Theorem predprc 6277

Description: The predecessor of a proper class is empty. (Contributed by Scott Fenton, 25-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
predprc	⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) = ∅)

Proof of Theorem predprc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pred 6238	. 2 ⊢ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) = (𝐴 ∩ (◡𝑅 “ {𝑋}))
2		snprc 4665	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V ↔ {𝑋} = ∅)
3	2	biimpi 215	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → {𝑋} = ∅)
4	3	imaeq2d 5999	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → (◡𝑅 “ {𝑋}) = (◡𝑅 “ ∅))
5		ima0 6015	. . . . 5 ⊢ (◡𝑅 “ ∅) = ∅
6	4, 5	eqtrdi 2792	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → (◡𝑅 “ {𝑋}) = ∅)
7	6	ineq2d 4159	. . 3 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → (𝐴 ∩ (◡𝑅 “ {𝑋})) = (𝐴 ∩ ∅))
8		in0 4338	. . 3 ⊢ (𝐴 ∩ ∅) = ∅
9	7, 8	eqtrdi 2792	. 2 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → (𝐴 ∩ (◡𝑅 “ {𝑋})) = ∅)
10	1, 9	eqtrid 2788	1 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3441   ∩ cin 3897  ∅c0 4269  {csn 4573  ^◡ccnv 5619   “ cima 5623  Predcpred 6237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pr 5372

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-rab 3404  df-v 3443  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4270  df-if 4474  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-br 5093  df-opab 5155  df-xp 5626  df-cnv 5628  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238

This theorem is referenced by:  predres  6278