MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssltsep Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssltsep 27743
Description: The separation property of surreal set less-than. (Contributed by Scott Fenton, 8-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
ssltsep (𝐴 <<s 𝐵 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 <s 𝑦)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem ssltsep
StepHypRef Expression
1 brsslt 27738 . 2 (𝐴 <<s 𝐵 ↔ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝐴 No 𝐵 No ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 <s 𝑦)))
2 simpr3 1193 . 2 (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝐴 No 𝐵 No ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 <s 𝑦)) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 <s 𝑦)
31, 2sylbi 216 1 (𝐴 <<s 𝐵 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 <s 𝑦)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084  wcel 2098  wral 3058  Vcvv 3473  wss 3949   class class class wbr 5152   No csur 27593   <s cslt 27594   <<s csslt 27733
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5433
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-sb 2060  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-br 5153  df-opab 5215  df-xp 5688  df-sslt 27734
This theorem is referenced by:  ssltsepc  27746  sssslt1  27748  sssslt2  27749  conway  27752  etasslt  27766  slerec  27772  bday1s  27784  cuteq1  27786  madebdaylemlrcut  27845
  Copyright terms: Public domain W3C validator