Theorem pimltpnff 47806

Description: Given a real-valued function, the preimage of an open interval, unbounded below, with upper bound +∞, is the whole domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Dec-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
pimltpnff.1	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
pimltpnff.2	⊢ Ⅎ𝑥𝐴
pimltpnff.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
pimltpnff	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < +∞} = 𝐴)

Proof of Theorem pimltpnff

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pimltpnff.2	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
2	1	ssrab2f 46225	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < +∞} ⊆ 𝐴
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < +∞} ⊆ 𝐴)
4		pimltpnff.1	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
5		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
6		pimltpnff.3	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
7		ltpnf 13252	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 < +∞)
8	6, 7	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 < +∞)
9	5, 8	jca 521	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < +∞))
10		rabid 3432	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < +∞} ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < +∞))
11	9, 10	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < +∞})
12	11	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < +∞}))
13	4, 12	ralrimi 3260	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < +∞})
14		nfrab1 3431	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < +∞}
15	1, 14	dfss3f 3900	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < +∞} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < +∞})
16	13, 15	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < +∞})
17	3, 16	eqssd 3925	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < +∞} = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569  Ⅎwnf 1815   ∈ wcel 2144  Ⅎwnfc 2907  ∀wral 3076  {crab 3412   ⊆ wss 3895   class class class wbr 5102  ℝcr 11202  +∞cpnf 11343   < clt 11346

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-xp 5656  df-pnf 11348  df-xr 11350  df-ltxr 11351

This theorem is used by:  pimltpnf  47807