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Theorem r1ordg 9201
Description: Ordering relation for the cumulative hierarchy of sets. Part of Proposition 9.10(2) of [TakeutiZaring] p. 77. (Contributed by NM, 8-Sep-2003.)
Assertion
Ref Expression
r1ordg (𝐵 ∈ dom 𝑅1 → (𝐴𝐵 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝐵)))

Proof of Theorem r1ordg
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . . 4 ((𝐵 ∈ dom 𝑅1𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ dom 𝑅1)
2 r1funlim 9189 . . . . . . . 8 (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
32simpri 486 . . . . . . 7 Lim dom 𝑅1
4 limord 6249 . . . . . . 7 (Lim dom 𝑅1 → Ord dom 𝑅1)
53, 4ax-mp 5 . . . . . 6 Ord dom 𝑅1
6 ordsson 7497 . . . . . 6 (Ord dom 𝑅1 → dom 𝑅1 ⊆ On)
75, 6ax-mp 5 . . . . 5 dom 𝑅1 ⊆ On
87sseli 3967 . . . 4 (𝐵 ∈ dom 𝑅1𝐵 ∈ On)
91, 8syl 17 . . 3 ((𝐵 ∈ dom 𝑅1𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ On)
10 onelon 6215 . . . . 5 ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ On)
118, 10sylan 580 . . . 4 ((𝐵 ∈ dom 𝑅1𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ On)
12 suceloni 7521 . . . 4 (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ On)
1311, 12syl 17 . . 3 ((𝐵 ∈ dom 𝑅1𝐴𝐵) → suc 𝐴 ∈ On)
14 eloni 6200 . . . . . 6 (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
15 ordsucss 7526 . . . . . 6 (Ord 𝐵 → (𝐴𝐵 → suc 𝐴𝐵))
1614, 15syl 17 . . . . 5 (𝐵 ∈ On → (𝐴𝐵 → suc 𝐴𝐵))
1716imp 407 . . . 4 ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴𝐵) → suc 𝐴𝐵)
188, 17sylan 580 . . 3 ((𝐵 ∈ dom 𝑅1𝐴𝐵) → suc 𝐴𝐵)
19 eleq1 2905 . . . . . 6 (𝑥 = suc 𝐴 → (𝑥 ∈ dom 𝑅1 ↔ suc 𝐴 ∈ dom 𝑅1))
20 fveq2 6669 . . . . . . 7 (𝑥 = suc 𝐴 → (𝑅1𝑥) = (𝑅1‘suc 𝐴))
2120eleq2d 2903 . . . . . 6 (𝑥 = suc 𝐴 → ((𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝑥) ↔ (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1‘suc 𝐴)))
2219, 21imbi12d 346 . . . . 5 (𝑥 = suc 𝐴 → ((𝑥 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝑥)) ↔ (suc 𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1‘suc 𝐴))))
23 eleq1 2905 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ dom 𝑅1𝑦 ∈ dom 𝑅1))
24 fveq2 6669 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑅1𝑥) = (𝑅1𝑦))
2524eleq2d 2903 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝑥) ↔ (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝑦)))
2623, 25imbi12d 346 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝑥)) ↔ (𝑦 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝑦))))
27 eleq1 2905 . . . . . 6 (𝑥 = suc 𝑦 → (𝑥 ∈ dom 𝑅1 ↔ suc 𝑦 ∈ dom 𝑅1))
28 fveq2 6669 . . . . . . 7 (𝑥 = suc 𝑦 → (𝑅1𝑥) = (𝑅1‘suc 𝑦))
2928eleq2d 2903 . . . . . 6 (𝑥 = suc 𝑦 → ((𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝑥) ↔ (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1‘suc 𝑦)))
3027, 29imbi12d 346 . . . . 5 (𝑥 = suc 𝑦 → ((𝑥 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝑥)) ↔ (suc 𝑦 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1‘suc 𝑦))))
31 eleq1 2905 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ∈ dom 𝑅1𝐵 ∈ dom 𝑅1))
32 fveq2 6669 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → (𝑅1𝑥) = (𝑅1𝐵))
3332eleq2d 2903 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → ((𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝑥) ↔ (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝐵)))
