Theorem ssltsep 34013

Description: The separation property of surreal set less than. (Contributed by Scott Fenton, 8-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ssltsep	⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 <s 𝑦)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem ssltsep

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brsslt 34008	. 2 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 ↔ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 <s 𝑦)))
2		simpr3 1194	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 <s 𝑦)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 <s 𝑦)
3	1, 2	sylbi 216	1 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 <s 𝑦)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2101  ∀wral 3059  Vcvv 3434   ⊆ wss 3889   class class class wbr 5077   No csur 33871   <s cslt 33872   <<s csslt 34003

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2103  ax-9 2111  ax-ext 2704  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pr 5355

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-sb 2063  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3224  df-v 3436  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4260  df-if 4463  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-br 5078  df-opab 5140  df-xp 5597  df-sslt 34004

This theorem is referenced by:  ssltsepc  34015  sssslt1  34017  sssslt2  34018  conway  34021  etasslt  34035  slerec  34041  bday1s  34053  madebdaylemlrcut  34107