Theorem ima0 6048

Description: Image of the empty set. Theorem 3.16(ii) of [Monk1] p. 38. (Contributed by NM, 20-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
ima0	⊢ (𝐴 “ ∅) = ∅

Proof of Theorem ima0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ima 5651	. 2 ⊢ (𝐴 “ ∅) = ran (𝐴 ↾ ∅)
2		res0 5954	. . 3 ⊢ (𝐴 ↾ ∅) = ∅
3	2	rneqi 5901	. 2 ⊢ ran (𝐴 ↾ ∅) = ran ∅
4		rn0 5889	. 2 ⊢ ran ∅ = ∅
5	1, 3, 4	3eqtri 2756	1 ⊢ (𝐴 “ ∅) = ∅

Syntax hints:   = wceq 1540  ∅c0 4296  ran crn 5639   ↾ cres 5640   “ cima 5641

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-br 5108  df-opab 5170  df-xp 5644  df-cnv 5646  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651

This theorem is referenced by:  csbima12  6050  relimasn  6056  elimasni  6062  inisegn0  6069  predprc  6311  dffv3  6854  suppco  8185  supp0cosupp0  8187  ecexr  8676  fodomfi  9261  imafiOLD  9265  domunfican  9272  fodomfiOLD  9281  efgrelexlema  19679  dprdsn  19968  cnindis  23179  cnhaus  23241  cmpfi  23295  xkouni  23486  xkoccn  23506  mbfima  25531  ismbf2d  25541  limcnlp  25779  mdeg0  25975  pserulm  26331  old0  27767  made0  27785  negs0s  27932  negs1s  27933  spthispth  29654  dfpth2  29659  pthdlem2  29698  0pth  30054  1pthdlem2  30065  eupth2lemb  30166  disjpreima  32513  imadifxp  32530  2ndimaxp  32570  mptiffisupp  32616  swrdrndisj  32879  gsumpart  32997  zarclsint  33862  dstrvprob  34463  opelco3  35762  funpartlem  35930  poimirlem1  37615  poimirlem2  37616  poimirlem3  37617  poimirlem4  37618  poimirlem5  37619  poimirlem6  37620  poimirlem7  37621  poimirlem10  37624  poimirlem11  37625  poimirlem12  37626  poimirlem13  37627  poimirlem16  37630  poimirlem17  37631  poimirlem19  37633  poimirlem20  37634  poimirlem22  37636  poimirlem23  37637  poimirlem24  37638  poimirlem25  37639  poimirlem28  37642  poimirlem29  37643  poimirlem31  37645  he0  43773  smfresal  46786  predisj  48799