Theorem predpo 6324

Description: Property of the predecessor class for partial orders. (Contributed by Scott Fenton, 28-Apr-2012.) (Proof shortened by Scott Fenton, 28-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
predpo	⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)))

Proof of Theorem predpo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfpo2 6297	. . . . 5 ⊢ (𝑅 Po 𝐴 ↔ ((𝑅 ∩ ( I ↾ 𝐴)) = ∅ ∧ ((𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∘ (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ⊆ 𝑅))
2	1	simprbi 502	. . . 4 ⊢ (𝑅 Po 𝐴 → ((𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∘ (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ⊆ 𝑅)
3	2	ad2antrr 738	. . 3 ⊢ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) → ((𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∘ (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ⊆ 𝑅)
4		simpr 489	. . 3 ⊢ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) → 𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
5		simplr 780	. . 3 ⊢ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝐴)
6		predtrss 6323	. . 3 ⊢ ((((𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∘ (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
8	7	ex 417	1 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286   I cid 5555   Po wpo 5567   × cxp 5659   ↾ cres 5663   ∘ ccom 5665  Predcpred 6301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-pr 5404

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-br 5110  df-opab 5174  df-id 5556  df-po 5569  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302

This theorem is referenced by:  predso  6325