3431, 33imbi12d 346 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝑥)) ↔ (𝐵 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝐵))))
35 fvex 6682 . . . . . . . 8 (𝑅1𝐴) ∈ V
3635pwid 4561 . . . . . . 7 (𝑅1𝐴) ∈ 𝒫 (𝑅1𝐴)
37 limsuc 7557 . . . . . . . . 9 (Lim dom 𝑅1 → (𝐴 ∈ dom 𝑅1 ↔ suc 𝐴 ∈ dom 𝑅1))
383, 37ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom 𝑅1 ↔ suc 𝐴 ∈ dom 𝑅1)
39 r1sucg 9192 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘suc 𝐴) = 𝒫 (𝑅1𝐴))
4038, 39sylbir 236 . . . . . . 7 (suc 𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘suc 𝐴) = 𝒫 (𝑅1𝐴))
4136, 40eleqtrrid 2925 . . . . . 6 (suc 𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1‘suc 𝐴))
4241a1i 11 . . . . 5 (suc 𝐴 ∈ On → (suc 𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1‘suc 𝐴)))
43 limsuc 7557 . . . . . . . 8 (Lim dom 𝑅1 → (𝑦 ∈ dom 𝑅1 ↔ suc 𝑦 ∈ dom 𝑅1))
443, 43ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ dom 𝑅1 ↔ suc 𝑦 ∈ dom 𝑅1)
45 r1tr 9199 . . . . . . . . . . 11 Tr (𝑅1𝑦)
46 dftr4 5174 . . . . . . . . . . 11 (Tr (𝑅1𝑦) ↔ (𝑅1𝑦) ⊆ 𝒫 (𝑅1𝑦))
4745, 46mpbi 231 . . . . . . . . . 10 (𝑅1𝑦) ⊆ 𝒫 (𝑅1𝑦)
48 r1sucg 9192 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘suc 𝑦) = 𝒫 (𝑅1𝑦))
4947, 48sseqtrrid 4024 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝑦) ⊆ (𝑅1‘suc 𝑦))
5049sseld 3970 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ dom 𝑅1 → ((𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝑦) → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1‘suc 𝑦)))
5150a2i 14 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝑦)) → (𝑦 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1‘suc 𝑦)))
5244, 51syl5bir 244 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝑦)) → (suc 𝑦 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1‘suc 𝑦)))
5352a1i 11 . . . . 5 (((𝑦 ∈ On ∧ suc 𝐴 ∈ On) ∧ suc 𝐴𝑦) → ((𝑦 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝑦)) → (suc 𝑦 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1‘suc 𝑦))))
54 simprl 767 . . . . . . . . . . . 12 (((Lim 𝑥 ∧ suc 𝐴 ∈ On) ∧ (suc 𝐴𝑥𝑥 ∈ dom 𝑅1)) → suc 𝐴𝑥)
55 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . 14 (((Lim 𝑥 ∧ suc 𝐴 ∈ On) ∧ (suc 𝐴𝑥𝑥 ∈ dom 𝑅1)) → suc 𝐴 ∈ On)
56 sucelon 7525 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ On ↔ suc 𝐴 ∈ On)
5755, 56sylibr 235 . . . . . . . . . . . . 13 (((Lim 𝑥 ∧ suc 𝐴 ∈ On) ∧ (suc 𝐴𝑥𝑥 ∈ dom 𝑅1)) → 𝐴 ∈ On)
58 limord 6249 . . . . . . . . . . . . . 14 (Lim 𝑥 → Ord 𝑥)
5958ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 (((Lim 𝑥 ∧ suc 𝐴 ∈ On) ∧ (suc 𝐴𝑥𝑥 ∈ dom 𝑅1)) → Ord 𝑥)
60 ordelsuc 7528 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ On ∧ Ord 𝑥) → (𝐴𝑥 ↔ suc 𝐴𝑥))
6157, 59, 60syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((Lim 𝑥 ∧ suc 𝐴 ∈ On) ∧ (suc 𝐴𝑥𝑥 ∈ dom 𝑅1)) → (𝐴𝑥 ↔ suc 𝐴𝑥))
6254, 61mpbird 258 . . . . . . . . . . 11 (((Lim 𝑥 ∧ suc 𝐴 ∈ On) ∧ (suc 𝐴𝑥𝑥 ∈ dom 𝑅1)) → 𝐴𝑥)
63 limsuc 7557 . . . . . . . . . . . 12 (Lim 𝑥 → (𝐴𝑥 ↔ suc 𝐴𝑥))
6463ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((Lim 𝑥 ∧ suc 𝐴 ∈ On) ∧ (suc 𝐴𝑥𝑥 ∈ dom 𝑅1)) → (𝐴𝑥 ↔ suc 𝐴𝑥))
6562, 64mpbid 233 . . . . . . . . . 10 (((Lim 𝑥 ∧ suc 𝐴 ∈ On) ∧ (suc 𝐴𝑥𝑥 ∈ dom 𝑅1)) → suc 𝐴𝑥)
