MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgcgrxfr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgcgrxfr 27460
Description: A line segment can be divided at the same place as a congruent line segment is divided. Theorem 4.5 of [Schwabhauser] p. 35. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tgcgrxfr.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
tgcgrxfr.m = (dist‘𝐺)
tgcgrxfr.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tgcgrxfr.r = (cgrG‘𝐺)
tgcgrxfr.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
tgcgrxfr.a (𝜑𝐴𝑃)
tgcgrxfr.b (𝜑𝐵𝑃)
tgcgrxfr.c (𝜑𝐶𝑃)
tgcgrxfr.d (𝜑𝐷𝑃)
tgcgrxfr.f (𝜑𝐹𝑃)
tgcgrxfr.1 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
tgcgrxfr.2 (𝜑 → (𝐴 𝐶) = (𝐷 𝐹))
Assertion
Ref Expression
tgcgrxfr (𝜑 → ∃𝑒𝑃 (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑒   𝐵,𝑒   𝐶,𝑒   𝐷,𝑒   𝑒,𝐹   𝑒,𝐼   𝑃,𝑒   ,𝑒   ,𝑒   𝜑,𝑒
Allowed substitution hint:   𝐺(𝑒)

Proof of Theorem tgcgrxfr
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgcgrxfr.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑃)
21adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐴𝑃)
3 tgcgrxfr.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
4 tgcgrxfr.m . . . 4 = (dist‘𝐺)
5 tgcgrxfr.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
6 tgcgrxfr.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
76adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8 tgcgrxfr.d . . . . 5 (𝜑𝐷𝑃)
98adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐷𝑃)
10 tgcgrxfr.f . . . . 5 (𝜑𝐹𝑃)
1110adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐹𝑃)
12 simpr 485 . . . 4 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → (♯‘𝑃) = 1)
133, 4, 5, 7, 2, 9, 11, 12tgldim0itv 27446 . . 3 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
14 tgcgrxfr.r . . . 4 = (cgrG‘𝐺)
15 tgcgrxfr.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝑃)
1615adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐵𝑃)
17 tgcgrxfr.c . . . . 5 (𝜑𝐶𝑃)
1817adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐶𝑃)
193, 4, 5, 7, 2, 16, 9, 12, 2tgldim0cgr 27447 . . . 4 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → (𝐴 𝐵) = (𝐷 𝐴))
203, 4, 5, 7, 16, 18, 2, 12, 11tgldim0cgr 27447 . . . 4 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → (𝐵 𝐶) = (𝐴 𝐹))
213, 4, 5, 7, 18, 2, 11, 12, 9tgldim0cgr 27447 . . . 4 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → (𝐶 𝐴) = (𝐹 𝐷))
223, 4, 14, 7, 2, 16, 18, 9, 2, 11, 19, 20, 21trgcgr 27458 . . 3 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ⟨“𝐷𝐴𝐹”⟩)
23 eleq1 2825 . . . . 5 (𝑒 = 𝐴 → (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ↔ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐹)))
24 s3eq2 14759 . . . . . 6 (𝑒 = 𝐴 → ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩ = ⟨“𝐷𝐴𝐹”⟩)
2524breq2d 5117 . . . . 5 (𝑒 = 𝐴 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩ ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ⟨“𝐷𝐴𝐹”⟩))
2623, 25anbi12d 631 . . . 4 (𝑒 = 𝐴 → ((𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩) ↔ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ⟨“𝐷𝐴𝐹”⟩)))
2726rspcev 3581 . . 3 ((𝐴𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ⟨“𝐷𝐴𝐹”⟩)) → ∃𝑒𝑃 (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩))
282, 13, 22, 27syl12anc 835 . 2 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → ∃𝑒𝑃 (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩))
296ad3antrrr 728 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
30 simplr 767 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) → 𝑔𝑃)
318ad3antrrr 728 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) → 𝐷𝑃)
321ad3antrrr 728 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) → 𝐴𝑃)
3315ad3antrrr 728 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) → 𝐵𝑃)
343, 4, 5, 29, 30, 31, 32, 33axtgsegcon 27406 . . . 4 ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) → ∃𝑒𝑃 (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵)))
356ad7antr 736 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
3630ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) → 𝑔𝑃)
3736ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → 𝑔𝑃)
388ad7antr 736 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → 𝐷𝑃)
39 simplr 767 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) → 𝑒𝑃)
4039ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → 𝑒𝑃)
41 simplr 767 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → 𝑓𝑃)
42 simpllr 774 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵)))
4342simpld 495 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → 𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒))
44 simprl 769 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → 𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓))
453, 4, 5, 35, 37, 38, 40, 41, 43, 44tgbtwnexch3 27436 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → 𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝑓))
461ad7antr 736 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → 𝐴𝑃)
4717ad7antr 736 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → 𝐶𝑃)
4810ad7antr 736 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → 𝐹𝑃)
