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Theorem r1ordg 9815
Description: Ordering relation for the cumulative hierarchy of sets. Part of Proposition 9.10(2) of [TakeutiZaring] p. 77. (Contributed by NM, 8-Sep-2003.)
Assertion
Ref Expression
r1ordg (𝐵 ∈ dom 𝑅1 → (𝐴𝐵 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝐵)))

Proof of Theorem r1ordg
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . . 4 ((𝐵 ∈ dom 𝑅1𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ dom 𝑅1)
2 r1funlim 9803 . . . . . . . 8 (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
32simpri 485 . . . . . . 7 Lim dom 𝑅1
4 limord 6445 . . . . . . 7 (Lim dom 𝑅1 → Ord dom 𝑅1)
53, 4ax-mp 5 . . . . . 6 Ord dom 𝑅1
6 ordsson 7801 . . . . . 6 (Ord dom 𝑅1 → dom 𝑅1 ⊆ On)
75, 6ax-mp 5 . . . . 5 dom 𝑅1 ⊆ On
87sseli 3990 . . . 4 (𝐵 ∈ dom 𝑅1𝐵 ∈ On)
91, 8syl 17 . . 3 ((𝐵 ∈ dom 𝑅1𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ On)
10 onelon 6410 . . . . 5 ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ On)
118, 10sylan 580 . . . 4 ((𝐵 ∈ dom 𝑅1𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ On)
12 onsuc 7830 . . . 4 (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ On)
1311, 12syl 17 . . 3 ((𝐵 ∈ dom 𝑅1𝐴𝐵) → suc 𝐴 ∈ On)
14 eloni 6395 . . . . . 6 (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
15 ordsucss 7837 . . . . . 6 (Ord 𝐵 → (𝐴𝐵 → suc 𝐴𝐵))
1614, 15syl 17 . . . . 5 (𝐵 ∈ On → (𝐴𝐵 → suc 𝐴𝐵))
1716imp 406 . . . 4 ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴𝐵) → suc 𝐴𝐵)
188, 17sylan 580 . . 3 ((𝐵 ∈ dom 𝑅1𝐴𝐵) → suc 𝐴𝐵)
19 eleq1 2826 . . . . . 6 (𝑥 = suc 𝐴 → (𝑥 ∈ dom 𝑅1 ↔ suc 𝐴 ∈ dom 𝑅1))
20 fveq2 6906 . . . . . . 7 (𝑥 = suc 𝐴 → (𝑅1𝑥) = (𝑅1‘suc 𝐴))
2120eleq2d 2824 . . . . . 6 (𝑥 = suc 𝐴 → ((𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝑥) ↔ (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1‘suc 𝐴)))
2219, 21imbi12d 344 . . . . 5 (𝑥 = suc 𝐴 → ((𝑥 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝑥)) ↔ (suc 𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1‘suc 𝐴))))
23 eleq1 2826 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ dom 𝑅1𝑦 ∈ dom 𝑅1))
24 fveq2 6906 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑅1𝑥) = (𝑅1𝑦))
2524eleq2d 2824 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝑥) ↔ (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝑦)))
2623, 25imbi12d 344 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝑥)) ↔ (𝑦 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝑦))))
27 eleq1 2826 . . . . . 6 (𝑥 = suc 𝑦 → (𝑥 ∈ dom 𝑅1 ↔ suc 𝑦 ∈ dom 𝑅1))
28 fveq2 6906 . . . . . . 7 (𝑥 = suc 𝑦 → (𝑅1𝑥) = (𝑅1‘suc 𝑦))
2928eleq2d 2824 . . . . . 6 (𝑥 = suc 𝑦 → ((𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝑥) ↔ (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1‘suc 𝑦)))
3027, 29imbi12d 344 . . . . 5 (𝑥 = suc 𝑦 → ((𝑥 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝑥)) ↔ (suc 𝑦 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1‘suc 𝑦))))
31 eleq1 2826 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ∈ dom 𝑅1𝐵 ∈ dom 𝑅1))
32 fveq2 6906 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → (𝑅1𝑥) = (𝑅1𝐵))
