Theorem ltpnf 13242

Description: Any (finite) real is less than plus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
ltpnf	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < +∞)

Proof of Theorem ltpnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . . 4 ⊢ +∞ = +∞
2		orc 881	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ)))
3	1, 2	mpan2 704	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ)))
4	3	olcd 888	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 <ℝ +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ +∞ = +∞)) ∨ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ))))
5		rexr 11348	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
6		pnfxr 11356	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
7		ltxr 13237	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 < +∞ ↔ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 <ℝ +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ +∞ = +∞)) ∨ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ)))))
8	5, 6, 7	sylancl 598	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < +∞ ↔ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 <ℝ +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ +∞ = +∞)) ∨ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ)))))
9	4, 8	mpbird 260	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < +∞)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ℝcr 11192   <_ℝ cltrr 11197  +∞cpnf 11333  -∞cmnf 11334  ℝ^*cxr 11335   < clt 11336

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-xp 5657  df-pnf 11338  df-xr 11340  df-ltxr 11341

This theorem is used by:  ltpnfd  13243  0ltpnf  13244  xrlttri  13261  xrlttr  13262  xrrebnd  13291  xrre  13292  qbtwnxr  13323  xnn0lem1lt  13367  xrinfmsslem  13431  xrub  13435  supxrunb1  13442  supxrunb2  13443  dfrp2  13518  elioc2  13533  elicc2  13535  ioomax  13546  ioopos  13548  elioopnf  13567  elicopnf  13569  difreicc  13608  hashbnd  14473  hashv01gt1  14482  fprodge0  16153  fprodge1  16155  pcadd  17060  ramubcl  17189  rge0srg  21737  mnfnei  23532  icopnfcld  25079  iocmnfcld  25080  xrtgioo  25119  xrge0tsms  25147  ioombl1lem4  25875  icombl1  25877  mbfmax  25963  upgrfi  29662  topnfbey  31063  isblo3i  31396  htthlem  31512  xlt2addrd  33344  fsumrp0cl  33575  xrge0tsmsd  33627  pnfinf  33737  xrge0slmod  33902  xrge0iifcnv  34558  xrge0iifiso  34560  xrge0iifhom  34562  lmxrge0  34577  esumcst  34688  esumcvgre  34716  voliune  34855  volfiniune  34856  sxbrsigalem0  34896  orvcgteel  35093  dstfrvclim1  35103  itg2addnclem2  38570  asindmre  38601  dvasin  38602  dvacos  38603  rfcnpre3  46019  supxrgere  46314  supxrgelem  46318  xrlexaddrp  46333  infxr  46347  xrpnf  46464  limsupre  46620  limsuppnflem  46689  liminflelimsupuz  46764  limsupub2  46791  icccncfext  46866  fourierdlem111  47196  fouriersw  47210  sge0iunmptlemre  47394  sge0rpcpnf  47400  sge0xaddlem1  47412  meaiuninclem  47459  hoidmvlelem5  47578  ovolval5lem1  47631  pimltpnff  47682  iccpartiltu  48473  itscnhlinecirc02p  49866