Theorem predpo 6262

Description: Property of the predecessor class for partial orders. (Contributed by Scott Fenton, 28-Apr-2012.) (Proof shortened by Scott Fenton, 28-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
predpo	⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)))

Proof of Theorem predpo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfpo2 6234	. . . . 5 ⊢ (𝑅 Po 𝐴 ↔ ((𝑅 ∩ ( I ↾ 𝐴)) = ∅ ∧ ((𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∘ (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ⊆ 𝑅))
2	1	simprbi 497	. . . 4 ⊢ (𝑅 Po 𝐴 → ((𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∘ (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ⊆ 𝑅)
3	2	ad2antrr 723	. . 3 ⊢ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) → ((𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∘ (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ⊆ 𝑅)
4		simpr 485	. . 3 ⊢ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) → 𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
5		simplr 766	. . 3 ⊢ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝐴)
6		predtrss 6261	. . 3 ⊢ ((((𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∘ (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
8	7	ex 413	1 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ∩ cin 3897   ⊆ wss 3898  ∅c0 4269   I cid 5517   Po wpo 5530   × cxp 5618   ↾ cres 5622   ∘ ccom 5624  Predcpred 6237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pr 5372

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3404  df-v 3443  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4270  df-if 4474  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-br 5093  df-opab 5155  df-id 5518  df-po 5532  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238

This theorem is referenced by:  predso  6263