Theorem r1val1 9761

Description: The value of the cumulative hierarchy of sets function expressed recursively. Theorem 7Q of [Enderton] p. 202. (Contributed by NM, 25-Nov-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
r1val1	⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘𝐴) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝒫 (𝑅1‘𝑥))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem r1val1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐴 = ∅)
2	1	fveq2d 6889	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ 𝐴 = ∅) → (𝑅1‘𝐴) = (𝑅1‘∅))
3		r10 9743	. . . . 5 ⊢ (𝑅1‘∅) = ∅
4	2, 3	eqtrdi 2816	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ 𝐴 = ∅) → (𝑅1‘𝐴) = ∅)
5		0ss 4357	. . . . 5 ⊢ ∅ ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝒫 (𝑅1‘𝑥)
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ 𝐴 = ∅) → ∅ ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝒫 (𝑅1‘𝑥))
7	4, 6	eqsstrd 3972	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ 𝐴 = ∅) → (𝑅1‘𝐴) ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝒫 (𝑅1‘𝑥))
8		nfv 1947	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐴 ∈ dom 𝑅1
9		nfcv 2927	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑅1‘𝐴)
10		nfiu1 4994	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝒫 (𝑅1‘𝑥)
11	9, 10	nfss 3931	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑅1‘𝐴) ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝒫 (𝑅1‘𝑥)
12		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ 𝐴 = suc 𝑥) → 𝐴 = suc 𝑥)
13	12	fveq2d 6889	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ 𝐴 = suc 𝑥) → (𝑅1‘𝐴) = (𝑅1‘suc 𝑥))
14		eleq1 2853	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 = suc 𝑥 → (𝐴 ∈ dom 𝑅1 ↔ suc 𝑥 ∈ dom 𝑅1))
15	14	biimpac 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ 𝐴 = suc 𝑥) → suc 𝑥 ∈ dom 𝑅1)
16		r1funlim 9741	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
17	16	simpri 491	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Lim dom 𝑅1
18		limsuc 7847	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Lim dom 𝑅1 → (𝑥 ∈ dom 𝑅1 ↔ suc 𝑥 ∈ dom 𝑅1))
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ dom 𝑅1 ↔ suc 𝑥 ∈ dom 𝑅1)
20	15, 19	sylibr 237	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ 𝐴 = suc 𝑥) → 𝑥 ∈ dom 𝑅1)
21		r1sucg 9744	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘suc 𝑥) = 𝒫 (𝑅1‘𝑥))
22	20, 21	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ 𝐴 = suc 𝑥) → (𝑅1‘suc 𝑥) = 𝒫 (𝑅1‘𝑥))
23	13, 22	eqtrd 2800	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ 𝐴 = suc 𝑥) → (𝑅1‘𝐴) = 𝒫 (𝑅1‘𝑥))
24		vex 3461	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑥 ∈ V
25	24	sucid 6449	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑥 ∈ suc 𝑥
26	25, 12	eleqtrrid 2872	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ 𝐴 = suc 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐴)
27		ssiun2 5014	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝒫 (𝑅1‘𝑥) ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝒫 (𝑅1‘𝑥))
28	26, 27	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ 𝐴 = suc 𝑥) → 𝒫 (𝑅1‘𝑥) ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝒫 (𝑅1‘𝑥))
29	23, 28	eqsstrd 3972	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ 𝐴 = suc 𝑥) → (𝑅1‘𝐴) ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝒫 (𝑅1‘𝑥))
30	29	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (𝐴 = suc 𝑥 → (𝑅1‘𝐴) ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝒫 (𝑅1‘𝑥)))
31	30	a1d 26	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (𝑥 ∈ On → (𝐴 = suc 𝑥 → (𝑅1‘𝐴) ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝒫 (𝑅1‘𝑥))))
32	8, 11, 31	rexlimd 3274	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥 → (𝑅1‘𝐴) ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝒫 (𝑅1‘𝑥)))
33	32	imp 412	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ ∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥) → (𝑅1‘𝐴) ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝒫 (𝑅1‘𝑥))
34		r1limg 9746	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ Lim 𝐴) → (𝑅1‘𝐴) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑅1‘𝑥))
35		r1tr 9751	. . . . . . . . 9 ⊢ Tr (𝑅1‘𝑥)
36		dftr4 5226	. . . . . . . . 9 ⊢ (Tr (𝑅1‘𝑥) ↔ (𝑅1‘𝑥) ⊆ 𝒫 (𝑅1‘𝑥))
37	35, 36	mpbi 233	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅1‘𝑥) ⊆ 𝒫 (𝑅1‘𝑥)
