MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r1pwss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem r1pwss 9779
Description: Each set of the cumulative hierarchy is closed under subsets. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
r1pwss (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) → 𝒫 𝐴 ⊆ (𝑅1𝐵))

Proof of Theorem r1pwss
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r1funlim 9761 . . . . . . 7 (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
21simpri 487 . . . . . 6 Lim dom 𝑅1
3 limord 6425 . . . . . 6 (Lim dom 𝑅1 → Ord dom 𝑅1)
42, 3ax-mp 5 . . . . 5 Ord dom 𝑅1
5 ordsson 7770 . . . . 5 (Ord dom 𝑅1 → dom 𝑅1 ⊆ On)
64, 5ax-mp 5 . . . 4 dom 𝑅1 ⊆ On
7 elfvdm 6929 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) → 𝐵 ∈ dom 𝑅1)
86, 7sselid 3981 . . 3 (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) → 𝐵 ∈ On)
9 onzsl 7835 . . 3 (𝐵 ∈ On ↔ (𝐵 = ∅ ∨ ∃𝑥 ∈ On 𝐵 = suc 𝑥 ∨ (𝐵 ∈ V ∧ Lim 𝐵)))
108, 9sylib 217 . 2 (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) → (𝐵 = ∅ ∨ ∃𝑥 ∈ On 𝐵 = suc 𝑥 ∨ (𝐵 ∈ V ∧ Lim 𝐵)))
11 noel 4331 . . . . 5 ¬ 𝐴 ∈ ∅
12 fveq2 6892 . . . . . . . 8 (𝐵 = ∅ → (𝑅1𝐵) = (𝑅1‘∅))
13 r10 9763 . . . . . . . 8 (𝑅1‘∅) = ∅
1412, 13eqtrdi 2789 . . . . . . 7 (𝐵 = ∅ → (𝑅1𝐵) = ∅)
1514eleq2d 2820 . . . . . 6 (𝐵 = ∅ → (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ↔ 𝐴 ∈ ∅))
1615biimpcd 248 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) → (𝐵 = ∅ → 𝐴 ∈ ∅))
1711, 16mtoi 198 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) → ¬ 𝐵 = ∅)
1817pm2.21d 121 . . 3 (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) → (𝐵 = ∅ → 𝒫 𝐴 ⊆ (𝑅1𝐵)))
19 simpl 484 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ∧ 𝐵 = suc 𝑥) → 𝐴 ∈ (𝑅1𝐵))
20 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ∧ 𝐵 = suc 𝑥) → 𝐵 = suc 𝑥)
2120fveq2d 6896 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ∧ 𝐵 = suc 𝑥) → (𝑅1𝐵) = (𝑅1‘suc 𝑥))
227adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ∧ 𝐵 = suc 𝑥) → 𝐵 ∈ dom 𝑅1)
2320, 22eqeltrrd 2835 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ∧ 𝐵 = suc 𝑥) → suc 𝑥 ∈ dom 𝑅1)
24 limsuc 7838 . . . . . . . . . . . 12 (Lim dom 𝑅1 → (𝑥 ∈ dom 𝑅1 ↔ suc 𝑥 ∈ dom 𝑅1))
252, 24ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ dom 𝑅1 ↔ suc 𝑥 ∈ dom 𝑅1)
2623, 25sylibr 233 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ∧ 𝐵 = suc 𝑥) → 𝑥 ∈ dom 𝑅1)
27 r1sucg 9764 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘suc 𝑥) = 𝒫 (𝑅1𝑥))
2826, 27syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ∧ 𝐵 = suc 𝑥) → (𝑅1‘suc 𝑥) = 𝒫 (𝑅1𝑥))
2921, 28eqtrd 2773 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ∧ 𝐵 = suc 𝑥) → (𝑅1𝐵) = 𝒫 (𝑅1𝑥))
3019, 29eleqtrd 2836 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ∧ 𝐵 = suc 𝑥) → 𝐴 ∈ 𝒫 (𝑅1𝑥))
31 elpwi 4610 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ 𝒫 (𝑅1𝑥) → 𝐴 ⊆ (𝑅1𝑥))
32 sspw 4614 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ (𝑅1𝑥) → 𝒫 𝐴 ⊆ 𝒫 (𝑅1𝑥))
