Theorem brsslt 32865

Description: Binary relation form of the surreal set less-than relation. (Contributed by Scott Fenton, 8-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
brsslt	⊢ (𝐴 <<s 𝐵 ↔ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 <s 𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem brsslt

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-sslt 32862	. . 3 ⊢ <<s = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ (𝑎 ⊆ No ∧ 𝑏 ⊆ No ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 𝑥 <s 𝑦)}
2	1	bropaex12 5535	. 2 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
3		sseq1 3919	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 ⊆ No ↔ 𝐴 ⊆ No ))
4		raleq 3367	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 𝑥 <s 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝑏 𝑥 <s 𝑦))
5	3, 4	3anbi13d 1430	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝑎 ⊆ No ∧ 𝑏 ⊆ No ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 𝑥 <s 𝑦) ↔ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝑏 ⊆ No ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝑏 𝑥 <s 𝑦)))
6		sseq1 3919	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑏 ⊆ No ↔ 𝐵 ⊆ No ))
7		raleq 3367	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (∀𝑦 ∈ 𝑏 𝑥 <s 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 <s 𝑦))
8	7	ralbidv 3166	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝑏 𝑥 <s 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 <s 𝑦))
9	6, 8	3anbi23d 1431	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝐴 ⊆ No ∧ 𝑏 ⊆ No ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝑏 𝑥 <s 𝑦) ↔ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 <s 𝑦)))
10	5, 9, 1	brabg 5323	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 <<s 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 <s 𝑦)))
11	2, 10	biadanii 819	1 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 ↔ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 <s 𝑦)))

Syntax hints:   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1080   = wceq 1525   ∈ wcel 2083  ∀wral 3107  Vcvv 3440   ⊆ wss 3865   class class class wbr 4968   No csur 32758   <s cslt 32759   <<s csslt 32861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pr 5228

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ral 3112  df-rex 3113  df-rab 3116  df-v 3442  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-nul 4218  df-if 4388  df-sn 4479  df-pr 4481  df-op 4485  df-br 4969  df-opab 5031  df-xp 5456  df-sslt 32862

This theorem is referenced by:  ssltex1  32866  ssltex2  32867  ssltss1  32868  ssltss2  32869  ssltsep  32870  sssslt1  32871  sssslt2  32872  nulsslt  32873  nulssgt  32874  conway  32875  sslttr  32879  ssltun1  32880  ssltun2  32881  etasslt  32885  slerec  32888