Theorem mirreu3 28677

Description: Existential uniqueness of the mirror point. Theorem 7.8 of [Schwabhauser] p. 49. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mirreu.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirreu.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
mirreu.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirreu.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
mirreu.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
mirreu.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
mirreu3	⊢ (𝜑 → ∃!𝑏 ∈ 𝑃 ((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)))

Distinct variable groups:   − ,𝑏   𝐴,𝑏   𝐼,𝑏   𝑀,𝑏   𝑃,𝑏   𝜑,𝑏

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑏)

Proof of Theorem mirreu3

Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mirreu.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
2	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) → 𝐴 ∈ 𝑃)
3		eqidd 2736	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) → (𝑀 − 𝐴) = (𝑀 − 𝐴))
4		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) → 𝐴 = 𝑀)
5		mirreu.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
6		mirreu.d	. . . . . . 7 ⊢ − = (dist‘𝐺)
7		mirreu.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
8		mirreu.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
9	8	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) → 𝐺 ∈ TarskiG)
10	5, 6, 7, 9, 2, 2	tgbtwntriv2 28510	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) → 𝐴 ∈ (𝐴𝐼𝐴))
11	4, 10	eqeltrrd 2840	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) → 𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝐴))
12		oveq2 7439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → (𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴))
13	12	eqeq1d 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → ((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ↔ (𝑀 − 𝐴) = (𝑀 − 𝐴)))
14		oveq1 7438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → (𝑏𝐼𝐴) = (𝐴𝐼𝐴))
15	14	eleq2d 2825	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → (𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴) ↔ 𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝐴)))
16	13, 15	anbi12d 632	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ↔ ((𝑀 − 𝐴) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝐴))))
17	16	rspcev 3622	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑀 − 𝐴) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝐴))) → ∃𝑏 ∈ 𝑃 ((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)))
18	2, 3, 11, 17	syl12anc 837	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) → ∃𝑏 ∈ 𝑃 ((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)))
19	8	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
20		mirreu.m	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑃)
21	20	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑀 ∈ 𝑃)
22		simplrl 777	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑏 ∈ 𝑃)
23		simprll 779	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → (𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴))
24		simpllr 776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝐴 = 𝑀)
25	24	oveq2d 7447	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → (𝑀 − 𝐴) = (𝑀 − 𝑀))
26	23, 25	eqtrd 2775	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → (𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝑀))
27	5, 6, 7, 19, 21, 22, 21, 26	axtgcgrid 28486	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑀 = 𝑏)
28		simplrr 778	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑐 ∈ 𝑃)
29		simprrl 781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → (𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴))
30	29, 25	eqtrd 2775	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → (𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝑀))
31	5, 6, 7, 19, 21, 28, 21, 30	axtgcgrid 28486	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑀 = 𝑐)
32	27, 31	eqtr3d 2777	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑏 = 𝑐)
33	32	ex 412	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) → ((((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴))) → 𝑏 = 𝑐))
34	33	ralrimivva 3200	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) → ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ((((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴))) → 𝑏 = 𝑐))
35	18, 34	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) → (∃𝑏 ∈ 𝑃 ((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ((((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴))) → 𝑏 = 𝑐)))
36	8	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑀) → 𝐺 ∈ TarskiG)
37	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑀) → 𝐴 ∈ 𝑃)
38	20	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑀) → 𝑀 ∈ 𝑃)
39	5, 6, 7, 36, 37, 38, 38, 37	axtgsegcon 28487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑀) → ∃𝑏 ∈ 𝑃 (𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝑏) ∧ (𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴)))
40		ancom 460	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝑏) ∧ (𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴)) ↔ ((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝑏)))
41	8	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) → 𝐺 ∈ TarskiG)
42	1	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) → 𝐴 ∈ 𝑃)
43	20	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) → 𝑀 ∈ 𝑃)
44		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) → 𝑏 ∈ 𝑃)
45	5, 6, 7, 41, 42, 43, 44	tgbtwncomb 28512	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) → (𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝑏) ↔ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)))
46	45	anbi2d 630	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) → (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝑏)) ↔ ((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴))))
47	40, 46	bitrid 283	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) → ((𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝑏) ∧ (𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴)) ↔ ((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴))))
48	47	rexbidva 3175	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑏 ∈ 𝑃 (𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝑏) ∧ (𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴)) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑃 ((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴))))
49	48	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑀) → (∃𝑏 ∈ 𝑃 (𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝑏) ∧ (𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴)) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑃 ((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴))))
50	39, 49	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑀) → ∃𝑏 ∈ 𝑃 ((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)))
51	8	ad3antrrr 730	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
52	20	ad3antrrr 730	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑀 ∈ 𝑃)
53	1	ad3antrrr 730	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
54		simplrl 777	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑏 ∈ 𝑃)
55		simplrr 778	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑐 ∈ 𝑃)
56		simpllr 776	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝐴 ≠ 𝑀)
57		simprlr 780	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴))
58	5, 6, 7, 51, 54, 52, 53, 57	tgbtwncom 28511	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝑏))
59		simprrr 782	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴))
60	5, 6, 7, 51, 55, 52, 53, 59	tgbtwncom 28511	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝑐))
61		simprll 779	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → (𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴))
62		simprrl 781	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → (𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴))
63	5, 6, 7, 51, 52, 52, 53, 53, 54, 55, 56, 58, 60, 61, 62	tgsegconeq 28509	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑏 = 𝑐)
64	63	ex 412	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) → ((((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴))) → 𝑏 = 𝑐))
65	64	ralrimivva 3200	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑀) → ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ((((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴))) → 𝑏 = 𝑐))
66	50, 65	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑀) → (∃𝑏 ∈ 𝑃 ((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ((((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴))) → 𝑏 = 𝑐)))
67	35, 66	pm2.61dane 3027	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑏 ∈ 𝑃 ((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ((((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴))) → 𝑏 = 𝑐)))
68		oveq2 7439	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → (𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝑐))
69	68	eqeq1d 2737	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → ((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ↔ (𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴)))
70		oveq1 7438	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → (𝑏𝐼𝐴) = (𝑐𝐼𝐴))
71	70	eleq2d 2825	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → (𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴) ↔ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))
72	69, 71	anbi12d 632	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ↔ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴))))
73	72	reu4 3740	. 2 ⊢ (∃!𝑏 ∈ 𝑃 ((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ↔ (∃𝑏 ∈ 𝑃 ((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ((((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴))) → 𝑏 = 𝑐)))
74	67, 73	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑏 ∈ 𝑃 ((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∀wral 3059  ∃wrex 3068  ∃!wreu 3376  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  distcds 17307  TarskiGcstrkg 28450  Itvcitv 28456

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2706  ax-nul 5312

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-iota 6516  df-fv 6571  df-ov 7434  df-trkgc 28471  df-trkgb 28472  df-trkgcb 28473  df-trkg 28476

This theorem is referenced by:  mircgr  28680  mirbtwn  28681  ismir  28682  mirf  28683  mireq  28688