MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sltadd2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sltadd2 27454
Description: Addition to both sides of surreal less-than. (Contributed by Scott Fenton, 21-Jan-2025.)
Assertion
Ref Expression
sltadd2 ((𝐴 No 𝐵 No 𝐶 No ) → (𝐴 <s 𝐵 ↔ (𝐶 +s 𝐴) <s (𝐶 +s 𝐵)))

Proof of Theorem sltadd2
StepHypRef Expression
1 sleadd2 27453 . . . 4 ((𝐵 No 𝐴 No 𝐶 No ) → (𝐵 ≤s 𝐴 ↔ (𝐶 +s 𝐵) ≤s (𝐶 +s 𝐴)))
213com12 1124 . . 3 ((𝐴 No 𝐵 No 𝐶 No ) → (𝐵 ≤s 𝐴 ↔ (𝐶 +s 𝐵) ≤s (𝐶 +s 𝐴)))
32notbid 318 . 2 ((𝐴 No 𝐵 No 𝐶 No ) → (¬ 𝐵 ≤s 𝐴 ↔ ¬ (𝐶 +s 𝐵) ≤s (𝐶 +s 𝐴)))
4 sltnle 27236 . . 3 ((𝐴 No 𝐵 No ) → (𝐴 <s 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤s 𝐴))
543adant3 1133 . 2 ((𝐴 No 𝐵 No 𝐶 No ) → (𝐴 <s 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤s 𝐴))
6 simp3 1139 . . . 4 ((𝐴 No 𝐵 No 𝐶 No ) → 𝐶 No )
7 simp1 1137 . . . 4 ((𝐴 No 𝐵 No 𝐶 No ) → 𝐴 No )
86, 7addscld 27444 . . 3 ((𝐴 No 𝐵 No 𝐶 No ) → (𝐶 +s 𝐴) ∈ No )
9 simp2 1138 . . . 4 ((𝐴 No 𝐵 No 𝐶 No ) → 𝐵 No )
106, 9addscld 27444 . . 3 ((𝐴 No 𝐵 No 𝐶 No ) → (𝐶 +s 𝐵) ∈ No )
11 sltnle 27236 . . 3 (((𝐶 +s 𝐴) ∈ No ∧ (𝐶 +s 𝐵) ∈ No ) → ((𝐶 +s 𝐴) <s (𝐶 +s 𝐵) ↔ ¬ (𝐶 +s 𝐵) ≤s (𝐶 +s 𝐴)))
128, 10, 11syl2anc 585 . 2 ((𝐴 No 𝐵 No 𝐶 No ) → ((𝐶 +s 𝐴) <s (𝐶 +s 𝐵) ↔ ¬ (𝐶 +s 𝐵) ≤s (𝐶 +s 𝐴)))
133, 5, 123bitr4d 311 1 ((𝐴 No 𝐵 No 𝐶 No ) → (𝐴 <s 𝐵 ↔ (𝐶 +s 𝐴) <s (𝐶 +s 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  w3a 1088  wcel 2107   class class class wbr 5147  (class class class)co 7404   No csur 27123   <s cslt 27124   ≤s csle 27227   +s cadds 27423
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-ot 4636  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-1o 8461  df-2o 8462  df-nadd 8661  df-no 27126  df-slt 27127  df-bday 27128  df-sle 27228  df-sslt 27263  df-scut 27265  df-0s 27305  df-made 27322  df-old 27323  df-left 27325  df-right 27326  df-norec2 27413  df-adds 27424
This theorem is referenced by:  sltadd1  27455  sltadd2d  27460
  Copyright terms: Public domain W3C validator