MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sltrec Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem sltrec 27321
Description: A comparison law for surreals considered as cuts of sets of surreals. (Contributed by Scott Fenton, 11-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
sltrec (((ðī <<s ðĩ ∧ ðķ <<s 𝐷) ∧ (𝑋 = (ðī |s ðĩ) ∧ 𝑌 = (ðķ |s 𝐷))) → (𝑋 <s 𝑌 ↔ (∃𝑐 ∈ ðķ 𝑋 â‰Īs 𝑐 âˆĻ ∃𝑏 ∈ ðĩ 𝑏 â‰Īs 𝑌)))
Distinct variable groups:   ðī,𝑏,𝑐   ðĩ,𝑏,𝑐   ðķ,𝑏,𝑐   𝐷,𝑏,𝑐   𝑋,𝑏,𝑐   𝑌,𝑏,𝑐
Proof of Theorem sltrec
StepHypRef Expression
1 simplr 768 . . . . 5 (((ðī <<s ðĩ ∧ ðķ <<s 𝐷) ∧ (𝑋 = (ðī |s ðĩ) ∧ 𝑌 = (ðķ |s 𝐷))) → ðķ <<s 𝐷)
2 simpll 766 . . . . 5 (((ðī <<s ðĩ ∧ ðķ <<s 𝐷) ∧ (𝑋 = (ðī |s ðĩ) ∧ 𝑌 = (ðķ |s 𝐷))) → ðī <<s ðĩ)
3 simprr 772 . . . . 5 (((ðī <<s ðĩ ∧ ðķ <<s 𝐷) ∧ (𝑋 = (ðī |s ðĩ) ∧ 𝑌 = (ðķ |s 𝐷))) → 𝑌 = (ðķ |s 𝐷))
4 simprl 770 . . . . 5 (((ðī <<s ðĩ ∧ ðķ <<s 𝐷) ∧ (𝑋 = (ðī |s ðĩ) ∧ 𝑌 = (ðķ |s 𝐷))) → 𝑋 = (ðī |s ðĩ))
5 slerec 27320 . . . . 5 (((ðķ <<s 𝐷 ∧ ðī <<s ðĩ) ∧ (𝑌 = (ðķ |s 𝐷) ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ))) → (𝑌 â‰Īs 𝑋 ↔ (∀𝑏 ∈ ðĩ 𝑌 <s 𝑏 ∧ ∀𝑐 ∈ ðķ 𝑐 <s 𝑋)))
61, 2, 3, 4, 5syl22anc 838 . . . 4 (((ðī <<s ðĩ ∧ ðķ <<s 𝐷) ∧ (𝑋 = (ðī |s ðĩ) ∧ 𝑌 = (ðķ |s 𝐷))) → (𝑌 â‰Īs 𝑋 ↔ (∀𝑏 ∈ ðĩ 𝑌 <s 𝑏 ∧ ∀𝑐 ∈ ðķ 𝑐 <s 𝑋)))
7 ancom 462 . . . 4 ((∀𝑏 ∈ ðĩ 𝑌 <s 𝑏 ∧ ∀𝑐 ∈ ðķ 𝑐 <s 𝑋) ↔ (∀𝑐 ∈ ðķ 𝑐 <s 𝑋 ∧ ∀𝑏 ∈ ðĩ 𝑌 <s 𝑏))
86, 7bitrdi 287 . . 3 (((ðī <<s ðĩ ∧ ðķ <<s 𝐷) ∧ (𝑋 = (ðī |s ðĩ) ∧ 𝑌 = (ðķ |s 𝐷))) → (𝑌 â‰Īs 𝑋 ↔ (∀𝑐 ∈ ðķ 𝑐 <s 𝑋 ∧ ∀𝑏 ∈ ðĩ 𝑌 <s 𝑏)))
9 scutcut 27302 . . . . . . 7 (ðķ <<s 𝐷 → ((ðķ |s 𝐷) ∈ No ∧ ðķ <<s {(ðķ |s 𝐷)} ∧ {(ðķ |s 𝐷)} <<s 𝐷))
109simp1d 1143 . . . . . 6 (ðķ <<s 𝐷 → (ðķ |s 𝐷) ∈ No )
1110ad2antlr 726 . . . . 5 (((ðī <<s ðĩ ∧ ðķ <<s 𝐷) ∧ (𝑋 = (ðī |s ðĩ) ∧ 𝑌 = (ðķ |s 𝐷))) → (ðķ |s 𝐷) ∈ No )
123, 11eqeltrd 2834 . . . 4 (((ðī <<s ðĩ ∧ ðķ <<s 𝐷) ∧ (𝑋 = (ðī |s ðĩ) ∧ 𝑌 = (ðķ |s 𝐷))) → 𝑌 ∈ No )