3330, 31, 323syl 18 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ∧ 𝐵 = suc 𝑥) → 𝒫 𝐴 ⊆ 𝒫 (𝑅1𝑥))
3433, 29sseqtrrd 4024 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ∧ 𝐵 = suc 𝑥) → 𝒫 𝐴 ⊆ (𝑅1𝐵))
3534ex 414 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) → (𝐵 = suc 𝑥 → 𝒫 𝐴 ⊆ (𝑅1𝐵)))
3635rexlimdvw 3161 . . 3 (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) → (∃𝑥 ∈ On 𝐵 = suc 𝑥 → 𝒫 𝐴 ⊆ (𝑅1𝐵)))
37 r1tr 9771 . . . . . 6 Tr (𝑅1𝐵)
38 simpl 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ∧ Lim 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝑅1𝐵))
39 r1limg 9766 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ dom 𝑅1 ∧ Lim 𝐵) → (𝑅1𝐵) = 𝑥𝐵 (𝑅1𝑥))
407, 39sylan 581 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ∧ Lim 𝐵) → (𝑅1𝐵) = 𝑥𝐵 (𝑅1𝑥))
4138, 40eleqtrd 2836 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ∧ Lim 𝐵) → 𝐴 𝑥𝐵 (𝑅1𝑥))
42 eliun 5002 . . . . . . . . . 10 (𝐴 𝑥𝐵 (𝑅1𝑥) ↔ ∃𝑥𝐵 𝐴 ∈ (𝑅1𝑥))
4341, 42sylib 217 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ∧ Lim 𝐵) → ∃𝑥𝐵 𝐴 ∈ (𝑅1𝑥))
44 simprl 770 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ∧ Lim 𝐵) ∧ (𝑥𝐵𝐴 ∈ (𝑅1𝑥))) → 𝑥𝐵)
45 limsuc 7838 . . . . . . . . . . . . 13 (Lim 𝐵 → (𝑥𝐵 ↔ suc 𝑥𝐵))
4645ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ∧ Lim 𝐵) ∧ (𝑥𝐵𝐴 ∈ (𝑅1𝑥))) → (𝑥𝐵 ↔ suc 𝑥𝐵))
4744, 46mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ∧ Lim 𝐵) ∧ (𝑥𝐵𝐴 ∈ (𝑅1𝑥))) → suc 𝑥𝐵)
48 limsuc 7838 . . . . . . . . . . . 12 (Lim 𝐵 → (suc 𝑥𝐵 ↔ suc suc 𝑥𝐵))
4948ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ∧ Lim 𝐵) ∧ (𝑥𝐵𝐴 ∈ (𝑅1𝑥))) → (suc 𝑥𝐵 ↔ suc suc 𝑥𝐵))
5047, 49mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ∧ Lim 𝐵) ∧ (𝑥𝐵𝐴 ∈ (𝑅1𝑥))) → suc suc 𝑥𝐵)
51 r1tr 9771 . . . . . . . . . . . . . . 15 Tr (𝑅1𝑥)
52 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ∧ Lim 𝐵) ∧ (𝑥𝐵𝐴 ∈ (𝑅1𝑥))) → 𝐴 ∈ (𝑅1𝑥))
53 trss 5277 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Tr (𝑅1𝑥) → (𝐴 ∈ (𝑅1𝑥) → 𝐴 ⊆ (𝑅1𝑥)))
5451, 52, 53mpsyl 68 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ∧ Lim 𝐵) ∧ (𝑥𝐵𝐴 ∈ (𝑅1𝑥))) → 𝐴 ⊆ (𝑅1𝑥))
5554, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ∧ Lim 𝐵) ∧ (𝑥𝐵𝐴 ∈ (𝑅1𝑥))) → 𝒫 𝐴 ⊆ 𝒫 (𝑅1𝑥))
567ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ∧ Lim 𝐵) ∧ (𝑥𝐵𝐴 ∈ (𝑅1𝑥))) → 𝐵 ∈ dom 𝑅1)
57 ordtr1 6408 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Ord dom 𝑅1 → ((𝑥𝐵𝐵 ∈ dom 𝑅1) → 𝑥 ∈ dom 𝑅1))
584, 57ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥𝐵𝐵 ∈ dom 𝑅1) → 𝑥 ∈ dom 𝑅1)
5944, 56, 58syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ∧ Lim 𝐵) ∧ (𝑥𝐵𝐴 ∈ (𝑅1𝑥))) → 𝑥 ∈ dom 𝑅1)
6059, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ∧ Lim 𝐵) ∧ (𝑥𝐵𝐴 ∈ (𝑅1𝑥))) → (𝑅1‘suc 𝑥) = 𝒫 (𝑅1𝑥))
6155, 60sseqtrrd 4024 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ∧ Lim 𝐵) ∧ (𝑥𝐵𝐴 ∈ (𝑅1𝑥))) → 𝒫 𝐴 ⊆ (𝑅1‘suc 𝑥))
62 fvex 6905 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅1‘suc 𝑥) ∈ V
6362elpw2 5346 . . . . . . . . . . . 12 (𝒫 𝐴 ∈ 𝒫 (𝑅1‘suc 𝑥) ↔ 𝒫 𝐴 ⊆ (𝑅1‘suc 𝑥))
6461, 63sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ∧ Lim 𝐵) ∧ (𝑥𝐵𝐴 ∈ (𝑅1𝑥))) → 𝒫 𝐴 ∈ 𝒫 (𝑅1‘suc 𝑥))
