Theorem predprc 6338

Description: The predecessor of a proper class is empty. (Contributed by Scott Fenton, 25-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
predprc	⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) = ∅)

Proof of Theorem predprc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pred 6301	. 2 ⊢ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) = (𝐴 ∩ (◡𝑅 “ {𝑋}))
2		snprc 4697	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V ↔ {𝑋} = ∅)
3	2	biimpi 216	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → {𝑋} = ∅)
4	3	imaeq2d 6058	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → (◡𝑅 “ {𝑋}) = (◡𝑅 “ ∅))
5		ima0 6075	. . . . 5 ⊢ (◡𝑅 “ ∅) = ∅
6	4, 5	eqtrdi 2785	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → (◡𝑅 “ {𝑋}) = ∅)
7	6	ineq2d 4200	. . 3 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → (𝐴 ∩ (◡𝑅 “ {𝑋})) = (𝐴 ∩ ∅))
8		in0 4375	. . 3 ⊢ (𝐴 ∩ ∅) = ∅
9	7, 8	eqtrdi 2785	. 2 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → (𝐴 ∩ (◡𝑅 “ {𝑋})) = ∅)
10	1, 9	eqtrid 2781	1 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  Vcvv 3463   ∩ cin 3930  ∅c0 4313  {csn 4606  ^◡ccnv 5664   “ cima 5668  Predcpred 6300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pr 5412

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-rab 3420  df-v 3465  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-br 5124  df-opab 5186  df-xp 5671  df-cnv 5673  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301

This theorem is referenced by:  predres  6339