MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sleloe Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sleloe 27700
Description: Surreal less-than or equal in terms of less-than. (Contributed by Scott Fenton, 8-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
sleloe ((𝐴 No 𝐵 No ) → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ (𝐴 <s 𝐵𝐴 = 𝐵)))

Proof of Theorem sleloe
StepHypRef Expression
1 slenlt 27698 . 2 ((𝐴 No 𝐵 No ) → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 <s 𝐴))
2 orcom 869 . . . 4 ((𝐴 <s 𝐵𝐴 = 𝐵) ↔ (𝐴 = 𝐵𝐴 <s 𝐵))
3 eqcom 2735 . . . . 5 (𝐴 = 𝐵𝐵 = 𝐴)
43orbi1i 912 . . . 4 ((𝐴 = 𝐵𝐴 <s 𝐵) ↔ (𝐵 = 𝐴𝐴 <s 𝐵))
52, 4bitri 275 . . 3 ((𝐴 <s 𝐵𝐴 = 𝐵) ↔ (𝐵 = 𝐴𝐴 <s 𝐵))
6 sltso 27622 . . . . . 6 <s Or No
7 sotric 5618 . . . . . 6 (( <s Or No ∧ (𝐵 No 𝐴 No )) → (𝐵 <s 𝐴 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐴𝐴 <s 𝐵)))
86, 7mpan 689 . . . . 5 ((𝐵 No 𝐴 No ) → (𝐵 <s 𝐴 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐴𝐴 <s 𝐵)))
98ancoms 458 . . . 4 ((𝐴 No 𝐵 No ) → (𝐵 <s 𝐴 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐴𝐴 <s 𝐵)))
109con2bid 354 . . 3 ((𝐴 No 𝐵 No ) → ((𝐵 = 𝐴𝐴 <s 𝐵) ↔ ¬ 𝐵 <s 𝐴))
115, 10bitrid 283 . 2 ((𝐴 No 𝐵 No ) → ((𝐴 <s 𝐵𝐴 = 𝐵) ↔ ¬ 𝐵 <s 𝐴))
121, 11bitr4d 282 1 ((𝐴 No 𝐵 No ) → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ (𝐴 <s 𝐵𝐴 = 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  wo 846   = wceq 1534  wcel 2099   class class class wbr 5148   Or wor 5589   No csur 27586   <s cslt 27587   ≤s csle 27690
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5429
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-ord 6372  df-on 6373  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-fv 6556  df-1o 8487  df-2o 8488  df-no 27589  df-slt 27590  df-sle 27691
This theorem is referenced by:  sltlend  27717  slelss  27847  slemuld  28051  mulsge0d  28059  slemul1ad  28095  abssnid  28150  om2noseqlt2  28186  elnns2  28222
  Copyright terms: Public domain W3C validator