Theorem predpo 6165

Description: Property of the precessor class for partial orderings. (Contributed by Scott Fenton, 28-Apr-2012.)

Assertion

Ref	Expression
predpo	⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)))

Proof of Theorem predpo

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		predel 6164	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → 𝑌 ∈ 𝐴)
2		elpredg 6161	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ↔ 𝑌𝑅𝑋))
3	2	adantll 712	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ↔ 𝑌𝑅𝑋))
4		potr 5485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴)) → ((𝑧𝑅𝑌 ∧ 𝑌𝑅𝑋) → 𝑧𝑅𝑋))
5	4	3exp2 1350	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 Po 𝐴 → (𝑧 ∈ 𝐴 → (𝑌 ∈ 𝐴 → (𝑋 ∈ 𝐴 → ((𝑧𝑅𝑌 ∧ 𝑌𝑅𝑋) → 𝑧𝑅𝑋)))))
6	5	com24 95	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 Po 𝐴 → (𝑋 ∈ 𝐴 → (𝑌 ∈ 𝐴 → (𝑧 ∈ 𝐴 → ((𝑧𝑅𝑌 ∧ 𝑌𝑅𝑋) → 𝑧𝑅𝑋)))))
7	6	imp31 420	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ 𝐴 → ((𝑧𝑅𝑌 ∧ 𝑌𝑅𝑋) → 𝑧𝑅𝑋)))
8	7	com13 88	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧𝑅𝑌 ∧ 𝑌𝑅𝑋) → (𝑧 ∈ 𝐴 → (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑧𝑅𝑋)))
9	8	ex 415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧𝑅𝑌 → (𝑌𝑅𝑋 → (𝑧 ∈ 𝐴 → (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑧𝑅𝑋))))
10	9	com14 96	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑌𝑅𝑋 → (𝑧 ∈ 𝐴 → (𝑧𝑅𝑌 → 𝑧𝑅𝑋))))
11	3, 10	sylbid 242	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → (𝑧 ∈ 𝐴 → (𝑧𝑅𝑌 → 𝑧𝑅𝑋))))
12	11	ex 415	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑌 ∈ 𝐴 → (𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → (𝑧 ∈ 𝐴 → (𝑧𝑅𝑌 → 𝑧𝑅𝑋)))))
13	12	com23 86	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → (𝑌 ∈ 𝐴 → (𝑧 ∈ 𝐴 → (𝑧𝑅𝑌 → 𝑧𝑅𝑋)))))
14	13	3imp 1107	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ 𝐴 → (𝑧𝑅𝑌 → 𝑧𝑅𝑋)))
15	14	imdistand 573	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧𝑅𝑌) → (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧𝑅𝑋)))
16		vex 3497	. . . . . . 7 ⊢ 𝑧 ∈ V
17	16	elpred 6160	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐴 → (𝑧 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧𝑅𝑌)))
18	17	3ad2ant3 1131	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧𝑅𝑌)))
19	16	elpred 6160	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (𝑧 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧𝑅𝑋)))
20	19	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧𝑅𝑋)))
21	20	3ad2ant1 1129	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧𝑅𝑋)))
22	15, 18, 21	3imtr4d 296	. . . 4 ⊢ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) → 𝑧 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)))
23	22	ssrdv 3972	. . 3 ⊢ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
24	23	3exp 1115	. 2 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → (𝑌 ∈ 𝐴 → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))))
25	1, 24	mpdi 45	1 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   ∈ wcel 2110   ⊆ wss 3935   class class class wbr 5065   Po wpo 5471  Predcpred 6146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pr 5329

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-br 5066  df-opab 5128  df-po 5473  df-xp 5560  df-cnv 5562  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147

This theorem is referenced by:  predso  6166  trpredpo  33074