Theorem predpo 6270

Description: Property of the predecessor class for partial orders. (Contributed by Scott Fenton, 28-Apr-2012.) (Proof shortened by Scott Fenton, 28-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
predpo	⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)))

Proof of Theorem predpo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfpo2 6243	. . . . 5 ⊢ (𝑅 Po 𝐴 ↔ ((𝑅 ∩ ( I ↾ 𝐴)) = ∅ ∧ ((𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∘ (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ⊆ 𝑅))
2	1	simprbi 496	. . . 4 ⊢ (𝑅 Po 𝐴 → ((𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∘ (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ⊆ 𝑅)
3	2	ad2antrr 726	. . 3 ⊢ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) → ((𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∘ (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ⊆ 𝑅)
4		simpr 484	. . 3 ⊢ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) → 𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
5		simplr 768	. . 3 ⊢ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝐴)
6		predtrss 6269	. . 3 ⊢ ((((𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∘ (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
8	7	ex 412	1 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  ∅c0 4283   I cid 5510   Po wpo 5522   × cxp 5614   ↾ cres 5618   ∘ ccom 5620  Predcpred 6247

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-br 5092  df-opab 5154  df-id 5511  df-po 5524  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248

This theorem is referenced by:  predso  6271