Theorem ima0 6077

Description: Image of the empty set. Theorem 3.16(ii) of [Monk1] p. 38. (Contributed by NM, 20-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
ima0	⊢ (𝐴 “ ∅) = ∅

Proof of Theorem ima0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ima 5672	. 2 ⊢ (𝐴 “ ∅) = ran (𝐴 ↾ ∅)
2		res0 5980	. . 3 ⊢ (𝐴 ↾ ∅) = ∅
3	2	rneqi 5925	. 2 ⊢ ran (𝐴 ↾ ∅) = ran ∅
4		rn0 5914	. 2 ⊢ ran ∅ = ∅
5	1, 3, 4	3eqtri 2789	1 ⊢ (𝐴 “ ∅) = ∅

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  ∅c0 4282  ran crn 5660   ↾ cres 5661   “ cima 5662

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-br 5108  df-opab 5172  df-xp 5665  df-cnv 5667  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672

This theorem is used by:  csbima12  6079  relimasn  6085  elimasni  6091  inisegn0  6098  predprc  6340  dffv3  6878  suppco  8208  supp0cosupp0  8210  ecexr  8705  fodomfi  9286  domunfican  9295  efgrelexlema  19882  dprdsn  20171  cnindis  23523  cnhaus  23585  cmpfi  23639  xkouni  23831  xkoccn  23851  mbfima  25864  ismbf2d  25874  limcnlp  26112  mdeg0  26302  pserulm  26665  old0  28112  made0  28136  neg0s  28299  neg1s  28300  zcuts0  28681  spthispth  30196  dfpth2  30201  pthdlem2  30241  0pth  30603  1pthdlem2  30614  eupth2lemb  30725  disjpreima  33065  imadifxp  33082  2ndimaxp  33127  mptiffisupp  33173  swrdrndisj  33405  gsumpart  33511  esplyfval2  34083  zarclsint  34390  dstrvprob  34991  opelco3  36362  funpartlem  36529  poimirlem1  38378  poimirlem2  38379  poimirlem3  38380  poimirlem4  38381  poimirlem5  38382  poimirlem6  38383  poimirlem7  38384  poimirlem10  38387  poimirlem11  38388  poimirlem12  38389  poimirlem13  38390  poimirlem16  38393  poimirlem17  38394  poimirlem19  38396  poimirlem20  38397  poimirlem22  38399  poimirlem23  38400  poimirlem24  38401  poimirlem25  38402  poimirlem28  38405  poimirlem29  38406  poimirlem31  38408  he0  44632  smfresal  47624  predisj  49747