3332eleq2d 2824 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → ((𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝑥) ↔ (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝐵)))
3431, 33imbi12d 344 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝑥)) ↔ (𝐵 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝐵))))
35 fvex 6919 . . . . . . . 8 (𝑅1𝐴) ∈ V
3635pwid 4626 . . . . . . 7 (𝑅1𝐴) ∈ 𝒫 (𝑅1𝐴)
37 limsuc 7869 . . . . . . . . 9 (Lim dom 𝑅1 → (𝐴 ∈ dom 𝑅1 ↔ suc 𝐴 ∈ dom 𝑅1))
383, 37ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom 𝑅1 ↔ suc 𝐴 ∈ dom 𝑅1)
39 r1sucg 9806 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘suc 𝐴) = 𝒫 (𝑅1𝐴))
4038, 39sylbir 235 . . . . . . 7 (suc 𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘suc 𝐴) = 𝒫 (𝑅1𝐴))
4136, 40eleqtrrid 2845 . . . . . 6 (suc 𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1‘suc 𝐴))
4241a1i 11 . . . . 5 (suc 𝐴 ∈ On → (suc 𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1‘suc 𝐴)))
43 limsuc 7869 . . . . . . . 8 (Lim dom 𝑅1 → (𝑦 ∈ dom 𝑅1 ↔ suc 𝑦 ∈ dom 𝑅1))
443, 43ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ dom 𝑅1 ↔ suc 𝑦 ∈ dom 𝑅1)
45 r1tr 9813 . . . . . . . . . . 11 Tr (𝑅1𝑦)
46 dftr4 5271 . . . . . . . . . . 11 (Tr (𝑅1𝑦) ↔ (𝑅1𝑦) ⊆ 𝒫 (𝑅1𝑦))
4745, 46mpbi 230 . . . . . . . . . 10 (𝑅1𝑦) ⊆ 𝒫 (𝑅1𝑦)
48 r1sucg 9806 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘suc 𝑦) = 𝒫 (𝑅1𝑦))
4947, 48sseqtrrid 4048 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝑦) ⊆ (𝑅1‘suc 𝑦))
5049sseld 3993 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ dom 𝑅1 → ((𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝑦) → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1‘suc 𝑦)))
5150a2i 14 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝑦)) → (𝑦 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1‘suc 𝑦)))
5244, 51biimtrrid 243 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝑦)) → (suc 𝑦 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1‘suc 𝑦)))
5352a1i 11 . . . . 5 (((𝑦 ∈ On ∧ suc 𝐴 ∈ On) ∧ suc 𝐴𝑦) → ((𝑦 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝑦)) → (suc 𝑦 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1‘suc 𝑦))))
54 simprl 771 . . . . . . . . . . . 12 (((Lim 𝑥 ∧ suc 𝐴 ∈ On) ∧ (suc 𝐴𝑥𝑥 ∈ dom 𝑅1)) → suc 𝐴𝑥)
55 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . 14 (((Lim 𝑥 ∧ suc 𝐴 ∈ On) ∧ (suc 𝐴𝑥𝑥 ∈ dom 𝑅1)) → suc 𝐴 ∈ On)
56 onsucb 7836 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ On ↔ suc 𝐴 ∈ On)
5755, 56sylibr 234 . . . . . . . . . . . . 13 (((Lim 𝑥 ∧ suc 𝐴 ∈ On) ∧ (suc 𝐴𝑥𝑥 ∈ dom 𝑅1)) → 𝐴 ∈ On)
58 limord 6445 . . . . . . . . . . . . . 14 (Lim 𝑥 → Ord 𝑥)
5958ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((Lim 𝑥 ∧ suc 𝐴 ∈ On) ∧ (suc 𝐴𝑥𝑥 ∈ dom 𝑅1)) → Ord 𝑥)
60 ordelsuc 7839 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ On ∧ Ord 𝑥) → (𝐴𝑥 ↔ suc 𝐴𝑥))
6157, 59, 60syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((Lim 𝑥 ∧ suc 𝐴 ∈ On) ∧ (suc 𝐴𝑥𝑥 ∈ dom 𝑅1)) → (𝐴𝑥 ↔ suc 𝐴𝑥))
6254, 61mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 (((Lim 𝑥 ∧ suc 𝐴 ∈ On) ∧ (suc 𝐴𝑥𝑥 ∈ dom 𝑅1)) → 𝐴𝑥)
63 limsuc 7869 . . . . . . . . . . . 12 (Lim 𝑥 → (𝐴𝑥 ↔ suc 𝐴𝑥))
6463ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((Lim 𝑥 ∧ suc 𝐴 ∈ On) ∧ (suc 𝐴𝑥𝑥 ∈ dom 𝑅1)) → (𝐴𝑥 ↔ suc 𝐴𝑥))
