Theorem ordtr2 6391

Description: Transitive law for ordinal classes. (Contributed by NM, 12-Dec-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 25-Jul-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ordtr2	⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐶) → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐶))

Proof of Theorem ordtr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordelord 6368	. . . . . . . 8 ⊢ ((Ord 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → Ord 𝐵)
2	1	ex 416	. . . . . . 7 ⊢ (Ord 𝐶 → (𝐵 ∈ 𝐶 → Ord 𝐵))
3	2	ancld 558	. . . . . 6 ⊢ (Ord 𝐶 → (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ Ord 𝐵)))
4	3	anc2li 563	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝐶 → (𝐵 ∈ 𝐶 → (Ord 𝐶 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ Ord 𝐵))))
5		ordelpss 6374	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐶) → (𝐵 ∈ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊊ 𝐶))
6		sspsstr 4062	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊊ 𝐶) → 𝐴 ⊊ 𝐶)
7	6	expcom 417	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ⊊ 𝐶 → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ⊊ 𝐶))
8	5, 7	biimtrdi 255	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐶) → (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ⊊ 𝐶)))
9	8	expcom 417	. . . . . . . 8 ⊢ (Ord 𝐶 → (Ord 𝐵 → (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ⊊ 𝐶))))
10	9	com23 86	. . . . . . 7 ⊢ (Ord 𝐶 → (𝐵 ∈ 𝐶 → (Ord 𝐵 → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ⊊ 𝐶))))
11	10	imp32 422	. . . . . 6 ⊢ ((Ord 𝐶 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ Ord 𝐵)) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ⊊ 𝐶))
12	11	com12 32	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ((Ord 𝐶 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ Ord 𝐵)) → 𝐴 ⊊ 𝐶))
13	4, 12	syl9 77	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐶 → (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐵 ∈ 𝐶 → 𝐴 ⊊ 𝐶)))
14	13	impd 414	. . 3 ⊢ (Ord 𝐶 → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ⊊ 𝐶))
15	14	adantl 485	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐶) → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ⊊ 𝐶))
16		ordelpss 6374	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐶) → (𝐴 ∈ 𝐶 ↔ 𝐴 ⊊ 𝐶))
17	15, 16	sylibrd 261	1 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐶) → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2142   ⊆ wss 3904   ⊊ wpss 3905  Ord word 6345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-sb 2091  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-tr 5208  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-ord 6349

This theorem is referenced by:  ontr2  6394  ordelinel  6449  smogt  8338  smocdmdom  8339  nnarcl  8586  nnawordex  8607  coftr  10230  noetasuplem4  27797  noetainflem4  27801  addonbday  28369  z12bdaylem  28574  hfuni  36531