Theorem sletric 27264

Description: Surreal trichotomy law. (Contributed by Scott Fenton, 14-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
sletric	⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 ≤s 𝐵 ∨ 𝐵 ≤s 𝐴))

Proof of Theorem sletric

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sltasym 27248	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 ∈ No ) → (𝐵 <s 𝐴 → ¬ 𝐴 <s 𝐵))
2		sltnle 27253	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 ∈ No ) → (𝐵 <s 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤s 𝐵))
3	2	bicomd 222	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 ∈ No ) → (¬ 𝐴 ≤s 𝐵 ↔ 𝐵 <s 𝐴))
4		slenlt 27252	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 ∈ No ) → (𝐵 ≤s 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 <s 𝐵))
5	1, 3, 4	3imtr4d 293	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 ∈ No ) → (¬ 𝐴 ≤s 𝐵 → 𝐵 ≤s 𝐴))
6	5	orrd 861	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 ∈ No ) → (𝐴 ≤s 𝐵 ∨ 𝐵 ≤s 𝐴))
7	6	ancoms 459	1 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 ≤s 𝐵 ∨ 𝐵 ≤s 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148   No csur 27140   <s cslt 27141   ≤s csle 27244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-1o 8465  df-2o 8466  df-no 27143  df-slt 27144  df-sle 27245

This theorem is referenced by:  maxs2  27266  mins1  27267