MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sltrec Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sltrec 27747
Description: A comparison law for surreals considered as cuts of sets of surreals. (Contributed by Scott Fenton, 11-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
sltrec (((𝐴 <<s 𝐵𝐶 <<s 𝐷) ∧ (𝑋 = (𝐴 |s 𝐵) ∧ 𝑌 = (𝐶 |s 𝐷))) → (𝑋 <s 𝑌 ↔ (∃𝑐𝐶 𝑋 ≤s 𝑐 ∨ ∃𝑏𝐵 𝑏 ≤s 𝑌)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑐   𝐵,𝑏,𝑐   𝐶,𝑏,𝑐   𝐷,𝑏,𝑐   𝑋,𝑏,𝑐   𝑌,𝑏,𝑐

Proof of Theorem sltrec
StepHypRef Expression
1 simplr 768 . . . . 5 (((𝐴 <<s 𝐵𝐶 <<s 𝐷) ∧ (𝑋 = (𝐴 |s 𝐵) ∧ 𝑌 = (𝐶 |s 𝐷))) → 𝐶 <<s 𝐷)
2 simpll 766 . . . . 5 (((𝐴 <<s 𝐵𝐶 <<s 𝐷) ∧ (𝑋 = (𝐴 |s 𝐵) ∧ 𝑌 = (𝐶 |s 𝐷))) → 𝐴 <<s 𝐵)
3 simprr 772 . . . . 5 (((𝐴 <<s 𝐵𝐶 <<s 𝐷) ∧ (𝑋 = (𝐴 |s 𝐵) ∧ 𝑌 = (𝐶 |s 𝐷))) → 𝑌 = (𝐶 |s 𝐷))
4 simprl 770 . . . . 5 (((𝐴 <<s 𝐵𝐶 <<s 𝐷) ∧ (𝑋 = (𝐴 |s 𝐵) ∧ 𝑌 = (𝐶 |s 𝐷))) → 𝑋 = (𝐴 |s 𝐵))
5 slerec 27746 . . . . 5 (((𝐶 <<s 𝐷𝐴 <<s 𝐵) ∧ (𝑌 = (𝐶 |s 𝐷) ∧ 𝑋 = (𝐴 |s 𝐵))) → (𝑌 ≤s 𝑋 ↔ (∀𝑏𝐵 𝑌 <s 𝑏 ∧ ∀𝑐𝐶 𝑐 <s 𝑋)))
61, 2, 3, 4, 5syl22anc 838 . . . 4 (((𝐴 <<s 𝐵𝐶 <<s 𝐷) ∧ (𝑋 = (𝐴 |s 𝐵) ∧ 𝑌 = (𝐶 |s 𝐷))) → (𝑌 ≤s 𝑋 ↔ (∀𝑏𝐵 𝑌 <s 𝑏 ∧ ∀𝑐𝐶 𝑐 <s 𝑋)))
7 ancom 460 . . . 4 ((∀𝑏𝐵 𝑌 <s 𝑏 ∧ ∀𝑐𝐶 𝑐 <s 𝑋) ↔ (∀𝑐𝐶 𝑐 <s 𝑋 ∧ ∀𝑏𝐵 𝑌 <s 𝑏))
86, 7bitrdi 287 . . 3 (((𝐴 <<s 𝐵𝐶 <<s 𝐷) ∧ (𝑋 = (𝐴 |s 𝐵) ∧ 𝑌 = (𝐶 |s 𝐷))) → (𝑌 ≤s 𝑋 ↔ (∀𝑐𝐶 𝑐 <s 𝑋 ∧ ∀𝑏𝐵 𝑌 <s 𝑏)))
9 scutcut 27728 . . . . . . 7 (𝐶 <<s 𝐷 → ((𝐶 |s 𝐷) ∈ No 𝐶 <<s {(𝐶 |s 𝐷)} ∧ {(𝐶 |s 𝐷)} <<s 𝐷))
109simp1d 1140 . . . . . 6 (𝐶 <<s 𝐷 → (𝐶 |s 𝐷) ∈ No )
1110ad2antlr 726 . . . . 5 (((𝐴 <<s 𝐵𝐶 <<s 𝐷) ∧ (𝑋 = (𝐴 |s 𝐵) ∧ 𝑌 = (𝐶 |s 𝐷))) → (𝐶 |s 𝐷) ∈ No )
123, 11eqeltrd 2829 . . . 4 (((𝐴 <<s 𝐵𝐶 <<s 𝐷) ∧ (𝑋 = (𝐴 |s 𝐵) ∧ 𝑌 = (𝐶 |s 𝐷))) → 𝑌 No )
13 scutcut 27728 . . . . . . 7 (𝐴 <<s 𝐵 → ((𝐴 |s 𝐵) ∈ No 𝐴 <<s {(𝐴 |s 𝐵)} ∧ {(𝐴 |s 𝐵)} <<s 𝐵))
