Theorem sltnle 27663

Description: Surreal less-than in terms of less-than or equal. (Contributed by Scott Fenton, 8-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
sltnle	⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 <s 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤s 𝐴))

Proof of Theorem sltnle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		slenlt 27662	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 ∈ No ) → (𝐵 ≤s 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 <s 𝐵))
2	1	ancoms 458	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐵 ≤s 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 <s 𝐵))
3	2	con2bid 354	1 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 <s 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤s 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5092   No csur 27549   <s cslt 27550   ≤s csle 27654

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pr 5371

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-dif 3906  df-un 3908  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-br 5093  df-opab 5155  df-xp 5625  df-cnv 5627  df-sle 27655

This theorem is referenced by:  sletric  27674  slerec  27730  sltrec  27732  eqscut3  27735  cutlt  27845  sleadd1im  27899  sleadd1  27901  sltadd2  27903  abssnid  28150