Theorem ltpnf 12518

Description: Any (finite) real is less than plus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
ltpnf	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < +∞)

Proof of Theorem ltpnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2823	. . . 4 ⊢ +∞ = +∞
2		orc 863	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ)))
3	1, 2	mpan2 689	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ)))
4	3	olcd 870	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 <ℝ +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ +∞ = +∞)) ∨ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ))))
5		rexr 10689	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
6		pnfxr 10697	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
7		ltxr 12513	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 < +∞ ↔ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 <ℝ +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ +∞ = +∞)) ∨ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ)))))
8	5, 6, 7	sylancl 588	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < +∞ ↔ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 <ℝ +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ +∞ = +∞)) ∨ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ)))))
9	4, 8	mpbird 259	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < +∞)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5068  ℝcr 10538   <_ℝ cltrr 10543  +∞cpnf 10674  -∞cmnf 10675  ℝ^*cxr 10676   < clt 10677

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ral 3145  df-rex 3146  df-rab 3149  df-v 3498  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-opab 5131  df-xp 5563  df-pnf 10679  df-xr 10681  df-ltxr 10682

This theorem is referenced by:  ltpnfd  12519  0ltpnf  12520  xrlttri  12535  xrlttr  12536  xrrebnd  12564  xrre  12565  qbtwnxr  12596  xnn0lem1lt  12640  xrinfmsslem  12704  xrub  12708  supxrunb1  12715  supxrunb2  12716  elioc2  12802  elicc2  12804  ioomax  12814  ioopos  12816  elioopnf  12834  elicopnf  12836  difreicc  12873  hashbnd  13699  hashv01gt1  13708  fprodge0  15349  fprodge1  15351  pcadd  16227  ramubcl  16356  rge0srg  20618  mnfnei  21831  icopnfcld  23378  iocmnfcld  23379  xrtgioo  23416  xrge0tsms  23444  ioombl1lem4  24164  icombl1  24166  mbfmax  24252  upgrfi  26878  topnfbey  28250  isblo3i  28580  htthlem  28696  xlt2addrd  30484  dfrp2  30493  fsumrp0cl  30684  xrge0tsmsd  30694  pnfinf  30814  xrge0slmod  30919  xrge0iifcnv  31178  xrge0iifiso  31180  xrge0iifhom  31182  lmxrge0  31197  esumcst  31324  esumcvgre  31352  voliune  31490  volfiniune  31491  sxbrsigalem0  31531  orvcgteel  31727  dstfrvclim1  31737  itg2addnclem2  34946  asindmre  34979  dvasin  34980  dvacos  34981  rfcnpre3  41297  supxrgere  41608  supxrgelem  41612  xrlexaddrp  41627  infxr  41642  xrpnf  41769  limsupre  41929  limsuppnflem  41998  liminflelimsupuz  42073  limsupub2  42100  icccncfext  42177  fourierdlem111  42509  fourierdlem113  42511  fouriersw  42523  sge0iunmptlemre  42704  sge0rpcpnf  42710  sge0xaddlem1  42722  meaiuninclem  42769  hoidmvlelem5  42888  ovolval5lem1  42941  pimltpnf  42991  iccpartiltu  43589  itscnhlinecirc02p  44779