38	37	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ Lim 𝐴) → (𝑅1‘𝑥) ⊆ 𝒫 (𝑅1‘𝑥))
39	38	ralrimivw 3163	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ Lim 𝐴) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑅1‘𝑥) ⊆ 𝒫 (𝑅1‘𝑥))
40		ss2iun 4977	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑅1‘𝑥) ⊆ 𝒫 (𝑅1‘𝑥) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑅1‘𝑥) ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝒫 (𝑅1‘𝑥))
41	39, 40	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ Lim 𝐴) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑅1‘𝑥) ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝒫 (𝑅1‘𝑥))
42	34, 41	eqsstrd 3972	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ Lim 𝐴) → (𝑅1‘𝐴) ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝒫 (𝑅1‘𝑥))
43	42	adantrl 729	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ (𝐴 ∈ V ∧ Lim 𝐴)) → (𝑅1‘𝐴) ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝒫 (𝑅1‘𝑥))
44		limord 6426	. . . . . . 7 ⊢ (Lim dom 𝑅1 → Ord dom 𝑅1)
45	17, 44	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ Ord dom 𝑅1
46		ordsson 7784	. . . . . 6 ⊢ (Ord dom 𝑅1 → dom 𝑅1 ⊆ On)
47	45, 46	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ dom 𝑅1 ⊆ On
48	47	sseli 3934	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → 𝐴 ∈ On)
49		onzsl 7844	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On ↔ (𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥 ∨ (𝐴 ∈ V ∧ Lim 𝐴)))
50	48, 49	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥 ∨ (𝐴 ∈ V ∧ Lim 𝐴)))
51	7, 33, 43, 50	mpjao3dan 1459	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘𝐴) ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝒫 (𝑅1‘𝑥))
52		ordtr1 6409	. . . . . . . 8 ⊢ (Ord dom 𝑅1 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑅1) → 𝑥 ∈ dom 𝑅1))
53	45, 52	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑅1) → 𝑥 ∈ dom 𝑅1)
54	53	ancoms 464	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ dom 𝑅1)
55	54, 21	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑅1‘suc 𝑥) = 𝒫 (𝑅1‘𝑥))
56		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
57		ordelord 6386	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Ord dom 𝑅1 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑅1) → Ord 𝐴)
58	45, 57	mpan 703	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → Ord 𝐴)
59	58	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → Ord 𝐴)
60		ordelsuc 7818	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ Ord 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ suc 𝑥 ⊆ 𝐴))
61	56, 59, 60	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ suc 𝑥 ⊆ 𝐴))
62	56, 61	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → suc 𝑥 ⊆ 𝐴)
63	54, 19	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → suc 𝑥 ∈ dom 𝑅1)
64		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ dom 𝑅1)
65		r1ord3g 9754	. . . . . . 7 ⊢ ((suc 𝑥 ∈ dom 𝑅1 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑅1) → (suc 𝑥 ⊆ 𝐴 → (𝑅1‘suc 𝑥) ⊆ (𝑅1‘𝐴)))
66	63, 64, 65	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (suc 𝑥 ⊆ 𝐴 → (𝑅1‘suc 𝑥) ⊆ (𝑅1‘𝐴)))
67	62, 66	mpd 16	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑅1‘suc 𝑥) ⊆ (𝑅1‘𝐴))
68	55, 67	eqsstrrd 3973	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝒫 (𝑅1‘𝑥) ⊆ (𝑅1‘𝐴))
69	68	ralrimiva 3159	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝒫 (𝑅1‘𝑥) ⊆ (𝑅1‘𝐴))
70		iunss 5011	. . 3 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝒫 (𝑅1‘𝑥) ⊆ (𝑅1‘𝐴) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝒫 (𝑅1‘𝑥) ⊆ (𝑅1‘𝐴))
71	69, 70	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝒫 (𝑅1‘𝑥) ⊆ (𝑅1‘𝐴))
72	51, 71	eqssd 3955	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘𝐴) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝒫 (𝑅1‘𝑥))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ w3o 1102   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  ∃wrex 3091  Vcvv 3457   ⊆ wss 3906  ∅c0 4286  𝒫 cpw 4564  ∪ ciun 4958  Tr wtr 5220  dom cdm 5663  Ord word 6363  Oncon0 6364  Lim wlim 6365  suc csuc 6366  Fun wfun 6534  ‘cfv 6540  𝑅₁cr1 9737

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7419  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-r1 9739

This theorem is used by:  rankr1ai  9773  r1val3  9813