MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sleloe Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sleloe 27118
Description: Surreal less-than or equal in terms of less-than. (Contributed by Scott Fenton, 8-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
sleloe ((𝐴 No 𝐵 No ) → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ (𝐴 <s 𝐵𝐴 = 𝐵)))

Proof of Theorem sleloe
StepHypRef Expression
1 slenlt 27116 . 2 ((𝐴 No 𝐵 No ) → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 <s 𝐴))
2 orcom 869 . . . 4 ((𝐴 <s 𝐵𝐴 = 𝐵) ↔ (𝐴 = 𝐵𝐴 <s 𝐵))
3 eqcom 2740 . . . . 5 (𝐴 = 𝐵𝐵 = 𝐴)
43orbi1i 913 . . . 4 ((𝐴 = 𝐵𝐴 <s 𝐵) ↔ (𝐵 = 𝐴𝐴 <s 𝐵))
52, 4bitri 275 . . 3 ((𝐴 <s 𝐵𝐴 = 𝐵) ↔ (𝐵 = 𝐴𝐴 <s 𝐵))
6 sltso 27040 . . . . . 6 <s Or No
7 sotric 5574 . . . . . 6 (( <s Or No ∧ (𝐵 No 𝐴 No )) → (𝐵 <s 𝐴 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐴𝐴 <s 𝐵)))
86, 7mpan 689 . . . . 5 ((𝐵 No 𝐴 No ) → (𝐵 <s 𝐴 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐴𝐴 <s 𝐵)))
98ancoms 460 . . . 4 ((𝐴 No 𝐵 No ) → (𝐵 <s 𝐴 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐴𝐴 <s 𝐵)))
109con2bid 355 . . 3 ((𝐴 No 𝐵 No ) → ((𝐵 = 𝐴𝐴 <s 𝐵) ↔ ¬ 𝐵 <s 𝐴))
115, 10bitrid 283 . 2 ((𝐴 No 𝐵 No ) → ((𝐴 <s 𝐵𝐴 = 𝐵) ↔ ¬ 𝐵 <s 𝐴))
121, 11bitr4d 282 1 ((𝐴 No 𝐵 No ) → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ (𝐴 <s 𝐵𝐴 = 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846   = wceq 1542  wcel 2107   class class class wbr 5106   Or wor 5545   No csur 27004   <s cslt 27005   ≤s csle 27108
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-ord 6321  df-on 6322  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-fv 6505  df-1o 8413  df-2o 8414  df-no 27007  df-slt 27008  df-sle 27109
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator