝐴 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤))) → (𝑓 ∘ 𝑂) ∈ V)
45		simprl 783	. . . . . . 7 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑓:𝐵⟶𝐴 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤))) → 𝑓:𝐵⟶𝐴)
46	20	adantrr 730	. . . . . . 7 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑓:𝐵⟶𝐴 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤))) → 𝑂:dom 𝑂⟶𝐵)
47	45, 46	fcod 6735	. . . . . 6 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑓:𝐵⟶𝐴 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤))) → (𝑓 ∘ 𝑂):dom 𝑂⟶𝐴)
48		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑓:𝐵⟶𝐴) → 𝑓:𝐵⟶𝐴)
49	48, 20	fcod 6735	. . . . . . . 8 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑓:𝐵⟶𝐴) → (𝑓 ∘ 𝑂):dom 𝑂⟶𝐴)
50		ordsson 7797	. . . . . . . . 9 ⊢ (Ord 𝐴 → 𝐴 ⊆ On)
51	50	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑓:𝐵⟶𝐴) → 𝐴 ⊆ On)
52	23, 25	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑓:𝐵⟶𝐴) → Ord dom 𝑂)
53	16, 17	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑓:𝐵⟶𝐴) → 𝑂:dom 𝑂⟶𝐶)
54		simpl 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑠 ∈ dom 𝑂 ∧ 𝑡 ∈ 𝑠) → 𝑠 ∈ dom 𝑂)
55		ffvelcdm 7081	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑂:dom 𝑂⟶𝐶 ∧ 𝑠 ∈ dom 𝑂) → (𝑂‘𝑠) ∈ 𝐶)
56	53, 54, 55	syl2an 608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑓:𝐵⟶𝐴) ∧ (𝑠 ∈ dom 𝑂 ∧ 𝑡 ∈ 𝑠)) → (𝑂‘𝑠) ∈ 𝐶)
57		ffn 6709	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑂:dom 𝑂⟶𝐶 → 𝑂 Fn dom 𝑂)
58	16, 17, 57	3syl 19	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑓:𝐵⟶𝐴) → 𝑂 Fn dom 𝑂)
59	58, 30	jca 521	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑓:𝐵⟶𝐴) → (𝑂 Fn dom 𝑂 ∧ Smo 𝑂))
60		smoel2 8371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑂 Fn dom 𝑂 ∧ Smo 𝑂) ∧ (𝑠 ∈ dom 𝑂 ∧ 𝑡 ∈ 𝑠)) → (𝑂‘𝑡) ∈ (𝑂‘𝑠))
61	59, 60	sylan 592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑓:𝐵⟶𝐴) ∧ (𝑠 ∈ dom 𝑂 ∧ 𝑡 ∈ 𝑠)) → (𝑂‘𝑡) ∈ (𝑂‘𝑠))
62		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = (𝑂‘𝑠) → (𝑓‘𝑧) = (𝑓‘(𝑂‘𝑠)))
63	62	eleq2d 2846	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = (𝑂‘𝑠) → ((𝑓‘𝑥) ∈ (𝑓‘𝑧) ↔ (𝑓‘𝑥) ∈ (𝑓‘(𝑂‘𝑠))))
64	63	raleqbi1dv 3329	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = (𝑂‘𝑠) → (∀𝑥 ∈ 𝑧 (𝑓‘𝑥) ∈ (𝑓‘𝑧) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑂‘𝑠)(𝑓‘𝑥) ∈ (𝑓‘(𝑂‘𝑠))))
65		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑓‘𝑤) = (𝑓‘𝑥))
66	65	eleq1d 2845	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → ((𝑓‘𝑤) ∈ (𝑓‘𝑦) ↔ (𝑓‘𝑥) ∈ (𝑓‘𝑦)))
67	66	cbvralvw 3240	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑓‘𝑤) ∈ (𝑓‘𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑦 (𝑓‘𝑥) ∈ (𝑓‘𝑦))
68		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑓‘𝑦) = (𝑓‘𝑧))
69	68	eleq2d 2846	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝑓‘𝑥) ∈ (𝑓‘𝑦) ↔ (𝑓‘𝑥) ∈ (𝑓‘𝑧)))
70	69	raleqbi1dv 3329	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (∀𝑥 ∈ 𝑦 (𝑓‘𝑥) ∈ (𝑓‘𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑧 (𝑓‘𝑥) ∈ (𝑓‘𝑧)))
71	67, 70	bitrid 286	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑓‘𝑤) ∈ (𝑓‘𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑧 (𝑓‘𝑥) ∈ (𝑓‘𝑧)))
72	71	cbvrabv 3422	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑓‘𝑤) ∈ (𝑓‘𝑦)} = {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑧 (𝑓‘𝑥) ∈ (𝑓‘𝑧)}
73	1, 72	eqtri 2783	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐶 = {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑧 (𝑓‘𝑥) ∈ (𝑓‘𝑧)}
74	64, 73	elrab2 3648	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑂‘𝑠) ∈ 𝐶 ↔ ((𝑂‘𝑠) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑂‘𝑠)(𝑓‘𝑥) ∈ (𝑓‘(𝑂‘𝑠))))
