MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r1pwss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem r1pwss 9801
Description: Each set of the cumulative hierarchy is closed under subsets. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
r1pwss (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) → 𝒫 𝐴 ⊆ (𝑅1𝐵))

Proof of Theorem r1pwss
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r1funlim 9783 . . . . . . 7 (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
21simpri 485 . . . . . 6 Lim dom 𝑅1
3 limord 6423 . . . . . 6 (Lim dom 𝑅1 → Ord dom 𝑅1)
42, 3ax-mp 5 . . . . 5 Ord dom 𝑅1
5 ordsson 7779 . . . . 5 (Ord dom 𝑅1 → dom 𝑅1 ⊆ On)
64, 5ax-mp 5 . . . 4 dom 𝑅1 ⊆ On
7 elfvdm 6928 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) → 𝐵 ∈ dom 𝑅1)
86, 7sselid 3976 . . 3 (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) → 𝐵 ∈ On)
9 onzsl 7844 . . 3 (𝐵 ∈ On ↔ (𝐵 = ∅ ∨ ∃𝑥 ∈ On 𝐵 = suc 𝑥 ∨ (𝐵 ∈ V ∧ Lim 𝐵)))
108, 9sylib 217 . 2 (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) → (𝐵 = ∅ ∨ ∃𝑥 ∈ On 𝐵 = suc 𝑥 ∨ (𝐵 ∈ V ∧ Lim 𝐵)))
11 noel 4326 . . . . 5 ¬ 𝐴 ∈ ∅
12 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (𝐵 = ∅ → (𝑅1𝐵) = (𝑅1‘∅))
13 r10 9785 . . . . . . . 8 (𝑅1‘∅) = ∅
1412, 13eqtrdi 2783 . . . . . . 7 (𝐵 = ∅ → (𝑅1𝐵) = ∅)
1514eleq2d 2814 . . . . . 6 (𝐵 = ∅ → (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ↔ 𝐴 ∈ ∅))
1615biimpcd 248 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) → (𝐵 = ∅ → 𝐴 ∈ ∅))
1711, 16mtoi 198 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) → ¬ 𝐵 = ∅)
1817pm2.21d 121 . . 3 (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) → (𝐵 = ∅ → 𝒫 𝐴 ⊆ (𝑅1𝐵)))
19 simpl 482 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ∧ 𝐵 = suc 𝑥) → 𝐴 ∈ (𝑅1𝐵))
20 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ∧ 𝐵 = suc 𝑥) → 𝐵 = suc 𝑥)
2120fveq2d 6895 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ∧ 𝐵 = suc 𝑥) → (𝑅1𝐵) = (𝑅1‘suc 𝑥))
227adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ∧ 𝐵 = suc 𝑥) → 𝐵 ∈ dom 𝑅1)
2320, 22eqeltrrd 2829 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ∧ 𝐵 = suc 𝑥) → suc 𝑥 ∈ dom 𝑅1)
24 limsuc 7847 . . . . . . . . . . . 12 (Lim dom 𝑅1 → (𝑥 ∈ dom 𝑅1 ↔ suc 𝑥 ∈ dom 𝑅1))
252, 24ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ dom 𝑅1 ↔ suc 𝑥 ∈ dom 𝑅1)
2623, 25sylibr 233 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ∧ 𝐵 = suc 𝑥) → 𝑥 ∈ dom 𝑅1)
27 r1sucg 9786 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘suc 𝑥) = 𝒫 (𝑅1𝑥))
2826, 27syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ∧ 𝐵 = suc 𝑥) → (𝑅1‘suc 𝑥) = 𝒫 (𝑅1𝑥))
2921, 28eqtrd 2767 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ∧ 𝐵 = suc 𝑥) → (𝑅1𝐵) = 𝒫 (𝑅1𝑥))
3019, 29eleqtrd 2830 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ∧ 𝐵 = suc 𝑥) → 𝐴 ∈ 𝒫 (𝑅1𝑥))
31 elpwi 4605 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ 𝒫 (𝑅1𝑥) → 𝐴 ⊆ (𝑅1𝑥))
32 sspw 4609 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ (𝑅1𝑥) → 𝒫 𝐴 ⊆ 𝒫 (𝑅1𝑥))
