MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sltnle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sltnle 27813
Description: Surreal less-than in terms of less-than or equal. (Contributed by Scott Fenton, 8-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
sltnle ((𝐴 No 𝐵 No ) → (𝐴 <s 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤s 𝐴))

Proof of Theorem sltnle
StepHypRef Expression
1 slenlt 27812 . . 3 ((𝐵 No 𝐴 No ) → (𝐵 ≤s 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 <s 𝐵))
21ancoms 458 . 2 ((𝐴 No 𝐵 No ) → (𝐵 ≤s 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 <s 𝐵))
32con2bid 354 1 ((𝐴 No 𝐵 No ) → (𝐴 <s 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤s 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wcel 2106   class class class wbr 5148   No csur 27699   <s cslt 27700   ≤s csle 27804
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-sb 2063  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-br 5149  df-opab 5211  df-xp 5695  df-cnv 5697  df-sle 27805
This theorem is referenced by:  sletric  27824  slerec  27879  sltrec  27880  cutlt  27981  sleadd1im  28035  sleadd1  28037  sltadd2  28039  abssnid  28282
  Copyright terms: Public domain W3C validator