MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  predprc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem predprc 6332
Description: The predecessor of a proper class is empty. (Contributed by Scott Fenton, 25-Nov-2024.)
Assertion
Ref Expression
predprc 𝑋 ∈ V → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) = ∅)

Proof of Theorem predprc
StepHypRef Expression
1 df-pred 6293 . 2 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) = (𝐴 ∩ (𝑅 “ {𝑋}))
2 snprc 4716 . . . . . . 7 𝑋 ∈ V ↔ {𝑋} = ∅)
32biimpi 215 . . . . . 6 𝑋 ∈ V → {𝑋} = ∅)
43imaeq2d 6052 . . . . 5 𝑋 ∈ V → (𝑅 “ {𝑋}) = (𝑅 “ ∅))
5 ima0 6069 . . . . 5 (𝑅 “ ∅) = ∅
64, 5eqtrdi 2782 . . . 4 𝑋 ∈ V → (𝑅 “ {𝑋}) = ∅)
76ineq2d 4207 . . 3 𝑋 ∈ V → (𝐴 ∩ (𝑅 “ {𝑋})) = (𝐴 ∩ ∅))
8 in0 4386 . . 3 (𝐴 ∩ ∅) = ∅
97, 8eqtrdi 2782 . 2 𝑋 ∈ V → (𝐴 ∩ (𝑅 “ {𝑋})) = ∅)
101, 9eqtrid 2778 1 𝑋 ∈ V → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3468  cin 3942  c0 4317  {csn 4623  ccnv 5668  cima 5672  Predcpred 6292
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-rab 3427  df-v 3470  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-br 5142  df-opab 5204  df-xp 5675  df-cnv 5677  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293
This theorem is referenced by:  predres  6333
  Copyright terms: Public domain W3C validator