6559, 25sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ∧ Lim 𝐵) ∧ (𝑥𝐵𝐴 ∈ (𝑅1𝑥))) → suc 𝑥 ∈ dom 𝑅1)
66 r1sucg 9764 . . . . . . . . . . . 12 (suc 𝑥 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘suc suc 𝑥) = 𝒫 (𝑅1‘suc 𝑥))
6765, 66syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ∧ Lim 𝐵) ∧ (𝑥𝐵𝐴 ∈ (𝑅1𝑥))) → (𝑅1‘suc suc 𝑥) = 𝒫 (𝑅1‘suc 𝑥))
6864, 67eleqtrrd 2837 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ∧ Lim 𝐵) ∧ (𝑥𝐵𝐴 ∈ (𝑅1𝑥))) → 𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc suc 𝑥))
69 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = suc suc 𝑥 → (𝑅1𝑦) = (𝑅1‘suc suc 𝑥))
7069eleq2d 2820 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = suc suc 𝑥 → (𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1𝑦) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc suc 𝑥)))
7170rspcev 3613 . . . . . . . . . 10 ((suc suc 𝑥𝐵 ∧ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc suc 𝑥)) → ∃𝑦𝐵 𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1𝑦))
7250, 68, 71syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ∧ Lim 𝐵) ∧ (𝑥𝐵𝐴 ∈ (𝑅1𝑥))) → ∃𝑦𝐵 𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1𝑦))
7343, 72rexlimddv 3162 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ∧ Lim 𝐵) → ∃𝑦𝐵 𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1𝑦))
74 eliun 5002 . . . . . . . 8 (𝒫 𝐴 𝑦𝐵 (𝑅1𝑦) ↔ ∃𝑦𝐵 𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1𝑦))
7573, 74sylibr 233 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ∧ Lim 𝐵) → 𝒫 𝐴 𝑦𝐵 (𝑅1𝑦))
76 r1limg 9766 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ dom 𝑅1 ∧ Lim 𝐵) → (𝑅1𝐵) = 𝑦𝐵 (𝑅1𝑦))
777, 76sylan 581 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ∧ Lim 𝐵) → (𝑅1𝐵) = 𝑦𝐵 (𝑅1𝑦))
7875, 77eleqtrrd 2837 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ∧ Lim 𝐵) → 𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1𝐵))
79 trss 5277 . . . . . 6 (Tr (𝑅1𝐵) → (𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) → 𝒫 𝐴 ⊆ (𝑅1𝐵)))
8037, 78, 79mpsyl 68 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ∧ Lim 𝐵) → 𝒫 𝐴 ⊆ (𝑅1𝐵))
8180ex 414 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) → (Lim 𝐵 → 𝒫 𝐴 ⊆ (𝑅1𝐵)))
8281adantld 492 . . 3 (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) → ((𝐵 ∈ V ∧ Lim 𝐵) → 𝒫 𝐴 ⊆ (𝑅1𝐵)))
8318, 36, 823jaod 1429 . 2 (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) → ((𝐵 = ∅ ∨ ∃𝑥 ∈ On 𝐵 = suc 𝑥 ∨ (𝐵 ∈ V ∧ Lim 𝐵)) → 𝒫 𝐴 ⊆ (𝑅1𝐵)))
8410, 83mpd 15 1 (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) → 𝒫 𝐴 ⊆ (𝑅1𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3o 1087   = wceq 1542  wcel 2107  wrex 3071  Vcvv 3475  wss 3949  c0 4323  𝒫 cpw 4603   ciun 4998  Tr wtr 5266  dom cdm 5677  Ord word 6364  Oncon0 6365  Lim wlim 6366  suc csuc 6367  Fun wfun 6538  cfv 6544  𝑅1cr1 9757
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-r1 9759
This theorem is referenced by:  r1sscl  9780
  Copyright terms: Public domain W3C validator