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Theorem mirreu3 27015
Description: Existential uniqueness of the mirror point. Theorem 7.8 of [Schwabhauser] p. 49. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mirreu.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirreu.d = (dist‘𝐺)
mirreu.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirreu.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
mirreu.a (𝜑𝐴𝑃)
mirreu.m (𝜑𝑀𝑃)
Assertion
Ref Expression
mirreu3 (𝜑 → ∃!𝑏𝑃 ((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)))
Distinct variable groups:   ,𝑏   𝐴,𝑏   𝐼,𝑏   𝑀,𝑏   𝑃,𝑏   𝜑,𝑏
Allowed substitution hint:   𝐺(𝑏)

Proof of Theorem mirreu3
Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mirreu.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑃)
21adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = 𝑀) → 𝐴𝑃)
3 eqidd 2739 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = 𝑀) → (𝑀 𝐴) = (𝑀 𝐴))
4 simpr 485 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 = 𝑀) → 𝐴 = 𝑀)
5 mirreu.p . . . . . . 7 𝑃 = (Base‘𝐺)
6 mirreu.d . . . . . . 7 = (dist‘𝐺)
7 mirreu.i . . . . . . 7 𝐼 = (Itv‘𝐺)
8 mirreu.g . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
98adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 = 𝑀) → 𝐺 ∈ TarskiG)
105, 6, 7, 9, 2, 2tgbtwntriv2 26848 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 = 𝑀) → 𝐴 ∈ (𝐴𝐼𝐴))
114, 10eqeltrrd 2840 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = 𝑀) → 𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝐴))
12 oveq2 7283 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝐴 → (𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴))
1312eqeq1d 2740 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝐴 → ((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ↔ (𝑀 𝐴) = (𝑀 𝐴)))
14 oveq1 7282 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝐴 → (𝑏𝐼𝐴) = (𝐴𝐼𝐴))
1514eleq2d 2824 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝐴 → (𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴) ↔ 𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝐴)))
1613, 15anbi12d 631 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐴 → (((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ↔ ((𝑀 𝐴) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝐴))))
1716rspcev 3561 . . . . 5 ((𝐴𝑃 ∧ ((𝑀 𝐴) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝐴))) → ∃𝑏𝑃 ((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)))
182, 3, 11, 17syl12anc 834 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 𝑀) → ∃𝑏𝑃 ((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)))
198ad3antrrr 727 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏𝑃𝑐𝑃)) ∧ (((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
20 mirreu.m . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀𝑃)
2120ad3antrrr 727 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏𝑃𝑐𝑃)) ∧ (((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑀𝑃)
22 simplrl 774 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏𝑃𝑐𝑃)) ∧ (((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑏𝑃)
23 simprll 776 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏𝑃𝑐𝑃)) ∧ (((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → (𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴))
24 simpllr 773 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏𝑃𝑐𝑃)) ∧ (((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝐴 = 𝑀)
2524oveq2d 7291 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏𝑃𝑐𝑃)) ∧ (((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → (𝑀 𝐴) = (𝑀 𝑀))
2623, 25eqtrd 2778 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏𝑃𝑐𝑃)) ∧ (((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → (𝑀 𝑏) = (𝑀 𝑀))
275, 6, 7, 19, 21, 22, 21, 26axtgcgrid 26824 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏𝑃𝑐𝑃)) ∧ (((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑀 = 𝑏)
28 simplrr 775 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏𝑃𝑐𝑃)) ∧ (((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑐𝑃)
29 simprrl 778 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏𝑃𝑐𝑃)) ∧ (((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → (𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴))
3029, 25eqtrd 2778 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏𝑃𝑐𝑃)) ∧ (((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → (𝑀 𝑐) = (𝑀 𝑀))
315, 6, 7, 19, 21, 28, 21, 30axtgcgrid 26824 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏𝑃𝑐𝑃)) ∧ (((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑀 = 𝑐)
3227, 31eqtr3d 2780 . . . . . 6 ((((𝜑𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏𝑃𝑐𝑃)) ∧ (((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑏 = 𝑐)
3332ex 413 . . . . 5 (((𝜑𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏𝑃𝑐𝑃)) → ((((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴))) → 𝑏 = 𝑐))
3433ralrimivva 3123 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 𝑀) → ∀𝑏𝑃𝑐𝑃 ((((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴))) → 𝑏 = 𝑐))
3518, 34jca 512 . . 3 ((𝜑𝐴 = 𝑀) → (∃𝑏𝑃 ((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ∀𝑏𝑃𝑐𝑃 ((((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴))) → 𝑏 = 𝑐)))
368adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝑀) → 𝐺 ∈ TarskiG)
371adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝑀) → 𝐴𝑃)
3820adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝑀) → 𝑀𝑃)
395, 6, 7, 36, 37, 38, 38, 37axtgsegcon 26825 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝑀) → ∃𝑏𝑃 (𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝑏) ∧ (𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴)))
