Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sltrec Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sltrec 32513
Description: A comparison law for surreals considered as cuts of sets of surreals. (Contributed by Scott Fenton, 11-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
sltrec (((𝐴 <<s 𝐵𝐶 <<s 𝐷) ∧ (𝑋 = (𝐴 |s 𝐵) ∧ 𝑌 = (𝐶 |s 𝐷))) → (𝑋 <s 𝑌 ↔ (∃𝑐𝐶 𝑋 ≤s 𝑐 ∨ ∃𝑏𝐵 𝑏 ≤s 𝑌)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑐   𝐵,𝑏,𝑐   𝐶,𝑏,𝑐   𝐷,𝑏,𝑐   𝑋,𝑏,𝑐   𝑌,𝑏,𝑐

Proof of Theorem sltrec
StepHypRef Expression
1 simplr 759 . . . . 5 (((𝐴 <<s 𝐵𝐶 <<s 𝐷) ∧ (𝑋 = (𝐴 |s 𝐵) ∧ 𝑌 = (𝐶 |s 𝐷))) → 𝐶 <<s 𝐷)
2 simpll 757 . . . . 5 (((𝐴 <<s 𝐵𝐶 <<s 𝐷) ∧ (𝑋 = (𝐴 |s 𝐵) ∧ 𝑌 = (𝐶 |s 𝐷))) → 𝐴 <<s 𝐵)
3 simprr 763 . . . . 5 (((𝐴 <<s 𝐵𝐶 <<s 𝐷) ∧ (𝑋 = (𝐴 |s 𝐵) ∧ 𝑌 = (𝐶 |s 𝐷))) → 𝑌 = (𝐶 |s 𝐷))
4 simprl 761 . . . . 5 (((𝐴 <<s 𝐵𝐶 <<s 𝐷) ∧ (𝑋 = (𝐴 |s 𝐵) ∧ 𝑌 = (𝐶 |s 𝐷))) → 𝑋 = (𝐴 |s 𝐵))
5 slerec 32512 . . . . 5 (((𝐶 <<s 𝐷𝐴 <<s 𝐵) ∧ (𝑌 = (𝐶 |s 𝐷) ∧ 𝑋 = (𝐴 |s 𝐵))) → (𝑌 ≤s 𝑋 ↔ (∀𝑏𝐵 𝑌 <s 𝑏 ∧ ∀𝑐𝐶 𝑐 <s 𝑋)))
61, 2, 3, 4, 5syl22anc 829 . . . 4 (((𝐴 <<s 𝐵𝐶 <<s 𝐷) ∧ (𝑋 = (𝐴 |s 𝐵) ∧ 𝑌 = (𝐶 |s 𝐷))) → (𝑌 ≤s 𝑋 ↔ (∀𝑏𝐵 𝑌 <s 𝑏 ∧ ∀𝑐𝐶 𝑐 <s 𝑋)))
7 ancom 454 . . . 4 ((∀𝑏𝐵 𝑌 <s 𝑏 ∧ ∀𝑐𝐶 𝑐 <s 𝑋) ↔ (∀𝑐𝐶 𝑐 <s 𝑋 ∧ ∀𝑏𝐵 𝑌 <s 𝑏))
86, 7syl6bb 279 . . 3 (((𝐴 <<s 𝐵𝐶 <<s 𝐷) ∧ (𝑋 = (𝐴 |s 𝐵) ∧ 𝑌 = (𝐶 |s 𝐷))) → (𝑌 ≤s 𝑋 ↔ (∀𝑐𝐶 𝑐 <s 𝑋 ∧ ∀𝑏𝐵 𝑌 <s 𝑏)))
9 scutcut 32501 . . . . . . 7 (𝐶 <<s 𝐷 → ((𝐶 |s 𝐷) ∈ No 𝐶 <<s {(𝐶 |s 𝐷)} ∧ {(𝐶 |s 𝐷)} <<s 𝐷))
109simp1d 1133 . . . . . 6 (𝐶 <<s 𝐷 → (𝐶 |s 𝐷) ∈ No )
1110ad2antlr 717 . . . . 5 (((𝐴 <<s 𝐵𝐶 <<s 𝐷) ∧ (𝑋 = (𝐴 |s 𝐵) ∧ 𝑌 = (𝐶 |s 𝐷))) → (𝐶 |s 𝐷) ∈ No )
123, 11eqeltrd 2859 . . . 4 (((𝐴 <<s 𝐵𝐶 <<s 𝐷) ∧ (𝑋 = (𝐴 |s 𝐵) ∧ 𝑌 = (𝐶 |s 𝐷))) → 𝑌 No )
