MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sltnle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sltnle 27117
Description: Surreal less-than in terms of less-than or equal. (Contributed by Scott Fenton, 8-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
sltnle ((𝐴 No 𝐵 No ) → (𝐴 <s 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤s 𝐴))

Proof of Theorem sltnle
StepHypRef Expression
1 slenlt 27116 . . 3 ((𝐵 No 𝐴 No ) → (𝐵 ≤s 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 <s 𝐵))
21ancoms 460 . 2 ((𝐴 No 𝐵 No ) → (𝐵 ≤s 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 <s 𝐵))
32con2bid 355 1 ((𝐴 No 𝐵 No ) → (𝐴 <s 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤s 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  wcel 2107   class class class wbr 5106   No csur 27004   <s cslt 27005   ≤s csle 27108
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-br 5107  df-opab 5169  df-xp 5640  df-cnv 5642  df-sle 27109
This theorem is referenced by:  sletric  27128  slerec  27180  sltrec  27181  sleadd1im  27318  sleadd1  27320  sltadd2  27322
  Copyright terms: Public domain W3C validator