Theorem predprc 6365

Description: The predecessor of a proper class is empty. (Contributed by Scott Fenton, 25-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
predprc	⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) = ∅)

Proof of Theorem predprc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pred 6328	. 2 ⊢ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) = (𝐴 ∩ (◡𝑅 “ {𝑋}))
2		snprc 4678	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V ↔ {𝑋} = ∅)
3	2	biimpi 219	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → {𝑋} = ∅)
4	3	imaeq2d 6068	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → (◡𝑅 “ {𝑋}) = (◡𝑅 “ ∅))
5		ima0 6091	. . . . 5 ⊢ (◡𝑅 “ ∅) = ∅
6	4, 5	eqtrdi 2814	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → (◡𝑅 “ {𝑋}) = ∅)
7	6	ineq2d 4120	. . 3 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → (𝐴 ∩ (◡𝑅 “ {𝑋})) = (𝐴 ∩ ∅))
8		in0 4348	. . 3 ⊢ (𝐴 ∩ ∅) = ∅
9	7, 8	eqtrdi 2814	. 2 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → (𝐴 ∩ (◡𝑅 “ {𝑋})) = ∅)
10	1, 9	eqtrid 2810	1 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) = ∅)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ∩ cin 4092  ∅c0 4281  {csn 4588  ^◡ccnv 5655   “ cima 5659  Predcpred 6327

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-pr 5396

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-br 5107  df-opab 5172  df-xp 5662  df-cnv 5664  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328

This theorem is used by:  predres  6366