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Theorem ordiso2 9558
Description: Generalize ordiso 9559 to proper classes. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
ordiso2 ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem ordiso2
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordsson 7791 . . . . . 6 (Ord 𝐴𝐴 ⊆ On)
213ad2ant2 1131 . . . . 5 ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → 𝐴 ⊆ On)
32sseld 3978 . . . 4 ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝑥𝐴𝑥 ∈ On))
4 eleq1w 2809 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐴𝑦𝐴))
5 fveq2 6901 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))
6 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦𝑥 = 𝑦)
75, 6eqeq12d 2742 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹𝑥) = 𝑥 ↔ (𝐹𝑦) = 𝑦))
84, 7imbi12d 343 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝐴 → (𝐹𝑥) = 𝑥) ↔ (𝑦𝐴 → (𝐹𝑦) = 𝑦)))
98imbi2d 339 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝑥𝐴 → (𝐹𝑥) = 𝑥)) ↔ ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝑦𝐴 → (𝐹𝑦) = 𝑦))))
10 r19.21v 3170 . . . . . . 7 (∀𝑦𝑥 ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝑦𝐴 → (𝐹𝑦) = 𝑦)) ↔ ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝐹𝑦) = 𝑦)))
11 ordelss 6392 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((Ord 𝐴𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
12113ad2antl2 1183 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
1312sselda 3979 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝐴)
14 pm5.5 360 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦𝐴 → ((𝑦𝐴 → (𝐹𝑦) = 𝑦) ↔ (𝐹𝑦) = 𝑦))
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝑥) → ((𝑦𝐴 → (𝐹𝑦) = 𝑦) ↔ (𝐹𝑦) = 𝑦))
1615ralbidva 3166 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → (∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝐹𝑦) = 𝑦) ↔ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦))
17 isof1o 7335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) → 𝐹:𝐴1-1-onto𝐵)
18173ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → 𝐹:𝐴1-1-onto𝐵)
1918ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑥)) → 𝐹:𝐴1-1-onto𝐵)
20 simpll3 1211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑥)) → Ord 𝐵)
21 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑥)) → 𝑧 ∈ (𝐹𝑥))
22 f1of 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐴𝐵)
2317, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) → 𝐹:𝐴𝐵)
24233ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → 𝐹:𝐴𝐵)
2524ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑥)) → 𝐹:𝐴𝐵)
26 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑥)) → 𝑥𝐴)
2725, 26ffvelcdmd 7099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑥)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐵)
2821, 27jca 510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑥)) → (𝑧 ∈ (𝐹𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐵))
29 ordtr1 6419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Ord 𝐵 → ((𝑧 ∈ (𝐹𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐵) → 𝑧𝐵))
3020, 28, 29sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑥)) → 𝑧𝐵)
31 f1ocnvfv2 7291 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑧𝐵) → (𝐹‘(𝐹𝑧)) = 𝑧)
3219, 30, 31syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑥)) → (𝐹‘(𝐹𝑧)) = 𝑧)
3332, 21eqeltrd 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑥)) → (𝐹‘(𝐹𝑧)) ∈ (𝐹𝑥))
34 simpll1 1209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑥)) → 𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵))
35 f1ocnv 6855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐵1-1-onto𝐴)
36 f1of 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐹:𝐵1-1-onto𝐴𝐹:𝐵𝐴)
3719, 35, 363syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑥)) → 𝐹:𝐵𝐴)
3837, 30ffvelcdmd 7099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑥)) → (𝐹𝑧) ∈ 𝐴)
39 isorel 7338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝐴𝑥𝐴)) → ((𝐹𝑧) E 𝑥 ↔ (𝐹‘(𝐹𝑧)) E (𝐹𝑥)))
4034, 38, 26, 39syl12anc 835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑥)) → ((𝐹𝑧) E 𝑥 ↔ (𝐹‘(𝐹𝑧)) E (𝐹𝑥)))
41 epel 5589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹𝑧) E 𝑥 ↔ (𝐹𝑧) ∈ 𝑥)
42 fvex 6914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐹𝑥) ∈ V
4342epeli 5588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹‘(𝐹𝑧)) E (𝐹𝑥) ↔ (𝐹‘(𝐹𝑧)) ∈ (𝐹𝑥))
4440, 41, 433bitr3g 312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑥)) → ((𝐹𝑧) ∈ 𝑥 ↔ (𝐹‘(𝐹𝑧)) ∈ (𝐹𝑥)))
4533, 44mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑥)) → (𝐹𝑧) ∈ 𝑥)
46 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑥)) → ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)
47 fveq2 6901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = (𝐹𝑧) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘(𝐹𝑧)))
