Theorem ima0 6106

Description: Image of the empty set. Theorem 3.16(ii) of [Monk1] p. 38. (Contributed by NM, 20-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
ima0	⊢ (𝐴 “ ∅) = ∅

Proof of Theorem ima0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ima 5713	. 2 ⊢ (𝐴 “ ∅) = ran (𝐴 ↾ ∅)
2		res0 6013	. . 3 ⊢ (𝐴 ↾ ∅) = ∅
3	2	rneqi 5962	. 2 ⊢ ran (𝐴 ↾ ∅) = ran ∅
4		rn0 5950	. 2 ⊢ ran ∅ = ∅
5	1, 3, 4	3eqtri 2772	1 ⊢ (𝐴 “ ∅) = ∅

Syntax hints:   = wceq 1537  ∅c0 4352  ran crn 5701   ↾ cres 5702   “ cima 5703

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-br 5167  df-opab 5229  df-xp 5706  df-cnv 5708  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713

This theorem is referenced by:  csbima12  6108  relimasn  6114  elimasni  6121  inisegn0  6128  predprc  6370  dffv3  6916  suppco  8247  supp0cosupp0  8249  ecexr  8768  fodomfi  9378  imafiOLD  9382  domunfican  9389  fodomfiOLD  9398  efgrelexlema  19791  dprdsn  20080  cnindis  23321  cnhaus  23383  cmpfi  23437  xkouni  23628  xkoccn  23648  mbfima  25684  ismbf2d  25694  limcnlp  25933  mdeg0  26129  pserulm  26483  old0  27916  made0  27930  negs0s  28076  negs1s  28077  spthispth  29762  pthdlem2  29804  0pth  30157  1pthdlem2  30168  eupth2lemb  30269  disjpreima  32606  imadifxp  32623  2ndimaxp  32665  mptiffisupp  32705  swrdrndisj  32924  gsumpart  33038  zarclsint  33818  dstrvprob  34436  opelco3  35738  funpartlem  35906  poimirlem1  37581  poimirlem2  37582  poimirlem3  37583  poimirlem4  37584  poimirlem5  37585  poimirlem6  37586  poimirlem7  37587  poimirlem10  37590  poimirlem11  37591  poimirlem12  37592  poimirlem13  37593  poimirlem16  37596  poimirlem17  37597  poimirlem19  37599  poimirlem20  37600  poimirlem22  37602  poimirlem23  37603  poimirlem24  37604  poimirlem25  37605  poimirlem28  37608  poimirlem29  37609  poimirlem31  37611  he0  43746  smfresal  46709  predisj  48542