MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sleadd1im Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem sleadd1im 27467
Description: Surreal less-than or equal cancels under addition. (Contributed by Scott Fenton, 21-Jan-2025.)
Assertion
Ref Expression
sleadd1im ((ðī ∈ No ∧ ðĩ ∈ No ∧ ðķ ∈ No ) → ((ðī +s ðķ) â‰Īs (ðĩ +s ðķ) → ðī â‰Īs ðĩ))
Proof of Theorem sleadd1im
StepHypRef Expression
1 sltadd1im 27465 . . . 4 ((ðĩ ∈ No ∧ ðī ∈ No ∧ ðķ ∈ No ) → (ðĩ <s ðī → (ðĩ +s ðķ) <s (ðī +s ðķ)))
213com12 1123 . . 3 ((ðī ∈ No ∧ ðĩ ∈ No ∧ ðķ ∈ No ) → (ðĩ <s ðī → (ðĩ +s ðķ) <s (ðī +s ðķ)))
3 sltnle 27253 . . . . 5 ((ðĩ ∈ No ∧ ðī ∈ No ) → (ðĩ <s ðī ↔ ÂŽ ðī â‰Īs ðĩ))
43ancoms 459 . . . 4 ((ðī ∈ No ∧ ðĩ ∈ No ) → (ðĩ <s ðī ↔ ÂŽ ðī â‰Īs ðĩ))
543adant3 1132 . . 3 ((ðī ∈ No ∧ ðĩ ∈ No ∧ ðķ ∈ No ) → (ðĩ <s ðī ↔ ÂŽ ðī â‰Īs ðĩ))
6 addscl 27462 . . . . 5 ((ðĩ ∈ No ∧ ðķ ∈ No ) → (ðĩ +s ðķ) ∈ No )
763adant1 1130 . . . 4 ((ðī ∈ No ∧ ðĩ ∈ No ∧ ðķ ∈ No ) → (ðĩ +s ðķ) ∈ No )
8 addscl 27462 . . . 4 ((ðī ∈ No ∧ ðķ ∈ No ) → (ðī +s ðķ) ∈ No )
9 sltnle 27253 . . . 4 (((ðĩ +s ðķ) ∈ No ∧ (ðī +s ðķ) ∈ No ) → ((ðĩ +s ðķ) <s (ðī +s ðķ) ↔ ÂŽ (ðī +s ðķ) â‰Īs (ðĩ +s ðķ)))
107, 8, 93imp3i2an 1345 . . 3 ((ðī ∈ No ∧ ðĩ ∈ No ∧ ðķ ∈ No ) → ((ðĩ +s ðķ) <s (ðī +s ðķ) ↔ ÂŽ (ðī +s ðķ) â‰Īs (ðĩ +s ðķ)))
112, 5, 103imtr3d 292 . 2 ((ðī ∈ No ∧ ðĩ ∈ No ∧ ðķ ∈ No ) → (ÂŽ ðī â‰Īs ðĩ → ÂŽ (ðī +s ðķ) â‰Īs (ðĩ +s ðķ)))
1211con4d 115 1 ((ðī ∈ No ∧ ðĩ ∈ No ∧ ðķ ∈ No ) → ((ðī +s ðķ) â‰Īs (ðĩ +s ðķ) → ðī â‰Īs ðĩ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ÂŽ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7408   No csur 27140   <s cslt 27141   â‰Īs csle 27244   +s cadds 27440
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-1o 8465  df-2o 8466  df-nadd 8664  df-no 27143  df-slt 27144  df-bday 27145  df-sle 27245  df-sslt 27280  df-scut 27282  df-0s 27322  df-made 27339  df-old 27340  df-left 27342  df-right 27343  df-norec2 27430  df-adds 27441
This theorem is referenced by:  sleadd2im  27468  sleadd1  27469
  Copyright terms: Public domain W3C validator