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Theorem r1ordg 9772
Description: Ordering relation for the cumulative hierarchy of sets. Part of Proposition 9.10(2) of [TakeutiZaring] p. 77. (Contributed by NM, 8-Sep-2003.)
Assertion
Ref Expression
r1ordg (𝐵 ∈ dom 𝑅1 → (𝐴𝐵 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝐵)))

Proof of Theorem r1ordg
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . . 4 ((𝐵 ∈ dom 𝑅1𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ dom 𝑅1)
2 r1funlim 9760 . . . . . . . 8 (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
32simpri 486 . . . . . . 7 Lim dom 𝑅1
4 limord 6424 . . . . . . 7 (Lim dom 𝑅1 → Ord dom 𝑅1)
53, 4ax-mp 5 . . . . . 6 Ord dom 𝑅1
6 ordsson 7769 . . . . . 6 (Ord dom 𝑅1 → dom 𝑅1 ⊆ On)
75, 6ax-mp 5 . . . . 5 dom 𝑅1 ⊆ On
87sseli 3978 . . . 4 (𝐵 ∈ dom 𝑅1𝐵 ∈ On)
91, 8syl 17 . . 3 ((𝐵 ∈ dom 𝑅1𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ On)
10 onelon 6389 . . . . 5 ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ On)
118, 10sylan 580 . . . 4 ((𝐵 ∈ dom 𝑅1𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ On)
12 onsuc 7798 . . . 4 (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ On)
1311, 12syl 17 . . 3 ((𝐵 ∈ dom 𝑅1𝐴𝐵) → suc 𝐴 ∈ On)
14 eloni 6374 . . . . . 6 (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
15 ordsucss 7805 . . . . . 6 (Ord 𝐵 → (𝐴𝐵 → suc 𝐴𝐵))
1614, 15syl 17 . . . . 5 (𝐵 ∈ On → (𝐴𝐵 → suc 𝐴𝐵))
1716imp 407 . . . 4 ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴𝐵) → suc 𝐴𝐵)
188, 17sylan 580 . . 3 ((𝐵 ∈ dom 𝑅1𝐴𝐵) → suc 𝐴𝐵)
19 eleq1 2821 . . . . . 6 (𝑥 = suc 𝐴 → (𝑥 ∈ dom 𝑅1 ↔ suc 𝐴 ∈ dom 𝑅1))
20 fveq2 6891 . . . . . . 7 (𝑥 = suc 𝐴 → (𝑅1𝑥) = (𝑅1‘suc 𝐴))
2120eleq2d 2819 . . . . . 6 (𝑥 = suc 𝐴 → ((𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝑥) ↔ (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1‘suc 𝐴)))
2219, 21imbi12d 344 . . . . 5 (𝑥 = suc 𝐴 → ((𝑥 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝑥)) ↔ (suc 𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1‘suc 𝐴))))
23 eleq1 2821 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ dom 𝑅1𝑦 ∈ dom 𝑅1))
24 fveq2 6891 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑅1𝑥) = (𝑅1𝑦))
2524eleq2d 2819 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝑥) ↔ (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝑦)))
2623, 25imbi12d 344 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝑥)) ↔ (𝑦 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝑦))))
27 eleq1 2821 . . . . . 6 (𝑥 = suc 𝑦 → (𝑥 ∈ dom 𝑅1 ↔ suc 𝑦 ∈ dom 𝑅1))
28 fveq2 6891 . . . . . . 7 (𝑥 = suc 𝑦 → (𝑅1𝑥) = (𝑅1‘suc 𝑦))
2928eleq2d 2819 . . . . . 6 (𝑥 = suc 𝑦 → ((𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝑥) ↔ (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1‘suc 𝑦)))
3027, 29imbi12d 344 . . . . 5 (𝑥 = suc 𝑦 → ((𝑥 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝑥)) ↔ (suc 𝑦 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1‘suc 𝑦))))
31 eleq1 2821 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ∈ dom 𝑅1𝐵 ∈ dom 𝑅1))
32 fveq2 6891 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → (𝑅1𝑥) = (𝑅1𝐵))
