MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sltnle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sltnle 27699
Description: Surreal less-than in terms of less-than or equal. (Contributed by Scott Fenton, 8-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
sltnle ((𝐴 No 𝐵 No ) → (𝐴 <s 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤s 𝐴))

Proof of Theorem sltnle
StepHypRef Expression
1 slenlt 27698 . . 3 ((𝐵 No 𝐴 No ) → (𝐵 ≤s 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 <s 𝐵))
21ancoms 458 . 2 ((𝐴 No 𝐵 No ) → (𝐵 ≤s 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 <s 𝐵))
32con2bid 354 1 ((𝐴 No 𝐵 No ) → (𝐴 <s 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤s 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  wcel 2099   class class class wbr 5148   No csur 27586   <s cslt 27587   ≤s csle 27690
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5429
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-sb 2061  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-br 5149  df-opab 5211  df-xp 5684  df-cnv 5686  df-sle 27691
This theorem is referenced by:  sletric  27710  slerec  27765  sltrec  27766  cutlt  27865  sleadd1im  27917  sleadd1  27919  sltadd2  27921  abssnid  28150
  Copyright terms: Public domain W3C validator