75	74	simprbi 503	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑂‘𝑠) ∈ 𝐶 → ∀𝑥 ∈ (𝑂‘𝑠)(𝑓‘𝑥) ∈ (𝑓‘(𝑂‘𝑠)))
76		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (𝑂‘𝑡) → (𝑓‘𝑥) = (𝑓‘(𝑂‘𝑡)))
77	76	eleq1d 2845	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑂‘𝑡) → ((𝑓‘𝑥) ∈ (𝑓‘(𝑂‘𝑠)) ↔ (𝑓‘(𝑂‘𝑡)) ∈ (𝑓‘(𝑂‘𝑠))))
78	77	rspccv 3573	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝑂‘𝑠)(𝑓‘𝑥) ∈ (𝑓‘(𝑂‘𝑠)) → ((𝑂‘𝑡) ∈ (𝑂‘𝑠) → (𝑓‘(𝑂‘𝑡)) ∈ (𝑓‘(𝑂‘𝑠))))
79	75, 78	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑂‘𝑠) ∈ 𝐶 → ((𝑂‘𝑡) ∈ (𝑂‘𝑠) → (𝑓‘(𝑂‘𝑡)) ∈ (𝑓‘(𝑂‘𝑠))))
80	56, 61, 79	sylc 66	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑓:𝐵⟶𝐴) ∧ (𝑠 ∈ dom 𝑂 ∧ 𝑡 ∈ 𝑠)) → (𝑓‘(𝑂‘𝑡)) ∈ (𝑓‘(𝑂‘𝑠)))
81		ordtr1 6407	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Ord dom 𝑂 → ((𝑡 ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 ∈ dom 𝑂) → 𝑡 ∈ dom 𝑂))
82	81	ancomsd 471	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Ord dom 𝑂 → ((𝑠 ∈ dom 𝑂 ∧ 𝑡 ∈ 𝑠) → 𝑡 ∈ dom 𝑂))
83	23, 25, 82	3syl 19	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑓:𝐵⟶𝐴) → ((𝑠 ∈ dom 𝑂 ∧ 𝑡 ∈ 𝑠) → 𝑡 ∈ dom 𝑂))
84	83	imp 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑓:𝐵⟶𝐴) ∧ (𝑠 ∈ dom 𝑂 ∧ 𝑡 ∈ 𝑠)) → 𝑡 ∈ dom 𝑂)
85		fvco3 6985	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑂:dom 𝑂⟶𝐵 ∧ 𝑡 ∈ dom 𝑂) → ((𝑓 ∘ 𝑂)‘𝑡) = (𝑓‘(𝑂‘𝑡)))
86	20, 84, 85	syl2an2r 698	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑓:𝐵⟶𝐴) ∧ (𝑠 ∈ dom 𝑂 ∧ 𝑡 ∈ 𝑠)) → ((𝑓 ∘ 𝑂)‘𝑡) = (𝑓‘(𝑂‘𝑡)))
87		simprl 783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑓:𝐵⟶𝐴) ∧ (𝑠 ∈ dom 𝑂 ∧ 𝑡 ∈ 𝑠)) → 𝑠 ∈ dom 𝑂)
88		fvco3 6985	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑂:dom 𝑂⟶𝐵 ∧ 𝑠 ∈ dom 𝑂) → ((𝑓 ∘ 𝑂)‘𝑠) = (𝑓‘(𝑂‘𝑠)))
89	20, 87, 88	syl2an2r 698	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑓:𝐵⟶𝐴) ∧ (𝑠 ∈ dom 𝑂 ∧ 𝑡 ∈ 𝑠)) → ((𝑓 ∘ 𝑂)‘𝑠) = (𝑓‘(𝑂‘𝑠)))
90	80, 86, 89	3eltr4d 2875	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑓:𝐵⟶𝐴) ∧ (𝑠 ∈ dom 𝑂 ∧ 𝑡 ∈ 𝑠)) → ((𝑓 ∘ 𝑂)‘𝑡) ∈ ((𝑓 ∘ 𝑂)‘𝑠))
91	90	ralrimivva 3205	. . . . . . . 8 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑓:𝐵⟶𝐴) → ∀𝑠 ∈ dom 𝑂∀𝑡 ∈ 𝑠 ((𝑓 ∘ 𝑂)‘𝑡) ∈ ((𝑓 ∘ 𝑂)‘𝑠))
92		issmo2 8357	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∘ 𝑂):dom 𝑂⟶𝐴 → ((𝐴 ⊆ On ∧ Ord dom 𝑂 ∧ ∀𝑠 ∈ dom 𝑂∀𝑡 ∈ 𝑠 ((𝑓 ∘ 𝑂)‘𝑡) ∈ ((𝑓 ∘ 𝑂)‘𝑠)) → Smo (𝑓 ∘ 𝑂)))
93	92	imp 412	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑓 ∘ 𝑂):dom 𝑂⟶𝐴 ∧ (𝐴 ⊆ On ∧ Ord dom 𝑂 ∧ ∀𝑠 ∈ dom 𝑂∀𝑡 ∈ 𝑠 ((𝑓 ∘ 𝑂)‘𝑡) ∈ ((𝑓 ∘ 𝑂)‘𝑠))) → Smo (𝑓 ∘ 𝑂))
94	49, 51, 52, 91, 93	syl13anc 1399	. . . . . . 7 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑓:𝐵⟶𝐴) → Smo (𝑓 ∘ 𝑂))
95	94	adantrr 730	. . . . . 6 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑓:𝐵⟶𝐴 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤))) → Smo (𝑓 ∘ 𝑂))
96		rabn0 4338	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ({𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤))
97		ssrab2 4005	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)} ⊆ 𝐵
98	97, 5	sstrid 3919	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐵 ∈ On → {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)} ⊆ On)
99		cofsmo.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 𝐾 = ∩ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑥)}
100		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝑤))
101	100	sseq2d 3940	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑥) ↔ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)))
102	101	cbvrabv 3422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑥)} = {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)}