3332eleq2d 2819 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → ((𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝑥) ↔ (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝐵)))
3431, 33imbi12d 344 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝑥)) ↔ (𝐵 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝐵))))
35 fvex 6904 . . . . . . . 8 (𝑅1𝐴) ∈ V
3635pwid 4624 . . . . . . 7 (𝑅1𝐴) ∈ 𝒫 (𝑅1𝐴)
37 limsuc 7837 . . . . . . . . 9 (Lim dom 𝑅1 → (𝐴 ∈ dom 𝑅1 ↔ suc 𝐴 ∈ dom 𝑅1))
383, 37ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom 𝑅1 ↔ suc 𝐴 ∈ dom 𝑅1)
39 r1sucg 9763 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘suc 𝐴) = 𝒫 (𝑅1𝐴))
4038, 39sylbir 234 . . . . . . 7 (suc 𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘suc 𝐴) = 𝒫 (𝑅1𝐴))
4136, 40eleqtrrid 2840 . . . . . 6 (suc 𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1‘suc 𝐴))
4241a1i 11 . . . . 5 (suc 𝐴 ∈ On → (suc 𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1‘suc 𝐴)))
43 limsuc 7837 . . . . . . . 8 (Lim dom 𝑅1 → (𝑦 ∈ dom 𝑅1 ↔ suc 𝑦 ∈ dom 𝑅1))
443, 43ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ dom 𝑅1 ↔ suc 𝑦 ∈ dom 𝑅1)
45 r1tr 9770 . . . . . . . . . . 11 Tr (𝑅1𝑦)
46 dftr4 5272 . . . . . . . . . . 11 (Tr (𝑅1𝑦) ↔ (𝑅1𝑦) ⊆ 𝒫 (𝑅1𝑦))
4745, 46mpbi 229 . . . . . . . . . 10 (𝑅1𝑦) ⊆ 𝒫 (𝑅1𝑦)
48 r1sucg 9763 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘suc 𝑦) = 𝒫 (𝑅1𝑦))
4947, 48sseqtrrid 4035 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝑦) ⊆ (𝑅1‘suc 𝑦))
5049sseld 3981 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ dom 𝑅1 → ((𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝑦) → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1‘suc 𝑦)))
5150a2i 14 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝑦)) → (𝑦 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1‘suc 𝑦)))
5244, 51biimtrrid 242 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝑦)) → (suc 𝑦 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1‘suc 𝑦)))
5352a1i 11 . . . . 5 (((𝑦 ∈ On ∧ suc 𝐴 ∈ On) ∧ suc 𝐴𝑦) → ((𝑦 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝑦)) → (suc 𝑦 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1‘suc 𝑦))))
54 simprl 769 . . . . . . . . . . . 12 (((Lim 𝑥 ∧ suc 𝐴 ∈ On) ∧ (suc 𝐴𝑥𝑥 ∈ dom 𝑅1)) → suc 𝐴𝑥)
55 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . 14 (((Lim 𝑥 ∧ suc 𝐴 ∈ On) ∧ (suc 𝐴𝑥𝑥 ∈ dom 𝑅1)) → suc 𝐴 ∈ On)
56 onsucb 7804 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ On ↔ suc 𝐴 ∈ On)
5755, 56sylibr 233 . . . . . . . . . . . . 13 (((Lim 𝑥 ∧ suc 𝐴 ∈ On) ∧ (suc 𝐴𝑥𝑥 ∈ dom 𝑅1)) → 𝐴 ∈ On)
58 limord 6424 . . . . . . . . . . . . . 14 (Lim 𝑥 → Ord 𝑥)
5958ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((Lim 𝑥 ∧ suc 𝐴 ∈ On) ∧ (suc 𝐴𝑥𝑥 ∈ dom 𝑅1)) → Ord 𝑥)
60 ordelsuc 7807 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ On ∧ Ord 𝑥) → (𝐴𝑥 ↔ suc 𝐴𝑥))
6157, 59, 60syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((Lim 𝑥 ∧ suc 𝐴 ∈ On) ∧ (suc 𝐴𝑥𝑥 ∈ dom 𝑅1)) → (𝐴𝑥 ↔ suc 𝐴𝑥))
6254, 61mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 (((Lim 𝑥 ∧ suc 𝐴 ∈ On) ∧ (suc 𝐴𝑥𝑥 ∈ dom 𝑅1)) → 𝐴𝑥)
63 limsuc 7837 . . . . . . . . . . . 12 (Lim 𝑥 → (𝐴𝑥 ↔ suc 𝐴𝑥))
6463ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((Lim 𝑥 ∧ suc 𝐴 ∈ On) ∧ (suc 𝐴𝑥𝑥 ∈ dom 𝑅1)) → (𝐴𝑥 ↔ suc 𝐴𝑥))
