MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r1val1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem r1val1 9781
Description: The value of the cumulative hierarchy of sets function expressed recursively. Theorem 7Q of [Enderton] p. 202. (Contributed by NM, 25-Nov-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
r1val1 (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝐴) = 𝑥𝐴 𝒫 (𝑅1𝑥))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem r1val1
StepHypRef Expression
1 simpr 486 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐴 = ∅) → 𝐴 = ∅)
21fveq2d 6896 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐴 = ∅) → (𝑅1𝐴) = (𝑅1‘∅))
3 r10 9763 . . . . 5 (𝑅1‘∅) = ∅
42, 3eqtrdi 2789 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐴 = ∅) → (𝑅1𝐴) = ∅)
5 0ss 4397 . . . . 5 ∅ ⊆ 𝑥𝐴 𝒫 (𝑅1𝑥)
65a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐴 = ∅) → ∅ ⊆ 𝑥𝐴 𝒫 (𝑅1𝑥))
74, 6eqsstrd 4021 . . 3 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐴 = ∅) → (𝑅1𝐴) ⊆ 𝑥𝐴 𝒫 (𝑅1𝑥))
8 nfv 1918 . . . . 5 𝑥 𝐴 ∈ dom 𝑅1
9 nfcv 2904 . . . . . 6 𝑥(𝑅1𝐴)
10 nfiu1 5032 . . . . . 6 𝑥 𝑥𝐴 𝒫 (𝑅1𝑥)
119, 10nfss 3975 . . . . 5 𝑥(𝑅1𝐴) ⊆ 𝑥𝐴 𝒫 (𝑅1𝑥)
12 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐴 = suc 𝑥) → 𝐴 = suc 𝑥)
1312fveq2d 6896 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐴 = suc 𝑥) → (𝑅1𝐴) = (𝑅1‘suc 𝑥))
14 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = suc 𝑥 → (𝐴 ∈ dom 𝑅1 ↔ suc 𝑥 ∈ dom 𝑅1))
1514biimpac 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐴 = suc 𝑥) → suc 𝑥 ∈ dom 𝑅1)
16 r1funlim 9761 . . . . . . . . . . . . 13 (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
1716simpri 487 . . . . . . . . . . . 12 Lim dom 𝑅1
18 limsuc 7838 . . . . . . . . . . . 12 (Lim dom 𝑅1 → (𝑥 ∈ dom 𝑅1 ↔ suc 𝑥 ∈ dom 𝑅1))
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ dom 𝑅1 ↔ suc 𝑥 ∈ dom 𝑅1)
2015, 19sylibr 233 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐴 = suc 𝑥) → 𝑥 ∈ dom 𝑅1)
21 r1sucg 9764 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘suc 𝑥) = 𝒫 (𝑅1𝑥))
2220, 21syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐴 = suc 𝑥) → (𝑅1‘suc 𝑥) = 𝒫 (𝑅1𝑥))
2313, 22eqtrd 2773 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐴 = suc 𝑥) → (𝑅1𝐴) = 𝒫 (𝑅1𝑥))
24 vex 3479 . . . . . . . . . . 11 𝑥 ∈ V
2524sucid 6447 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ suc 𝑥
2625, 12eleqtrrid 2841 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐴 = suc 𝑥) → 𝑥𝐴)
27 ssiun2 5051 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐴 → 𝒫 (𝑅1𝑥) ⊆ 𝑥𝐴 𝒫 (𝑅1𝑥))
2826, 27syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐴 = suc 𝑥) → 𝒫 (𝑅1𝑥) ⊆ 𝑥𝐴 𝒫 (𝑅1𝑥))
2923, 28eqsstrd 4021 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐴 = suc 𝑥) → (𝑅1𝐴) ⊆ 𝑥𝐴 𝒫 (𝑅1𝑥))
3029ex 414 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (𝐴 = suc 𝑥 → (𝑅1𝐴) ⊆ 𝑥𝐴 𝒫 (𝑅1𝑥)))
3130a1d 25 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (𝑥 ∈ On → (𝐴 = suc 𝑥 → (𝑅1𝐴) ⊆ 𝑥𝐴 𝒫 (𝑅1𝑥))))
328, 11, 31rexlimd 3264 . . . 4 (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥 → (𝑅1𝐴) ⊆ 𝑥𝐴 𝒫 (𝑅1𝑥)))
3332imp 408 . . 3 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ ∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥) → (𝑅1𝐴) ⊆ 𝑥𝐴 𝒫 (𝑅1𝑥))
34 r1limg 9766 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ Lim 𝐴) → (𝑅1𝐴) = 𝑥𝐴 (𝑅1𝑥))
35 r1tr 9771 . . . . . . . . 9 Tr (𝑅1𝑥)
36 dftr4 5273 . . . . . . . . 9 (Tr (𝑅1𝑥) ↔ (𝑅1𝑥) ⊆ 𝒫 (𝑅1𝑥))
