Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordtr2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordtr2 6224
 Description: Transitive law for ordinal classes. (Contributed by NM, 12-Dec-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 25-Jul-2011.)
Assertion
Ref Expression
ordtr2 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐶) → ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶))

Proof of Theorem ordtr2
StepHypRef Expression
1 ordelord 6202 . . . . . . . 8 ((Ord 𝐶𝐵𝐶) → Ord 𝐵)
21ex 416 . . . . . . 7 (Ord 𝐶 → (𝐵𝐶 → Ord 𝐵))
32ancld 554 . . . . . 6 (Ord 𝐶 → (𝐵𝐶 → (𝐵𝐶 ∧ Ord 𝐵)))
43anc2li 559 . . . . 5 (Ord 𝐶 → (𝐵𝐶 → (Ord 𝐶 ∧ (𝐵𝐶 ∧ Ord 𝐵))))
5 ordelpss 6208 . . . . . . . . . 10 ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐶) → (𝐵𝐶𝐵𝐶))
6 sspsstr 4068 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
76expcom 417 . . . . . . . . . 10 (𝐵𝐶 → (𝐴𝐵𝐴𝐶))
85, 7syl6bi 256 . . . . . . . . 9 ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐶) → (𝐵𝐶 → (𝐴𝐵𝐴𝐶)))
98expcom 417 . . . . . . . 8 (Ord 𝐶 → (Ord 𝐵 → (𝐵𝐶 → (𝐴𝐵𝐴𝐶))))
109com23 86 . . . . . . 7 (Ord 𝐶 → (𝐵𝐶 → (Ord 𝐵 → (𝐴𝐵𝐴𝐶))))
1110imp32 422 . . . . . 6 ((Ord 𝐶 ∧ (𝐵𝐶 ∧ Ord 𝐵)) → (𝐴𝐵𝐴𝐶))
1211com12 32 . . . . 5 (𝐴𝐵 → ((Ord 𝐶 ∧ (𝐵𝐶 ∧ Ord 𝐵)) → 𝐴𝐶))
134, 12syl9 77 . . . 4 (Ord 𝐶 → (𝐴𝐵 → (𝐵𝐶𝐴𝐶)))
1413impd 414 . . 3 (Ord 𝐶 → ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶))
1514adantl 485 . 2 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐶) → ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶))
16 ordelpss 6208 . 2 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐶) → (𝐴𝐶𝐴𝐶))
1715, 16sylibrd 262 1 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐶) → ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2115   ⊆ wss 3919   ⊊ wpss 3920  Ord word 6179 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pr 5318 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4825  df-br 5054  df-opab 5116  df-tr 5160  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-ord 6183 This theorem is referenced by:  ontr2  6227  ordelinel  6278  smogt  8002  smorndom  8003  nnarcl  8240  nnawordex  8261  coftr  9695  noetalem3  33304  hfuni  33730
 Copyright terms: Public domain W3C validator