MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  etasslt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etasslt 27858
Description: A restatement of noeta 27788 using set less-than. (Contributed by Scott Fenton, 10-Aug-2024.)
Assertion
Ref Expression
etasslt ((𝐴 <<s 𝐵𝑂 ∈ On ∧ ( bday “ (𝐴𝐵)) ⊆ 𝑂) → ∃𝑥 No (𝐴 <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s 𝐵 ∧ ( bday 𝑥) ⊆ 𝑂))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑂

Proof of Theorem etasslt
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssltss1 27833 . . . . . 6 (𝐴 <<s 𝐵𝐴 No )
2 ssltex1 27831 . . . . . 6 (𝐴 <<s 𝐵𝐴 ∈ V)
31, 2jca 511 . . . . 5 (𝐴 <<s 𝐵 → (𝐴 No 𝐴 ∈ V))
4 ssltss2 27834 . . . . . 6 (𝐴 <<s 𝐵𝐵 No )
5 ssltex2 27832 . . . . . 6 (𝐴 <<s 𝐵𝐵 ∈ V)
64, 5jca 511 . . . . 5 (𝐴 <<s 𝐵 → (𝐵 No 𝐵 ∈ V))
7 ssltsep 27835 . . . . 5 (𝐴 <<s 𝐵 → ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 𝑦 <s 𝑧)
83, 6, 73jca 1129 . . . 4 (𝐴 <<s 𝐵 → ((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 𝑦 <s 𝑧))
983ad2ant1 1134 . . 3 ((𝐴 <<s 𝐵𝑂 ∈ On ∧ ( bday “ (𝐴𝐵)) ⊆ 𝑂) → ((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 𝑦 <s 𝑧))
10 3simpc 1151 . . 3 ((𝐴 <<s 𝐵𝑂 ∈ On ∧ ( bday “ (𝐴𝐵)) ⊆ 𝑂) → (𝑂 ∈ On ∧ ( bday “ (𝐴𝐵)) ⊆ 𝑂))
11 noeta 27788 . . 3 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 𝑦 <s 𝑧) ∧ (𝑂 ∈ On ∧ ( bday “ (𝐴𝐵)) ⊆ 𝑂)) → ∃𝑥 No (∀𝑦𝐴 𝑦 <s 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 𝑥 <s 𝑧 ∧ ( bday 𝑥) ⊆ 𝑂))
129, 10, 11syl2anc 584 . 2 ((𝐴 <<s 𝐵𝑂 ∈ On ∧ ( bday “ (𝐴𝐵)) ⊆ 𝑂) → ∃𝑥 No (∀𝑦𝐴 𝑦 <s 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 𝑥 <s 𝑧 ∧ ( bday 𝑥) ⊆ 𝑂))
132ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝐴 <<s 𝐵𝑂 ∈ On) ∧ (𝑥 No ∧ (∀𝑦𝐴 𝑦 <s 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 𝑥 <s 𝑧 ∧ ( bday 𝑥) ⊆ 𝑂))) → 𝐴 ∈ V)
14 vsnex 5434 . . . . . . . 8 {𝑥} ∈ V
1513, 14jctir 520 . . . . . . 7 (((𝐴 <<s 𝐵𝑂 ∈ On) ∧ (𝑥 No ∧ (∀𝑦𝐴 𝑦 <s 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 𝑥 <s 𝑧 ∧ ( bday 𝑥) ⊆ 𝑂))) → (𝐴 ∈ V ∧ {𝑥} ∈ V))
161ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝐴 <<s 𝐵𝑂 ∈ On) ∧ (𝑥 No ∧ (∀𝑦𝐴 𝑦 <s 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 𝑥 <s 𝑧 ∧ ( bday 𝑥) ⊆ 𝑂))) → 𝐴 No )
17 snssi 4808 . . . . . . . . 9 (𝑥 No → {𝑥} ⊆ No )
1817ad2antrl 728 . . . . . . . 8 (((𝐴 <<s 𝐵𝑂 ∈ On) ∧ (𝑥 No ∧ (∀𝑦𝐴 𝑦 <s 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 𝑥 <s 𝑧 ∧ ( bday 𝑥) ⊆ 𝑂))) → {𝑥} ⊆ No )
