MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  etasslt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etasslt 27551
Description: A restatement of noeta 27482 using set less-than. (Contributed by Scott Fenton, 10-Aug-2024.)
Assertion
Ref Expression
etasslt ((𝐴 <<s 𝐵𝑂 ∈ On ∧ ( bday “ (𝐴𝐵)) ⊆ 𝑂) → ∃𝑥 No (𝐴 <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s 𝐵 ∧ ( bday 𝑥) ⊆ 𝑂))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑂

Proof of Theorem etasslt
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssltss1 27526 . . . . . 6 (𝐴 <<s 𝐵𝐴 No )
2 ssltex1 27524 . . . . . 6 (𝐴 <<s 𝐵𝐴 ∈ V)
31, 2jca 510 . . . . 5 (𝐴 <<s 𝐵 → (𝐴 No 𝐴 ∈ V))
4 ssltss2 27527 . . . . . 6 (𝐴 <<s 𝐵𝐵 No )
5 ssltex2 27525 . . . . . 6 (𝐴 <<s 𝐵𝐵 ∈ V)
64, 5jca 510 . . . . 5 (𝐴 <<s 𝐵 → (𝐵 No 𝐵 ∈ V))
7 ssltsep 27528 . . . . 5 (𝐴 <<s 𝐵 → ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 𝑦 <s 𝑧)
83, 6, 73jca 1126 . . . 4 (𝐴 <<s 𝐵 → ((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 𝑦 <s 𝑧))
983ad2ant1 1131 . . 3 ((𝐴 <<s 𝐵𝑂 ∈ On ∧ ( bday “ (𝐴𝐵)) ⊆ 𝑂) → ((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 𝑦 <s 𝑧))
10 3simpc 1148 . . 3 ((𝐴 <<s 𝐵𝑂 ∈ On ∧ ( bday “ (𝐴𝐵)) ⊆ 𝑂) → (𝑂 ∈ On ∧ ( bday “ (𝐴𝐵)) ⊆ 𝑂))
11 noeta 27482 . . 3 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 𝑦 <s 𝑧) ∧ (𝑂 ∈ On ∧ ( bday “ (𝐴𝐵)) ⊆ 𝑂)) → ∃𝑥 No (∀𝑦𝐴 𝑦 <s 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 𝑥 <s 𝑧 ∧ ( bday 𝑥) ⊆ 𝑂))
129, 10, 11syl2anc 582 . 2 ((𝐴 <<s 𝐵𝑂 ∈ On ∧ ( bday “ (𝐴𝐵)) ⊆ 𝑂) → ∃𝑥 No (∀𝑦𝐴 𝑦 <s 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 𝑥 <s 𝑧 ∧ ( bday 𝑥) ⊆ 𝑂))
132ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((𝐴 <<s 𝐵𝑂 ∈ On) ∧ (𝑥 No ∧ (∀𝑦𝐴 𝑦 <s 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 𝑥 <s 𝑧 ∧ ( bday 𝑥) ⊆ 𝑂))) → 𝐴 ∈ V)
14 vsnex 5428 . . . . . . . 8 {𝑥} ∈ V
1513, 14jctir 519 . . . . . . 7 (((𝐴 <<s 𝐵𝑂 ∈ On) ∧ (𝑥 No ∧ (∀𝑦𝐴 𝑦 <s 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 𝑥 <s 𝑧 ∧ ( bday 𝑥) ⊆ 𝑂))) → (𝐴 ∈ V ∧ {𝑥} ∈ V))
161ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((𝐴 <<s 𝐵𝑂 ∈ On) ∧ (𝑥 No ∧ (∀𝑦𝐴 𝑦 <s 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 𝑥 <s 𝑧 ∧ ( bday 𝑥) ⊆ 𝑂))) → 𝐴 No )
17 snssi 4810 . . . . . . . . 9 (𝑥 No → {𝑥} ⊆ No )
1817ad2antrl 724 . . . . . . . 8 (((𝐴 <<s 𝐵𝑂 ∈ On) ∧ (𝑥 No ∧ (∀𝑦𝐴 𝑦 <s 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 𝑥 <s 𝑧 ∧ ( bday 𝑥) ⊆ 𝑂))) → {𝑥} ⊆ No )
