MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hlcgreulem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlcgreulem 27608
Description: Lemma for hlcgreu 27609. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ishlg.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
ishlg.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
ishlg.k 𝐾 = (hlGβ€˜πΊ)
ishlg.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
ishlg.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
ishlg.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
hlln.1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
hltr.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
hlcgrex.m βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
hlcgrex.1 (πœ‘ β†’ 𝐷 β‰  𝐴)
hlcgrex.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 β‰  𝐢)
hlcgreulem.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
hlcgreulem.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
hlcgreulem.1 (πœ‘ β†’ 𝑋(πΎβ€˜π΄)𝐷)
hlcgreulem.2 (πœ‘ β†’ π‘Œ(πΎβ€˜π΄)𝐷)
hlcgreulem.3 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝑋) = (𝐡 βˆ’ 𝐢))
hlcgreulem.4 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ π‘Œ) = (𝐡 βˆ’ 𝐢))
Assertion
Ref Expression
hlcgreulem (πœ‘ β†’ 𝑋 = π‘Œ)

Proof of Theorem hlcgreulem
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ishlg.p . . 3 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
2 hlcgrex.m . . 3 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
3 ishlg.i . . 3 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
4 hlln.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
54ad2antrr 725 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 β‰  𝑦)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
6 ishlg.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
76ad2antrr 725 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 β‰  𝑦)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
8 ishlg.b . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
98ad2antrr 725 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 β‰  𝑦)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
10 ishlg.c . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
1110ad2antrr 725 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 β‰  𝑦)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
12 simplr 768 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 β‰  𝑦)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑃)
13 hlcgreulem.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
1413ad2antrr 725 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 β‰  𝑦)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
15 hlcgreulem.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
1615ad2antrr 725 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 β‰  𝑦)) β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
17 simprr 772 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 β‰  𝑦)) β†’ 𝐴 β‰  𝑦)
1817necomd 2996 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 β‰  𝑦)) β†’ 𝑦 β‰  𝐴)
19 ishlg.k . . . . 5 𝐾 = (hlGβ€˜πΊ)
20 hltr.d . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
2120ad2antrr 725 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 β‰  𝑦)) β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
22 hlcgreulem.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋(πΎβ€˜π΄)𝐷)
231, 3, 19, 13, 20, 6, 4, 22hlcomd 27595 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷(πΎβ€˜π΄)𝑋)
2423ad2antrr 725 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 β‰  𝑦)) β†’ 𝐷(πΎβ€˜π΄)𝑋)
25 simprl 770 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 β‰  𝑦)) β†’ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦))
261, 3, 19, 21, 14, 12, 5, 7, 24, 25btwnhl 27605 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 β‰  𝑦)) β†’ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝑦))
271, 2, 3, 5, 14, 7, 12, 26tgbtwncom 27479 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 β‰  𝑦)) β†’ 𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝑋))
28 hlcgreulem.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ(πΎβ€˜π΄)𝐷)
291, 3, 19, 15, 20, 6, 4, 28hlcomd 27595 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷(πΎβ€˜π΄)π‘Œ)
3029ad2antrr 725 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 β‰  𝑦)) β†’ 𝐷(πΎβ€˜π΄)π‘Œ)
311, 3, 19, 21, 16, 12, 5, 7, 30, 25btwnhl 27605 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 β‰  𝑦)) β†’ 𝐴 ∈ (π‘ŒπΌπ‘¦))
321, 2, 3, 5, 16, 7, 12, 31tgbtwncom 27479 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 β‰  𝑦)) β†’ 𝐴 ∈ (π‘¦πΌπ‘Œ))
33 hlcgreulem.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝑋) = (𝐡 βˆ’ 𝐢))
3433ad2antrr 725 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 β‰  𝑦)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝑋) = (𝐡 βˆ’ 𝐢))
35 hlcgreulem.4 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ π‘Œ) = (𝐡 βˆ’ 𝐢))
3635ad2antrr 725 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 β‰  𝑦)) β†’ (𝐴 βˆ’ π‘Œ) = (𝐡 βˆ’ 𝐢))
371, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 12, 14, 16, 18, 27, 32, 34, 36tgsegconeq 27477 . 2 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 β‰  𝑦)) β†’ 𝑋 = π‘Œ)
381fvexi 6860 . . . . 5 𝑃 ∈ V
3938a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ V)
40 hlcgrex.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 β‰  𝐢)
4139, 8, 10, 40nehash2 14382 . . 3 (πœ‘ β†’ 2 ≀ (β™―β€˜π‘ƒ))
421, 2, 3, 4, 20, 6, 41tgbtwndiff 27497 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝑦) ∧ 𝐴 β‰  𝑦))
4337, 42r19.29a 3156 1 (πœ‘ β†’ 𝑋 = π‘Œ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  Vcvv 3447   class class class wbr 5109  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Basecbs 17091  distcds 17150  TarskiGcstrkg 27418  Itvcitv 27424  hlGchlg 27591
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-oadd 8420  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-dju 9845  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-n0 12422  df-xnn0 12494  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-hash 14240  df-trkgc 27439  df-trkgb 27440  df-trkgcb 27441  df-trkg 27444  df-hlg 27592
This theorem is referenced by:  hlcgreu  27609  iscgra1  27801
  Copyright terms: Public domain W3C validator