103	102	inteqi 4910	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ∩ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑥)} = ∩ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)}
104	99, 103	eqtri 2783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝐾 = ∩ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)}
105		onint 7804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (({𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)} ⊆ On ∧ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)} ≠ ∅) → ∩ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)} ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)})
106	104, 105	eqeltrid 2864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (({𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)} ⊆ On ∧ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)} ≠ ∅) → 𝐾 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)})
107	98, 106	sylan 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)} ≠ ∅) → 𝐾 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)})
108	96, 107	sylan2br 607	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)) → 𝐾 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)})
109		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑤 = 𝐾 → (𝑓‘𝑤) = (𝑓‘𝐾))
110	109	sseq2d 3940	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 = 𝐾 → (𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤) ↔ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝐾)))
111	110	elrab 3644	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)} ↔ (𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝐾)))
112	108, 111	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)) → (𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝐾)))
113	112	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 ∈ On → (∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤) → (𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝐾))))
114	113	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) → (∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤) → (𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝐾))))
115		simpr2 1214	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑓:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝐾))) → 𝐾 ∈ 𝐵)
116		simp3 1156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑓:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝐾)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐾) → 𝑤 ∈ 𝐾)
117	104	eleq2i 2852	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐾 ↔ 𝑤 ∈ ∩ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)})
118		simp21 1225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑓:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝐾)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐾) → 𝑓:𝐵⟶𝐴)
119		simp1l 1216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑓:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝐾)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐾) → Ord 𝐴)
120	119, 50	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑓:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝐾)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐾) → 𝐴 ⊆ On)
121	118, 120	fssd 6727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑓:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝐾)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐾) → 𝑓:𝐵⟶On)
122		simp22 1226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑓:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝐾)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐾) → 𝐾 ∈ 𝐵)
