Theorem ima0 6064

Description: Image of the empty set. Theorem 3.16(ii) of [Monk1] p. 38. (Contributed by NM, 20-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
ima0	⊢ (𝐴 “ ∅) = ∅

Proof of Theorem ima0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ima 5667	. 2 ⊢ (𝐴 “ ∅) = ran (𝐴 ↾ ∅)
2		res0 5970	. . 3 ⊢ (𝐴 ↾ ∅) = ∅
3	2	rneqi 5917	. 2 ⊢ ran (𝐴 ↾ ∅) = ran ∅
4		rn0 5905	. 2 ⊢ ran ∅ = ∅
5	1, 3, 4	3eqtri 2762	1 ⊢ (𝐴 “ ∅) = ∅

Syntax hints:   = wceq 1540  ∅c0 4308  ran crn 5655   ↾ cres 5656   “ cima 5657

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-rab 3416  df-v 3461  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-br 5120  df-opab 5182  df-xp 5660  df-cnv 5662  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667

This theorem is referenced by:  csbima12  6066  relimasn  6072  elimasni  6078  inisegn0  6085  predprc  6327  dffv3  6872  suppco  8205  supp0cosupp0  8207  ecexr  8724  fodomfi  9322  imafiOLD  9326  domunfican  9333  fodomfiOLD  9342  efgrelexlema  19730  dprdsn  20019  cnindis  23230  cnhaus  23292  cmpfi  23346  xkouni  23537  xkoccn  23557  mbfima  25583  ismbf2d  25593  limcnlp  25831  mdeg0  26027  pserulm  26383  old0  27819  made0  27837  negs0s  27984  negs1s  27985  spthispth  29706  dfpth2  29711  pthdlem2  29750  0pth  30106  1pthdlem2  30117  eupth2lemb  30218  disjpreima  32565  imadifxp  32582  2ndimaxp  32624  mptiffisupp  32670  swrdrndisj  32933  gsumpart  33051  zarclsint  33903  dstrvprob  34504  opelco3  35792  funpartlem  35960  poimirlem1  37645  poimirlem2  37646  poimirlem3  37647  poimirlem4  37648  poimirlem5  37649  poimirlem6  37650  poimirlem7  37651  poimirlem10  37654  poimirlem11  37655  poimirlem12  37656  poimirlem13  37657  poimirlem16  37660  poimirlem17  37661  poimirlem19  37663  poimirlem20  37664  poimirlem22  37666  poimirlem23  37667  poimirlem24  37668  poimirlem25  37669  poimirlem28  37672  poimirlem29  37673  poimirlem31  37675  he0  43808  smfresal  46817  predisj  48789