66 simprr 769 . . . . . . . . . . . . 13 (((Lim 𝑥 ∧ suc 𝐴 ∈ On) ∧ (suc 𝐴𝑥𝑥 ∈ dom 𝑅1)) → 𝑥 ∈ dom 𝑅1)
67 ordtr1 6233 . . . . . . . . . . . . . 14 (Ord dom 𝑅1 → ((𝐴𝑥𝑥 ∈ dom 𝑅1) → 𝐴 ∈ dom 𝑅1))
685, 67ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝑥𝑥 ∈ dom 𝑅1) → 𝐴 ∈ dom 𝑅1)
6962, 66, 68syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((Lim 𝑥 ∧ suc 𝐴 ∈ On) ∧ (suc 𝐴𝑥𝑥 ∈ dom 𝑅1)) → 𝐴 ∈ dom 𝑅1)
7069, 39syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((Lim 𝑥 ∧ suc 𝐴 ∈ On) ∧ (suc 𝐴𝑥𝑥 ∈ dom 𝑅1)) → (𝑅1‘suc 𝐴) = 𝒫 (𝑅1𝐴))
7136, 70eleqtrrid 2925 . . . . . . . . . 10 (((Lim 𝑥 ∧ suc 𝐴 ∈ On) ∧ (suc 𝐴𝑥𝑥 ∈ dom 𝑅1)) → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1‘suc 𝐴))
72 fveq2 6669 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = suc 𝐴 → (𝑅1𝑦) = (𝑅1‘suc 𝐴))
7372eleq2d 2903 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = suc 𝐴 → ((𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝑦) ↔ (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1‘suc 𝐴)))
7473rspcev 3627 . . . . . . . . . 10 ((suc 𝐴𝑥 ∧ (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1‘suc 𝐴)) → ∃𝑦𝑥 (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝑦))
7565, 71, 74syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((Lim 𝑥 ∧ suc 𝐴 ∈ On) ∧ (suc 𝐴𝑥𝑥 ∈ dom 𝑅1)) → ∃𝑦𝑥 (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝑦))
76 eliun 4921 . . . . . . . . 9 ((𝑅1𝐴) ∈ 𝑦𝑥 (𝑅1𝑦) ↔ ∃𝑦𝑥 (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝑦))
7775, 76sylibr 235 . . . . . . . 8 (((Lim 𝑥 ∧ suc 𝐴 ∈ On) ∧ (suc 𝐴𝑥𝑥 ∈ dom 𝑅1)) → (𝑅1𝐴) ∈ 𝑦𝑥 (𝑅1𝑦))
78 simpll 763 . . . . . . . . 9 (((Lim 𝑥 ∧ suc 𝐴 ∈ On) ∧ (suc 𝐴𝑥𝑥 ∈ dom 𝑅1)) → Lim 𝑥)
79 r1limg 9194 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ dom 𝑅1 ∧ Lim 𝑥) → (𝑅1𝑥) = 𝑦𝑥 (𝑅1𝑦))
8066, 78, 79syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((Lim 𝑥 ∧ suc 𝐴 ∈ On) ∧ (suc 𝐴𝑥𝑥 ∈ dom 𝑅1)) → (𝑅1𝑥) = 𝑦𝑥 (𝑅1𝑦))
8177, 80eleqtrrd 2921 . . . . . . 7 (((Lim 𝑥 ∧ suc 𝐴 ∈ On) ∧ (suc 𝐴𝑥𝑥 ∈ dom 𝑅1)) → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝑥))
8281expr 457 . . . . . 6 (((Lim 𝑥 ∧ suc 𝐴 ∈ On) ∧ suc 𝐴𝑥) → (𝑥 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝑥)))
8382a1d 25 . . . . 5 (((Lim 𝑥 ∧ suc 𝐴 ∈ On) ∧ suc 𝐴𝑥) → (∀𝑦𝑥 (suc 𝐴𝑦 → (𝑦 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝑦))) → (𝑥 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝑥))))
8422, 26, 30, 34, 42, 53, 83tfindsg 7568 . . . 4 (((𝐵 ∈ On ∧ suc 𝐴 ∈ On) ∧ suc 𝐴𝐵) → (𝐵 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝐵)))
8584impr 455 . . 3 (((𝐵 ∈ On ∧ suc 𝐴 ∈ On) ∧ (suc 𝐴𝐵𝐵 ∈ dom 𝑅1)) → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝐵))
869, 13, 18, 1, 85syl22anc 836 . 2 ((𝐵 ∈ dom 𝑅1𝐴𝐵) → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝐵))
8786ex 413 1 (𝐵 ∈ dom 𝑅1 → (𝐴𝐵 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wral 3143  wrex 3144  wss 3940  𝒫 cpw 4542   ciun 4917  Tr wtr 5169  dom cdm 5554  Ord word 6189  Oncon0 6190  Lim wlim 6191  suc csuc 6192  Fun wfun 6348  cfv 6354  𝑅1cr1 9185
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-om 7574  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-r1 9187
This theorem is referenced by:  r1ord3g  9202  r1ord  9203
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