MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  predpo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem predpo 6346
Description: Property of the predecessor class for partial orders. (Contributed by Scott Fenton, 28-Apr-2012.) (Proof shortened by Scott Fenton, 28-Oct-2024.)
Assertion
Ref Expression
predpo ((𝑅 Po 𝐴𝑋𝐴) → (𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)))

Proof of Theorem predpo
StepHypRef Expression
1 dfpo2 6318 . . . . 5 (𝑅 Po 𝐴 ↔ ((𝑅 ∩ ( I ↾ 𝐴)) = ∅ ∧ ((𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∘ (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ⊆ 𝑅))
21simprbi 496 . . . 4 (𝑅 Po 𝐴 → ((𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∘ (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ⊆ 𝑅)
32ad2antrr 726 . . 3 (((𝑅 Po 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) → ((𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∘ (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ⊆ 𝑅)
4 simpr 484 . . 3 (((𝑅 Po 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) → 𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
5 simplr 769 . . 3 (((𝑅 Po 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) → 𝑋𝐴)
6 predtrss 6345 . . 3 ((((𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∘ (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ⊆ 𝑅𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∧ 𝑋𝐴) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
73, 4, 5, 6syl3anc 1370 . 2 (((𝑅 Po 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
87ex 412 1 ((𝑅 Po 𝐴𝑋𝐴) → (𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  cin 3962  wss 3963  c0 4339   I cid 5582   Po wpo 5595   × cxp 5687  cres 5691  ccom 5693  Predcpred 6322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5583  df-po 5597  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323
This theorem is referenced by:  predso  6347
  Copyright terms: Public domain W3C validator