123	121, 122	ffvelcdmd 7085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑓:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝐾)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐾) → (𝑓‘𝐾) ∈ On)
124		simp1r 1217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑓:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝐾)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐾) → 𝐵 ∈ On)
125		ontr1 6410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝐵 ∈ On → ((𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝐾 ∈ 𝐵) → 𝑤 ∈ 𝐵))
126	125	3impib 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝐾 ∈ 𝐵) → 𝑤 ∈ 𝐵)
127	124, 116, 122, 126	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑓:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝐾)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐾) → 𝑤 ∈ 𝐵)
128	121, 127	ffvelcdmd 7085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑓:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝐾)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐾) → (𝑓‘𝑤) ∈ On)
129		ontri1 6397	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑓‘𝐾) ∈ On ∧ (𝑓‘𝑤) ∈ On) → ((𝑓‘𝐾) ⊆ (𝑓‘𝑤) ↔ ¬ (𝑓‘𝑤) ∈ (𝑓‘𝐾)))
130	123, 128, 129	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑓:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝐾)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐾) → ((𝑓‘𝐾) ⊆ (𝑓‘𝑤) ↔ ¬ (𝑓‘𝑤) ∈ (𝑓‘𝐾)))
131		simp23 1227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑓:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝐾)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐾) → 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝐾))
132		simpl1 1210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝐾 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ⊆ (𝑓‘𝐾) ∧ (𝑓‘𝐾) ⊆ (𝑓‘𝑤))) → 𝐵 ∈ On)
133	132, 98	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝐾 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ⊆ (𝑓‘𝐾) ∧ (𝑓‘𝐾) ⊆ (𝑓‘𝑤))) → {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)} ⊆ On)
134		sstr 3916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑧 ⊆ (𝑓‘𝐾) ∧ (𝑓‘𝐾) ⊆ (𝑓‘𝑤)) → 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤))
135	126, 134	anim12i 625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝐾 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ⊆ (𝑓‘𝐾) ∧ (𝑓‘𝐾) ⊆ (𝑓‘𝑤))) → (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)))
136		rabid 3432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)} ↔ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)))
137	135, 136	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝐾 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ⊆ (𝑓‘𝐾) ∧ (𝑓‘𝐾) ⊆ (𝑓‘𝑤))) → 𝑤 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)})
138		onnmin 7812	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (({𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)} ⊆ On ∧ 𝑤 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)}) → ¬ 𝑤 ∈ ∩ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)})
139	133, 137, 138	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝐾 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ⊆ (𝑓‘𝐾) ∧ (𝑓‘𝐾) ⊆ (𝑓‘𝑤))) → ¬ 𝑤 ∈ ∩ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)})
140	139	expr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝐾 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝐾)) → ((𝑓‘𝐾) ⊆ (𝑓‘𝑤) → ¬ 𝑤 ∈ ∩ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)}))
141	124, 116, 122, 131, 140	syl31anc 1400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑓:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝐾)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐾) → ((𝑓‘𝐾) ⊆ (𝑓‘𝑤) → ¬ 𝑤 ∈ ∩ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)}))
