Theorem ltpnf 13160

Description: Any (finite) real is less than plus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
ltpnf	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < +∞)

Proof of Theorem ltpnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . . 4 ⊢ +∞ = +∞
2		orc 867	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ)))
3	1, 2	mpan2 691	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ)))
4	3	olcd 874	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 <ℝ +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ +∞ = +∞)) ∨ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ))))
5		rexr 11305	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
6		pnfxr 11313	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
7		ltxr 13155	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 < +∞ ↔ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 <ℝ +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ +∞ = +∞)) ∨ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ)))))
8	5, 6, 7	sylancl 586	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < +∞ ↔ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 <ℝ +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ +∞ = +∞)) ∨ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ)))))
9	4, 8	mpbird 257	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < +∞)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  ℝcr 11152   <_ℝ cltrr 11157  +∞cpnf 11290  -∞cmnf 11291  ℝ^*cxr 11292   < clt 11293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-sb 2063  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-xp 5695  df-pnf 11295  df-xr 11297  df-ltxr 11298

This theorem is referenced by:  ltpnfd  13161  0ltpnf  13162  xrlttri  13178  xrlttr  13179  xrrebnd  13207  xrre  13208  qbtwnxr  13239  xnn0lem1lt  13283  xrinfmsslem  13347  xrub  13351  supxrunb1  13358  supxrunb2  13359  dfrp2  13433  elioc2  13447  elicc2  13449  ioomax  13459  ioopos  13461  elioopnf  13480  elicopnf  13482  difreicc  13521  hashbnd  14372  hashv01gt1  14381  fprodge0  16026  fprodge1  16028  pcadd  16923  ramubcl  17052  rge0srg  21474  mnfnei  23245  icopnfcld  24804  iocmnfcld  24805  xrtgioo  24842  xrge0tsms  24870  ioombl1lem4  25610  icombl1  25612  mbfmax  25698  upgrfi  29123  topnfbey  30498  isblo3i  30830  htthlem  30946  xlt2addrd  32769  fsumrp0cl  33009  xrge0tsmsd  33048  pnfinf  33173  xrge0slmod  33356  xrge0iifcnv  33894  xrge0iifiso  33896  xrge0iifhom  33898  lmxrge0  33913  esumcst  34044  esumcvgre  34072  voliune  34210  volfiniune  34211  sxbrsigalem0  34253  orvcgteel  34449  dstfrvclim1  34459  itg2addnclem2  37659  asindmre  37690  dvasin  37691  dvacos  37692  rfcnpre3  44971  supxrgere  45283  supxrgelem  45287  xrlexaddrp  45302  infxr  45317  xrpnf  45436  limsupre  45597  limsuppnflem  45666  liminflelimsupuz  45741  limsupub2  45768  icccncfext  45843  fourierdlem111  46173  fourierdlem113  46175  fouriersw  46187  sge0iunmptlemre  46371  sge0rpcpnf  46377  sge0xaddlem1  46389  meaiuninclem  46436  hoidmvlelem5  46555  ovolval5lem1  46608  pimltpnff  46659  iccpartiltu  47347  itscnhlinecirc02p  48635