MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sleadd1im Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem sleadd1im 27859
Description: Surreal less-than or equal cancels under addition. (Contributed by Scott Fenton, 21-Jan-2025.)
Assertion
Ref Expression
sleadd1im ((ðī ∈ No ∧ ðĩ ∈ No ∧ ðķ ∈ No ) → ((ðī +s ðķ) â‰Īs (ðĩ +s ðķ) → ðī â‰Īs ðĩ))
Proof of Theorem sleadd1im
StepHypRef Expression
1 sltadd1im 27857 . . . 4 ((ðĩ ∈ No ∧ ðī ∈ No ∧ ðķ ∈ No ) → (ðĩ <s ðī → (ðĩ +s ðķ) <s (ðī +s ðķ)))
213com12 1120 . . 3 ((ðī ∈ No ∧ ðĩ ∈ No ∧ ðķ ∈ No ) → (ðĩ <s ðī → (ðĩ +s ðķ) <s (ðī +s ðķ)))
3 sltnle 27641 . . . . 5 ((ðĩ ∈ No ∧ ðī ∈ No ) → (ðĩ <s ðī ↔ ÂŽ ðī â‰Īs ðĩ))
43ancoms 458 . . . 4 ((ðī ∈ No ∧ ðĩ ∈ No ) → (ðĩ <s ðī ↔ ÂŽ ðī â‰Īs ðĩ))
543adant3 1129 . . 3 ((ðī ∈ No ∧ ðĩ ∈ No ∧ ðķ ∈ No ) → (ðĩ <s ðī ↔ ÂŽ ðī â‰Īs ðĩ))
6 addscl 27853 . . . . 5 ((ðĩ ∈ No ∧ ðķ ∈ No ) → (ðĩ +s ðķ) ∈ No )
763adant1 1127 . . . 4 ((ðī ∈ No ∧ ðĩ ∈ No ∧ ðķ ∈ No ) → (ðĩ +s ðķ) ∈ No )
8 addscl 27853 . . . 4 ((ðī ∈ No ∧ ðķ ∈ No ) → (ðī +s ðķ) ∈ No )
9 sltnle 27641 . . . 4 (((ðĩ +s ðķ) ∈ No ∧ (ðī +s ðķ) ∈ No ) → ((ðĩ +s ðķ) <s (ðī +s ðķ) ↔ ÂŽ (ðī +s ðķ) â‰Īs (ðĩ +s ðķ)))
107, 8, 93imp3i2an 1342 . . 3 ((ðī ∈ No ∧ ðĩ ∈ No ∧ ðķ ∈ No ) → ((ðĩ +s ðķ) <s (ðī +s ðķ) ↔ ÂŽ (ðī +s ðķ) â‰Īs (ðĩ +s ðķ)))
112, 5, 103imtr3d 293 . 2 ((ðī ∈ No ∧ ðĩ ∈ No ∧ ðķ ∈ No ) → (ÂŽ ðī â‰Īs ðĩ → ÂŽ (ðī +s ðķ) â‰Īs (ðĩ +s ðķ)))
1211con4d 115 1 ((ðī ∈ No ∧ ðĩ ∈ No ∧ ðķ ∈ No ) → ((ðī +s ðķ) â‰Īs (ðĩ +s ðķ) → ðī â‰Īs ðĩ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ÂŽ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  (class class class)co 7405   No csur 27528   <s cslt 27529   â‰Īs csle 27632   +s cadds 27831
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-1o 8467  df-2o 8468  df-nadd 8667  df-no 27531  df-slt 27532  df-bday 27533  df-sle 27633  df-sslt 27669  df-scut 27671  df-0s 27712  df-made 27729  df-old 27730  df-left 27732  df-right 27733  df-norec2 27821  df-adds 27832
This theorem is referenced by:  sleadd2im  27860  sleadd1  27861
  Copyright terms: Public domain W3C validator