6562, 64mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (((Lim 𝑥 ∧ suc 𝐴 ∈ On) ∧ (suc 𝐴𝑥𝑥 ∈ dom 𝑅1)) → suc 𝐴𝑥)
66 simprr 771 . . . . . . . . . . . . 13 (((Lim 𝑥 ∧ suc 𝐴 ∈ On) ∧ (suc 𝐴𝑥𝑥 ∈ dom 𝑅1)) → 𝑥 ∈ dom 𝑅1)
67 ordtr1 6407 . . . . . . . . . . . . . 14 (Ord dom 𝑅1 → ((𝐴𝑥𝑥 ∈ dom 𝑅1) → 𝐴 ∈ dom 𝑅1))
685, 67ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝑥𝑥 ∈ dom 𝑅1) → 𝐴 ∈ dom 𝑅1)
6962, 66, 68syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((Lim 𝑥 ∧ suc 𝐴 ∈ On) ∧ (suc 𝐴𝑥𝑥 ∈ dom 𝑅1)) → 𝐴 ∈ dom 𝑅1)
7069, 39syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((Lim 𝑥 ∧ suc 𝐴 ∈ On) ∧ (suc 𝐴𝑥𝑥 ∈ dom 𝑅1)) → (𝑅1‘suc 𝐴) = 𝒫 (𝑅1𝐴))
7136, 70eleqtrrid 2840 . . . . . . . . . 10 (((Lim 𝑥 ∧ suc 𝐴 ∈ On) ∧ (suc 𝐴𝑥𝑥 ∈ dom 𝑅1)) → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1‘suc 𝐴))
72 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = suc 𝐴 → (𝑅1𝑦) = (𝑅1‘suc 𝐴))
7372eleq2d 2819 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = suc 𝐴 → ((𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝑦) ↔ (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1‘suc 𝐴)))
7473rspcev 3612 . . . . . . . . . 10 ((suc 𝐴𝑥 ∧ (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1‘suc 𝐴)) → ∃𝑦𝑥 (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝑦))
7565, 71, 74syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((Lim 𝑥 ∧ suc 𝐴 ∈ On) ∧ (suc 𝐴𝑥𝑥 ∈ dom 𝑅1)) → ∃𝑦𝑥 (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝑦))
76 eliun 5001 . . . . . . . . 9 ((𝑅1𝐴) ∈ 𝑦𝑥 (𝑅1𝑦) ↔ ∃𝑦𝑥 (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝑦))
7775, 76sylibr 233 . . . . . . . 8 (((Lim 𝑥 ∧ suc 𝐴 ∈ On) ∧ (suc 𝐴𝑥𝑥 ∈ dom 𝑅1)) → (𝑅1𝐴) ∈ 𝑦𝑥 (𝑅1𝑦))
78 simpll 765 . . . . . . . . 9 (((Lim 𝑥 ∧ suc 𝐴 ∈ On) ∧ (suc 𝐴𝑥𝑥 ∈ dom 𝑅1)) → Lim 𝑥)
79 r1limg 9765 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ dom 𝑅1 ∧ Lim 𝑥) → (𝑅1𝑥) = 𝑦𝑥 (𝑅1𝑦))
8066, 78, 79syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((Lim 𝑥 ∧ suc 𝐴 ∈ On) ∧ (suc 𝐴𝑥𝑥 ∈ dom 𝑅1)) → (𝑅1𝑥) = 𝑦𝑥 (𝑅1𝑦))
8177, 80eleqtrrd 2836 . . . . . . 7 (((Lim 𝑥 ∧ suc 𝐴 ∈ On) ∧ (suc 𝐴𝑥𝑥 ∈ dom 𝑅1)) → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝑥))
8281expr 457 . . . . . 6 (((Lim 𝑥 ∧ suc 𝐴 ∈ On) ∧ suc 𝐴𝑥) → (𝑥 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝑥)))
8382a1d 25 . . . . 5 (((Lim 𝑥 ∧ suc 𝐴 ∈ On) ∧ suc 𝐴𝑥) → (∀𝑦𝑥 (suc 𝐴𝑦 → (𝑦 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝑦))) → (𝑥 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝑥))))
8422, 26, 30, 34, 42, 53, 83tfindsg 7849 . . . 4 (((𝐵 ∈ On ∧ suc 𝐴 ∈ On) ∧ suc 𝐴𝐵) → (𝐵 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝐵)))
8584impr 455 . . 3 (((𝐵 ∈ On ∧ suc 𝐴 ∈ On) ∧ (suc 𝐴𝐵𝐵 ∈ dom 𝑅1)) → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝐵))
869, 13, 18, 1, 85syl22anc 837 . 2 ((𝐵 ∈ dom 𝑅1𝐴𝐵) → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝐵))
8786ex 413 1 (𝐵 ∈ dom 𝑅1 → (𝐴𝐵 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3061  wrex 3070  wss 3948  𝒫 cpw 4602   ciun 4997  Tr wtr 5265  dom cdm 5676  Ord word 6363  Oncon0 6364  Lim wlim 6365  suc csuc 6366  Fun wfun 6537  cfv 6543  𝑅1cr1 9756
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-r1 9758
This theorem is referenced by:  r1ord3g  9773  r1ord  9774
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