3330, 31, 323syl 18 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ∧ 𝐵 = suc 𝑥) → 𝒫 𝐴 ⊆ 𝒫 (𝑅1𝑥))
3433, 29sseqtrrd 4019 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ∧ 𝐵 = suc 𝑥) → 𝒫 𝐴 ⊆ (𝑅1𝐵))
3534ex 412 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) → (𝐵 = suc 𝑥 → 𝒫 𝐴 ⊆ (𝑅1𝐵)))
3635rexlimdvw 3155 . . 3 (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) → (∃𝑥 ∈ On 𝐵 = suc 𝑥 → 𝒫 𝐴 ⊆ (𝑅1𝐵)))
37 r1tr 9793 . . . . . 6 Tr (𝑅1𝐵)
38 simpl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ∧ Lim 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝑅1𝐵))
39 r1limg 9788 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ dom 𝑅1 ∧ Lim 𝐵) → (𝑅1𝐵) = 𝑥𝐵 (𝑅1𝑥))
407, 39sylan 579 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ∧ Lim 𝐵) → (𝑅1𝐵) = 𝑥𝐵 (𝑅1𝑥))
4138, 40eleqtrd 2830 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ∧ Lim 𝐵) → 𝐴 𝑥𝐵 (𝑅1𝑥))
42 eliun 4995 . . . . . . . . . 10 (𝐴 𝑥𝐵 (𝑅1𝑥) ↔ ∃𝑥𝐵 𝐴 ∈ (𝑅1𝑥))
4341, 42sylib 217 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ∧ Lim 𝐵) → ∃𝑥𝐵 𝐴 ∈ (𝑅1𝑥))
44 simprl 770 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ∧ Lim 𝐵) ∧ (𝑥𝐵𝐴 ∈ (𝑅1𝑥))) → 𝑥𝐵)
45 limsuc 7847 . . . . . . . . . . . . 13 (Lim 𝐵 → (𝑥𝐵 ↔ suc 𝑥𝐵))
4645ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ∧ Lim 𝐵) ∧ (𝑥𝐵𝐴 ∈ (𝑅1𝑥))) → (𝑥𝐵 ↔ suc 𝑥𝐵))
4744, 46mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ∧ Lim 𝐵) ∧ (𝑥𝐵𝐴 ∈ (𝑅1𝑥))) → suc 𝑥𝐵)
48 limsuc 7847 . . . . . . . . . . . 12 (Lim 𝐵 → (suc 𝑥𝐵 ↔ suc suc 𝑥𝐵))
4948ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ∧ Lim 𝐵) ∧ (𝑥𝐵𝐴 ∈ (𝑅1𝑥))) → (suc 𝑥𝐵 ↔ suc suc 𝑥𝐵))
5047, 49mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ∧ Lim 𝐵) ∧ (𝑥𝐵𝐴 ∈ (𝑅1𝑥))) → suc suc 𝑥𝐵)
51 r1tr 9793 . . . . . . . . . . . . . . 15 Tr (𝑅1𝑥)
52 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ∧ Lim 𝐵) ∧ (𝑥𝐵𝐴 ∈ (𝑅1𝑥))) → 𝐴 ∈ (𝑅1𝑥))
53 trss 5270 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Tr (𝑅1𝑥) → (𝐴 ∈ (𝑅1𝑥) → 𝐴 ⊆ (𝑅1𝑥)))
5451, 52, 53mpsyl 68 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ∧ Lim 𝐵) ∧ (𝑥𝐵𝐴 ∈ (𝑅1𝑥))) → 𝐴 ⊆ (𝑅1𝑥))
5554, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ∧ Lim 𝐵) ∧ (𝑥𝐵𝐴 ∈ (𝑅1𝑥))) → 𝒫 𝐴 ⊆ 𝒫 (𝑅1𝑥))
567ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ∧ Lim 𝐵) ∧ (𝑥𝐵𝐴 ∈ (𝑅1𝑥))) → 𝐵 ∈ dom 𝑅1)
57 ordtr1 6406 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Ord dom 𝑅1 → ((𝑥𝐵𝐵 ∈ dom 𝑅1) → 𝑥 ∈ dom 𝑅1))
584, 57ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥𝐵𝐵 ∈ dom 𝑅1) → 𝑥 ∈ dom 𝑅1)
5944, 56, 58syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ∧ Lim 𝐵) ∧ (𝑥𝐵𝐴 ∈ (𝑅1𝑥))) → 𝑥 ∈ dom 𝑅1)
6059, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ∧ Lim 𝐵) ∧ (𝑥𝐵𝐴 ∈ (𝑅1𝑥))) → (𝑅1‘suc 𝑥) = 𝒫 (𝑅1𝑥))
6155, 60sseqtrrd 4019 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ∧ Lim 𝐵) ∧ (𝑥𝐵𝐴 ∈ (𝑅1𝑥))) → 𝒫 𝐴 ⊆ (𝑅1‘suc 𝑥))
62 fvex 6904 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅1‘suc 𝑥) ∈ V
6362elpw2 5341 . . . . . . . . . . . 12 (𝒫 𝐴 ∈ 𝒫 (𝑅1‘suc 𝑥) ↔ 𝒫 𝐴 ⊆ (𝑅1‘suc 𝑥))
6461, 63sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ∧ Lim 𝐵) ∧ (𝑥𝐵𝐴 ∈ (𝑅1𝑥))) → 𝒫 𝐴 ∈ 𝒫 (𝑅1‘suc 𝑥))