13 scutcut 32501 . . . . . . 7 (𝐴 <<s 𝐵 → ((𝐴 |s 𝐵) ∈ No 𝐴 <<s {(𝐴 |s 𝐵)} ∧ {(𝐴 |s 𝐵)} <<s 𝐵))
1413simp1d 1133 . . . . . 6 (𝐴 <<s 𝐵 → (𝐴 |s 𝐵) ∈ No )
1514ad2antrr 716 . . . . 5 (((𝐴 <<s 𝐵𝐶 <<s 𝐷) ∧ (𝑋 = (𝐴 |s 𝐵) ∧ 𝑌 = (𝐶 |s 𝐷))) → (𝐴 |s 𝐵) ∈ No )
164, 15eqeltrd 2859 . . . 4 (((𝐴 <<s 𝐵𝐶 <<s 𝐷) ∧ (𝑋 = (𝐴 |s 𝐵) ∧ 𝑌 = (𝐶 |s 𝐷))) → 𝑋 No )
17 slenlt 32466 . . . 4 ((𝑌 No 𝑋 No ) → (𝑌 ≤s 𝑋 ↔ ¬ 𝑋 <s 𝑌))
1812, 16, 17syl2anc 579 . . 3 (((𝐴 <<s 𝐵𝐶 <<s 𝐷) ∧ (𝑋 = (𝐴 |s 𝐵) ∧ 𝑌 = (𝐶 |s 𝐷))) → (𝑌 ≤s 𝑋 ↔ ¬ 𝑋 <s 𝑌))
19 ssltss1 32492 . . . . . . . . 9 (𝐶 <<s 𝐷𝐶 No )
2019ad2antlr 717 . . . . . . . 8 (((𝐴 <<s 𝐵𝐶 <<s 𝐷) ∧ (𝑋 = (𝐴 |s 𝐵) ∧ 𝑌 = (𝐶 |s 𝐷))) → 𝐶 No )
2120sselda 3821 . . . . . . 7 ((((𝐴 <<s 𝐵𝐶 <<s 𝐷) ∧ (𝑋 = (𝐴 |s 𝐵) ∧ 𝑌 = (𝐶 |s 𝐷))) ∧ 𝑐𝐶) → 𝑐 No )
2216adantr 474 . . . . . . 7 ((((𝐴 <<s 𝐵𝐶 <<s 𝐷) ∧ (𝑋 = (𝐴 |s 𝐵) ∧ 𝑌 = (𝐶 |s 𝐷))) ∧ 𝑐𝐶) → 𝑋 No )
23 sltnle 32467 . . . . . . 7 ((𝑐 No 𝑋 No ) → (𝑐 <s 𝑋 ↔ ¬ 𝑋 ≤s 𝑐))
2421, 22, 23syl2anc 579 . . . . . 6 ((((𝐴 <<s 𝐵𝐶 <<s 𝐷) ∧ (𝑋 = (𝐴 |s 𝐵) ∧ 𝑌 = (𝐶 |s 𝐷))) ∧ 𝑐𝐶) → (𝑐 <s 𝑋 ↔ ¬ 𝑋 ≤s 𝑐))
2524ralbidva 3167 . . . . 5 (((𝐴 <<s 𝐵𝐶 <<s 𝐷) ∧ (𝑋 = (𝐴 |s 𝐵) ∧ 𝑌 = (𝐶 |s 𝐷))) → (∀𝑐𝐶 𝑐 <s 𝑋 ↔ ∀𝑐𝐶 ¬ 𝑋 ≤s 𝑐))
2612adantr 474 . . . . . . 7 ((((𝐴 <<s 𝐵𝐶 <<s 𝐷) ∧ (𝑋 = (𝐴 |s 𝐵) ∧ 𝑌 = (𝐶 |s 𝐷))) ∧ 𝑏𝐵) → 𝑌 No )
27 ssltss2 32493 . . . . . . . . 9 (𝐴 <<s 𝐵𝐵 No )
2827ad2antrr 716 . . . . . . . 8 (((𝐴 <<s 𝐵𝐶 <<s 𝐷) ∧ (𝑋 = (𝐴 |s 𝐵) ∧ 𝑌 = (𝐶 |s 𝐷))) → 𝐵 No )
2928sselda 3821 . . . . . . 7 ((((𝐴 <<s 𝐵𝐶 <<s 𝐷) ∧ (𝑋 = (𝐴 |s 𝐵) ∧ 𝑌 = (𝐶 |s 𝐷))) ∧ 𝑏𝐵) → 𝑏 No )
30 sltnle 32467 . . . . . . 7 ((𝑌 No 𝑏 No ) → (𝑌 <s 𝑏 ↔ ¬ 𝑏 ≤s 𝑌))
