Theorem pimltpnff 47241

Description: Given a real-valued function, the preimage of an open interval, unbounded below, with upper bound +∞, is the whole domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Dec-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
pimltpnff.1	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
pimltpnff.2	⊢ Ⅎ𝑥𝐴
pimltpnff.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
pimltpnff	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < +∞} = 𝐴)

Proof of Theorem pimltpnff

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pimltpnff.2	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
2	1	ssrab2f 45659	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < +∞} ⊆ 𝐴
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < +∞} ⊆ 𝐴)
4		pimltpnff.1	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
5		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
6		pimltpnff.3	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
7		ltpnf 13119	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 < +∞)
8	6, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 < +∞)
9	5, 8	jca 519	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < +∞))
10		rabid 3434	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < +∞} ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < +∞))
11	9, 10	sylibr 236	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < +∞})
12	11	ex 416	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < +∞}))
13	4, 12	ralrimi 3259	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < +∞})
14		nfrab1 3433	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < +∞}
15	1, 14	dfss3f 3928	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < +∞} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < +∞})
16	13, 15	sylibr 236	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < +∞})
17	3, 16	eqssd 3953	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < +∞} = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559  Ⅎwnf 1802   ∈ wcel 2141  Ⅎwnfc 2908  ∀wral 3075  {crab 3413   ⊆ wss 3904   class class class wbr 5099  ℝcr 11069  +∞cpnf 11210   < clt 11213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-xp 5651  df-pnf 11215  df-xr 11217  df-ltxr 11218

This theorem is referenced by:  pimltpnf  47242