Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | mirreu.a |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃) |
2 | 1 | adantr 481 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) → 𝐴 ∈ 𝑃) |
3 | | eqidd 2739 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) → (𝑀 − 𝐴) = (𝑀 − 𝐴)) |
4 | | simpr 485 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) → 𝐴 = 𝑀) |
5 | | mirreu.p |
. . . . . . 7
⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺) |
6 | | mirreu.d |
. . . . . . 7
⊢ − =
(dist‘𝐺) |
7 | | mirreu.i |
. . . . . . 7
⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺) |
8 | | mirreu.g |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG) |
9 | 8 | adantr 481 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) → 𝐺 ∈ TarskiG) |
10 | 5, 6, 7, 9, 2, 2 | tgbtwntriv2 26848 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) → 𝐴 ∈ (𝐴𝐼𝐴)) |
11 | 4, 10 | eqeltrrd 2840 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) → 𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝐴)) |
12 | | oveq2 7283 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑏 = 𝐴 → (𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴)) |
13 | 12 | eqeq1d 2740 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑏 = 𝐴 → ((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ↔ (𝑀 − 𝐴) = (𝑀 − 𝐴))) |
14 | | oveq1 7282 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑏 = 𝐴 → (𝑏𝐼𝐴) = (𝐴𝐼𝐴)) |
15 | 14 | eleq2d 2824 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑏 = 𝐴 → (𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴) ↔ 𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝐴))) |
16 | 13, 15 | anbi12d 631 |
. . . . . 6
⊢ (𝑏 = 𝐴 → (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ↔ ((𝑀 − 𝐴) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝐴)))) |
17 | 16 | rspcev 3561 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑀 − 𝐴) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝐴))) → ∃𝑏 ∈ 𝑃 ((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴))) |
18 | 2, 3, 11, 17 | syl12anc 834 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) → ∃𝑏 ∈ 𝑃 ((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴))) |
19 | 8 | ad3antrrr 727 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝐺 ∈ TarskiG) |
20 | | mirreu.m |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑃) |
21 | 20 | ad3antrrr 727 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑀 ∈ 𝑃) |
22 | | simplrl 774 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑏 ∈ 𝑃) |
23 | | simprll 776 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → (𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴)) |
24 | | simpllr 773 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝐴 = 𝑀) |
25 | 24 | oveq2d 7291 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → (𝑀 − 𝐴) = (𝑀 − 𝑀)) |
26 | 23, 25 | eqtrd 2778 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → (𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝑀)) |
27 | 5, 6, 7, 19, 21, 22, 21, 26 | axtgcgrid 26824 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑀 = 𝑏) |
28 | | simplrr 775 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑐 ∈ 𝑃) |
29 | | simprrl 778 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → (𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴)) |
30 | 29, 25 | eqtrd 2778 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → (𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝑀)) |
31 | 5, 6, 7, 19, 21, 28, 21, 30 | axtgcgrid 26824 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑀 = 𝑐) |
32 | 27, 31 | eqtr3d 2780 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑏 = 𝑐) |
33 | 32 | ex 413 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) → ((((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴))) → 𝑏 = 𝑐)) |
34 | 33 | ralrimivva 3123 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) → ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ((((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴))) → 𝑏 = 𝑐)) |
35 | 18, 34 | jca 512 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝑀) → (∃𝑏 ∈ 𝑃 ((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ((((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴))) → 𝑏 = 𝑐))) |
36 | 8 | adantr 481 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑀) → 𝐺 ∈ TarskiG) |
37 | 1 | adantr 481 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑀) → 𝐴 ∈ 𝑃) |
38 | 20 | adantr 481 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑀) → 𝑀 ∈ 𝑃) |
39 | 5, 6, 7, 36, 37, 38, 38, 37 | axtgsegcon 26825 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑀) → ∃𝑏 ∈ 𝑃 (𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝑏) ∧ (𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴))) |
40 | | ancom 461 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝑏) ∧ (𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴)) ↔ ((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝑏))) |
41 | 8 | adantr 481 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) → 𝐺 ∈ TarskiG) |
