MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltpnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltpnf 12508
Description: Any (finite) real is less than plus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
ltpnf (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < +∞)

Proof of Theorem ltpnf
StepHypRef Expression
1 eqid 2824 . . . 4 +∞ = +∞
2 orc 863 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ)))
31, 2mpan2 687 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ)))
43olcd 872 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ +∞ = +∞)) ∨ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ))))
5 rexr 10679 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
6 pnfxr 10687 . . 3 +∞ ∈ ℝ*
7 ltxr 12503 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 < +∞ ↔ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ +∞ = +∞)) ∨ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ)))))
85, 6, 7sylancl 586 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < +∞ ↔ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ +∞ = +∞)) ∨ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ)))))
94, 8mpbird 258 1 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < +∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  wo 843   = wceq 1530  wcel 2106   class class class wbr 5062  cr 10528   < cltrr 10533  +∞cpnf 10664  -∞cmnf 10665  *cxr 10666   < clt 10667
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2152  ax-12 2167  ax-ext 2796  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2615  df-eu 2649  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ral 3147  df-rex 3148  df-rab 3151  df-v 3501  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4837  df-br 5063  df-opab 5125  df-xp 5559  df-pnf 10669  df-xr 10671  df-ltxr 10672
This theorem is referenced by:  ltpnfd  12509  0ltpnf  12510  xrlttri  12525  xrlttr  12526  xrrebnd  12554  xrre  12555  qbtwnxr  12586  xnn0lem1lt  12630  xrinfmsslem  12694  xrub  12698  supxrunb1  12705  supxrunb2  12706  elioc2  12792  elicc2  12794  ioomax  12804  ioopos  12806  elioopnf  12824  elicopnf  12826  difreicc  12863  hashbnd  13689  hashv01gt1  13698  fprodge0  15339  fprodge1  15341  pcadd  16217  ramubcl  16346  rge0srg  20532  mnfnei  21745  icopnfcld  23291  iocmnfcld  23292  xrtgioo  23329  xrge0tsms  23357  ioombl1lem4  24077  icombl1  24079  mbfmax  24165  upgrfi  26791  topnfbey  28163  isblo3i  28493  htthlem  28609  xlt2addrd  30396  dfrp2  30405  fsumrp0cl  30597  xrge0tsmsd  30607  pnfinf  30727  xrge0slmod  30832  xrge0iifcnv  31063  xrge0iifiso  31065  xrge0iifhom  31067  lmxrge0  31082  esumcst  31209  esumcvgre  31237  voliune  31375  volfiniune  31376  sxbrsigalem0  31416  orvcgteel  31612  dstfrvclim1  31622  itg2addnclem2  34812  asindmre  34845  dvasin  34846  dvacos  34847  rfcnpre3  41152  supxrgere  41463  supxrgelem  41467  xrlexaddrp  41482  infxr  41497  xrpnf  41624  limsupre  41784  limsuppnfdlem  41844  limsuppnflem  41853  liminflelimsupuz  41928  limsupub2  41955  icccncfext  42032  fourierdlem111  42365  fourierdlem113  42367  fouriersw  42379  sge0iunmptlemre  42560  sge0rpcpnf  42566  sge0xaddlem1  42578  meaiuninclem  42625  hoidmvlelem5  42744  ovolval5lem1  42797  pimltpnf  42847  iccpartiltu  43411  itscnhlinecirc02p  44601
  Copyright terms: Public domain W3C validator