142	130, 141	sylbird 263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑓:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝐾)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐾) → (¬ (𝑓‘𝑤) ∈ (𝑓‘𝐾) → ¬ 𝑤 ∈ ∩ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)}))
143	142	con4d 116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑓:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝐾)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐾) → (𝑤 ∈ ∩ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)} → (𝑓‘𝑤) ∈ (𝑓‘𝐾)))
144	117, 143	biimtrid 245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑓:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝐾)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐾) → (𝑤 ∈ 𝐾 → (𝑓‘𝑤) ∈ (𝑓‘𝐾)))
145	116, 144	mpd 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑓:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝐾)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐾) → (𝑓‘𝑤) ∈ (𝑓‘𝐾))
146	145	3expia 1139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑓:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝐾))) → (𝑤 ∈ 𝐾 → (𝑓‘𝑤) ∈ (𝑓‘𝐾)))
147	146	ralrimiv 3153	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑓:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝐾))) → ∀𝑤 ∈ 𝐾 (𝑓‘𝑤) ∈ (𝑓‘𝐾))
148		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = 𝐾 → (𝑓‘𝑦) = (𝑓‘𝐾))
149	148	eleq2d 2846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = 𝐾 → ((𝑓‘𝑤) ∈ (𝑓‘𝑦) ↔ (𝑓‘𝑤) ∈ (𝑓‘𝐾)))
150	149	raleqbi1dv 3329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = 𝐾 → (∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑓‘𝑤) ∈ (𝑓‘𝑦) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐾 (𝑓‘𝑤) ∈ (𝑓‘𝐾)))
151	150, 1	elrab2 3648	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐶 ↔ (𝐾 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐾 (𝑓‘𝑤) ∈ (𝑓‘𝐾)))
152	115, 147, 151	sylanbrc 595	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑓:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝐾))) → 𝐾 ∈ 𝐶)
153	152	expcom 419	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑓:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝐾)) → ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) → 𝐾 ∈ 𝐶))
154	153	3expib 1140	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓:𝐵⟶𝐴 → ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝐾)) → ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) → 𝐾 ∈ 𝐶)))
155	154	com13 89	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝐾)) → (𝑓:𝐵⟶𝐴 → 𝐾 ∈ 𝐶)))
156	114, 155	syld 48	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) → (∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤) → (𝑓:𝐵⟶𝐴 → 𝐾 ∈ 𝐶)))
157	156	com23 87	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝑓:𝐵⟶𝐴 → (∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤) → 𝐾 ∈ 𝐶)))
158	157	imp31 423	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑓:𝐵⟶𝐴) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)) → 𝐾 ∈ 𝐶)
159		foelrn 7107	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑂:dom 𝑂–onto→𝐶 ∧ 𝐾 ∈ 𝐶) → ∃𝑣 ∈ dom 𝑂 𝐾 = (𝑂‘𝑣))
160	16, 158, 159	syl2an2r 698	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑓:𝐵⟶𝐴) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)) → ∃𝑣 ∈ dom 𝑂 𝐾 = (𝑂‘𝑣))
161		eleq1 2848	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾 = (𝑂‘𝑣) → (𝐾 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)} ↔ (𝑂‘𝑣) ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)}))
162	161	biimpcd 252	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)} → (𝐾 = (𝑂‘𝑣) → (𝑂‘𝑣) ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)}))
