MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssltsep Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssltsep 27673
Description: The separation property of surreal set less-than. (Contributed by Scott Fenton, 8-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
ssltsep (𝐴 <<s 𝐵 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 <s 𝑦)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem ssltsep
StepHypRef Expression
1 brsslt 27668 . 2 (𝐴 <<s 𝐵 ↔ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝐴 No 𝐵 No ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 <s 𝑦)))
2 simpr3 1193 . 2 (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝐴 No 𝐵 No ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 <s 𝑦)) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 <s 𝑦)
31, 2sylbi 216 1 (𝐴 <<s 𝐵 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 <s 𝑦)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1084  wcel 2098  wral 3055  Vcvv 3468  wss 3943   class class class wbr 5141   No csur 27523   <s cslt 27524   <<s csslt 27663
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-sb 2060  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-br 5142  df-opab 5204  df-xp 5675  df-sslt 27664
This theorem is referenced by:  ssltsepc  27676  sssslt1  27678  sssslt2  27679  conway  27682  etasslt  27696  slerec  27702  bday1s  27714  cuteq1  27716  madebdaylemlrcut  27775
  Copyright terms: Public domain W3C validator