Theorem ordtr2 6310

Description: Transitive law for ordinal classes. (Contributed by NM, 12-Dec-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 25-Jul-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ordtr2	⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐶) → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐶))

Proof of Theorem ordtr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordelord 6288	. . . . . . . 8 ⊢ ((Ord 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → Ord 𝐵)
2	1	ex 413	. . . . . . 7 ⊢ (Ord 𝐶 → (𝐵 ∈ 𝐶 → Ord 𝐵))
3	2	ancld 551	. . . . . 6 ⊢ (Ord 𝐶 → (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ Ord 𝐵)))
4	3	anc2li 556	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝐶 → (𝐵 ∈ 𝐶 → (Ord 𝐶 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ Ord 𝐵))))
5		ordelpss 6294	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐶) → (𝐵 ∈ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊊ 𝐶))
6		sspsstr 4040	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊊ 𝐶) → 𝐴 ⊊ 𝐶)
7	6	expcom 414	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ⊊ 𝐶 → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ⊊ 𝐶))
8	5, 7	syl6bi 252	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐶) → (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ⊊ 𝐶)))
9	8	expcom 414	. . . . . . . 8 ⊢ (Ord 𝐶 → (Ord 𝐵 → (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ⊊ 𝐶))))
10	9	com23 86	. . . . . . 7 ⊢ (Ord 𝐶 → (𝐵 ∈ 𝐶 → (Ord 𝐵 → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ⊊ 𝐶))))
11	10	imp32 419	. . . . . 6 ⊢ ((Ord 𝐶 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ Ord 𝐵)) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ⊊ 𝐶))
12	11	com12 32	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ((Ord 𝐶 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ Ord 𝐵)) → 𝐴 ⊊ 𝐶))
13	4, 12	syl9 77	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐶 → (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐵 ∈ 𝐶 → 𝐴 ⊊ 𝐶)))
14	13	impd 411	. . 3 ⊢ (Ord 𝐶 → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ⊊ 𝐶))
15	14	adantl 482	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐶) → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ⊊ 𝐶))
16		ordelpss 6294	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐶) → (𝐴 ∈ 𝐶 ↔ 𝐴 ⊊ 𝐶))
17	15, 16	sylibrd 258	1 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐶) → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3887   ⊊ wpss 3888  Ord word 6265

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-11 2154  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-sb 2068  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-tr 5192  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-ord 6269

This theorem is referenced by:  ontr2  6313  ordelinel  6364  smogt  8198  smorndom  8199  nnarcl  8447  nnawordex  8468  coftr  10029  noetasuplem4  33939  noetainflem4  33943  hfuni  34486