19 simprr1 1222 . . . . . . . . 9 (((𝐴 <<s 𝐵𝑂 ∈ On) ∧ (𝑥 No ∧ (∀𝑦𝐴 𝑦 <s 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 𝑥 <s 𝑧 ∧ ( bday 𝑥) ⊆ 𝑂))) → ∀𝑦𝐴 𝑦 <s 𝑥)
20 vex 3484 . . . . . . . . . . 11 𝑥 ∈ V
21 breq2 5147 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑥 → (𝑦 <s 𝑧𝑦 <s 𝑥))
2220, 21ralsn 4681 . . . . . . . . . 10 (∀𝑧 ∈ {𝑥}𝑦 <s 𝑧𝑦 <s 𝑥)
2322ralbii 3093 . . . . . . . . 9 (∀𝑦𝐴𝑧 ∈ {𝑥}𝑦 <s 𝑧 ↔ ∀𝑦𝐴 𝑦 <s 𝑥)
2419, 23sylibr 234 . . . . . . . 8 (((𝐴 <<s 𝐵𝑂 ∈ On) ∧ (𝑥 No ∧ (∀𝑦𝐴 𝑦 <s 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 𝑥 <s 𝑧 ∧ ( bday 𝑥) ⊆ 𝑂))) → ∀𝑦𝐴𝑧 ∈ {𝑥}𝑦 <s 𝑧)
2516, 18, 243jca 1129 . . . . . . 7 (((𝐴 <<s 𝐵𝑂 ∈ On) ∧ (𝑥 No ∧ (∀𝑦𝐴 𝑦 <s 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 𝑥 <s 𝑧 ∧ ( bday 𝑥) ⊆ 𝑂))) → (𝐴 No ∧ {𝑥} ⊆ No ∧ ∀𝑦𝐴𝑧 ∈ {𝑥}𝑦 <s 𝑧))
26 brsslt 27830 . . . . . . 7 (𝐴 <<s {𝑥} ↔ ((𝐴 ∈ V ∧ {𝑥} ∈ V) ∧ (𝐴 No ∧ {𝑥} ⊆ No ∧ ∀𝑦𝐴𝑧 ∈ {𝑥}𝑦 <s 𝑧)))
2715, 25, 26sylanbrc 583 . . . . . 6 (((𝐴 <<s 𝐵𝑂 ∈ On) ∧ (𝑥 No ∧ (∀𝑦𝐴 𝑦 <s 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 𝑥 <s 𝑧 ∧ ( bday 𝑥) ⊆ 𝑂))) → 𝐴 <<s {𝑥})
285ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝐴 <<s 𝐵𝑂 ∈ On) ∧ (𝑥 No ∧ (∀𝑦𝐴 𝑦 <s 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 𝑥 <s 𝑧 ∧ ( bday 𝑥) ⊆ 𝑂))) → 𝐵 ∈ V)
2928, 14jctil 519 . . . . . . 7 (((𝐴 <<s 𝐵𝑂 ∈ On) ∧ (𝑥 No ∧ (∀𝑦𝐴 𝑦 <s 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 𝑥 <s 𝑧 ∧ ( bday 𝑥) ⊆ 𝑂))) → ({𝑥} ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
304ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝐴 <<s 𝐵𝑂 ∈ On) ∧ (𝑥 No ∧ (∀𝑦𝐴 𝑦 <s 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 𝑥 <s 𝑧 ∧ ( bday 𝑥) ⊆ 𝑂))) → 𝐵 No )
31 simprr2 1223 . . . . . . . . 9 (((𝐴 <<s 𝐵𝑂 ∈ On) ∧ (𝑥 No ∧ (∀𝑦𝐴 𝑦 <s 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 𝑥 <s 𝑧 ∧ ( bday 𝑥) ⊆ 𝑂))) → ∀𝑧𝐵 𝑥 <s 𝑧)
32 breq1 5146 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 <s 𝑧𝑥 <s 𝑧))
3332ralbidv 3178 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑥 → (∀𝑧𝐵 𝑦 <s 𝑧 ↔ ∀𝑧𝐵 𝑥 <s 𝑧))
3420, 33ralsn 4681 . . . . . . . . 9 (∀𝑦 ∈ {𝑥}∀𝑧𝐵 𝑦 <s 𝑧 ↔ ∀𝑧𝐵 𝑥 <s 𝑧)
3531, 34sylibr 234 . . . . . . . 8 (((𝐴 <<s 𝐵𝑂 ∈ On) ∧ (𝑥 No ∧ (∀𝑦𝐴 𝑦 <s 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 𝑥 <s 𝑧 ∧ ( bday 𝑥) ⊆ 𝑂))) → ∀𝑦 ∈ {𝑥}∀𝑧𝐵 𝑦 <s 𝑧)
