Theorem ltpnf 13100

Description: Any (finite) real is less than plus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
ltpnf	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < +∞)

Proof of Theorem ltpnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. . . 4 ⊢ +∞ = +∞
2		orc 866	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ)))
3	1, 2	mpan2 690	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ)))
4	3	olcd 873	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 <ℝ +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ +∞ = +∞)) ∨ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ))))
5		rexr 11260	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
6		pnfxr 11268	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
7		ltxr 13095	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 < +∞ ↔ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 <ℝ +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ +∞ = +∞)) ∨ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ)))))
8	5, 6, 7	sylancl 587	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < +∞ ↔ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 <ℝ +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ +∞ = +∞)) ∨ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ)))))
9	4, 8	mpbird 257	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < +∞)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  ℝcr 11109   <_ℝ cltrr 11114  +∞cpnf 11245  -∞cmnf 11246  ℝ^*cxr 11247   < clt 11248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-xp 5683  df-pnf 11250  df-xr 11252  df-ltxr 11253

This theorem is referenced by:  ltpnfd  13101  0ltpnf  13102  xrlttri  13118  xrlttr  13119  xrrebnd  13147  xrre  13148  qbtwnxr  13179  xnn0lem1lt  13223  xrinfmsslem  13287  xrub  13291  supxrunb1  13298  supxrunb2  13299  dfrp2  13373  elioc2  13387  elicc2  13389  ioomax  13399  ioopos  13401  elioopnf  13420  elicopnf  13422  difreicc  13461  hashbnd  14296  hashv01gt1  14305  fprodge0  15937  fprodge1  15939  pcadd  16822  ramubcl  16951  rge0srg  21016  mnfnei  22725  icopnfcld  24284  iocmnfcld  24285  xrtgioo  24322  xrge0tsms  24350  ioombl1lem4  25078  icombl1  25080  mbfmax  25166  upgrfi  28351  topnfbey  29722  isblo3i  30054  htthlem  30170  xlt2addrd  31971  fsumrp0cl  32196  xrge0tsmsd  32209  pnfinf  32329  xrge0slmod  32463  xrge0iifcnv  32913  xrge0iifiso  32915  xrge0iifhom  32917  lmxrge0  32932  esumcst  33061  esumcvgre  33089  voliune  33227  volfiniune  33228  sxbrsigalem0  33270  orvcgteel  33466  dstfrvclim1  33476  itg2addnclem2  36540  asindmre  36571  dvasin  36572  dvacos  36573  rfcnpre3  43717  supxrgere  44043  supxrgelem  44047  xrlexaddrp  44062  infxr  44077  xrpnf  44196  limsupre  44357  limsuppnflem  44426  liminflelimsupuz  44501  limsupub2  44528  icccncfext  44603  fourierdlem111  44933  fourierdlem113  44935  fouriersw  44947  sge0iunmptlemre  45131  sge0rpcpnf  45137  sge0xaddlem1  45149  meaiuninclem  45196  hoidmvlelem5  45315  ovolval5lem1  45368  pimltpnff  45419  iccpartiltu  46090  itscnhlinecirc02p  47471