MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smores2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem smores2 8356
Description: A strictly monotone ordinal function restricted to an ordinal is still monotone. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Mar-2013.)
Assertion
Ref Expression
smores2 ((Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐴) β†’ Smo (𝐹 β†Ύ 𝐴))
Proof of Theorem smores2
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfsmo2 8349 . . . . . . 7 (Smo 𝐹 ↔ (𝐹:dom 𝐹⟢On ∧ Ord dom 𝐹 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ dom πΉβˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘₯)))
21simp1bi 1143 . . . . . 6 (Smo 𝐹 β†’ 𝐹:dom 𝐹⟢On)
32ffund 6720 . . . . 5 (Smo 𝐹 β†’ Fun 𝐹)
4 funres 6589 . . . . . 6 (Fun 𝐹 β†’ Fun (𝐹 β†Ύ 𝐴))
54funfnd 6578 . . . . 5 (Fun 𝐹 β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) Fn dom (𝐹 β†Ύ 𝐴))
63, 5syl 17 . . . 4 (Smo 𝐹 β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) Fn dom (𝐹 β†Ύ 𝐴))
7 df-ima 5688 . . . . . 6 (𝐹 β€œ 𝐴) = ran (𝐹 β†Ύ 𝐴)
8 imassrn 6069 . . . . . 6 (𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† ran 𝐹
97, 8eqsstrri 4016 . . . . 5 ran (𝐹 β†Ύ 𝐴) βŠ† ran 𝐹
102frnd 6724 . . . . 5 (Smo 𝐹 β†’ ran 𝐹 βŠ† On)
119, 10sstrid 3992 . . . 4 (Smo 𝐹 β†’ ran (𝐹 β†Ύ 𝐴) βŠ† On)
12 df-f 6546 . . . 4 ((𝐹 β†Ύ 𝐴):dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)⟢On ↔ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) Fn dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∧ ran (𝐹 β†Ύ 𝐴) βŠ† On))
136, 11, 12sylanbrc 581 . . 3 (Smo 𝐹 β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴):dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)⟢On)
1413adantr 479 . 2 ((Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐴) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴):dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)⟢On)
15 smodm 8353 . . 3 (Smo 𝐹 β†’ Ord dom 𝐹)
16 ordin 6393 . . . . 5 ((Ord 𝐴 ∧ Ord dom 𝐹) β†’ Ord (𝐴 ∩ dom 𝐹))
17 dmres 6002 . . . . . 6 dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) = (𝐴 ∩ dom 𝐹)
18 ordeq 6370 . . . . . 6 (dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) = (𝐴 ∩ dom 𝐹) β†’ (Ord dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) ↔ Ord (𝐴 ∩ dom 𝐹)))
1917, 18ax-mp 5 . . . . 5 (Ord dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) ↔ Ord (𝐴 ∩ dom 𝐹))
2016, 19sylibr 233 . . . 4 ((Ord 𝐴 ∧ Ord dom 𝐹) β†’ Ord dom (𝐹 β†Ύ 𝐴))
2120ancoms 457 . . 3 ((Ord dom 𝐹 ∧ Ord 𝐴) β†’ Ord dom (𝐹 β†Ύ 𝐴))
2215, 21sylan 578 . 2 ((Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐴) β†’ Ord dom (𝐹 β†Ύ 𝐴))
23 resss 6005 . . . . . 6 (𝐹 β†Ύ 𝐴) βŠ† 𝐹
24 dmss 5901 . . . . . 6 ((𝐹 β†Ύ 𝐴) βŠ† 𝐹 β†’ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) βŠ† dom 𝐹)
2523, 24ax-mp 5 . . . . 5 dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) βŠ† dom 𝐹
261simp3bi 1145 . . . . 5 (Smo 𝐹 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ dom πΉβˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘₯))
27 ssralv 4049 . . . . 5 (dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) βŠ† dom 𝐹 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ dom πΉβˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘₯) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘₯)))
2825, 26, 27mpsyl 68 . . . 4 (Smo 𝐹 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘₯))
2928adantr 479 . . 3 ((Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐴) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘₯))
30 ordtr1 6406 . . . . . . . . . . 11 (Ord dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) β†’ ((𝑦 ∈ π‘₯ ∧ π‘₯ ∈ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)) β†’ 𝑦 ∈ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)))
3122, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 ((Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐴) β†’ ((𝑦 ∈ π‘₯ ∧ π‘₯ ∈ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)) β†’ 𝑦 ∈ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)))
32 inss1 4227 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∩ dom 𝐹) βŠ† 𝐴
3317, 32eqsstri 4015 . . . . . . . . . . 11 dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) βŠ† 𝐴
3433sseli 3977 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ 𝐴)
3531, 34syl6 35 . . . . . . . . 9 ((Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐴) β†’ ((𝑦 ∈ π‘₯ ∧ π‘₯ ∈ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐴))
3635expcomd 415 . . . . . . . 8 ((Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) β†’ (𝑦 ∈ π‘₯ β†’ 𝑦 ∈ 𝐴)))
3736imp31 416 . . . . . . 7 ((((Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ 𝑦 ∈ 𝐴)
3837fvresd 6910 . . . . . 6 ((((Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘¦))
3933sseli 3977 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
4039fvresd 6910 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
4140ad2antlr 723 . . . . . 6 ((((Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
4238, 41eleq12d 2825 . . . . 5 ((((Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ (((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘₯) ↔ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘₯)))
4342ralbidva 3173 . . . 4 (((Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘₯) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘₯)))
4443ralbidva 3173 . . 3 ((Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐴) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘₯)))
4529, 44mpbird 256 . 2 ((Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐴) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘₯))
46 dfsmo2 8349 . 2 (Smo (𝐹 β†Ύ 𝐴) ↔ ((𝐹 β†Ύ 𝐴):dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)⟢On ∧ Ord dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘₯)))
4714, 22, 45, 46syl3anbrc 1341 1 ((Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐴) β†’ Smo (𝐹 β†Ύ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  dom cdm 5675  ran crn 5676   β†Ύ cres 5677   β€œ cima 5678  Ord word 6362  Oncon0 6363  Fun wfun 6536   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  Smo wsmo 8347
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-11 2152  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-tr 5265  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6366  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-fv 6550  df-smo 8348
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator