Theorem ltpnf 12503

Description: Any (finite) real is less than plus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
ltpnf	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < +∞)

Proof of Theorem ltpnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2798	. . . 4 ⊢ +∞ = +∞
2		orc 864	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ)))
3	1, 2	mpan2 690	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ)))
4	3	olcd 871	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 <ℝ +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ +∞ = +∞)) ∨ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ))))
5		rexr 10676	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
6		pnfxr 10684	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
7		ltxr 12498	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 < +∞ ↔ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 <ℝ +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ +∞ = +∞)) ∨ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ)))))
8	5, 6, 7	sylancl 589	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < +∞ ↔ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 <ℝ +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ +∞ = +∞)) ∨ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ)))))
9	4, 8	mpbird 260	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < +∞)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5030  ℝcr 10525   <_ℝ cltrr 10530  +∞cpnf 10661  -∞cmnf 10662  ℝ^*cxr 10663   < clt 10664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-v 3443  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-xp 5525  df-pnf 10666  df-xr 10668  df-ltxr 10669

This theorem is referenced by:  ltpnfd  12504  0ltpnf  12505  xrlttri  12520  xrlttr  12521  xrrebnd  12549  xrre  12550  qbtwnxr  12581  xnn0lem1lt  12625  xrinfmsslem  12689  xrub  12693  supxrunb1  12700  supxrunb2  12701  elioc2  12788  elicc2  12790  ioomax  12800  ioopos  12802  elioopnf  12821  elicopnf  12823  difreicc  12862  hashbnd  13692  hashv01gt1  13701  fprodge0  15339  fprodge1  15341  pcadd  16215  ramubcl  16344  rge0srg  20162  mnfnei  21826  icopnfcld  23373  iocmnfcld  23374  xrtgioo  23411  xrge0tsms  23439  ioombl1lem4  24165  icombl1  24167  mbfmax  24253  upgrfi  26884  topnfbey  28254  isblo3i  28584  htthlem  28700  xlt2addrd  30508  dfrp2  30517  fsumrp0cl  30729  xrge0tsmsd  30742  pnfinf  30862  xrge0slmod  30968  xrge0iifcnv  31286  xrge0iifiso  31288  xrge0iifhom  31290  lmxrge0  31305  esumcst  31432  esumcvgre  31460  voliune  31598  volfiniune  31599  sxbrsigalem0  31639  orvcgteel  31835  dstfrvclim1  31845  itg2addnclem2  35109  asindmre  35140  dvasin  35141  dvacos  35142  rfcnpre3  41662  supxrgere  41965  supxrgelem  41969  xrlexaddrp  41984  infxr  41999  xrpnf  42125  limsupre  42283  limsuppnflem  42352  liminflelimsupuz  42427  limsupub2  42454  icccncfext  42529  fourierdlem111  42859  fourierdlem113  42861  fouriersw  42873  sge0iunmptlemre  43054  sge0rpcpnf  43060  sge0xaddlem1  43072  meaiuninclem  43119  hoidmvlelem5  43238  ovolval5lem1  43291  pimltpnf  43341  iccpartiltu  43939  itscnhlinecirc02p  45199