Theorem ordtr2 6355

Description: Transitive law for ordinal classes. (Contributed by NM, 12-Dec-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 25-Jul-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ordtr2	⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐶) → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐶))

Proof of Theorem ordtr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordelord 6332	. . . . . . . 8 ⊢ ((Ord 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → Ord 𝐵)
2	1	ex 413	. . . . . . 7 ⊢ (Ord 𝐶 → (𝐵 ∈ 𝐶 → Ord 𝐵))
3	2	ancld 555	. . . . . 6 ⊢ (Ord 𝐶 → (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ Ord 𝐵)))
4	3	anc2li 560	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝐶 → (𝐵 ∈ 𝐶 → (Ord 𝐶 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ Ord 𝐵))))
5		ordelpss 6338	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐶) → (𝐵 ∈ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊊ 𝐶))
6		sspsstr 4039	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊊ 𝐶) → 𝐴 ⊊ 𝐶)
7	6	expcom 414	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ⊊ 𝐶 → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ⊊ 𝐶))
8	5, 7	biimtrdi 254	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐶) → (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ⊊ 𝐶)))
9	8	expcom 414	. . . . . . . 8 ⊢ (Ord 𝐶 → (Ord 𝐵 → (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ⊊ 𝐶))))
10	9	com23 86	. . . . . . 7 ⊢ (Ord 𝐶 → (𝐵 ∈ 𝐶 → (Ord 𝐵 → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ⊊ 𝐶))))
11	10	imp32 419	. . . . . 6 ⊢ ((Ord 𝐶 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ Ord 𝐵)) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ⊊ 𝐶))
12	11	com12 32	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ((Ord 𝐶 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ Ord 𝐵)) → 𝐴 ⊊ 𝐶))
13	4, 12	syl9 77	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐶 → (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐵 ∈ 𝐶 → 𝐴 ⊊ 𝐶)))
14	13	impd 411	. . 3 ⊢ (Ord 𝐶 → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ⊊ 𝐶))
15	14	adantl 482	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐶) → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ⊊ 𝐶))
16		ordelpss 6338	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐶) → (𝐴 ∈ 𝐶 ↔ 𝐴 ⊊ 𝐶))
17	15, 16	sylibrd 260	1 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐶) → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2119   ⊆ wss 3883   ⊊ wpss 3884  Ord word 6309

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-pr 5362

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-tr 5180  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-ord 6313

This theorem is referenced by:  ontr2  6358  ordelinel  6413  smogt  8297  smocdmdom  8298  nnarcl  8542  nnawordex  8563  coftr  10186  noetasuplem4  27718  noetainflem4  27722  addonbday  28289  z12bdaylem  28494  hfuni  36412