1413simp1d 1140 . . . . . 6 (𝐴 <<s 𝐵 → (𝐴 |s 𝐵) ∈ No )
1514ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝐴 <<s 𝐵𝐶 <<s 𝐷) ∧ (𝑋 = (𝐴 |s 𝐵) ∧ 𝑌 = (𝐶 |s 𝐷))) → (𝐴 |s 𝐵) ∈ No )
164, 15eqeltrd 2829 . . . 4 (((𝐴 <<s 𝐵𝐶 <<s 𝐷) ∧ (𝑋 = (𝐴 |s 𝐵) ∧ 𝑌 = (𝐶 |s 𝐷))) → 𝑋 No )
17 slenlt 27679 . . . 4 ((𝑌 No 𝑋 No ) → (𝑌 ≤s 𝑋 ↔ ¬ 𝑋 <s 𝑌))
1812, 16, 17syl2anc 583 . . 3 (((𝐴 <<s 𝐵𝐶 <<s 𝐷) ∧ (𝑋 = (𝐴 |s 𝐵) ∧ 𝑌 = (𝐶 |s 𝐷))) → (𝑌 ≤s 𝑋 ↔ ¬ 𝑋 <s 𝑌))
19 ssltss1 27715 . . . . . . . . 9 (𝐶 <<s 𝐷𝐶 No )
2019ad2antlr 726 . . . . . . . 8 (((𝐴 <<s 𝐵𝐶 <<s 𝐷) ∧ (𝑋 = (𝐴 |s 𝐵) ∧ 𝑌 = (𝐶 |s 𝐷))) → 𝐶 No )
2120sselda 3979 . . . . . . 7 ((((𝐴 <<s 𝐵𝐶 <<s 𝐷) ∧ (𝑋 = (𝐴 |s 𝐵) ∧ 𝑌 = (𝐶 |s 𝐷))) ∧ 𝑐𝐶) → 𝑐 No )
2216adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝐴 <<s 𝐵𝐶 <<s 𝐷) ∧ (𝑋 = (𝐴 |s 𝐵) ∧ 𝑌 = (𝐶 |s 𝐷))) ∧ 𝑐𝐶) → 𝑋 No )
23 sltnle 27680 . . . . . . 7 ((𝑐 No 𝑋 No ) → (𝑐 <s 𝑋 ↔ ¬ 𝑋 ≤s 𝑐))
2421, 22, 23syl2anc 583 . . . . . 6 ((((𝐴 <<s 𝐵𝐶 <<s 𝐷) ∧ (𝑋 = (𝐴 |s 𝐵) ∧ 𝑌 = (𝐶 |s 𝐷))) ∧ 𝑐𝐶) → (𝑐 <s 𝑋 ↔ ¬ 𝑋 ≤s 𝑐))
2524ralbidva 3171 . . . . 5 (((𝐴 <<s 𝐵𝐶 <<s 𝐷) ∧ (𝑋 = (𝐴 |s 𝐵) ∧ 𝑌 = (𝐶 |s 𝐷))) → (∀𝑐𝐶 𝑐 <s 𝑋 ↔ ∀𝑐𝐶 ¬ 𝑋 ≤s 𝑐))
2612adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝐴 <<s 𝐵𝐶 <<s 𝐷) ∧ (𝑋 = (𝐴 |s 𝐵) ∧ 𝑌 = (𝐶 |s 𝐷))) ∧ 𝑏𝐵) → 𝑌 No )
27 ssltss2 27716 . . . . . . . . 9 (𝐴 <<s 𝐵𝐵 No )
2827ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝐴 <<s 𝐵𝐶 <<s 𝐷) ∧ (𝑋 = (𝐴 |s 𝐵) ∧ 𝑌 = (𝐶 |s 𝐷))) → 𝐵 No )
2928sselda 3979 . . . . . . 7 ((((𝐴 <<s 𝐵𝐶 <<s 𝐷) ∧ (𝑋 = (𝐴 |s 𝐵) ∧ 𝑌 = (𝐶 |s 𝐷))) ∧ 𝑏𝐵) → 𝑏 No )
30 sltnle 27680 . . . . . . 7 ((𝑌 No 𝑏 No ) → (𝑌 <s 𝑏 ↔ ¬ 𝑏 ≤s 𝑌))
3126, 29, 30syl2anc 583 . . . . . 6 ((((𝐴 <<s 𝐵𝐶 <<s 𝐷) ∧ (𝑋 = (𝐴 |s 𝐵) ∧ 𝑌 = (𝐶 |s 𝐷))) ∧ 𝑏𝐵) → (𝑌 <s 𝑏 ↔ ¬ 𝑏 ≤s 𝑌))
