MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  predpo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem predpo 6138
Description: Property of the precessor class for partial orderings. (Contributed by Scott Fenton, 28-Apr-2012.)
Assertion
Ref Expression
predpo ((𝑅 Po 𝐴𝑋𝐴) → (𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)))

Proof of Theorem predpo
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 predel 6137 . 2 (𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → 𝑌𝐴)
2 elpredg 6134 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ↔ 𝑌𝑅𝑋))
32adantll 713 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 Po 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑌𝐴) → (𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ↔ 𝑌𝑅𝑋))
4 potr 5454 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝑧𝐴𝑌𝐴𝑋𝐴)) → ((𝑧𝑅𝑌𝑌𝑅𝑋) → 𝑧𝑅𝑋))
543exp2 1351 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 Po 𝐴 → (𝑧𝐴 → (𝑌𝐴 → (𝑋𝐴 → ((𝑧𝑅𝑌𝑌𝑅𝑋) → 𝑧𝑅𝑋)))))
65com24 95 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 Po 𝐴 → (𝑋𝐴 → (𝑌𝐴 → (𝑧𝐴 → ((𝑧𝑅𝑌𝑌𝑅𝑋) → 𝑧𝑅𝑋)))))
76imp31 421 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 Po 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑌𝐴) → (𝑧𝐴 → ((𝑧𝑅𝑌𝑌𝑅𝑋) → 𝑧𝑅𝑋)))
87com13 88 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧𝑅𝑌𝑌𝑅𝑋) → (𝑧𝐴 → (((𝑅 Po 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑌𝐴) → 𝑧𝑅𝑋)))
98ex 416 . . . . . . . . . . 11 (𝑧𝑅𝑌 → (𝑌𝑅𝑋 → (𝑧𝐴 → (((𝑅 Po 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑌𝐴) → 𝑧𝑅𝑋))))
109com14 96 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 Po 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑌𝐴) → (𝑌𝑅𝑋 → (𝑧𝐴 → (𝑧𝑅𝑌𝑧𝑅𝑋))))
113, 10sylbid 243 . . . . . . . . 9 (((𝑅 Po 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑌𝐴) → (𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → (𝑧𝐴 → (𝑧𝑅𝑌𝑧𝑅𝑋))))
1211ex 416 . . . . . . . 8 ((𝑅 Po 𝐴𝑋𝐴) → (𝑌𝐴 → (𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → (𝑧𝐴 → (𝑧𝑅𝑌𝑧𝑅𝑋)))))
1312com23 86 . . . . . . 7 ((𝑅 Po 𝐴𝑋𝐴) → (𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → (𝑌𝐴 → (𝑧𝐴 → (𝑧𝑅𝑌𝑧𝑅𝑋)))))
14133imp 1108 . . . . . 6 (((𝑅 Po 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∧ 𝑌𝐴) → (𝑧𝐴 → (𝑧𝑅𝑌𝑧𝑅𝑋)))
1514imdistand 574 . . . . 5 (((𝑅 Po 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∧ 𝑌𝐴) → ((𝑧𝐴𝑧𝑅𝑌) → (𝑧𝐴𝑧𝑅𝑋)))
16 vex 3447 . . . . . . 7 𝑧 ∈ V
1716elpred 6133 . . . . . 6 (𝑌𝐴 → (𝑧 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ↔ (𝑧𝐴𝑧𝑅𝑌)))
18173ad2ant3 1132 . . . . 5 (((𝑅 Po 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∧ 𝑌𝐴) → (𝑧 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ↔ (𝑧𝐴𝑧𝑅𝑌)))
1916elpred 6133 . . . . . . 7 (𝑋𝐴 → (𝑧 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ↔ (𝑧𝐴𝑧𝑅𝑋)))
2019adantl 485 . . . . . 6 ((𝑅 Po 𝐴𝑋𝐴) → (𝑧 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ↔ (𝑧𝐴𝑧𝑅𝑋)))
21203ad2ant1 1130 . . . . 5 (((𝑅 Po 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∧ 𝑌𝐴) → (𝑧 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ↔ (𝑧𝐴𝑧𝑅𝑋)))
2215, 18, 213imtr4d 297 . . . 4 (((𝑅 Po 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∧ 𝑌𝐴) → (𝑧 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) → 𝑧 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)))
2322ssrdv 3924 . . 3 (((𝑅 Po 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∧ 𝑌𝐴) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
24233exp 1116 . 2 ((𝑅 Po 𝐴𝑋𝐴) → (𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → (𝑌𝐴 → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))))
251, 24mpdi 45 1 ((𝑅 Po 𝐴𝑋𝐴) → (𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084  wcel 2112  wss 3884   class class class wbr 5033   Po wpo 5440  Predcpred 6119
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pr 5298
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ral 3114  df-rex 3115  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-br 5034  df-opab 5096  df-po 5442  df-xp 5529  df-cnv 5531  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120
This theorem is referenced by:  predso  6139  trpredpo  33188
  Copyright terms: Public domain W3C validator