13 scutcut 27302 . . . . . . 7 (ðī <<s ðĩ → ((ðī |s ðĩ) ∈ No ∧ ðī <<s {(ðī |s ðĩ)} ∧ {(ðī |s ðĩ)} <<s ðĩ))
1413simp1d 1143 . . . . . 6 (ðī <<s ðĩ → (ðī |s ðĩ) ∈ No )
1514ad2antrr 725 . . . . 5 (((ðī <<s ðĩ ∧ ðķ <<s 𝐷) ∧ (𝑋 = (ðī |s ðĩ) ∧ 𝑌 = (ðķ |s 𝐷))) → (ðī |s ðĩ) ∈ No )
164, 15eqeltrd 2834 . . . 4 (((ðī <<s ðĩ ∧ ðķ <<s 𝐷) ∧ (𝑋 = (ðī |s ðĩ) ∧ 𝑌 = (ðķ |s 𝐷))) → 𝑋 ∈ No )
17 slenlt 27255 . . . 4 ((𝑌 ∈ No ∧ 𝑋 ∈ No ) → (𝑌 â‰Īs 𝑋 ↔ ÂŽ 𝑋 <s 𝑌))
1812, 16, 17syl2anc 585 . . 3 (((ðī <<s ðĩ ∧ ðķ <<s 𝐷) ∧ (𝑋 = (ðī |s ðĩ) ∧ 𝑌 = (ðķ |s 𝐷))) → (𝑌 â‰Īs 𝑋 ↔ ÂŽ 𝑋 <s 𝑌))
19 ssltss1 27290 . . . . . . . . 9 (ðķ <<s 𝐷 → ðķ ⊆ No )
2019ad2antlr 726 . . . . . . . 8 (((ðī <<s ðĩ ∧ ðķ <<s 𝐷) ∧ (𝑋 = (ðī |s ðĩ) ∧ 𝑌 = (ðķ |s 𝐷))) → ðķ ⊆ No )
2120sselda 3983 . . . . . . 7 ((((ðī <<s ðĩ ∧ ðķ <<s 𝐷) ∧ (𝑋 = (ðī |s ðĩ) ∧ 𝑌 = (ðķ |s 𝐷))) ∧ 𝑐 ∈ ðķ) → 𝑐 ∈ No )
2216adantr 482 . . . . . . 7 ((((ðī <<s ðĩ ∧ ðķ <<s 𝐷) ∧ (𝑋 = (ðī |s ðĩ) ∧ 𝑌 = (ðķ |s 𝐷))) ∧ 𝑐 ∈ ðķ) → 𝑋 ∈ No )
23 sltnle 27256 . . . . . . 7 ((𝑐 ∈ No ∧ 𝑋 ∈ No ) → (𝑐 <s 𝑋 ↔ ÂŽ 𝑋 â‰Īs 𝑐))
2421, 22, 23syl2anc 585 . . . . . 6 ((((ðī <<s ðĩ ∧ ðķ <<s 𝐷) ∧ (𝑋 = (ðī |s ðĩ) ∧ 𝑌 = (ðķ |s 𝐷))) ∧ 𝑐 ∈ ðķ) → (𝑐 <s 𝑋 ↔ ÂŽ 𝑋 â‰Īs 𝑐))
2524ralbidva 3176 . . . . 5 (((ðī <<s ðĩ ∧ ðķ <<s 𝐷) ∧ (𝑋 = (ðī |s ðĩ) ∧ 𝑌 = (ðķ |s 𝐷))) → (∀𝑐 ∈ ðķ 𝑐 <s 𝑋 ↔ ∀𝑐 ∈ ðķ ÂŽ 𝑋 â‰Īs 𝑐))
2612adantr 482 . . . . . . 7 ((((ðī <<s ðĩ ∧ ðķ <<s 𝐷) ∧ (𝑋 = (ðī |s ðĩ) ∧ 𝑌 = (ðķ |s 𝐷))) ∧ 𝑏 ∈ ðĩ) → 𝑌 ∈ No )
27 ssltss2 27291 . . . . . . . . 9 (ðī <<s ðĩ → ðĩ ⊆ No )
2827ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((ðī <<s ðĩ ∧ ðķ <<s 𝐷) ∧ (𝑋 = (ðī |s ðĩ) ∧ 𝑌 = (ðķ |s 𝐷))) → ðĩ ⊆ No )
2928sselda 3983 . . . . . . 7 ((((ðī <<s ðĩ ∧ ðķ <<s 𝐷) ∧ (𝑋 = (ðī |s ðĩ) ∧ 𝑌 = (ðķ |s 𝐷))) ∧ 𝑏 ∈ ðĩ) → 𝑏 ∈ No )
30 sltnle 27256 . . . . . . 7 ((𝑌 ∈ No ∧ 𝑏 ∈ No ) → (𝑌 <s 𝑏 ↔ ÂŽ 𝑏 â‰Īs 𝑌))
3126, 29, 30syl2anc 585 . . . . . 6 ((((ðī <<s ðĩ ∧ ðķ <<s 𝐷) ∧ (𝑋 = (ðī |s ðĩ) ∧ 𝑌 = (ðķ |s 𝐷))) ∧ 𝑏 ∈ ðĩ) → (𝑌 <s 𝑏 ↔ ÂŽ 𝑏 â‰Īs 𝑌))