3618, 30, 353jca 1129 . . . . . . 7 (((𝐴 <<s 𝐵𝑂 ∈ On) ∧ (𝑥 No ∧ (∀𝑦𝐴 𝑦 <s 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 𝑥 <s 𝑧 ∧ ( bday 𝑥) ⊆ 𝑂))) → ({𝑥} ⊆ No 𝐵 No ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑥}∀𝑧𝐵 𝑦 <s 𝑧))
37 brsslt 27830 . . . . . . 7 ({𝑥} <<s 𝐵 ↔ (({𝑥} ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ ({𝑥} ⊆ No 𝐵 No ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑥}∀𝑧𝐵 𝑦 <s 𝑧)))
3829, 36, 37sylanbrc 583 . . . . . 6 (((𝐴 <<s 𝐵𝑂 ∈ On) ∧ (𝑥 No ∧ (∀𝑦𝐴 𝑦 <s 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 𝑥 <s 𝑧 ∧ ( bday 𝑥) ⊆ 𝑂))) → {𝑥} <<s 𝐵)
39 simprr3 1224 . . . . . 6 (((𝐴 <<s 𝐵𝑂 ∈ On) ∧ (𝑥 No ∧ (∀𝑦𝐴 𝑦 <s 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 𝑥 <s 𝑧 ∧ ( bday 𝑥) ⊆ 𝑂))) → ( bday 𝑥) ⊆ 𝑂)
4027, 38, 393jca 1129 . . . . 5 (((𝐴 <<s 𝐵𝑂 ∈ On) ∧ (𝑥 No ∧ (∀𝑦𝐴 𝑦 <s 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 𝑥 <s 𝑧 ∧ ( bday 𝑥) ⊆ 𝑂))) → (𝐴 <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s 𝐵 ∧ ( bday 𝑥) ⊆ 𝑂))
4140expr 456 . . . 4 (((𝐴 <<s 𝐵𝑂 ∈ On) ∧ 𝑥 No ) → ((∀𝑦𝐴 𝑦 <s 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 𝑥 <s 𝑧 ∧ ( bday 𝑥) ⊆ 𝑂) → (𝐴 <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s 𝐵 ∧ ( bday 𝑥) ⊆ 𝑂)))
4241reximdva 3168 . . 3 ((𝐴 <<s 𝐵𝑂 ∈ On) → (∃𝑥 No (∀𝑦𝐴 𝑦 <s 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 𝑥 <s 𝑧 ∧ ( bday 𝑥) ⊆ 𝑂) → ∃𝑥 No (𝐴 <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s 𝐵 ∧ ( bday 𝑥) ⊆ 𝑂)))
43423adant3 1133 . 2 ((𝐴 <<s 𝐵𝑂 ∈ On ∧ ( bday “ (𝐴𝐵)) ⊆ 𝑂) → (∃𝑥 No (∀𝑦𝐴 𝑦 <s 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 𝑥 <s 𝑧 ∧ ( bday 𝑥) ⊆ 𝑂) → ∃𝑥 No (𝐴 <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s 𝐵 ∧ ( bday 𝑥) ⊆ 𝑂)))
4412, 43mpd 15 1 ((𝐴 <<s 𝐵𝑂 ∈ On ∧ ( bday “ (𝐴𝐵)) ⊆ 𝑂) → ∃𝑥 No (𝐴 <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s 𝐵 ∧ ( bday 𝑥) ⊆ 𝑂))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3480  cun 3949  wss 3951  {csn 4626   class class class wbr 5143  cima 5688  Oncon0 6384  cfv 6561   No csur 27684   <s cslt 27685   bday cbday 27686   <<s csslt 27825
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-1o 8506  df-2o 8507  df-no 27687  df-slt 27688  df-bday 27689  df-sslt 27826
This theorem is referenced by:  etasslt2  27859  scutbdaybnd  27860
  Copyright terms: Public domain W3C validator