Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ssltsep Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssltsep 32777
Description: The separation property of surreal set less than. (Contributed by Scott Fenton, 8-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
ssltsep (𝐴 <<s 𝐵 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 <s 𝑦)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem ssltsep
StepHypRef Expression
1 brsslt 32772 . 2 (𝐴 <<s 𝐵 ↔ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝐴 No 𝐵 No ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 <s 𝑦)))
2 simpr3 1176 . 2 (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝐴 No 𝐵 No ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 <s 𝑦)) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 <s 𝑦)
31, 2sylbi 209 1 (𝐴 <<s 𝐵 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 <s 𝑦)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387  w3a 1068  wcel 2050  wral 3089  Vcvv 3416  wss 3830   class class class wbr 4929   No csur 32665   <s cslt 32666   <<s csslt 32768
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pr 5186
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3418  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-nul 4180  df-if 4351  df-sn 4442  df-pr 4444  df-op 4448  df-br 4930  df-opab 4992  df-xp 5413  df-sslt 32769
This theorem is referenced by:  sssslt1  32778  sssslt2  32779  conway  32782  sslttr  32786  ssltun1  32787  ssltun2  32788  etasslt  32792  slerec  32795
  Copyright terms: Public domain W3C validator