MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sleadd1im Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem sleadd1im 27922
Description: Surreal less-than or equal cancels under addition. (Contributed by Scott Fenton, 21-Jan-2025.)
Assertion
Ref Expression
sleadd1im ((ðī ∈ No ∧ ðĩ ∈ No ∧ ðķ ∈ No ) → ((ðī +s ðķ) â‰Īs (ðĩ +s ðķ) → ðī â‰Īs ðĩ))
Proof of Theorem sleadd1im
StepHypRef Expression
1 sltadd1im 27920 . . . 4 ((ðĩ ∈ No ∧ ðī ∈ No ∧ ðķ ∈ No ) → (ðĩ <s ðī → (ðĩ +s ðķ) <s (ðī +s ðķ)))
213com12 1120 . . 3 ((ðī ∈ No ∧ ðĩ ∈ No ∧ ðķ ∈ No ) → (ðĩ <s ðī → (ðĩ +s ðķ) <s (ðī +s ðķ)))
3 sltnle 27704 . . . . 5 ((ðĩ ∈ No ∧ ðī ∈ No ) → (ðĩ <s ðī ↔ ÂŽ ðī â‰Īs ðĩ))
43ancoms 457 . . . 4 ((ðī ∈ No ∧ ðĩ ∈ No ) → (ðĩ <s ðī ↔ ÂŽ ðī â‰Īs ðĩ))
543adant3 1129 . . 3 ((ðī ∈ No ∧ ðĩ ∈ No ∧ ðķ ∈ No ) → (ðĩ <s ðī ↔ ÂŽ ðī â‰Īs ðĩ))
6 addscl 27916 . . . . 5 ((ðĩ ∈ No ∧ ðķ ∈ No ) → (ðĩ +s ðķ) ∈ No )
763adant1 1127 . . . 4 ((ðī ∈ No ∧ ðĩ ∈ No ∧ ðķ ∈ No ) → (ðĩ +s ðķ) ∈ No )
8 addscl 27916 . . . 4 ((ðī ∈ No ∧ ðķ ∈ No ) → (ðī +s ðķ) ∈ No )
9 sltnle 27704 . . . 4 (((ðĩ +s ðķ) ∈ No ∧ (ðī +s ðķ) ∈ No ) → ((ðĩ +s ðķ) <s (ðī +s ðķ) ↔ ÂŽ (ðī +s ðķ) â‰Īs (ðĩ +s ðķ)))
107, 8, 93imp3i2an 1342 . . 3 ((ðī ∈ No ∧ ðĩ ∈ No ∧ ðķ ∈ No ) → ((ðĩ +s ðķ) <s (ðī +s ðķ) ↔ ÂŽ (ðī +s ðķ) â‰Īs (ðĩ +s ðķ)))
112, 5, 103imtr3d 292 . 2 ((ðī ∈ No ∧ ðĩ ∈ No ∧ ðķ ∈ No ) → (ÂŽ ðī â‰Īs ðĩ → ÂŽ (ðī +s ðķ) â‰Īs (ðĩ +s ðķ)))
1211con4d 115 1 ((ðī ∈ No ∧ ðĩ ∈ No ∧ ðķ ∈ No ) → ((ðī +s ðķ) â‰Īs (ðĩ +s ðķ) → ðī â‰Īs ðĩ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ÂŽ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5143  (class class class)co 7416   No csur 27591   <s cslt 27592   â‰Īs csle 27695   +s cadds 27894
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-1o 8485  df-2o 8486  df-nadd 8685  df-no 27594  df-slt 27595  df-bday 27596  df-sle 27696  df-sslt 27732  df-scut 27734  df-0s 27775  df-made 27792  df-old 27793  df-left 27795  df-right 27796  df-norec2 27884  df-adds 27895
This theorem is referenced by:  sleadd2im  27923  sleadd1  27924
  Copyright terms: Public domain W3C validator