6562, 64mpbid 232 . . . . . . . . . 10 (((Lim 𝑥 ∧ suc 𝐴 ∈ On) ∧ (suc 𝐴𝑥𝑥 ∈ dom 𝑅1)) → suc 𝐴𝑥)
66 simprr 773 . . . . . . . . . . . . 13 (((Lim 𝑥 ∧ suc 𝐴 ∈ On) ∧ (suc 𝐴𝑥𝑥 ∈ dom 𝑅1)) → 𝑥 ∈ dom 𝑅1)
67 ordtr1 6428 . . . . . . . . . . . . . 14 (Ord dom 𝑅1 → ((𝐴𝑥𝑥 ∈ dom 𝑅1) → 𝐴 ∈ dom 𝑅1))
685, 67ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝑥𝑥 ∈ dom 𝑅1) → 𝐴 ∈ dom 𝑅1)
6962, 66, 68syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((Lim 𝑥 ∧ suc 𝐴 ∈ On) ∧ (suc 𝐴𝑥𝑥 ∈ dom 𝑅1)) → 𝐴 ∈ dom 𝑅1)
7069, 39syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((Lim 𝑥 ∧ suc 𝐴 ∈ On) ∧ (suc 𝐴𝑥𝑥 ∈ dom 𝑅1)) → (𝑅1‘suc 𝐴) = 𝒫 (𝑅1𝐴))
7136, 70eleqtrrid 2845 . . . . . . . . . 10 (((Lim 𝑥 ∧ suc 𝐴 ∈ On) ∧ (suc 𝐴𝑥𝑥 ∈ dom 𝑅1)) → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1‘suc 𝐴))
72 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = suc 𝐴 → (𝑅1𝑦) = (𝑅1‘suc 𝐴))
7372eleq2d 2824 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = suc 𝐴 → ((𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝑦) ↔ (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1‘suc 𝐴)))
7473rspcev 3621 . . . . . . . . . 10 ((suc 𝐴𝑥 ∧ (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1‘suc 𝐴)) → ∃𝑦𝑥 (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝑦))
7565, 71, 74syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((Lim 𝑥 ∧ suc 𝐴 ∈ On) ∧ (suc 𝐴𝑥𝑥 ∈ dom 𝑅1)) → ∃𝑦𝑥 (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝑦))
76 eliun 4999 . . . . . . . . 9 ((𝑅1𝐴) ∈ 𝑦𝑥 (𝑅1𝑦) ↔ ∃𝑦𝑥 (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝑦))
7775, 76sylibr 234 . . . . . . . 8 (((Lim 𝑥 ∧ suc 𝐴 ∈ On) ∧ (suc 𝐴𝑥𝑥 ∈ dom 𝑅1)) → (𝑅1𝐴) ∈ 𝑦𝑥 (𝑅1𝑦))
78 simpll 767 . . . . . . . . 9 (((Lim 𝑥 ∧ suc 𝐴 ∈ On) ∧ (suc 𝐴𝑥𝑥 ∈ dom 𝑅1)) → Lim 𝑥)
79 r1limg 9808 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ dom 𝑅1 ∧ Lim 𝑥) → (𝑅1𝑥) = 𝑦𝑥 (𝑅1𝑦))
8066, 78, 79syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((Lim 𝑥 ∧ suc 𝐴 ∈ On) ∧ (suc 𝐴𝑥𝑥 ∈ dom 𝑅1)) → (𝑅1𝑥) = 𝑦𝑥 (𝑅1𝑦))
8177, 80eleqtrrd 2841 . . . . . . 7 (((Lim 𝑥 ∧ suc 𝐴 ∈ On) ∧ (suc 𝐴𝑥𝑥 ∈ dom 𝑅1)) → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝑥))
8281expr 456 . . . . . 6 (((Lim 𝑥 ∧ suc 𝐴 ∈ On) ∧ suc 𝐴𝑥) → (𝑥 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝑥)))
8382a1d 25 . . . . 5 (((Lim 𝑥 ∧ suc 𝐴 ∈ On) ∧ suc 𝐴𝑥) → (∀𝑦𝑥 (suc 𝐴𝑦 → (𝑦 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝑦))) → (𝑥 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝑥))))
8422, 26, 30, 34, 42, 53, 83tfindsg 7881 . . . 4 (((𝐵 ∈ On ∧ suc 𝐴 ∈ On) ∧ suc 𝐴𝐵) → (𝐵 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝐵)))
8584impr 454 . . 3 (((𝐵 ∈ On ∧ suc 𝐴 ∈ On) ∧ (suc 𝐴𝐵𝐵 ∈ dom 𝑅1)) → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝐵))
869, 13, 18, 1, 85syl22anc 839 . 2 ((𝐵 ∈ dom 𝑅1𝐴𝐵) → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝐵))
8786ex 412 1 (𝐵 ∈ dom 𝑅1 → (𝐴𝐵 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wral 3058  wrex 3067  wss 3962  𝒫 cpw 4604   ciun 4995  Tr wtr 5264  dom cdm 5688  Ord word 6384  Oncon0 6385  Lim wlim 6386  suc csuc 6387  Fun wfun 6556  cfv 6562  𝑅1cr1 9799
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-r1 9801
This theorem is referenced by:  r1ord3g  9816  r1ord  9817
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