MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smores2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smores2 8301
Description: A strictly monotone ordinal function restricted to an ordinal is still monotone. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Mar-2013.)
Assertion
Ref Expression
smores2 ((Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐴) β†’ Smo (𝐹 β†Ύ 𝐴))

Proof of Theorem smores2
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfsmo2 8294 . . . . . . 7 (Smo 𝐹 ↔ (𝐹:dom 𝐹⟢On ∧ Ord dom 𝐹 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ dom πΉβˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘₯)))
21simp1bi 1146 . . . . . 6 (Smo 𝐹 β†’ 𝐹:dom 𝐹⟢On)
32ffund 6673 . . . . 5 (Smo 𝐹 β†’ Fun 𝐹)
4 funres 6544 . . . . . 6 (Fun 𝐹 β†’ Fun (𝐹 β†Ύ 𝐴))
54funfnd 6533 . . . . 5 (Fun 𝐹 β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) Fn dom (𝐹 β†Ύ 𝐴))
63, 5syl 17 . . . 4 (Smo 𝐹 β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) Fn dom (𝐹 β†Ύ 𝐴))
7 df-ima 5647 . . . . . 6 (𝐹 β€œ 𝐴) = ran (𝐹 β†Ύ 𝐴)
8 imassrn 6025 . . . . . 6 (𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† ran 𝐹
97, 8eqsstrri 3980 . . . . 5 ran (𝐹 β†Ύ 𝐴) βŠ† ran 𝐹
102frnd 6677 . . . . 5 (Smo 𝐹 β†’ ran 𝐹 βŠ† On)
119, 10sstrid 3956 . . . 4 (Smo 𝐹 β†’ ran (𝐹 β†Ύ 𝐴) βŠ† On)
12 df-f 6501 . . . 4 ((𝐹 β†Ύ 𝐴):dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)⟢On ↔ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) Fn dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∧ ran (𝐹 β†Ύ 𝐴) βŠ† On))
136, 11, 12sylanbrc 584 . . 3 (Smo 𝐹 β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴):dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)⟢On)
1413adantr 482 . 2 ((Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐴) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴):dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)⟢On)
15 smodm 8298 . . 3 (Smo 𝐹 β†’ Ord dom 𝐹)
16 ordin 6348 . . . . 5 ((Ord 𝐴 ∧ Ord dom 𝐹) β†’ Ord (𝐴 ∩ dom 𝐹))
17 dmres 5960 . . . . . 6 dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) = (𝐴 ∩ dom 𝐹)
18 ordeq 6325 . . . . . 6 (dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) = (𝐴 ∩ dom 𝐹) β†’ (Ord dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) ↔ Ord (𝐴 ∩ dom 𝐹)))
1917, 18ax-mp 5 . . . . 5 (Ord dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) ↔ Ord (𝐴 ∩ dom 𝐹))
2016, 19sylibr 233 . . . 4 ((Ord 𝐴 ∧ Ord dom 𝐹) β†’ Ord dom (𝐹 β†Ύ 𝐴))
2120ancoms 460 . . 3 ((Ord dom 𝐹 ∧ Ord 𝐴) β†’ Ord dom (𝐹 β†Ύ 𝐴))
2215, 21sylan 581 . 2 ((Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐴) β†’ Ord dom (𝐹 β†Ύ 𝐴))
23 resss 5963 . . . . . 6 (𝐹 β†Ύ 𝐴) βŠ† 𝐹
24 dmss 5859 . . . . . 6 ((𝐹 β†Ύ 𝐴) βŠ† 𝐹 β†’ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) βŠ† dom 𝐹)
2523, 24ax-mp 5 . . . . 5 dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) βŠ† dom 𝐹
261simp3bi 1148 . . . . 5 (Smo 𝐹 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ dom πΉβˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘₯))
27 ssralv 4011 . . . . 5 (dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) βŠ† dom 𝐹 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ dom πΉβˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘₯) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘₯)))
2825, 26, 27mpsyl 68 . . . 4 (Smo 𝐹 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘₯))
2928adantr 482 . . 3 ((Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐴) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘₯))
30 ordtr1 6361 . . . . . . . . . . 11 (Ord dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) β†’ ((𝑦 ∈ π‘₯ ∧ π‘₯ ∈ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)) β†’ 𝑦 ∈ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)))
3122, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 ((Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐴) β†’ ((𝑦 ∈ π‘₯ ∧ π‘₯ ∈ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)) β†’ 𝑦 ∈ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)))
32 inss1 4189 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∩ dom 𝐹) βŠ† 𝐴
3317, 32eqsstri 3979 . . . . . . . . . . 11 dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) βŠ† 𝐴
3433sseli 3941 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ 𝐴)
3531, 34syl6 35 . . . . . . . . 9 ((Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐴) β†’ ((𝑦 ∈ π‘₯ ∧ π‘₯ ∈ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐴))
3635expcomd 418 . . . . . . . 8 ((Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) β†’ (𝑦 ∈ π‘₯ β†’ 𝑦 ∈ 𝐴)))
3736imp31 419 . . . . . . 7 ((((Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ 𝑦 ∈ 𝐴)
3837fvresd 6863 . . . . . 6 ((((Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘¦))
3933sseli 3941 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
4039fvresd 6863 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
4140ad2antlr 726 . . . . . 6 ((((Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
4238, 41eleq12d 2828 . . . . 5 ((((Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ (((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘₯) ↔ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘₯)))
4342ralbidva 3169 . . . 4 (((Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘₯) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘₯)))
4443ralbidva 3169 . . 3 ((Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐴) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘₯)))
4529, 44mpbird 257 . 2 ((Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐴) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘₯))
46 dfsmo2 8294 . 2 (Smo (𝐹 β†Ύ 𝐴) ↔ ((𝐹 β†Ύ 𝐴):dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)⟢On ∧ Ord dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘₯)))
4714, 22, 45, 46syl3anbrc 1344 1 ((Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐴) β†’ Smo (𝐹 β†Ύ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  dom cdm 5634  ran crn 5635   β†Ύ cres 5636   β€œ cima 5637  Ord word 6317  Oncon0 6318  Fun wfun 6491   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  Smo wsmo 8292
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-11 2155  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-tr 5224  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-ord 6321  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-fv 6505  df-smo 8293
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator