Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etasslt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etasslt 32236
Description: A restatement of noeta 32184 using set less than. (Contributed by Scott Fenton, 10-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
etasslt (𝐴 <<s 𝐵 → ∃𝑥 No (𝐴 <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s 𝐵 ∧ ( bday 𝑥) ⊆ suc ( bday “ (𝐴𝐵))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem etasslt
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssltss1 32219 . . 3 (𝐴 <<s 𝐵𝐴 No )
2 ssltex1 32217 . . 3 (𝐴 <<s 𝐵𝐴 ∈ V)
3 ssltss2 32220 . . 3 (𝐴 <<s 𝐵𝐵 No )
4 ssltex2 32218 . . 3 (𝐴 <<s 𝐵𝐵 ∈ V)
5 ssltsep 32221 . . 3 (𝐴 <<s 𝐵 → ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 𝑦 <s 𝑧)
6 noeta 32184 . . 3 (((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 𝑦 <s 𝑧) → ∃𝑥 No (∀𝑦𝐴 𝑦 <s 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 𝑥 <s 𝑧 ∧ ( bday 𝑥) ⊆ suc ( bday “ (𝐴𝐵))))
71, 2, 3, 4, 5, 6syl221anc 1493 . 2 (𝐴 <<s 𝐵 → ∃𝑥 No (∀𝑦𝐴 𝑦 <s 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 𝑥 <s 𝑧 ∧ ( bday 𝑥) ⊆ suc ( bday “ (𝐴𝐵))))
8 brsslt 32216 . . . . . 6 (𝐴 <<s {𝑥} ↔ ((𝐴 ∈ V ∧ {𝑥} ∈ V) ∧ (𝐴 No ∧ {𝑥} ⊆ No ∧ ∀𝑦𝐴𝑧 ∈ {𝑥}𝑦 <s 𝑧)))
9 df-3an 1102 . . . . . . 7 ((𝐴 No ∧ {𝑥} ⊆ No ∧ ∀𝑦𝐴𝑧 ∈ {𝑥}𝑦 <s 𝑧) ↔ ((𝐴 No ∧ {𝑥} ⊆ No ) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧 ∈ {𝑥}𝑦 <s 𝑧))
109bianass 625 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ V ∧ {𝑥} ∈ V) ∧ (𝐴 No ∧ {𝑥} ⊆ No ∧ ∀𝑦𝐴𝑧 ∈ {𝑥}𝑦 <s 𝑧)) ↔ (((𝐴 ∈ V ∧ {𝑥} ∈ V) ∧ (𝐴 No ∧ {𝑥} ⊆ No )) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧 ∈ {𝑥}𝑦 <s 𝑧))
118, 10bitri 266 . . . . 5 (𝐴 <<s {𝑥} ↔ (((𝐴 ∈ V ∧ {𝑥} ∈ V) ∧ (𝐴 No ∧ {𝑥} ⊆ No )) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧 ∈ {𝑥}𝑦 <s 𝑧))
122adantr 468 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 <<s 𝐵𝑥 No ) → 𝐴 ∈ V)
13 snex 5098 . . . . . . . . . 10 {𝑥} ∈ V
1412, 13jctir 512 . . . . . . . . 9 ((𝐴 <<s 𝐵𝑥 No ) → (𝐴 ∈ V ∧ {𝑥} ∈ V))
151adantr 468 . . . . . . . . 9 ((𝐴 <<s 𝐵𝑥 No ) → 𝐴 No )
16 snssi 4529 . . . . . . . . . 10 (𝑥 No → {𝑥} ⊆ No )
1716adantl 469 . . . . . . . . 9 ((𝐴 <<s 𝐵𝑥 No ) → {𝑥} ⊆ No )
1814, 15, 17jca32 507 . . . . . . . 8 ((𝐴 <<s 𝐵𝑥 No ) → ((𝐴 ∈ V ∧ {𝑥} ∈ V) ∧ (𝐴 No ∧ {𝑥} ⊆ No )))
1918biantrurd 524 . . . . . . 7 ((𝐴 <<s 𝐵𝑥 No ) → (∀𝑦𝐴𝑧 ∈ {𝑥}𝑦 <s 𝑧 ↔ (((𝐴 ∈ V ∧ {𝑥} ∈ V) ∧ (𝐴 No ∧ {𝑥} ⊆ No )) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧 ∈ {𝑥}𝑦 <s 𝑧)))
2019bicomd 214 . . . . . 6 ((𝐴 <<s 𝐵𝑥 No ) → ((((𝐴 ∈ V ∧ {𝑥} ∈ V) ∧ (𝐴 No ∧ {𝑥} ⊆ No )) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧 ∈ {𝑥}𝑦 <s 𝑧) ↔ ∀𝑦𝐴𝑧 ∈ {𝑥}𝑦 <s 𝑧))
21 vex 3394 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ V
22 breq2 4848 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑥 → (𝑦 <s 𝑧𝑦 <s 𝑥))
2321, 22ralsn 4415 . . . . . . 7 (∀𝑧 ∈ {𝑥}𝑦 <s 𝑧𝑦 <s 𝑥)
2423ralbii 3168 . . . . . 6 (∀𝑦𝐴𝑧 ∈ {𝑥}𝑦 <s 𝑧 ↔ ∀𝑦𝐴 𝑦 <s 𝑥)
2520, 24syl6bb 278 . . . . 5 ((𝐴 <<s 𝐵𝑥 No ) → ((((𝐴 ∈ V ∧ {𝑥} ∈ V) ∧ (𝐴 No ∧ {𝑥} ⊆ No )) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧 ∈ {𝑥}𝑦 <s 𝑧) ↔ ∀𝑦𝐴 𝑦 <s 𝑥))
2611, 25syl5bb 274 . . . 4 ((𝐴 <<s 𝐵𝑥 No ) → (𝐴 <<s {𝑥} ↔ ∀𝑦𝐴 𝑦 <s 𝑥))
27 brsslt 32216 . . . . . . 7 ({𝑥} <<s 𝐵 ↔ (({𝑥} ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ ({𝑥} ⊆ No 𝐵 No ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑥}∀𝑧𝐵 𝑦 <s 𝑧)))
28 df-3an 1102 . . . . . . . 8 (({𝑥} ⊆ No 𝐵 No ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑥}∀𝑧𝐵 𝑦 <s 𝑧) ↔ (({𝑥} ⊆ No 𝐵 No ) ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑥}∀𝑧𝐵 𝑦 <s 𝑧))
2928bianass 625 . . . . . . 7 ((({𝑥} ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ ({𝑥} ⊆ No 𝐵 No ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑥}∀𝑧𝐵 𝑦 <s 𝑧)) ↔ ((({𝑥} ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ ({𝑥} ⊆ No 𝐵 No )) ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑥}∀𝑧𝐵 𝑦 <s 𝑧))
3027, 29bitri 266 . . . . . 6 ({𝑥} <<s 𝐵 ↔ ((({𝑥} ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ ({𝑥} ⊆ No 𝐵 No )) ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑥}∀𝑧𝐵 𝑦 <s 𝑧))
314adantr 468 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 <<s 𝐵𝑥 No ) → 𝐵 ∈ V)
3231, 13jctil 511 . . . . . . . . 9 ((𝐴 <<s 𝐵𝑥 No ) → ({𝑥} ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
333adantr 468 . . . . . . . . 9 ((𝐴 <<s 𝐵𝑥 No ) → 𝐵 No )
3432, 17, 33jca32 507 . . . . . . . 8 ((𝐴 <<s 𝐵𝑥 No ) → (({𝑥} ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ ({𝑥} ⊆ No 𝐵 No )))
3534biantrurd 524 . . . . . . 7 ((𝐴 <<s 𝐵𝑥 No ) → (∀𝑦 ∈ {𝑥}∀𝑧𝐵 𝑦 <s 𝑧 ↔ ((({𝑥} ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ ({𝑥} ⊆ No 𝐵 No )) ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑥}∀𝑧𝐵 𝑦 <s 𝑧)))
3635bicomd 214 . . . . . 6 ((𝐴 <<s 𝐵𝑥 No ) → (((({𝑥} ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ ({𝑥} ⊆ No 𝐵 No )) ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑥}∀𝑧𝐵 𝑦 <s 𝑧) ↔ ∀𝑦 ∈ {𝑥}∀𝑧𝐵 𝑦 <s 𝑧))
3730, 36syl5bb 274 . . . . 5 ((𝐴 <<s 𝐵𝑥 No ) → ({𝑥} <<s 𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ {𝑥}∀𝑧𝐵 𝑦 <s 𝑧))
38 breq1 4847 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 <s 𝑧𝑥 <s 𝑧))
3938ralbidv 3174 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (∀𝑧𝐵 𝑦 <s 𝑧 ↔ ∀𝑧𝐵 𝑥 <s 𝑧))
4021, 39ralsn 4415 . . . . 5 (∀𝑦 ∈ {𝑥}∀𝑧𝐵 𝑦 <s 𝑧 ↔ ∀𝑧𝐵 𝑥 <s 𝑧)
4137, 40syl6bb 278 . . . 4 ((𝐴 <<s 𝐵𝑥 No ) → ({𝑥} <<s 𝐵 ↔ ∀𝑧𝐵 𝑥 <s 𝑧))
4226, 413anbi12d 1554 . . 3 ((𝐴 <<s 𝐵𝑥 No ) → ((𝐴 <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s 𝐵 ∧ ( bday 𝑥) ⊆ suc ( bday “ (𝐴𝐵))) ↔ (∀𝑦𝐴 𝑦 <s 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 𝑥 <s 𝑧 ∧ ( bday 𝑥) ⊆ suc ( bday “ (𝐴𝐵)))))
4342rexbidva 3237 . 2 (𝐴 <<s 𝐵 → (∃𝑥 No (𝐴 <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s 𝐵 ∧ ( bday 𝑥) ⊆ suc ( bday “ (𝐴𝐵))) ↔ ∃𝑥 No (∀𝑦𝐴 𝑦 <s 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 𝑥 <s 𝑧 ∧ ( bday 𝑥) ⊆ suc ( bday “ (𝐴𝐵)))))
447, 43mpbird 248 1 (𝐴 <<s 𝐵 → ∃𝑥 No (𝐴 <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s 𝐵 ∧ ( bday 𝑥) ⊆ suc ( bday “ (𝐴𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1100  wcel 2156  wral 3096  wrex 3097  Vcvv 3391  cun 3767  wss 3769  {csn 4370   cuni 4630   class class class wbr 4844  cima 5314  suc csuc 5938  cfv 6097   No csur 32109   <s cslt 32110   bday cbday 32111   <<s csslt 32212
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7175
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-int 4670  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-ord 5939  df-on 5940  df-suc 5942  df-iota 6060  df-fun 6099  df-fn 6100  df-f 6101  df-f1 6102  df-fo 6103  df-f1o 6104  df-fv 6105  df-riota 6831  df-1o 7792  df-2o 7793  df-no 32112  df-slt 32113  df-bday 32114  df-sslt 32213
This theorem is referenced by:  scutbdaybnd  32237
  Copyright terms: Public domain W3C validator