48 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = (𝐹𝑧) → 𝑦 = (𝐹𝑧))
4947, 48eqeq12d 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = (𝐹𝑧) → ((𝐹𝑦) = 𝑦 ↔ (𝐹‘(𝐹𝑧)) = (𝐹𝑧)))
5049rspcv 3604 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹𝑧) ∈ 𝑥 → (∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦 → (𝐹‘(𝐹𝑧)) = (𝐹𝑧)))
5145, 46, 50sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑥)) → (𝐹‘(𝐹𝑧)) = (𝐹𝑧))
5232, 51eqtr3d 2768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑥)) → 𝑧 = (𝐹𝑧))
5352, 45eqeltrd 2826 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑥)) → 𝑧𝑥)
54 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) → ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)
55 fveq2 6901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 𝑧 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑧))
56 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 𝑧𝑦 = 𝑧)
5755, 56eqeq12d 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = 𝑧 → ((𝐹𝑦) = 𝑦 ↔ (𝐹𝑧) = 𝑧))
5857rspccva 3607 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦𝑧𝑥) → (𝐹𝑧) = 𝑧)
5954, 58sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧𝑥) → (𝐹𝑧) = 𝑧)
60 epel 5589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 E 𝑥𝑧𝑥)
6160biimpri 227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧𝑥𝑧 E 𝑥)
6261adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧𝑥) → 𝑧 E 𝑥)
63 simpll1 1209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧𝑥) → 𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵))
64 simpl2 1189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) → Ord 𝐴)
65 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) → 𝑥𝐴)
6664, 65, 11syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) → 𝑥𝐴)
6766sselda 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧𝑥) → 𝑧𝐴)
68 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧𝑥) → 𝑥𝐴)
69 isorel 7338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ (𝑧𝐴𝑥𝐴)) → (𝑧 E 𝑥 ↔ (𝐹𝑧) E (𝐹𝑥)))
7063, 67, 68, 69syl12anc 835 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧𝑥) → (𝑧 E 𝑥 ↔ (𝐹𝑧) E (𝐹𝑥)))
7162, 70mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧𝑥) → (𝐹𝑧) E (𝐹𝑥))
7242epeli 5588 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹𝑧) E (𝐹𝑥) ↔ (𝐹𝑧) ∈ (𝐹𝑥))
7371, 72sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧𝑥) → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹𝑥))
7459, 73eqeltrrd 2827 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧𝑥) → 𝑧 ∈ (𝐹𝑥))
7553, 74impbida 799 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) → (𝑧 ∈ (𝐹𝑥) ↔ 𝑧𝑥))
7675eqrdv 2724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) → (𝐹𝑥) = 𝑥)
7776expr 455 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → (∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦 → (𝐹𝑥) = 𝑥))
7816, 77sylbid 239 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → (∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝐹𝑦) = 𝑦) → (𝐹𝑥) = 𝑥))
7978ex 411 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝑥𝐴 → (∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝐹𝑦) = 𝑦) → (𝐹𝑥) = 𝑥)))
8079com23 86 . . . . . . . . 9 ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝐹𝑦) = 𝑦) → (𝑥𝐴 → (𝐹𝑥) = 𝑥)))
8180a2i 14 . . . . . . . 8 (((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝐹𝑦) = 𝑦)) → ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝑥𝐴 → (𝐹𝑥) = 𝑥)))
8281a1i 11 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ On → (((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝐹𝑦) = 𝑦)) → ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝑥𝐴 → (𝐹𝑥) = 𝑥))))
8310, 82biimtrid 241 . . . . . 6 (𝑥 ∈ On → (∀𝑦𝑥 ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝑦𝐴 → (𝐹𝑦) = 𝑦)) → ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝑥𝐴 → (𝐹𝑥) = 𝑥))))
849, 83tfis2 7867 . . . . 5 (𝑥 ∈ On → ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝑥𝐴 → (𝐹𝑥) = 𝑥)))
8584com3l 89 . . . 4 ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝑥𝐴 → (𝑥 ∈ On → (𝐹𝑥) = 𝑥)))
863, 85mpdd 43 . . 3 ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝑥𝐴 → (𝐹𝑥) = 𝑥))
8786ralrimiv 3135 . 2 ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑥)
88 fveq2 6901 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑧 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑧))
89 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑧𝑥 = 𝑧)
9088, 89eqeq12d 2742 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹𝑥) = 𝑥 ↔ (𝐹𝑧) = 𝑧))
9190rspccva 3607 . . . . . . 7 ((∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑥𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) = 𝑧)
9291adantll 712 . . . . . 6 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑥) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) = 𝑧)