19 simprr1 1219 . . . . . . . . 9 (((𝐴 <<s 𝐵𝑂 ∈ On) ∧ (𝑥 No ∧ (∀𝑦𝐴 𝑦 <s 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 𝑥 <s 𝑧 ∧ ( bday 𝑥) ⊆ 𝑂))) → ∀𝑦𝐴 𝑦 <s 𝑥)
20 vex 3476 . . . . . . . . . . 11 𝑥 ∈ V
21 breq2 5151 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑥 → (𝑦 <s 𝑧𝑦 <s 𝑥))
2220, 21ralsn 4684 . . . . . . . . . 10 (∀𝑧 ∈ {𝑥}𝑦 <s 𝑧𝑦 <s 𝑥)
2322ralbii 3091 . . . . . . . . 9 (∀𝑦𝐴𝑧 ∈ {𝑥}𝑦 <s 𝑧 ↔ ∀𝑦𝐴 𝑦 <s 𝑥)
2419, 23sylibr 233 . . . . . . . 8 (((𝐴 <<s 𝐵𝑂 ∈ On) ∧ (𝑥 No ∧ (∀𝑦𝐴 𝑦 <s 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 𝑥 <s 𝑧 ∧ ( bday 𝑥) ⊆ 𝑂))) → ∀𝑦𝐴𝑧 ∈ {𝑥}𝑦 <s 𝑧)
2516, 18, 243jca 1126 . . . . . . 7 (((𝐴 <<s 𝐵𝑂 ∈ On) ∧ (𝑥 No ∧ (∀𝑦𝐴 𝑦 <s 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 𝑥 <s 𝑧 ∧ ( bday 𝑥) ⊆ 𝑂))) → (𝐴 No ∧ {𝑥} ⊆ No ∧ ∀𝑦𝐴𝑧 ∈ {𝑥}𝑦 <s 𝑧))
26 brsslt 27523 . . . . . . 7 (𝐴 <<s {𝑥} ↔ ((𝐴 ∈ V ∧ {𝑥} ∈ V) ∧ (𝐴 No ∧ {𝑥} ⊆ No ∧ ∀𝑦𝐴𝑧 ∈ {𝑥}𝑦 <s 𝑧)))
2715, 25, 26sylanbrc 581 . . . . . 6 (((𝐴 <<s 𝐵𝑂 ∈ On) ∧ (𝑥 No ∧ (∀𝑦𝐴 𝑦 <s 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 𝑥 <s 𝑧 ∧ ( bday 𝑥) ⊆ 𝑂))) → 𝐴 <<s {𝑥})
285ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((𝐴 <<s 𝐵𝑂 ∈ On) ∧ (𝑥 No ∧ (∀𝑦𝐴 𝑦 <s 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 𝑥 <s 𝑧 ∧ ( bday 𝑥) ⊆ 𝑂))) → 𝐵 ∈ V)
2928, 14jctil 518 . . . . . . 7 (((𝐴 <<s 𝐵𝑂 ∈ On) ∧ (𝑥 No ∧ (∀𝑦𝐴 𝑦 <s 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 𝑥 <s 𝑧 ∧ ( bday 𝑥) ⊆ 𝑂))) → ({𝑥} ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
304ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((𝐴 <<s 𝐵𝑂 ∈ On) ∧ (𝑥 No ∧ (∀𝑦𝐴 𝑦 <s 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 𝑥 <s 𝑧 ∧ ( bday 𝑥) ⊆ 𝑂))) → 𝐵 No )
31 simprr2 1220 . . . . . . . . 9 (((𝐴 <<s 𝐵𝑂 ∈ On) ∧ (𝑥 No ∧ (∀𝑦𝐴 𝑦 <s 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 𝑥 <s 𝑧 ∧ ( bday 𝑥) ⊆ 𝑂))) → ∀𝑧𝐵 𝑥 <s 𝑧)
32 breq1 5150 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 <s 𝑧𝑥 <s 𝑧))
3332ralbidv 3175 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑥 → (∀𝑧𝐵 𝑦 <s 𝑧 ↔ ∀𝑧𝐵 𝑥 <s 𝑧))
3420, 33ralsn 4684 . . . . . . . . 9 (∀𝑦 ∈ {𝑥}∀𝑧𝐵 𝑦 <s 𝑧 ↔ ∀𝑧𝐵 𝑥 <s 𝑧)
3531, 34sylibr 233 . . . . . . . 8 (((𝐴 <<s 𝐵𝑂 ∈ On) ∧ (𝑥 No ∧ (∀𝑦𝐴 𝑦 <s 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 𝑥 <s 𝑧 ∧ ( bday 𝑥) ⊆ 𝑂))) → ∀𝑦 ∈ {𝑥}∀𝑧𝐵 𝑦 <s 𝑧)
