Theorem predpo 6275

Description: Property of the predecessor class for partial orders. (Contributed by Scott Fenton, 28-Apr-2012.) (Proof shortened by Scott Fenton, 28-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
predpo	⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)))

Proof of Theorem predpo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfpo2 6248	. . . . 5 ⊢ (𝑅 Po 𝐴 ↔ ((𝑅 ∩ ( I ↾ 𝐴)) = ∅ ∧ ((𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∘ (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ⊆ 𝑅))
2	1	simprbi 496	. . . 4 ⊢ (𝑅 Po 𝐴 → ((𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∘ (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ⊆ 𝑅)
3	2	ad2antrr 726	. . 3 ⊢ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) → ((𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∘ (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ⊆ 𝑅)
4		simpr 484	. . 3 ⊢ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) → 𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
5		simplr 768	. . 3 ⊢ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝐴)
6		predtrss 6274	. . 3 ⊢ ((((𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∘ (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ⊆ 𝑅 ∧ 𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
8	7	ex 412	1 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286   I cid 5517   Po wpo 5529   × cxp 5621   ↾ cres 5625   ∘ ccom 5627  Predcpred 6252

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-br 5096  df-opab 5158  df-id 5518  df-po 5531  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253

This theorem is referenced by:  predso  6276