MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgsegconeq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgsegconeq 27775
Description: Two points that satisfy the conclusion of axtgsegcon 27753 are identical. Uniqueness portion of Theorem 2.12 of [Schwabhauser] p. 29. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tkgeom.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
tkgeom.d βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
tkgeom.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
tkgeom.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
tgcgrextend.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
tgcgrextend.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
tgcgrextend.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
tgcgrextend.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
tgcgrextend.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
tgcgrextend.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
tgsegconeq.1 (πœ‘ β†’ 𝐷 β‰  𝐴)
tgsegconeq.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐸))
tgsegconeq.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
tgsegconeq.4 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐸) = (𝐡 βˆ’ 𝐢))
tgsegconeq.5 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐹) = (𝐡 βˆ’ 𝐢))
Assertion
Ref Expression
tgsegconeq (πœ‘ β†’ 𝐸 = 𝐹)

Proof of Theorem tgsegconeq
StepHypRef Expression
1 tkgeom.p . 2 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
2 tkgeom.d . 2 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
3 tkgeom.i . 2 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
4 tkgeom.g . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
5 tgcgrextend.e . 2 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
6 tgcgrextend.f . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
7 tgcgrextend.d . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
8 tgcgrextend.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
9 tgsegconeq.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 β‰  𝐴)
10 tgsegconeq.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐸))
11 eqidd 2733 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐷 βˆ’ 𝐴) = (𝐷 βˆ’ 𝐴))
12 eqidd 2733 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐸) = (𝐴 βˆ’ 𝐸))
13 tgsegconeq.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
14 tgsegconeq.4 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐸) = (𝐡 βˆ’ 𝐢))
15 tgsegconeq.5 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐹) = (𝐡 βˆ’ 𝐢))
1614, 15eqtr4d 2775 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐸) = (𝐴 βˆ’ 𝐹))
171, 2, 3, 4, 7, 8, 5, 7, 8, 6, 10, 13, 11, 16tgcgrextend 27774 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐷 βˆ’ 𝐸) = (𝐷 βˆ’ 𝐹))
181, 2, 3, 4, 7, 8, 5, 7, 8, 5, 5, 6, 9, 10, 10, 11, 12, 17, 16axtg5seg 27754 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐸 βˆ’ 𝐸) = (𝐸 βˆ’ 𝐹))
1918eqcomd 2738 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐸 βˆ’ 𝐹) = (𝐸 βˆ’ 𝐸))
201, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 19axtgcgrid 27752 1 (πœ‘ β†’ 𝐸 = 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Basecbs 17146  distcds 17208  TarskiGcstrkg 27716  Itvcitv 27722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2703  ax-nul 5306
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-iota 6495  df-fv 6551  df-ov 7414  df-trkgc 27737  df-trkgcb 27739  df-trkg 27742
This theorem is referenced by:  tgbtwnouttr2  27784  tgcgrxfr  27807  tgbtwnconn1lem1  27861  hlcgreulem  27906  mirreu3  27943
  Copyright terms: Public domain W3C validator