9323ffvelcdmda 7098 . . . . . . . 8 ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) ∈ 𝐵)
94933ad2antl1 1182 . . . . . . 7 (((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) ∈ 𝐵)
9594adantlr 713 . . . . . 6 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑥) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) ∈ 𝐵)
9692, 95eqeltrrd 2827 . . . . 5 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑥) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧𝐵)
9796ex 411 . . . 4 (((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑥) → (𝑧𝐴𝑧𝐵))
98 simpl1 1188 . . . . . . . 8 (((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑥) → 𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵))
99 f1ofo 6850 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐴onto𝐵)
100 forn 6818 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐴onto𝐵 → ran 𝐹 = 𝐵)
10117, 99, 1003syl 18 . . . . . . . 8 (𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) → ran 𝐹 = 𝐵)
10298, 101syl 17 . . . . . . 7 (((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑥) → ran 𝐹 = 𝐵)
103102eleq2d 2812 . . . . . 6 (((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑥) → (𝑧 ∈ ran 𝐹𝑧𝐵))
104 f1ofn 6844 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹 Fn 𝐴)
10517, 104syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) → 𝐹 Fn 𝐴)
1061053ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → 𝐹 Fn 𝐴)
107106adantr 479 . . . . . . 7 (((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑥) → 𝐹 Fn 𝐴)
108 fvelrnb 6963 . . . . . . 7 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑧 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑤𝐴 (𝐹𝑤) = 𝑧))
109107, 108syl 17 . . . . . 6 (((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑥) → (𝑧 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑤𝐴 (𝐹𝑤) = 𝑧))
110103, 109bitr3d 280 . . . . 5 (((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑥) → (𝑧𝐵 ↔ ∃𝑤𝐴 (𝐹𝑤) = 𝑧))
111 fveq2 6901 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑤 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑤))
112 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑤𝑥 = 𝑤)
113111, 112eqeq12d 2742 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑤 → ((𝐹𝑥) = 𝑥 ↔ (𝐹𝑤) = 𝑤))
114113rspcv 3604 . . . . . . . . . 10 (𝑤𝐴 → (∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑥 → (𝐹𝑤) = 𝑤))
115114a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝑤𝐴 → (∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑥 → (𝐹𝑤) = 𝑤)))
116 simpr 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝑤) = 𝑤 ∧ (𝐹𝑤) = 𝑧) → (𝐹𝑤) = 𝑧)
117 simpl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝑤) = 𝑤 ∧ (𝐹𝑤) = 𝑧) → (𝐹𝑤) = 𝑤)
118116, 117eqtr3d 2768 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑤) = 𝑤 ∧ (𝐹𝑤) = 𝑧) → 𝑧 = 𝑤)
119118adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝑤𝐴) ∧ ((𝐹𝑤) = 𝑤 ∧ (𝐹𝑤) = 𝑧)) → 𝑧 = 𝑤)
120 simplr 767 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝑤𝐴) ∧ ((𝐹𝑤) = 𝑤 ∧ (𝐹𝑤) = 𝑧)) → 𝑤𝐴)
121119, 120eqeltrd 2826 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝑤𝐴) ∧ ((𝐹𝑤) = 𝑤 ∧ (𝐹𝑤) = 𝑧)) → 𝑧𝐴)
122121exp43 435 . . . . . . . . 9 ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝑤𝐴 → ((𝐹𝑤) = 𝑤 → ((𝐹𝑤) = 𝑧𝑧𝐴))))
123115, 122syldd 72 . . . . . . . 8 ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝑤𝐴 → (∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑥 → ((𝐹𝑤) = 𝑧𝑧𝐴))))
124123com23 86 . . . . . . 7 ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑥 → (𝑤𝐴 → ((𝐹𝑤) = 𝑧𝑧𝐴))))
125124imp 405 . . . . . 6 (((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑥) → (𝑤𝐴 → ((𝐹𝑤) = 𝑧𝑧𝐴)))
126125rexlimdv 3143 . . . . 5 (((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑥) → (∃𝑤𝐴 (𝐹𝑤) = 𝑧𝑧𝐴))
127110, 126sylbid 239 . . . 4 (((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑥) → (𝑧𝐵𝑧𝐴))
12897, 127impbid 211 . . 3 (((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑥) → (𝑧𝐴𝑧𝐵))
129128eqrdv 2724 . 2 (((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑥) → 𝐴 = 𝐵)
13087, 129mpdan 685 1 ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3051  wrex 3060  wss 3947   class class class wbr 5153   E cep 5585  ccnv 5681  ran crn 5683  Ord word 6375  Oncon0 6376   Fn wfn 6549  wf 6550  ontowfo 6552  1-1-ontowf1o 6553  cfv 6554   Isom wiso 6555
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pr 5433
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3464  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-ord 6379  df-on 6380  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563
This theorem is referenced by:  ordiso  9559  oieu  9582  oiid  9584
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