3231ralbidva 3171 . . . . 5 (((𝐴 <<s 𝐵𝐶 <<s 𝐷) ∧ (𝑋 = (𝐴 |s 𝐵) ∧ 𝑌 = (𝐶 |s 𝐷))) → (∀𝑏𝐵 𝑌 <s 𝑏 ↔ ∀𝑏𝐵 ¬ 𝑏 ≤s 𝑌))
3325, 32anbi12d 631 . . . 4 (((𝐴 <<s 𝐵𝐶 <<s 𝐷) ∧ (𝑋 = (𝐴 |s 𝐵) ∧ 𝑌 = (𝐶 |s 𝐷))) → ((∀𝑐𝐶 𝑐 <s 𝑋 ∧ ∀𝑏𝐵 𝑌 <s 𝑏) ↔ (∀𝑐𝐶 ¬ 𝑋 ≤s 𝑐 ∧ ∀𝑏𝐵 ¬ 𝑏 ≤s 𝑌)))
34 ralnex 3068 . . . . . 6 (∀𝑐𝐶 ¬ 𝑋 ≤s 𝑐 ↔ ¬ ∃𝑐𝐶 𝑋 ≤s 𝑐)
35 ralnex 3068 . . . . . 6 (∀𝑏𝐵 ¬ 𝑏 ≤s 𝑌 ↔ ¬ ∃𝑏𝐵 𝑏 ≤s 𝑌)
3634, 35anbi12i 627 . . . . 5 ((∀𝑐𝐶 ¬ 𝑋 ≤s 𝑐 ∧ ∀𝑏𝐵 ¬ 𝑏 ≤s 𝑌) ↔ (¬ ∃𝑐𝐶 𝑋 ≤s 𝑐 ∧ ¬ ∃𝑏𝐵 𝑏 ≤s 𝑌))
37 ioran 982 . . . . 5 (¬ (∃𝑐𝐶 𝑋 ≤s 𝑐 ∨ ∃𝑏𝐵 𝑏 ≤s 𝑌) ↔ (¬ ∃𝑐𝐶 𝑋 ≤s 𝑐 ∧ ¬ ∃𝑏𝐵 𝑏 ≤s 𝑌))
3836, 37bitr4i 278 . . . 4 ((∀𝑐𝐶 ¬ 𝑋 ≤s 𝑐 ∧ ∀𝑏𝐵 ¬ 𝑏 ≤s 𝑌) ↔ ¬ (∃𝑐𝐶 𝑋 ≤s 𝑐 ∨ ∃𝑏𝐵 𝑏 ≤s 𝑌))
3933, 38bitrdi 287 . . 3 (((𝐴 <<s 𝐵𝐶 <<s 𝐷) ∧ (𝑋 = (𝐴 |s 𝐵) ∧ 𝑌 = (𝐶 |s 𝐷))) → ((∀𝑐𝐶 𝑐 <s 𝑋 ∧ ∀𝑏𝐵 𝑌 <s 𝑏) ↔ ¬ (∃𝑐𝐶 𝑋 ≤s 𝑐 ∨ ∃𝑏𝐵 𝑏 ≤s 𝑌)))
408, 18, 393bitr3d 309 . 2 (((𝐴 <<s 𝐵𝐶 <<s 𝐷) ∧ (𝑋 = (𝐴 |s 𝐵) ∧ 𝑌 = (𝐶 |s 𝐷))) → (¬ 𝑋 <s 𝑌 ↔ ¬ (∃𝑐𝐶 𝑋 ≤s 𝑐 ∨ ∃𝑏𝐵 𝑏 ≤s 𝑌)))
4140con4bid 317 1 (((𝐴 <<s 𝐵𝐶 <<s 𝐷) ∧ (𝑋 = (𝐴 |s 𝐵) ∧ 𝑌 = (𝐶 |s 𝐷))) → (𝑋 <s 𝑌 ↔ (∃𝑐𝐶 𝑋 ≤s 𝑐 ∨ ∃𝑏𝐵 𝑏 ≤s 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  wo 846   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3057  wrex 3066  wss 3945  {csn 4625   class class class wbr 5143  (class class class)co 7415   No csur 27567   <s cslt 27568   ≤s csle 27671   <<s csslt 27707   |s cscut 27709
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pr 5424  ax-un 7735
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-ord 6367  df-on 6368  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-1o 8481  df-2o 8482  df-no 27570  df-slt 27571  df-bday 27572  df-sle 27672  df-sslt 27708  df-scut 27710
This theorem is referenced by:  0slt1s  27756  sltn0  27825  sleadd1  27900
  Copyright terms: Public domain W3C validator