Theorem predprc 6292

Description: The predecessor of a proper class is empty. (Contributed by Scott Fenton, 25-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
predprc	⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) = ∅)

Proof of Theorem predprc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pred 6255	. 2 ⊢ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) = (𝐴 ∩ (◡𝑅 “ {𝑋}))
2		snprc 4671	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V ↔ {𝑋} = ∅)
3	2	biimpi 216	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → {𝑋} = ∅)
4	3	imaeq2d 6015	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → (◡𝑅 “ {𝑋}) = (◡𝑅 “ ∅))
5		ima0 6032	. . . . 5 ⊢ (◡𝑅 “ ∅) = ∅
6	4, 5	eqtrdi 2784	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → (◡𝑅 “ {𝑋}) = ∅)
7	6	ineq2d 4169	. . 3 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → (𝐴 ∩ (◡𝑅 “ {𝑋})) = (𝐴 ∩ ∅))
8		in0 4344	. . 3 ⊢ (𝐴 ∩ ∅) = ∅
9	7, 8	eqtrdi 2784	. 2 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → (𝐴 ∩ (◡𝑅 “ {𝑋})) = ∅)
10	1, 9	eqtrid 2780	1 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3437   ∩ cin 3897  ∅c0 4282  {csn 4577  ^◡ccnv 5620   “ cima 5624  Predcpred 6254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-rab 3397  df-v 3439  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-br 5096  df-opab 5158  df-xp 5627  df-cnv 5629  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255

This theorem is referenced by:  predres  6293