MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r1val1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem r1val1 9824
Description: The value of the cumulative hierarchy of sets function expressed recursively. Theorem 7Q of [Enderton] p. 202. (Contributed by NM, 25-Nov-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
r1val1 (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝐴) = 𝑥𝐴 𝒫 (𝑅1𝑥))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem r1val1
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐴 = ∅) → 𝐴 = ∅)
21fveq2d 6911 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐴 = ∅) → (𝑅1𝐴) = (𝑅1‘∅))
3 r10 9806 . . . . 5 (𝑅1‘∅) = ∅
42, 3eqtrdi 2791 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐴 = ∅) → (𝑅1𝐴) = ∅)
5 0ss 4406 . . . . 5 ∅ ⊆ 𝑥𝐴 𝒫 (𝑅1𝑥)
65a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐴 = ∅) → ∅ ⊆ 𝑥𝐴 𝒫 (𝑅1𝑥))
74, 6eqsstrd 4034 . . 3 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐴 = ∅) → (𝑅1𝐴) ⊆ 𝑥𝐴 𝒫 (𝑅1𝑥))
8 nfv 1912 . . . . 5 𝑥 𝐴 ∈ dom 𝑅1
9 nfcv 2903 . . . . . 6 𝑥(𝑅1𝐴)
10 nfiu1 5032 . . . . . 6 𝑥 𝑥𝐴 𝒫 (𝑅1𝑥)
119, 10nfss 3988 . . . . 5 𝑥(𝑅1𝐴) ⊆ 𝑥𝐴 𝒫 (𝑅1𝑥)
12 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐴 = suc 𝑥) → 𝐴 = suc 𝑥)
1312fveq2d 6911 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐴 = suc 𝑥) → (𝑅1𝐴) = (𝑅1‘suc 𝑥))
14 eleq1 2827 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = suc 𝑥 → (𝐴 ∈ dom 𝑅1 ↔ suc 𝑥 ∈ dom 𝑅1))
1514biimpac 478 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐴 = suc 𝑥) → suc 𝑥 ∈ dom 𝑅1)
16 r1funlim 9804 . . . . . . . . . . . . 13 (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
1716simpri 485 . . . . . . . . . . . 12 Lim dom 𝑅1
18 limsuc 7870 . . . . . . . . . . . 12 (Lim dom 𝑅1 → (𝑥 ∈ dom 𝑅1 ↔ suc 𝑥 ∈ dom 𝑅1))
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ dom 𝑅1 ↔ suc 𝑥 ∈ dom 𝑅1)
2015, 19sylibr 234 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐴 = suc 𝑥) → 𝑥 ∈ dom 𝑅1)
21 r1sucg 9807 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘suc 𝑥) = 𝒫 (𝑅1𝑥))
2220, 21syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐴 = suc 𝑥) → (𝑅1‘suc 𝑥) = 𝒫 (𝑅1𝑥))
2313, 22eqtrd 2775 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐴 = suc 𝑥) → (𝑅1𝐴) = 𝒫 (𝑅1𝑥))
24 vex 3482 . . . . . . . . . . 11 𝑥 ∈ V
2524sucid 6468 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ suc 𝑥
2625, 12eleqtrrid 2846 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐴 = suc 𝑥) → 𝑥𝐴)
27 ssiun2 5052 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐴 → 𝒫 (𝑅1𝑥) ⊆ 𝑥𝐴 𝒫 (𝑅1𝑥))
2826, 27syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐴 = suc 𝑥) → 𝒫 (𝑅1𝑥) ⊆ 𝑥𝐴 𝒫 (𝑅1𝑥))
2923, 28eqsstrd 4034 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐴 = suc 𝑥) → (𝑅1𝐴) ⊆ 𝑥𝐴 𝒫 (𝑅1𝑥))
3029ex 412 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (𝐴 = suc 𝑥 → (𝑅1𝐴) ⊆ 𝑥𝐴 𝒫 (𝑅1𝑥)))
3130a1d 25 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (𝑥 ∈ On → (𝐴 = suc 𝑥 → (𝑅1𝐴) ⊆ 𝑥𝐴 𝒫 (𝑅1𝑥))))
328, 11, 31rexlimd 3264 . . . 4 (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥 → (𝑅1𝐴) ⊆ 𝑥𝐴 𝒫 (𝑅1𝑥)))
3332imp 406 . . 3 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ ∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥) → (𝑅1𝐴) ⊆ 𝑥𝐴 𝒫 (𝑅1𝑥))
34 r1limg 9809 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ Lim 𝐴) → (𝑅1𝐴) = 𝑥𝐴 (𝑅1𝑥))
35 r1tr 9814 . . . . . . . . 9 Tr (𝑅1𝑥)
36 dftr4 5272 . . . . . . . . 9 (Tr (𝑅1𝑥) ↔ (𝑅1𝑥) ⊆ 𝒫 (𝑅1𝑥))