163		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = (𝑂‘𝑣) → (𝑓‘𝑥) = (𝑓‘(𝑂‘𝑣)))
164	163	sseq2d 3940	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = (𝑂‘𝑣) → (𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑥) ↔ 𝑧 ⊆ (𝑓‘(𝑂‘𝑣))))
165	65	sseq2d 3940	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤) ↔ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑥)))
166	165	cbvrabv 3422	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑥)}
167	164, 166	elrab2 3648	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑂‘𝑣) ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)} ↔ ((𝑂‘𝑣) ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑓‘(𝑂‘𝑣))))
168	167	simprbi 503	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑂‘𝑣) ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)} → 𝑧 ⊆ (𝑓‘(𝑂‘𝑣)))
169	162, 168	syl6 36	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)} → (𝐾 = (𝑂‘𝑣) → 𝑧 ⊆ (𝑓‘(𝑂‘𝑣))))
170	108, 169	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)) → (𝐾 = (𝑂‘𝑣) → 𝑧 ⊆ (𝑓‘(𝑂‘𝑣))))
171	170	ad5ant24 773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑓:𝐵⟶𝐴) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)) ∧ 𝑣 ∈ dom 𝑂) → (𝐾 = (𝑂‘𝑣) → 𝑧 ⊆ (𝑓‘(𝑂‘𝑣))))
172	20	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑓:𝐵⟶𝐴) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)) ∧ 𝑣 ∈ dom 𝑂) → 𝑂:dom 𝑂⟶𝐵)
173		fvco3 6985	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑂:dom 𝑂⟶𝐵 ∧ 𝑣 ∈ dom 𝑂) → ((𝑓 ∘ 𝑂)‘𝑣) = (𝑓‘(𝑂‘𝑣)))
174	172, 173	sylancom 600	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑓:𝐵⟶𝐴) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)) ∧ 𝑣 ∈ dom 𝑂) → ((𝑓 ∘ 𝑂)‘𝑣) = (𝑓‘(𝑂‘𝑣)))
175	174	sseq2d 3940	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑓:𝐵⟶𝐴) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)) ∧ 𝑣 ∈ dom 𝑂) → (𝑧 ⊆ ((𝑓 ∘ 𝑂)‘𝑣) ↔ 𝑧 ⊆ (𝑓‘(𝑂‘𝑣))))
176	171, 175	sylibrd 262	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑓:𝐵⟶𝐴) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)) ∧ 𝑣 ∈ dom 𝑂) → (𝐾 = (𝑂‘𝑣) → 𝑧 ⊆ ((𝑓 ∘ 𝑂)‘𝑣)))
177	176	reximdva 3175	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑓:𝐵⟶𝐴) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)) → (∃𝑣 ∈ dom 𝑂 𝐾 = (𝑂‘𝑣) → ∃𝑣 ∈ dom 𝑂 𝑧 ⊆ ((𝑓 ∘ 𝑂)‘𝑣)))
178	160, 177	mpd 16	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑓:𝐵⟶𝐴) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)) → ∃𝑣 ∈ dom 𝑂 𝑧 ⊆ ((𝑓 ∘ 𝑂)‘𝑣))
179	178	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑓:𝐵⟶𝐴) → (∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤) → ∃𝑣 ∈ dom 𝑂 𝑧 ⊆ ((𝑓 ∘ 𝑂)‘𝑣)))
180	179	ralimdv 3176	. . . . . . 7 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑓:𝐵⟶𝐴) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑣 ∈ dom 𝑂 𝑧 ⊆ ((𝑓 ∘ 𝑂)‘𝑣)))
181	180	impr 460	. . . . . 6 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑓:𝐵⟶𝐴 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤))) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑣 ∈ dom 𝑂 𝑧 ⊆ ((𝑓 ∘ 𝑂)‘𝑣))
182	47, 95, 181	3jca 1146	. . . . 5 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑓:𝐵⟶𝐴 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤))) → ((𝑓 ∘ 𝑂):dom 𝑂⟶𝐴 ∧ Smo (𝑓 ∘ 𝑂) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑣 ∈ dom 𝑂 𝑧 ⊆ ((𝑓 ∘ 𝑂)‘𝑣)))
183		feq1 6687	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = (𝑓 ∘ 𝑂) → (𝑔:dom 𝑂⟶𝐴 ↔ (𝑓 ∘ 𝑂):dom 𝑂⟶𝐴))
184		smoeq 8358	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = (𝑓 ∘ 𝑂) → (Smo 𝑔 ↔ Smo (𝑓 ∘ 𝑂)))
185		fveq1 6884	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = (𝑓 ∘ 𝑂) → (𝑔‘𝑣) = ((𝑓 ∘ 𝑂)‘𝑣))
