Theorem ima0 6026

Description: Image of the empty set. Theorem 3.16(ii) of [Monk1] p. 38. (Contributed by NM, 20-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
ima0	⊢ (𝐴 “ ∅) = ∅

Proof of Theorem ima0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ima 5629	. 2 ⊢ (𝐴 “ ∅) = ran (𝐴 ↾ ∅)
2		res0 5932	. . 3 ⊢ (𝐴 ↾ ∅) = ∅
3	2	rneqi 5877	. 2 ⊢ ran (𝐴 ↾ ∅) = ran ∅
4		rn0 5866	. 2 ⊢ ran ∅ = ∅
5	1, 3, 4	3eqtri 2758	1 ⊢ (𝐴 “ ∅) = ∅

Syntax hints:   = wceq 1541  ∅c0 4283  ran crn 5617   ↾ cres 5618   “ cima 5619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-br 5092  df-opab 5154  df-xp 5622  df-cnv 5624  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629

This theorem is referenced by:  csbima12  6028  relimasn  6034  elimasni  6040  inisegn0  6047  predprc  6285  dffv3  6818  suppco  8136  supp0cosupp0  8138  ecexr  8627  fodomfi  9196  imafiOLD  9200  domunfican  9206  fodomfiOLD  9214  efgrelexlema  19659  dprdsn  19948  cnindis  23205  cnhaus  23267  cmpfi  23321  xkouni  23512  xkoccn  23532  mbfima  25556  ismbf2d  25566  limcnlp  25804  mdeg0  26000  pserulm  26356  old0  27798  made0  27816  negs0s  27966  negs1s  27967  spthispth  29700  dfpth2  29705  pthdlem2  29744  0pth  30100  1pthdlem2  30111  eupth2lemb  30212  disjpreima  32559  imadifxp  32576  2ndimaxp  32623  mptiffisupp  32669  swrdrndisj  32933  gsumpart  33032  zarclsint  33880  dstrvprob  34480  opelco3  35807  funpartlem  35975  poimirlem1  37660  poimirlem2  37661  poimirlem3  37662  poimirlem4  37663  poimirlem5  37664  poimirlem6  37665  poimirlem7  37666  poimirlem10  37669  poimirlem11  37670  poimirlem12  37671  poimirlem13  37672  poimirlem16  37675  poimirlem17  37676  poimirlem19  37678  poimirlem20  37679  poimirlem22  37681  poimirlem23  37682  poimirlem24  37683  poimirlem25  37684  poimirlem28  37687  poimirlem29  37688  poimirlem31  37690  he0  43816  smfresal  46825  predisj  48841