3126, 29, 30syl2anc 579 . . . . . 6 ((((𝐴 <<s 𝐵𝐶 <<s 𝐷) ∧ (𝑋 = (𝐴 |s 𝐵) ∧ 𝑌 = (𝐶 |s 𝐷))) ∧ 𝑏𝐵) → (𝑌 <s 𝑏 ↔ ¬ 𝑏 ≤s 𝑌))
3231ralbidva 3167 . . . . 5 (((𝐴 <<s 𝐵𝐶 <<s 𝐷) ∧ (𝑋 = (𝐴 |s 𝐵) ∧ 𝑌 = (𝐶 |s 𝐷))) → (∀𝑏𝐵 𝑌 <s 𝑏 ↔ ∀𝑏𝐵 ¬ 𝑏 ≤s 𝑌))
3325, 32anbi12d 624 . . . 4 (((𝐴 <<s 𝐵𝐶 <<s 𝐷) ∧ (𝑋 = (𝐴 |s 𝐵) ∧ 𝑌 = (𝐶 |s 𝐷))) → ((∀𝑐𝐶 𝑐 <s 𝑋 ∧ ∀𝑏𝐵 𝑌 <s 𝑏) ↔ (∀𝑐𝐶 ¬ 𝑋 ≤s 𝑐 ∧ ∀𝑏𝐵 ¬ 𝑏 ≤s 𝑌)))
34 ralnex 3174 . . . . . 6 (∀𝑐𝐶 ¬ 𝑋 ≤s 𝑐 ↔ ¬ ∃𝑐𝐶 𝑋 ≤s 𝑐)
35 ralnex 3174 . . . . . 6 (∀𝑏𝐵 ¬ 𝑏 ≤s 𝑌 ↔ ¬ ∃𝑏𝐵 𝑏 ≤s 𝑌)
3634, 35anbi12i 620 . . . . 5 ((∀𝑐𝐶 ¬ 𝑋 ≤s 𝑐 ∧ ∀𝑏𝐵 ¬ 𝑏 ≤s 𝑌) ↔ (¬ ∃𝑐𝐶 𝑋 ≤s 𝑐 ∧ ¬ ∃𝑏𝐵 𝑏 ≤s 𝑌))
37 ioran 969 . . . . 5 (¬ (∃𝑐𝐶 𝑋 ≤s 𝑐 ∨ ∃𝑏𝐵 𝑏 ≤s 𝑌) ↔ (¬ ∃𝑐𝐶 𝑋 ≤s 𝑐 ∧ ¬ ∃𝑏𝐵 𝑏 ≤s 𝑌))
3836, 37bitr4i 270 . . . 4 ((∀𝑐𝐶 ¬ 𝑋 ≤s 𝑐 ∧ ∀𝑏𝐵 ¬ 𝑏 ≤s 𝑌) ↔ ¬ (∃𝑐𝐶 𝑋 ≤s 𝑐 ∨ ∃𝑏𝐵 𝑏 ≤s 𝑌))
3933, 38syl6bb 279 . . 3 (((𝐴 <<s 𝐵𝐶 <<s 𝐷) ∧ (𝑋 = (𝐴 |s 𝐵) ∧ 𝑌 = (𝐶 |s 𝐷))) → ((∀𝑐𝐶 𝑐 <s 𝑋 ∧ ∀𝑏𝐵 𝑌 <s 𝑏) ↔ ¬ (∃𝑐𝐶 𝑋 ≤s 𝑐 ∨ ∃𝑏𝐵 𝑏 ≤s 𝑌)))
408, 18, 393bitr3d 301 . 2 (((𝐴 <<s 𝐵𝐶 <<s 𝐷) ∧ (𝑋 = (𝐴 |s 𝐵) ∧ 𝑌 = (𝐶 |s 𝐷))) → (¬ 𝑋 <s 𝑌 ↔ ¬ (∃𝑐𝐶 𝑋 ≤s 𝑐 ∨ ∃𝑏𝐵 𝑏 ≤s 𝑌)))
4140con4bid 309 1 (((𝐴 <<s 𝐵𝐶 <<s 𝐷) ∧ (𝑋 = (𝐴 |s 𝐵) ∧ 𝑌 = (𝐶 |s 𝐷))) → (𝑋 <s 𝑌 ↔ (∃𝑐𝐶 𝑋 ≤s 𝑐 ∨ ∃𝑏𝐵 𝑏 ≤s 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 386  wo 836   = wceq 1601  wcel 2107  wral 3090  wrex 3091  wss 3792  {csn 4398   class class class wbr 4886  (class class class)co 6922   No csur 32382   <s cslt 32383   ≤s csle 32458   <<s csslt 32485   |s cscut 32487
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-ord 5979  df-on 5980  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-1o 7843  df-2o 7844  df-no 32385  df-slt 32386  df-bday 32387  df-sle 32459  df-sslt 32486  df-scut 32488
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator