Theorem mirreu3 28800

Description: Existential uniqueness of the mirror point. Theorem 7.8 of [Schwabhauser] p. 49. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mirreu.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirreu.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
mirreu.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirreu.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
mirreu.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
mirreu.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
mirreu3	⊢ (𝜑 → ∃!𝑏 ∈ 𝑃 ((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)))

Distinct variable groups:   − ,𝑏   𝐴,𝑏   𝐼,𝑏   𝑀,𝑏   𝑃,𝑏   𝜑,𝑏

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑏)

Proof of Theorem mirreu3

Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mirreu.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
2	1	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) → 𝐴 ∈ 𝑃)
3		eqidd 2762	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) → (𝑀 − 𝐴) = (𝑀 − 𝐴))
4		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) → 𝐴 = 𝑀)
5		mirreu.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
6		mirreu.d	. . . . . . 7 ⊢ − = (dist‘𝐺)
7		mirreu.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
8		mirreu.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
9	8	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) → 𝐺 ∈ TarskiG)
10	5, 6, 7, 9, 2, 2	tgbtwntriv2 28633	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) → 𝐴 ∈ (𝐴𝐼𝐴))
11	4, 10	eqeltrrd 2862	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) → 𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝐴))
12		oveq2 7400	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → (𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴))
13	12	eqeq1d 2763	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → ((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ↔ (𝑀 − 𝐴) = (𝑀 − 𝐴)))
14		oveq1 7399	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → (𝑏𝐼𝐴) = (𝐴𝐼𝐴))
15	14	eleq2d 2847	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → (𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴) ↔ 𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝐴)))
16	13, 15	anbi12d 641	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ↔ ((𝑀 − 𝐴) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝐴))))
17	16	rspcev 3581	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑀 − 𝐴) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝐴))) → ∃𝑏 ∈ 𝑃 ((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)))
18	2, 3, 11, 17	syl12anc 847	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) → ∃𝑏 ∈ 𝑃 ((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)))
19	8	ad3antrrr 740	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
20		mirreu.m	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑃)
21	20	ad3antrrr 740	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑀 ∈ 𝑃)
22		simplrl 786	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑏 ∈ 𝑃)
23		simprll 788	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → (𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴))
24		simpllr 785	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝐴 = 𝑀)
25	24	oveq2d 7408	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → (𝑀 − 𝐴) = (𝑀 − 𝑀))
26	23, 25	eqtrd 2796	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → (𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝑀))
27	5, 6, 7, 19, 21, 22, 21, 26	axtgcgrid 28609	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑀 = 𝑏)
28		simplrr 787	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑐 ∈ 𝑃)
29		simprrl 790	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → (𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴))
30	29, 25	eqtrd 2796	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → (𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝑀))
31	5, 6, 7, 19, 21, 28, 21, 30	axtgcgrid 28609	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑀 = 𝑐)
32	27, 31	eqtr3d 2798	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑏 = 𝑐)
33	32	ex 416	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) → ((((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴))) → 𝑏 = 𝑐))
34	33	ralrimivva 3204	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) → ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ((((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴))) → 𝑏 = 𝑐))
35	18, 34	jca 519	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) → (∃𝑏 ∈ 𝑃 ((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ((((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴))) → 𝑏 = 𝑐)))
36	8	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑀) → 𝐺 ∈ TarskiG)
37	1	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑀) → 𝐴 ∈ 𝑃)
38	20	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑀) → 𝑀 ∈ 𝑃)
39	5, 6, 7, 36, 37, 38, 38, 37	axtgsegcon 28610	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑀) → ∃𝑏 ∈ 𝑃 (𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝑏) ∧ (𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴)))
40		ancom 464	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝑏) ∧ (𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴)) ↔ ((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝑏)))
41	8	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) → 𝐺 ∈ TarskiG)
42	1	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) → 𝐴 ∈ 𝑃)
43	20	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) → 𝑀 ∈ 𝑃)
44		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) → 𝑏 ∈ 𝑃)
45	5, 6, 7, 41, 42, 43, 44	tgbtwncomb 28635	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) → (𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝑏) ↔ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)))
46	45	anbi2d 639	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) → (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝑏)) ↔ ((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴))))
47	40, 46	bitrid 285	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) → ((𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝑏) ∧ (𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴)) ↔ ((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴))))
48	47	rexbidva 3183	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑏 ∈ 𝑃 (𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝑏) ∧ (𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴)) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑃 ((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴))))
49	48	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑀) → (∃𝑏 ∈ 𝑃 (𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝑏) ∧ (𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴)) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑃 ((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴))))
50	39, 49	mpbid 234	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑀) → ∃𝑏 ∈ 𝑃 ((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)))
51	8	ad3antrrr 740	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
52	20	ad3antrrr 740	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑀 ∈ 𝑃)
53	1	ad3antrrr 740	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
54		simplrl 786	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑏 ∈ 𝑃)
55		simplrr 787	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑐 ∈ 𝑃)
56		simpllr 785	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝐴 ≠ 𝑀)
57		simprlr 789	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴))
58	5, 6, 7, 51, 54, 52, 53, 57	tgbtwncom 28634	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝑏))
59		simprrr 791	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴))
60	5, 6, 7, 51, 55, 52, 53, 59	tgbtwncom 28634	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝑐))
61		simprll 788	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → (𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴))
62		simprrl 790	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → (𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴))
63	5, 6, 7, 51, 52, 52, 53, 53, 54, 55, 56, 58, 60, 61, 62	tgsegconeq 28632	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑏 = 𝑐)
64	63	ex 416	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) → ((((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴))) → 𝑏 = 𝑐))
65	64	ralrimivva 3204	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑀) → ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ((((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴))) → 𝑏 = 𝑐))
66	50, 65	jca 519	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑀) → (∃𝑏 ∈ 𝑃 ((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ((((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴))) → 𝑏 = 𝑐)))
67	35, 66	pm2.61dane 3043	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑏 ∈ 𝑃 ((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ((((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴))) → 𝑏 = 𝑐)))
68		oveq2 7400	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → (𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝑐))
69	68	eqeq1d 2763	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → ((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ↔ (𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴)))
70		oveq1 7399	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → (𝑏𝐼𝐴) = (𝑐𝐼𝐴))
71	70	eleq2d 2847	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → (𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴) ↔ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))
72	69, 71	anbi12d 641	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ↔ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴))))
73	72	reu4 3693	. 2 ⊢ (∃!𝑏 ∈ 𝑃 ((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ↔ (∃𝑏 ∈ 𝑃 ((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ((((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴))) → 𝑏 = 𝑐)))
74	67, 73	sylibr 236	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑏 ∈ 𝑃 ((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∀wral 3075  ∃wrex 3085  ∃!wreu 3364  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  Basecbs 17228  distcds 17278  TarskiGcstrkg 28573  Itvcitv 28579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-ext 2733  ax-nul 5255

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-iota 6473  df-fv 6525  df-ov 7395  df-trkgc 28594  df-trkgb 28595  df-trkgcb 28596  df-trkg 28599

This theorem is referenced by:  mircgr  28803  mirbtwn  28804  ismir  28805  mirf  28806  mireq  28811