186	185	sseq2d 3940	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = (𝑓 ∘ 𝑂) → (𝑧 ⊆ (𝑔‘𝑣) ↔ 𝑧 ⊆ ((𝑓 ∘ 𝑂)‘𝑣)))
187	186	rexbidv 3186	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = (𝑓 ∘ 𝑂) → (∃𝑣 ∈ dom 𝑂 𝑧 ⊆ (𝑔‘𝑣) ↔ ∃𝑣 ∈ dom 𝑂 𝑧 ⊆ ((𝑓 ∘ 𝑂)‘𝑣)))
188	187	ralbidv 3185	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = (𝑓 ∘ 𝑂) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑣 ∈ dom 𝑂 𝑧 ⊆ (𝑔‘𝑣) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑣 ∈ dom 𝑂 𝑧 ⊆ ((𝑓 ∘ 𝑂)‘𝑣)))
189	183, 184, 188	3anbi123d 1464	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = (𝑓 ∘ 𝑂) → ((𝑔:dom 𝑂⟶𝐴 ∧ Smo 𝑔 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑣 ∈ dom 𝑂 𝑧 ⊆ (𝑔‘𝑣)) ↔ ((𝑓 ∘ 𝑂):dom 𝑂⟶𝐴 ∧ Smo (𝑓 ∘ 𝑂) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑣 ∈ dom 𝑂 𝑧 ⊆ ((𝑓 ∘ 𝑂)‘𝑣))))
190	44, 182, 189	spcedv 3552	. . . 4 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑓:𝐵⟶𝐴 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤))) → ∃𝑔(𝑔:dom 𝑂⟶𝐴 ∧ Smo 𝑔 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑣 ∈ dom 𝑂 𝑧 ⊆ (𝑔‘𝑣)))
191		feq2 6688	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = dom 𝑂 → (𝑔:𝑥⟶𝐴 ↔ 𝑔:dom 𝑂⟶𝐴))
192		rexeq 3315	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = dom 𝑂 → (∃𝑣 ∈ 𝑥 𝑧 ⊆ (𝑔‘𝑣) ↔ ∃𝑣 ∈ dom 𝑂 𝑧 ⊆ (𝑔‘𝑣)))
193	192	ralbidv 3185	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = dom 𝑂 → (∀𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑣 ∈ 𝑥 𝑧 ⊆ (𝑔‘𝑣) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑣 ∈ dom 𝑂 𝑧 ⊆ (𝑔‘𝑣)))
194	191, 193	3anbi13d 1466	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = dom 𝑂 → ((𝑔:𝑥⟶𝐴 ∧ Smo 𝑔 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑣 ∈ 𝑥 𝑧 ⊆ (𝑔‘𝑣)) ↔ (𝑔:dom 𝑂⟶𝐴 ∧ Smo 𝑔 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑣 ∈ dom 𝑂 𝑧 ⊆ (𝑔‘𝑣))))
195	194	exbidv 1953	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = dom 𝑂 → (∃𝑔(𝑔:𝑥⟶𝐴 ∧ Smo 𝑔 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑣 ∈ 𝑥 𝑧 ⊆ (𝑔‘𝑣)) ↔ ∃𝑔(𝑔:dom 𝑂⟶𝐴 ∧ Smo 𝑔 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑣 ∈ dom 𝑂 𝑧 ⊆ (𝑔‘𝑣))))
196	195	rspcev 3576	. . . 4 ⊢ ((dom 𝑂 ∈ suc 𝐵 ∧ ∃𝑔(𝑔:dom 𝑂⟶𝐴 ∧ Smo 𝑔 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑣 ∈ dom 𝑂 𝑧 ⊆ (𝑔‘𝑣))) → ∃𝑥 ∈ suc 𝐵∃𝑔(𝑔:𝑥⟶𝐴 ∧ Smo 𝑔 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑣 ∈ 𝑥 𝑧 ⊆ (𝑔‘𝑣)))
197	38, 190, 196	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑓:𝐵⟶𝐴 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤))) → ∃𝑥 ∈ suc 𝐵∃𝑔(𝑔:𝑥⟶𝐴 ∧ Smo 𝑔 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑣 ∈ 𝑥 𝑧 ⊆ (𝑔‘𝑣)))
198	197	ex 418	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝑓:𝐵⟶𝐴 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)) → ∃𝑥 ∈ suc 𝐵∃𝑔(𝑔:𝑥⟶𝐴 ∧ Smo 𝑔 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑣 ∈ 𝑥 𝑧 ⊆ (𝑔‘𝑣))))
199	198	exlimdv 1965	1 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) → (∃𝑓(𝑓:𝐵⟶𝐴 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)) → ∃𝑥 ∈ suc 𝐵∃𝑔(𝑔:𝑥⟶𝐴 ∧ Smo 𝑔 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑣 ∈ 𝑥 𝑧 ⊆ (𝑔‘𝑣))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569  ∃wex 1811   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  {crab 3412  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895  ∅c0 4278  ∩ cint 4906   E cep 5549   We wwe 5602  dom cdm 5650   ∘ ccom 5654  Ord word 6361  Oncon0 6362  suc csuc 6364   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  –onto→wfo 6536  –1-1-onto→wf1o 6537  ‘cfv 6538   Isom wiso 6539  Smo wsmo 8353  OrdIsocoi 9503

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-smo 8354  df-recs 8379  df-oi 9504

This theorem is used by:  cfcof  10352