49 simp-5r 784 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔))
5049simprd 496 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → 𝐷𝑔)
5150necomd 2999 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → 𝑔𝐷)
523, 4, 5, 35, 37, 38, 40, 41, 43, 44tgbtwnexch 27440 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → 𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑓))
5349simpld 495 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → 𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔))
543, 4, 5, 35, 48, 38, 37, 53tgbtwncom 27430 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → 𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝐹))
5515ad7antr 736 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → 𝐵𝑃)
56 tgcgrxfr.1 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
5756ad7antr 736 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
5842simprd 496 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))
59 simprr 771 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))
603, 4, 5, 35, 38, 40, 41, 46, 55, 47, 45, 57, 58, 59tgcgrextend 27427 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → (𝐷 𝑓) = (𝐴 𝐶))
61 tgcgrxfr.2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴 𝐶) = (𝐷 𝐹))
6261ad7antr 736 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → (𝐴 𝐶) = (𝐷 𝐹))
6362eqcomd 2742 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → (𝐷 𝐹) = (𝐴 𝐶))
643, 4, 5, 35, 38, 46, 47, 37, 41, 48, 51, 52, 54, 60, 63tgsegconeq 27428 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → 𝑓 = 𝐹)
6564oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → (𝐷𝐼𝑓) = (𝐷𝐼𝐹))
6645, 65eleqtrd 2840 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → 𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
6758eqcomd 2742 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → (𝐴 𝐵) = (𝐷 𝑒))
6864oveq2d 7373 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → (𝑒 𝑓) = (𝑒 𝐹))
6959, 68eqtr3d 2778 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → (𝐵 𝐶) = (𝑒 𝐹))
703, 4, 5, 6, 1, 17, 8, 10, 61tgcgrcomlr 27422 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐶 𝐴) = (𝐹 𝐷))
7170ad7antr 736 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → (𝐶 𝐴) = (𝐹 𝐷))
723, 4, 14, 35, 46, 55, 47, 38, 40, 48, 67, 69, 71trgcgr 27458 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩)
7366, 72jca 512 . . . . . . 7 ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) ∧ 𝑓𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶))) → (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩))
7429ad2antrr 724 . . . . . . . 8 ((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7533ad2antrr 724 . . . . . . . 8 ((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) → 𝐵𝑃)
7617ad5antr 732 . . . . . . . 8 ((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) → 𝐶𝑃)
773, 4, 5, 74, 36, 39, 75, 76axtgsegcon 27406 . . . . . . 7 ((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) → ∃𝑓𝑃 (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 𝑓) = (𝐵 𝐶)))
7873, 77r19.29a 3159 . . . . . 6 ((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵))) → (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩))
7978ex 413 . . . . 5 (((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) ∧ 𝑒𝑃) → ((𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵)) → (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩)))
8079reximdva 3165 . . . 4 ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) → (∃𝑒𝑃 (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 𝑒) = (𝐴 𝐵)) → ∃𝑒𝑃 (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩)))
8134, 80mpd 15 . . 3 ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔)) → ∃𝑒𝑃 (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩))
826adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8310adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝐹𝑃)
848adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝐷𝑃)
85 simpr 485 . . . 4 ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
863, 4, 5, 82, 83, 84, 85tgbtwndiff 27448 . . 3 ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ∃𝑔𝑃 (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷𝑔))
8781, 86r19.29a 3159 . 2 ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ∃𝑒𝑃 (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩))
883, 1tgldimor 27444 . 2 (𝜑 → ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)))
8928, 87, 88mpjaodan 957 1 (𝜑 → ∃𝑒𝑃 (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wrex 3073   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  1c1 11052  cle 11190  2c2 12208  chash 14230  ⟨“cs3 14731  Basecbs 17083  distcds 17142  TarskiGcstrkg 27369  Itvcitv 27375  cgrGccgrg 27452
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-oadd 8416  df-er 8648  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-hash 14231  df-word 14403  df-concat 14459  df-s1 14484  df-s2 14737  df-s3 14738  df-trkgc 27390  df-trkgb 27391  df-trkgcb 27392  df-trkg 27395  df-cgrg 27453
This theorem is referenced by:  tgbtwnxfr  27472  lnext  27509  midexlem  27634
  Copyright terms: Public domain W3C validator