3618, 30, 353jca 1126 . . . . . . 7 (((𝐴 <<s 𝐵𝑂 ∈ On) ∧ (𝑥 No ∧ (∀𝑦𝐴 𝑦 <s 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 𝑥 <s 𝑧 ∧ ( bday 𝑥) ⊆ 𝑂))) → ({𝑥} ⊆ No 𝐵 No ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑥}∀𝑧𝐵 𝑦 <s 𝑧))
37 brsslt 27523 . . . . . . 7 ({𝑥} <<s 𝐵 ↔ (({𝑥} ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ ({𝑥} ⊆ No 𝐵 No ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑥}∀𝑧𝐵 𝑦 <s 𝑧)))
3829, 36, 37sylanbrc 581 . . . . . 6 (((𝐴 <<s 𝐵𝑂 ∈ On) ∧ (𝑥 No ∧ (∀𝑦𝐴 𝑦 <s 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 𝑥 <s 𝑧 ∧ ( bday 𝑥) ⊆ 𝑂))) → {𝑥} <<s 𝐵)
39 simprr3 1221 . . . . . 6 (((𝐴 <<s 𝐵𝑂 ∈ On) ∧ (𝑥 No ∧ (∀𝑦𝐴 𝑦 <s 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 𝑥 <s 𝑧 ∧ ( bday 𝑥) ⊆ 𝑂))) → ( bday 𝑥) ⊆ 𝑂)
4027, 38, 393jca 1126 . . . . 5 (((𝐴 <<s 𝐵𝑂 ∈ On) ∧ (𝑥 No ∧ (∀𝑦𝐴 𝑦 <s 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 𝑥 <s 𝑧 ∧ ( bday 𝑥) ⊆ 𝑂))) → (𝐴 <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s 𝐵 ∧ ( bday 𝑥) ⊆ 𝑂))
4140expr 455 . . . 4 (((𝐴 <<s 𝐵𝑂 ∈ On) ∧ 𝑥 No ) → ((∀𝑦𝐴 𝑦 <s 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 𝑥 <s 𝑧 ∧ ( bday 𝑥) ⊆ 𝑂) → (𝐴 <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s 𝐵 ∧ ( bday 𝑥) ⊆ 𝑂)))
4241reximdva 3166 . . 3 ((𝐴 <<s 𝐵𝑂 ∈ On) → (∃𝑥 No (∀𝑦𝐴 𝑦 <s 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 𝑥 <s 𝑧 ∧ ( bday 𝑥) ⊆ 𝑂) → ∃𝑥 No (𝐴 <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s 𝐵 ∧ ( bday 𝑥) ⊆ 𝑂)))
43423adant3 1130 . 2 ((𝐴 <<s 𝐵𝑂 ∈ On ∧ ( bday “ (𝐴𝐵)) ⊆ 𝑂) → (∃𝑥 No (∀𝑦𝐴 𝑦 <s 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 𝑥 <s 𝑧 ∧ ( bday 𝑥) ⊆ 𝑂) → ∃𝑥 No (𝐴 <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s 𝐵 ∧ ( bday 𝑥) ⊆ 𝑂)))
4412, 43mpd 15 1 ((𝐴 <<s 𝐵𝑂 ∈ On ∧ ( bday “ (𝐴𝐵)) ⊆ 𝑂) → ∃𝑥 No (𝐴 <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s 𝐵 ∧ ( bday 𝑥) ⊆ 𝑂))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1085  wcel 2104  wral 3059  wrex 3068  Vcvv 3472  cun 3945  wss 3947  {csn 4627   class class class wbr 5147  cima 5678  Oncon0 6363  cfv 6542   No csur 27379   <s cslt 27380   bday cbday 27381   <<s csslt 27518
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6366  df-on 6367  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-1o 8468  df-2o 8469  df-no 27382  df-slt 27383  df-bday 27384  df-sslt 27519
This theorem is referenced by:  etasslt2  27552  scutbdaybnd  27553
  Copyright terms: Public domain W3C validator