Theorem predpo 6158

Description: Property of the predecessor class for partial orders. (Contributed by Scott Fenton, 28-Apr-2012.)

Assertion

Ref	Expression
predpo	⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)))

Proof of Theorem predpo

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		predel 6157	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → 𝑌 ∈ 𝐴)
2		elpredg 6154	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ↔ 𝑌𝑅𝑋))
3	2	adantll 714	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ↔ 𝑌𝑅𝑋))
4		potr 5466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴)) → ((𝑧𝑅𝑌 ∧ 𝑌𝑅𝑋) → 𝑧𝑅𝑋))
5	4	3exp2 1356	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 Po 𝐴 → (𝑧 ∈ 𝐴 → (𝑌 ∈ 𝐴 → (𝑋 ∈ 𝐴 → ((𝑧𝑅𝑌 ∧ 𝑌𝑅𝑋) → 𝑧𝑅𝑋)))))
6	5	com24 95	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 Po 𝐴 → (𝑋 ∈ 𝐴 → (𝑌 ∈ 𝐴 → (𝑧 ∈ 𝐴 → ((𝑧𝑅𝑌 ∧ 𝑌𝑅𝑋) → 𝑧𝑅𝑋)))))
7	6	imp31 421	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ 𝐴 → ((𝑧𝑅𝑌 ∧ 𝑌𝑅𝑋) → 𝑧𝑅𝑋)))
8	7	com13 88	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧𝑅𝑌 ∧ 𝑌𝑅𝑋) → (𝑧 ∈ 𝐴 → (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑧𝑅𝑋)))
9	8	ex 416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧𝑅𝑌 → (𝑌𝑅𝑋 → (𝑧 ∈ 𝐴 → (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑧𝑅𝑋))))
10	9	com14 96	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑌𝑅𝑋 → (𝑧 ∈ 𝐴 → (𝑧𝑅𝑌 → 𝑧𝑅𝑋))))
11	3, 10	sylbid 243	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → (𝑧 ∈ 𝐴 → (𝑧𝑅𝑌 → 𝑧𝑅𝑋))))
12	11	ex 416	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑌 ∈ 𝐴 → (𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → (𝑧 ∈ 𝐴 → (𝑧𝑅𝑌 → 𝑧𝑅𝑋)))))
13	12	com23 86	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → (𝑌 ∈ 𝐴 → (𝑧 ∈ 𝐴 → (𝑧𝑅𝑌 → 𝑧𝑅𝑋)))))
14	13	3imp 1113	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ 𝐴 → (𝑧𝑅𝑌 → 𝑧𝑅𝑋)))
15	14	imdistand 574	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧𝑅𝑌) → (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧𝑅𝑋)))
16		vex 3402	. . . . . . 7 ⊢ 𝑧 ∈ V
17	16	elpred 6153	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐴 → (𝑧 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧𝑅𝑌)))
18	17	3ad2ant3 1137	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧𝑅𝑌)))
19	16	elpred 6153	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (𝑧 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧𝑅𝑋)))
20	19	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧𝑅𝑋)))
21	20	3ad2ant1 1135	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧𝑅𝑋)))
22	15, 18, 21	3imtr4d 297	. . . 4 ⊢ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) → 𝑧 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)))
23	22	ssrdv 3893	. . 3 ⊢ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
24	23	3exp 1121	. 2 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → (𝑌 ∈ 𝐴 → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))))
25	1, 24	mpdi 45	1 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   ∈ wcel 2112   ⊆ wss 3853   class class class wbr 5039   Po wpo 5451  Predcpred 6139

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pr 5307

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-sb 2073  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3400  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-br 5040  df-opab 5102  df-po 5453  df-xp 5542  df-cnv 5544  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140

This theorem is referenced by:  predso  6159  trpredpo  9319