3231ralbidva 3176 . . . . 5 (((ðī <<s ðĩ ∧ ðķ <<s 𝐷) ∧ (𝑋 = (ðī |s ðĩ) ∧ 𝑌 = (ðķ |s 𝐷))) → (∀𝑏 ∈ ðĩ 𝑌 <s 𝑏 ↔ ∀𝑏 ∈ ðĩ ÂŽ 𝑏 â‰Īs 𝑌))
3325, 32anbi12d 632 . . . 4 (((ðī <<s ðĩ ∧ ðķ <<s 𝐷) ∧ (𝑋 = (ðī |s ðĩ) ∧ 𝑌 = (ðķ |s 𝐷))) → ((∀𝑐 ∈ ðķ 𝑐 <s 𝑋 ∧ ∀𝑏 ∈ ðĩ 𝑌 <s 𝑏) ↔ (∀𝑐 ∈ ðķ ÂŽ 𝑋 â‰Īs 𝑐 ∧ ∀𝑏 ∈ ðĩ ÂŽ 𝑏 â‰Īs 𝑌)))
34 ralnex 3073 . . . . . 6 (∀𝑐 ∈ ðķ ÂŽ 𝑋 â‰Īs 𝑐 ↔ ÂŽ ∃𝑐 ∈ ðķ 𝑋 â‰Īs 𝑐)
35 ralnex 3073 . . . . . 6 (∀𝑏 ∈ ðĩ ÂŽ 𝑏 â‰Īs 𝑌 ↔ ÂŽ ∃𝑏 ∈ ðĩ 𝑏 â‰Īs 𝑌)
3634, 35anbi12i 628 . . . . 5 ((∀𝑐 ∈ ðķ ÂŽ 𝑋 â‰Īs 𝑐 ∧ ∀𝑏 ∈ ðĩ ÂŽ 𝑏 â‰Īs 𝑌) ↔ (ÂŽ ∃𝑐 ∈ ðķ 𝑋 â‰Īs 𝑐 ∧ ÂŽ ∃𝑏 ∈ ðĩ 𝑏 â‰Īs 𝑌))
37 ioran 983 . . . . 5 (ÂŽ (∃𝑐 ∈ ðķ 𝑋 â‰Īs 𝑐 âˆĻ ∃𝑏 ∈ ðĩ 𝑏 â‰Īs 𝑌) ↔ (ÂŽ ∃𝑐 ∈ ðķ 𝑋 â‰Īs 𝑐 ∧ ÂŽ ∃𝑏 ∈ ðĩ 𝑏 â‰Īs 𝑌))
3836, 37bitr4i 278 . . . 4 ((∀𝑐 ∈ ðķ ÂŽ 𝑋 â‰Īs 𝑐 ∧ ∀𝑏 ∈ ðĩ ÂŽ 𝑏 â‰Īs 𝑌) ↔ ÂŽ (∃𝑐 ∈ ðķ 𝑋 â‰Īs 𝑐 âˆĻ ∃𝑏 ∈ ðĩ 𝑏 â‰Īs 𝑌))
3933, 38bitrdi 287 . . 3 (((ðī <<s ðĩ ∧ ðķ <<s 𝐷) ∧ (𝑋 = (ðī |s ðĩ) ∧ 𝑌 = (ðķ |s 𝐷))) → ((∀𝑐 ∈ ðķ 𝑐 <s 𝑋 ∧ ∀𝑏 ∈ ðĩ 𝑌 <s 𝑏) ↔ ÂŽ (∃𝑐 ∈ ðķ 𝑋 â‰Īs 𝑐 âˆĻ ∃𝑏 ∈ ðĩ 𝑏 â‰Īs 𝑌)))
408, 18, 393bitr3d 309 . 2 (((ðī <<s ðĩ ∧ ðķ <<s 𝐷) ∧ (𝑋 = (ðī |s ðĩ) ∧ 𝑌 = (ðķ |s 𝐷))) → (ÂŽ 𝑋 <s 𝑌 ↔ ÂŽ (∃𝑐 ∈ ðķ 𝑋 â‰Īs 𝑐 âˆĻ ∃𝑏 ∈ ðĩ 𝑏 â‰Īs 𝑌)))
4140con4bid 317 1 (((ðī <<s ðĩ ∧ ðķ <<s 𝐷) ∧ (𝑋 = (ðī |s ðĩ) ∧ 𝑌 = (ðķ |s 𝐷))) → (𝑋 <s 𝑌 ↔ (∃𝑐 ∈ ðķ 𝑋 â‰Īs 𝑐 âˆĻ ∃𝑏 ∈ ðĩ 𝑏 â‰Īs 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ÂŽ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   âˆĻ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  âˆ€wral 3062  âˆƒwrex 3071   ⊆ wss 3949  {csn 4629   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409   No csur 27143   <s cslt 27144   â‰Īs csle 27247   <<s csslt 27282   |s cscut 27284
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1o 8466  df-2o 8467  df-no 27146  df-slt 27147  df-bday 27148  df-sle 27248  df-sslt 27283  df-scut 27285
This theorem is referenced by:  0slt1s  27330  sltn0  27399  sleadd1  27472
  Copyright terms: Public domain W3C validator