Theorem ordtr2 6351

Description: Transitive law for ordinal classes. (Contributed by NM, 12-Dec-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 25-Jul-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ordtr2	⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐶) → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐶))

Proof of Theorem ordtr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordelord 6328	. . . . . . . 8 ⊢ ((Ord 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → Ord 𝐵)
2	1	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (Ord 𝐶 → (𝐵 ∈ 𝐶 → Ord 𝐵))
3	2	ancld 550	. . . . . 6 ⊢ (Ord 𝐶 → (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ Ord 𝐵)))
4	3	anc2li 555	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝐶 → (𝐵 ∈ 𝐶 → (Ord 𝐶 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ Ord 𝐵))))
5		ordelpss 6334	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐶) → (𝐵 ∈ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊊ 𝐶))
6		sspsstr 4055	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊊ 𝐶) → 𝐴 ⊊ 𝐶)
7	6	expcom 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ⊊ 𝐶 → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ⊊ 𝐶))
8	5, 7	biimtrdi 253	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐶) → (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ⊊ 𝐶)))
9	8	expcom 413	. . . . . . . 8 ⊢ (Ord 𝐶 → (Ord 𝐵 → (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ⊊ 𝐶))))
10	9	com23 86	. . . . . . 7 ⊢ (Ord 𝐶 → (𝐵 ∈ 𝐶 → (Ord 𝐵 → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ⊊ 𝐶))))
11	10	imp32 418	. . . . . 6 ⊢ ((Ord 𝐶 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ Ord 𝐵)) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ⊊ 𝐶))
12	11	com12 32	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ((Ord 𝐶 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ Ord 𝐵)) → 𝐴 ⊊ 𝐶))
13	4, 12	syl9 77	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐶 → (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐵 ∈ 𝐶 → 𝐴 ⊊ 𝐶)))
14	13	impd 410	. . 3 ⊢ (Ord 𝐶 → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ⊊ 𝐶))
15	14	adantl 481	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐶) → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ⊊ 𝐶))
16		ordelpss 6334	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐶) → (𝐴 ∈ 𝐶 ↔ 𝐴 ⊊ 𝐶))
17	15, 16	sylibrd 259	1 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐶) → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3897   ⊊ wpss 3898  Ord word 6305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-tr 5197  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-ord 6309

This theorem is referenced by:  ontr2  6354  ordelinel  6409  smogt  8287  smocdmdom  8288  nnarcl  8531  nnawordex  8552  coftr  10164  noetasuplem4  27675  noetainflem4  27679  hfuni  36226