3735, 36mpbi 230 . . . . . . . 8 (𝑅1𝑥) ⊆ 𝒫 (𝑅1𝑥)
3837a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ Lim 𝐴) → (𝑅1𝑥) ⊆ 𝒫 (𝑅1𝑥))
3938ralrimivw 3148 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ Lim 𝐴) → ∀𝑥𝐴 (𝑅1𝑥) ⊆ 𝒫 (𝑅1𝑥))
40 ss2iun 5015 . . . . . 6 (∀𝑥𝐴 (𝑅1𝑥) ⊆ 𝒫 (𝑅1𝑥) → 𝑥𝐴 (𝑅1𝑥) ⊆ 𝑥𝐴 𝒫 (𝑅1𝑥))
4139, 40syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ Lim 𝐴) → 𝑥𝐴 (𝑅1𝑥) ⊆ 𝑥𝐴 𝒫 (𝑅1𝑥))
4234, 41eqsstrd 4034 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ Lim 𝐴) → (𝑅1𝐴) ⊆ 𝑥𝐴 𝒫 (𝑅1𝑥))
4342adantrl 716 . . 3 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1 ∧ (𝐴 ∈ V ∧ Lim 𝐴)) → (𝑅1𝐴) ⊆ 𝑥𝐴 𝒫 (𝑅1𝑥))
44 limord 6446 . . . . . . 7 (Lim dom 𝑅1 → Ord dom 𝑅1)
4517, 44ax-mp 5 . . . . . 6 Ord dom 𝑅1
46 ordsson 7802 . . . . . 6 (Ord dom 𝑅1 → dom 𝑅1 ⊆ On)
4745, 46ax-mp 5 . . . . 5 dom 𝑅1 ⊆ On
4847sseli 3991 . . . 4 (𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐴 ∈ On)
49 onzsl 7867 . . . 4 (𝐴 ∈ On ↔ (𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥 ∨ (𝐴 ∈ V ∧ Lim 𝐴)))
5048, 49sylib 218 . . 3 (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥 ∨ (𝐴 ∈ V ∧ Lim 𝐴)))
517, 33, 43, 50mpjao3dan 1431 . 2 (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝐴) ⊆ 𝑥𝐴 𝒫 (𝑅1𝑥))
52 ordtr1 6429 . . . . . . . 8 (Ord dom 𝑅1 → ((𝑥𝐴𝐴 ∈ dom 𝑅1) → 𝑥 ∈ dom 𝑅1))
5345, 52ax-mp 5 . . . . . . 7 ((𝑥𝐴𝐴 ∈ dom 𝑅1) → 𝑥 ∈ dom 𝑅1)
5453ancoms 458 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ dom 𝑅1)
5554, 21syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝑥𝐴) → (𝑅1‘suc 𝑥) = 𝒫 (𝑅1𝑥))
56 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
57 ordelord 6408 . . . . . . . . . 10 ((Ord dom 𝑅1𝐴 ∈ dom 𝑅1) → Ord 𝐴)
5845, 57mpan 690 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → Ord 𝐴)
5958adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝑥𝐴) → Ord 𝐴)
60 ordelsuc 7840 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴 ∧ Ord 𝐴) → (𝑥𝐴 ↔ suc 𝑥𝐴))
6156, 59, 60syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝑥𝐴) → (𝑥𝐴 ↔ suc 𝑥𝐴))
6256, 61mpbid 232 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝑥𝐴) → suc 𝑥𝐴)
6354, 19sylib 218 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝑥𝐴) → suc 𝑥 ∈ dom 𝑅1)
64 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝑥𝐴) → 𝐴 ∈ dom 𝑅1)
65 r1ord3g 9817 . . . . . . 7 ((suc 𝑥 ∈ dom 𝑅1𝐴 ∈ dom 𝑅1) → (suc 𝑥𝐴 → (𝑅1‘suc 𝑥) ⊆ (𝑅1𝐴)))
6663, 64, 65syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝑥𝐴) → (suc 𝑥𝐴 → (𝑅1‘suc 𝑥) ⊆ (𝑅1𝐴)))
6762, 66mpd 15 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝑥𝐴) → (𝑅1‘suc 𝑥) ⊆ (𝑅1𝐴))
6855, 67eqsstrrd 4035 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝑥𝐴) → 𝒫 (𝑅1𝑥) ⊆ (𝑅1𝐴))
6968ralrimiva 3144 . . 3 (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → ∀𝑥𝐴 𝒫 (𝑅1𝑥) ⊆ (𝑅1𝐴))
70 iunss 5050 . . 3 ( 𝑥𝐴 𝒫 (𝑅1𝑥) ⊆ (𝑅1𝐴) ↔ ∀𝑥𝐴 𝒫 (𝑅1𝑥) ⊆ (𝑅1𝐴))
7169, 70sylibr 234 . 2 (𝐴 ∈ dom 𝑅1 𝑥𝐴 𝒫 (𝑅1𝑥) ⊆ (𝑅1𝐴))
7251, 71eqssd 4013 1 (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝐴) = 𝑥𝐴 𝒫 (𝑅1𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3o 1085   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  wrex 3068  Vcvv 3478  wss 3963  c0 4339  𝒫 cpw 4605   ciun 4996  Tr wtr 5265  dom cdm 5689  Ord word 6385  Oncon0 6386  Lim wlim 6387  suc csuc 6388  Fun wfun 6557  cfv 6563  𝑅1cr1 9800
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-r1 9802
This theorem is referenced by:  rankr1ai  9836  r1val3  9876
  Copyright terms: Public domain W3C validator