42 | 1 | adantr 481 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) → 𝐴 ∈ 𝑃) |
43 | 20 | adantr 481 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) → 𝑀 ∈ 𝑃) |
44 | | simpr 485 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) → 𝑏 ∈ 𝑃) |
45 | 5, 6, 7, 41, 42, 43, 44 | tgbtwncomb 26850 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) → (𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝑏) ↔ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴))) |
46 | 45 | anbi2d 629 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) → (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝑏)) ↔ ((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)))) |
47 | 40, 46 | bitrid 282 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) → ((𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝑏) ∧ (𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴)) ↔ ((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)))) |
48 | 47 | rexbidva 3225 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (∃𝑏 ∈ 𝑃 (𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝑏) ∧ (𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴)) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑃 ((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)))) |
49 | 48 | adantr 481 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑀) → (∃𝑏 ∈ 𝑃 (𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝑏) ∧ (𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴)) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑃 ((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)))) |
50 | 39, 49 | mpbid 231 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑀) → ∃𝑏 ∈ 𝑃 ((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴))) |
51 | 8 | ad3antrrr 727 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝐺 ∈ TarskiG) |
52 | 20 | ad3antrrr 727 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑀 ∈ 𝑃) |
53 | 1 | ad3antrrr 727 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝐴 ∈ 𝑃) |
54 | | simplrl 774 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑏 ∈ 𝑃) |
55 | | simplrr 775 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑐 ∈ 𝑃) |
56 | | simpllr 773 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝐴 ≠ 𝑀) |
57 | | simprlr 777 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) |
58 | 5, 6, 7, 51, 54, 52, 53, 57 | tgbtwncom 26849 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝑏)) |
59 | | simprrr 779 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)) |
60 | 5, 6, 7, 51, 55, 52, 53, 59 | tgbtwncom 26849 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) |
61 | | simprll 776 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → (𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴)) |
62 | | simprrl 778 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → (𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴)) |
63 | 5, 6, 7, 51, 52, 52, 53, 53, 54, 55, 56, 58, 60, 61, 62 | tgsegconeq 26847 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) ∧ (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑏 = 𝑐) |
64 | 63 | ex 413 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑀) ∧ (𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃)) → ((((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴))) → 𝑏 = 𝑐)) |
65 | 64 | ralrimivva 3123 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑀) → ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ((((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴))) → 𝑏 = 𝑐)) |
66 | 50, 65 | jca 512 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑀) → (∃𝑏 ∈ 𝑃 ((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ((((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴))) → 𝑏 = 𝑐))) |
67 | 35, 66 | pm2.61dane 3032 |
. 2
⊢ (𝜑 → (∃𝑏 ∈ 𝑃 ((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ((((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴))) → 𝑏 = 𝑐))) |
68 | | oveq2 7283 |
. . . . 5
⊢ (𝑏 = 𝑐 → (𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝑐)) |
69 | 68 | eqeq1d 2740 |
. . . 4
⊢ (𝑏 = 𝑐 → ((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ↔ (𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴))) |
70 | | oveq1 7282 |
. . . . 5
⊢ (𝑏 = 𝑐 → (𝑏𝐼𝐴) = (𝑐𝐼𝐴)) |
71 | 70 | eleq2d 2824 |
. . . 4
⊢ (𝑏 = 𝑐 → (𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴) ↔ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴))) |
72 | 69, 71 | anbi12d 631 |
. . 3
⊢ (𝑏 = 𝑐 → (((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ↔ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) |
73 | 72 | reu4 3666 |
. 2
⊢
(∃!𝑏 ∈
𝑃 ((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ↔ (∃𝑏 ∈ 𝑃 ((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ((((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 − 𝑐) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴))) → 𝑏 = 𝑐))) |
74 | 67, 73 | sylibr 233 |
1
⊢ (𝜑 → ∃!𝑏 ∈ 𝑃 ((𝑀 − 𝑏) = (𝑀 − 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴))) |