6559, 25sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ∧ Lim 𝐵) ∧ (𝑥𝐵𝐴 ∈ (𝑅1𝑥))) → suc 𝑥 ∈ dom 𝑅1)
66 r1sucg 9786 . . . . . . . . . . . 12 (suc 𝑥 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘suc suc 𝑥) = 𝒫 (𝑅1‘suc 𝑥))
6765, 66syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ∧ Lim 𝐵) ∧ (𝑥𝐵𝐴 ∈ (𝑅1𝑥))) → (𝑅1‘suc suc 𝑥) = 𝒫 (𝑅1‘suc 𝑥))
6864, 67eleqtrrd 2831 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ∧ Lim 𝐵) ∧ (𝑥𝐵𝐴 ∈ (𝑅1𝑥))) → 𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc suc 𝑥))
69 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = suc suc 𝑥 → (𝑅1𝑦) = (𝑅1‘suc suc 𝑥))
7069eleq2d 2814 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = suc suc 𝑥 → (𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1𝑦) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc suc 𝑥)))
7170rspcev 3607 . . . . . . . . . 10 ((suc suc 𝑥𝐵 ∧ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc suc 𝑥)) → ∃𝑦𝐵 𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1𝑦))
7250, 68, 71syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ∧ Lim 𝐵) ∧ (𝑥𝐵𝐴 ∈ (𝑅1𝑥))) → ∃𝑦𝐵 𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1𝑦))
7343, 72rexlimddv 3156 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ∧ Lim 𝐵) → ∃𝑦𝐵 𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1𝑦))
74 eliun 4995 . . . . . . . 8 (𝒫 𝐴 𝑦𝐵 (𝑅1𝑦) ↔ ∃𝑦𝐵 𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1𝑦))
7573, 74sylibr 233 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ∧ Lim 𝐵) → 𝒫 𝐴 𝑦𝐵 (𝑅1𝑦))
76 r1limg 9788 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ dom 𝑅1 ∧ Lim 𝐵) → (𝑅1𝐵) = 𝑦𝐵 (𝑅1𝑦))
777, 76sylan 579 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ∧ Lim 𝐵) → (𝑅1𝐵) = 𝑦𝐵 (𝑅1𝑦))
7875, 77eleqtrrd 2831 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ∧ Lim 𝐵) → 𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1𝐵))
79 trss 5270 . . . . . 6 (Tr (𝑅1𝐵) → (𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) → 𝒫 𝐴 ⊆ (𝑅1𝐵)))
8037, 78, 79mpsyl 68 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ∧ Lim 𝐵) → 𝒫 𝐴 ⊆ (𝑅1𝐵))
8180ex 412 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) → (Lim 𝐵 → 𝒫 𝐴 ⊆ (𝑅1𝐵)))
8281adantld 490 . . 3 (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) → ((𝐵 ∈ V ∧ Lim 𝐵) → 𝒫 𝐴 ⊆ (𝑅1𝐵)))
8318, 36, 823jaod 1426 . 2 (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) → ((𝐵 = ∅ ∨ ∃𝑥 ∈ On 𝐵 = suc 𝑥 ∨ (𝐵 ∈ V ∧ Lim 𝐵)) → 𝒫 𝐴 ⊆ (𝑅1𝐵)))
8410, 83mpd 15 1 (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) → 𝒫 𝐴 ⊆ (𝑅1𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3o 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wrex 3065  Vcvv 3469  wss 3944  c0 4318  𝒫 cpw 4598   ciun 4991  Tr wtr 5259  dom cdm 5672  Ord word 6362  Oncon0 6363  Lim wlim 6364  suc csuc 6365  Fun wfun 6536  cfv 6542  𝑅1cr1 9779
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-r1 9781
This theorem is referenced by:  r1sscl  9802
  Copyright terms: Public domain W3C validator