Theorem ima0 6036

Description: Image of the empty set. Theorem 3.16(ii) of [Monk1] p. 38. (Contributed by NM, 20-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
ima0	⊢ (𝐴 “ ∅) = ∅

Proof of Theorem ima0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ima 5637	. 2 ⊢ (𝐴 “ ∅) = ran (𝐴 ↾ ∅)
2		res0 5942	. . 3 ⊢ (𝐴 ↾ ∅) = ∅
3	2	rneqi 5886	. 2 ⊢ ran (𝐴 ↾ ∅) = ran ∅
4		rn0 5875	. 2 ⊢ ran ∅ = ∅
5	1, 3, 4	3eqtri 2764	1 ⊢ (𝐴 “ ∅) = ∅

Syntax hints:   = wceq 1542  ∅c0 4274  ran crn 5625   ↾ cres 5626   “ cima 5627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-br 5087  df-opab 5149  df-xp 5630  df-cnv 5632  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637

This theorem is referenced by:  csbima12  6038  relimasn  6044  elimasni  6050  inisegn0  6057  predprc  6296  dffv3  6830  suppco  8149  supp0cosupp0  8151  ecexr  8641  fodomfi  9215  imafiOLD  9219  domunfican  9225  fodomfiOLD  9233  efgrelexlema  19715  dprdsn  20004  cnindis  23267  cnhaus  23329  cmpfi  23383  xkouni  23574  xkoccn  23594  mbfima  25607  ismbf2d  25617  limcnlp  25855  mdeg0  26045  pserulm  26400  old0  27845  made0  27869  neg0s  28032  neg1s  28033  zcuts0  28414  spthispth  29807  dfpth2  29812  pthdlem2  29851  0pth  30210  1pthdlem2  30221  eupth2lemb  30322  disjpreima  32669  imadifxp  32686  2ndimaxp  32734  mptiffisupp  32781  swrdrndisj  33032  gsumpart  33139  esplyfval2  33724  zarclsint  34032  dstrvprob  34632  opelco3  35973  funpartlem  36140  poimirlem1  37956  poimirlem2  37957  poimirlem3  37958  poimirlem4  37959  poimirlem5  37960  poimirlem6  37961  poimirlem7  37962  poimirlem10  37965  poimirlem11  37966  poimirlem12  37967  poimirlem13  37968  poimirlem16  37971  poimirlem17  37972  poimirlem19  37974  poimirlem20  37975  poimirlem22  37977  poimirlem23  37978  poimirlem24  37979  poimirlem25  37980  poimirlem28  37983  poimirlem29  37984  poimirlem31  37986  he0  44229  smfresal  47234  predisj  49298