3735, 36mpbi 229 . . . . . . . 8 (𝑅1𝑥) ⊆ 𝒫 (𝑅1𝑥)
3837a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ Lim 𝐴) → (𝑅1𝑥) ⊆ 𝒫 (𝑅1𝑥))
3938ralrimivw 3151 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ Lim 𝐴) → ∀𝑥𝐴 (𝑅1𝑥) ⊆ 𝒫 (𝑅1𝑥))
40 ss2iun 5016 . . . . . 6 (∀𝑥𝐴 (𝑅1𝑥) ⊆ 𝒫 (𝑅1𝑥) → 𝑥𝐴 (𝑅1𝑥) ⊆ 𝑥𝐴 𝒫 (𝑅1𝑥))
4139, 40syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ Lim 𝐴) → 𝑥𝐴 (𝑅1𝑥) ⊆ 𝑥𝐴 𝒫 (𝑅1𝑥))
4234, 41eqsstrd 4021 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ Lim 𝐴) → (𝑅1𝐴) ⊆ 𝑥𝐴 𝒫 (𝑅1𝑥))
4342adantrl 715 . . 3 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ (𝐴 ∈ V ∧ Lim 𝐴)) → (𝑅1𝐴) ⊆ 𝑥𝐴 𝒫 (𝑅1𝑥))
44 limord 6425 . . . . . . 7 (Lim dom 𝑅1 → Ord dom 𝑅1)
4517, 44ax-mp 5 . . . . . 6 Ord dom 𝑅1
46 ordsson 7770 . . . . . 6 (Ord dom 𝑅1 → dom 𝑅1 ⊆ On)
4745, 46ax-mp 5 . . . . 5 dom 𝑅1 ⊆ On
4847sseli 3979 . . . 4 (𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐴 ∈ On)
49 onzsl 7835 . . . 4 (𝐴 ∈ On ↔ (𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥 ∨ (𝐴 ∈ V ∧ Lim 𝐴)))
5048, 49sylib 217 . . 3 (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥 ∨ (𝐴 ∈ V ∧ Lim 𝐴)))
517, 33, 43, 50mpjao3dan 1432 . 2 (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝐴) ⊆ 𝑥𝐴 𝒫 (𝑅1𝑥))
52 ordtr1 6408 . . . . . . . 8 (Ord dom 𝑅1 → ((𝑥𝐴𝐴 ∈ dom 𝑅1) → 𝑥 ∈ dom 𝑅1))
5345, 52ax-mp 5 . . . . . . 7 ((𝑥𝐴𝐴 ∈ dom 𝑅1) → 𝑥 ∈ dom 𝑅1)
5453ancoms 460 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ dom 𝑅1)
5554, 21syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝑥𝐴) → (𝑅1‘suc 𝑥) = 𝒫 (𝑅1𝑥))
56 simpr 486 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
57 ordelord 6387 . . . . . . . . . 10 ((Ord dom 𝑅1𝐴 ∈ dom 𝑅1) → Ord 𝐴)
5845, 57mpan 689 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → Ord 𝐴)
5958adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝑥𝐴) → Ord 𝐴)
60 ordelsuc 7808 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴 ∧ Ord 𝐴) → (𝑥𝐴 ↔ suc 𝑥𝐴))
6156, 59, 60syl2anc 585 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝑥𝐴) → (𝑥𝐴 ↔ suc 𝑥𝐴))
6256, 61mpbid 231 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝑥𝐴) → suc 𝑥𝐴)
6354, 19sylib 217 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝑥𝐴) → suc 𝑥 ∈ dom 𝑅1)
64 simpl 484 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝑥𝐴) → 𝐴 ∈ dom 𝑅1)
65 r1ord3g 9774 . . . . . . 7 ((suc 𝑥 ∈ dom 𝑅1𝐴 ∈ dom 𝑅1) → (suc 𝑥𝐴 → (𝑅1‘suc 𝑥) ⊆ (𝑅1𝐴)))
6663, 64, 65syl2anc 585 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝑥𝐴) → (suc 𝑥𝐴 → (𝑅1‘suc 𝑥) ⊆ (𝑅1𝐴)))
6762, 66mpd 15 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝑥𝐴) → (𝑅1‘suc 𝑥) ⊆ (𝑅1𝐴))
6855, 67eqsstrrd 4022 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝑥𝐴) → 𝒫 (𝑅1𝑥) ⊆ (𝑅1𝐴))
6968ralrimiva 3147 . . 3 (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → ∀𝑥𝐴 𝒫 (𝑅1𝑥) ⊆ (𝑅1𝐴))
70 iunss 5049 . . 3 ( 𝑥𝐴 𝒫 (𝑅1𝑥) ⊆ (𝑅1𝐴) ↔ ∀𝑥𝐴 𝒫 (𝑅1𝑥) ⊆ (𝑅1𝐴))
7169, 70sylibr 233 . 2 (𝐴 ∈ dom 𝑅1 𝑥𝐴 𝒫 (𝑅1𝑥) ⊆ (𝑅1𝐴))
7251, 71eqssd 4000 1 (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝐴) = 𝑥𝐴 𝒫 (𝑅1𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3o 1087   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3062  wrex 3071  Vcvv 3475  wss 3949  c0 4323  𝒫 cpw 4603   ciun 4998  Tr wtr 5266  dom cdm 5677  Ord word 6364  Oncon0 6365  Lim wlim 6366  suc csuc 6367  Fun wfun 6538  cfv 6544  𝑅1cr1 9757
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-r1 9759
This theorem is referenced by:  rankr1ai  9793  r1val3  9833
  Copyright terms: Public domain W3C validator