Theorem pimltpnff 47055

Description: Given a real-valued function, the preimage of an open interval, unbounded below, with upper bound +∞, is the whole domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Dec-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
pimltpnff.1	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
pimltpnff.2	⊢ Ⅎ𝑥𝐴
pimltpnff.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
pimltpnff	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < +∞} = 𝐴)

Proof of Theorem pimltpnff

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pimltpnff.2	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
2	1	ssrab2f 45470	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < +∞} ⊆ 𝐴
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < +∞} ⊆ 𝐴)
4		pimltpnff.1	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
5		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
6		pimltpnff.3	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
7		ltpnf 13046	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 < +∞)
8	6, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 < +∞)
9	5, 8	jca 511	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < +∞))
10		rabid 3422	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < +∞} ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < +∞))
11	9, 10	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < +∞})
12	11	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < +∞}))
13	4, 12	ralrimi 3236	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < +∞})
14		nfrab1 3421	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < +∞}
15	1, 14	dfss3f 3927	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < +∞} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < +∞})
16	13, 15	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < +∞})
17	3, 16	eqssd 3953	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < +∞} = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2114  Ⅎwnfc 2884  ∀wral 3052  {crab 3401   ⊆ wss 3903   class class class wbr 5100  ℝcr 11037  +∞cpnf 11175   < clt 11178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-xp 5638  df-pnf 11180  df-xr 11182  df-ltxr 11183

This theorem is referenced by:  pimltpnf  47056