40 ancom 461 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝑏) ∧ (𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴)) ↔ ((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝑏)))
418adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑏𝑃) → 𝐺 ∈ TarskiG)
421adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑏𝑃) → 𝐴𝑃)
4320adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑏𝑃) → 𝑀𝑃)
44 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑏𝑃) → 𝑏𝑃)
455, 6, 7, 41, 42, 43, 44tgbtwncomb 26850 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑏𝑃) → (𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝑏) ↔ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)))
4645anbi2d 629 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝑃) → (((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝑏)) ↔ ((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴))))
4740, 46bitrid 282 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝑃) → ((𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝑏) ∧ (𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴)) ↔ ((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴))))
4847rexbidva 3225 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑏𝑃 (𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝑏) ∧ (𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴)) ↔ ∃𝑏𝑃 ((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴))))
4948adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝑀) → (∃𝑏𝑃 (𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝑏) ∧ (𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴)) ↔ ∃𝑏𝑃 ((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴))))
5039, 49mpbid 231 . . . 4 ((𝜑𝐴𝑀) → ∃𝑏𝑃 ((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)))
518ad3antrrr 727 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴𝑀) ∧ (𝑏𝑃𝑐𝑃)) ∧ (((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
5220ad3antrrr 727 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴𝑀) ∧ (𝑏𝑃𝑐𝑃)) ∧ (((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑀𝑃)
531ad3antrrr 727 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴𝑀) ∧ (𝑏𝑃𝑐𝑃)) ∧ (((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝐴𝑃)
54 simplrl 774 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴𝑀) ∧ (𝑏𝑃𝑐𝑃)) ∧ (((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑏𝑃)
55 simplrr 775 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴𝑀) ∧ (𝑏𝑃𝑐𝑃)) ∧ (((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑐𝑃)
56 simpllr 773 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴𝑀) ∧ (𝑏𝑃𝑐𝑃)) ∧ (((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝐴𝑀)
57 simprlr 777 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐴𝑀) ∧ (𝑏𝑃𝑐𝑃)) ∧ (((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴))
585, 6, 7, 51, 54, 52, 53, 57tgbtwncom 26849 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴𝑀) ∧ (𝑏𝑃𝑐𝑃)) ∧ (((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝑏))
59 simprrr 779 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐴𝑀) ∧ (𝑏𝑃𝑐𝑃)) ∧ (((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴))
605, 6, 7, 51, 55, 52, 53, 59tgbtwncom 26849 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴𝑀) ∧ (𝑏𝑃𝑐𝑃)) ∧ (((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝑐))
61 simprll 776 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴𝑀) ∧ (𝑏𝑃𝑐𝑃)) ∧ (((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → (𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴))
62 simprrl 778 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴𝑀) ∧ (𝑏𝑃𝑐𝑃)) ∧ (((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → (𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴))
635, 6, 7, 51, 52, 52, 53, 53, 54, 55, 56, 58, 60, 61, 62tgsegconeq 26847 . . . . . 6 ((((𝜑𝐴𝑀) ∧ (𝑏𝑃𝑐𝑃)) ∧ (((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑏 = 𝑐)
6463ex 413 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝑀) ∧ (𝑏𝑃𝑐𝑃)) → ((((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴))) → 𝑏 = 𝑐))
6564ralrimivva 3123 . . . 4 ((𝜑𝐴𝑀) → ∀𝑏𝑃𝑐𝑃 ((((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴))) → 𝑏 = 𝑐))
6650, 65jca 512 . . 3 ((𝜑𝐴𝑀) → (∃𝑏𝑃 ((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ∀𝑏𝑃𝑐𝑃 ((((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴))) → 𝑏 = 𝑐)))
6735, 66pm2.61dane 3032 . 2 (𝜑 → (∃𝑏𝑃 ((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ∀𝑏𝑃𝑐𝑃 ((((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴))) → 𝑏 = 𝑐)))
68 oveq2 7283 . . . . 5 (𝑏 = 𝑐 → (𝑀 𝑏) = (𝑀 𝑐))
6968eqeq1d 2740 . . . 4 (𝑏 = 𝑐 → ((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ↔ (𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴)))
70 oveq1 7282 . . . . 5 (𝑏 = 𝑐 → (𝑏𝐼𝐴) = (𝑐𝐼𝐴))
7170eleq2d 2824 . . . 4 (𝑏 = 𝑐 → (𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴) ↔ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))
7269, 71anbi12d 631 . . 3 (𝑏 = 𝑐 → (((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ↔ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴))))
7372reu4 3666 . 2 (∃!𝑏𝑃 ((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ↔ (∃𝑏𝑃 ((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ∀𝑏𝑃𝑐𝑃 ((((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴))) → 𝑏 = 𝑐)))
7467, 73sylibr 233 1 (𝜑 → ∃!𝑏𝑃 ((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3065  ∃!wreu 3066  cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  distcds 16971  TarskiGcstrkg 26788  Itvcitv 26794
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-nul 5230
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-iota 6391  df-fv 6441  df-ov 7278  df-trkgc 26809  df-trkgb 26810  df-trkgcb 26811  df-trkg 26814
This theorem is referenced by:  mircgr  27018  mirbtwn  27019  ismir  27020  mirf  27021  mireq  27026
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