Theorem ltpnf 13144

Description: Any (finite) real is less than plus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
ltpnf	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < +∞)

Proof of Theorem ltpnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2769	. . . 4 ⊢ +∞ = +∞
2		orc 880	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ)))
3	1, 2	mpan2 703	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ)))
4	3	olcd 887	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 <ℝ +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ +∞ = +∞)) ∨ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ))))
5		rexr 11254	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
6		pnfxr 11262	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
7		ltxr 13139	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 < +∞ ↔ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 <ℝ +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ +∞ = +∞)) ∨ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ)))))
8	5, 6, 7	sylancl 597	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < +∞ ↔ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 <ℝ +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ +∞ = +∞)) ∨ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ)))))
9	4, 8	mpbird 260	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < +∞)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5113  ℝcr 11098   <_ℝ cltrr 11103  +∞cpnf 11239  -∞cmnf 11240  ℝ^*cxr 11241   < clt 11242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-sb 2098  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-xp 5668  df-pnf 11244  df-xr 11246  df-ltxr 11247

This theorem is referenced by:  ltpnfd  13145  0ltpnf  13146  xrlttri  13163  xrlttr  13164  xrrebnd  13193  xrre  13194  qbtwnxr  13225  xnn0lem1lt  13269  xrinfmsslem  13333  xrub  13337  supxrunb1  13344  supxrunb2  13345  dfrp2  13420  elioc2  13435  elicc2  13437  ioomax  13448  ioopos  13450  elioopnf  13469  elicopnf  13471  difreicc  13510  hashbnd  14371  hashv01gt1  14380  fprodge0  16046  fprodge1  16048  pcadd  16948  ramubcl  17077  rge0srg  21556  mnfnei  23346  icopnfcld  24892  iocmnfcld  24893  xrtgioo  24932  xrge0tsms  24960  ioombl1lem4  25688  icombl1  25690  mbfmax  25776  upgrfi  29381  topnfbey  30760  isblo3i  31093  htthlem  31209  xlt2addrd  33044  fsumrp0cl  33281  xrge0tsmsd  33333  pnfinf  33443  xrge0slmod  33610  xrge0iifcnv  34267  xrge0iifiso  34269  xrge0iifhom  34271  lmxrge0  34286  esumcst  34397  esumcvgre  34425  voliune  34563  volfiniune  34564  sxbrsigalem0  34605  orvcgteel  34802  dstfrvclim1  34812  itg2addnclem2  38210  asindmre  38241  dvasin  38242  dvacos  38243  rfcnpre3  45644  supxrgere  45940  supxrgelem  45944  xrlexaddrp  45959  infxr  45973  xrpnf  46090  limsupre  46246  limsuppnflem  46315  liminflelimsupuz  46390  limsupub2  46417  icccncfext  46492  fourierdlem111  46822  fouriersw  46836  sge0iunmptlemre  47020  sge0rpcpnf  47026  sge0xaddlem1  47038  meaiuninclem  47085  hoidmvlelem5  47204  ovolval5lem1  47257  pimltpnff  47308  iccpartiltu  48059  itscnhlinecirc02p  49449