Theorem tgcgrxfr 28657

Description: A line segment can be divided at the same place as a congruent line segment is divided. Theorem 4.5 of [Schwabhauser] p. 35. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgcgrxfr.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tgcgrxfr.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
tgcgrxfr.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tgcgrxfr.r	⊢ ∼ = (cgrG‘𝐺)
tgcgrxfr.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tgcgrxfr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
tgcgrxfr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
tgcgrxfr.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
tgcgrxfr.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
tgcgrxfr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
tgcgrxfr.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
tgcgrxfr.2	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐹))

Assertion

Ref	Expression
tgcgrxfr	⊢ (𝜑 → ∃𝑒 ∈ 𝑃 (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑒   𝐵,𝑒   𝐶,𝑒   𝐷,𝑒   𝑒,𝐹   𝑒,𝐼   𝑃,𝑒   − ,𝑒   ∼ ,𝑒   𝜑,𝑒

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑒)

Proof of Theorem tgcgrxfr

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgcgrxfr.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
2	1	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐴 ∈ 𝑃)
3		tgcgrxfr.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
4		tgcgrxfr.m	. . . 4 ⊢ − = (dist‘𝐺)
5		tgcgrxfr.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
6		tgcgrxfr.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7	6	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8		tgcgrxfr.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
9	8	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐷 ∈ 𝑃)
10		tgcgrxfr.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
11	10	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐹 ∈ 𝑃)
12		simpr 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → (♯‘𝑃) = 1)
13	3, 4, 5, 7, 2, 9, 11, 12	tgldim0itv 28643	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
14		tgcgrxfr.r	. . . 4 ⊢ ∼ = (cgrG‘𝐺)
15		tgcgrxfr.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
16	15	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐵 ∈ 𝑃)
17		tgcgrxfr.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
18	17	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐶 ∈ 𝑃)
19	3, 4, 5, 7, 2, 16, 9, 12, 2	tgldim0cgr 28644	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐴))
20	3, 4, 5, 7, 16, 18, 2, 12, 11	tgldim0cgr 28644	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → (𝐵 − 𝐶) = (𝐴 − 𝐹))
21	3, 4, 5, 7, 18, 2, 11, 12, 9	tgldim0cgr 28644	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷))
22	3, 4, 14, 7, 2, 16, 18, 9, 2, 11, 19, 20, 21	trgcgr 28655	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝐴𝐹”⟩)
23		eleq1 2844	. . . . 5 ⊢ (𝑒 = 𝐴 → (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ↔ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐹)))
24		s3eq2 14873	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 = 𝐴 → ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩ = ⟨“𝐷𝐴𝐹”⟩)
25	24	breq2d 5106	. . . . 5 ⊢ (𝑒 = 𝐴 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩ ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝐴𝐹”⟩))
26	23, 25	anbi12d 640	. . . 4 ⊢ (𝑒 = 𝐴 → ((𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩) ↔ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝐴𝐹”⟩)))
27	26	rspcev 3576	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝐴𝐹”⟩)) → ∃𝑒 ∈ 𝑃 (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩))
28	2, 13, 22, 27	syl12anc 845	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → ∃𝑒 ∈ 𝑃 (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩))
29	6	ad3antrrr 738	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
30		simplr 776	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) → 𝑔 ∈ 𝑃)
31	8	ad3antrrr 738	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
32	1	ad3antrrr 738	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
33	15	ad3antrrr 738	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
34	3, 4, 5, 29, 30, 31, 32, 33	axtgsegcon 28603	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) → ∃𝑒 ∈ 𝑃 (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵)))
35	6	ad7antr 746	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
36	30	ad2antrr 734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝑔 ∈ 𝑃)
37	36	ad2antrr 734	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝑔 ∈ 𝑃)
38	8	ad7antr 746	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝐷 ∈ 𝑃)
39		simplr 776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝑒 ∈ 𝑃)
40	39	ad2antrr 734	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝑒 ∈ 𝑃)
41		simplr 776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝑓 ∈ 𝑃)
42		simpllr 783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵)))
43	42	simpld 497	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒))
44		simprl 778	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓))
45	3, 4, 5, 35, 37, 38, 40, 41, 43, 44	tgbtwnexch3 28633	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝑓))
46	1	ad7antr 746	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
47	17	ad7antr 746	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
48	10	ad7antr 746	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝐹 ∈ 𝑃)
49		simp-5r 793	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔))
50	49	simprd 498	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝐷 ≠ 𝑔)
51	50	necomd 3006	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝑔 ≠ 𝐷)
52	3, 4, 5, 35, 37, 38, 40, 41, 43, 44	tgbtwnexch 28637	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑓))
53	49	simpld 497	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔))
54	3, 4, 5, 35, 48, 38, 37, 53	tgbtwncom 28627	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝐹))
55	15	ad7antr 746	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
56		tgcgrxfr.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
57	56	ad7antr 746	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
58	42	simprd 498	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))
59		simprr 780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))
60	3, 4, 5, 35, 38, 40, 41, 46, 55, 47, 45, 57, 58, 59	tgcgrextend 28624	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → (𝐷 − 𝑓) = (𝐴 − 𝐶))
61		tgcgrxfr.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐹))
62	61	ad7antr 746	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → (𝐴 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐹))
63	62	eqcomd 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → (𝐷 − 𝐹) = (𝐴 − 𝐶))
64	3, 4, 5, 35, 38, 46, 47, 37, 41, 48, 51, 52, 54, 60, 63	tgsegconeq 28625	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝑓 = 𝐹)
65	64	oveq2d 7401	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → (𝐷𝐼𝑓) = (𝐷𝐼𝐹))
66	45, 65	eleqtrd 2858	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
67	58	eqcomd 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝑒))
68	64	oveq2d 7401	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → (𝑒 − 𝑓) = (𝑒 − 𝐹))
69	59, 68	eqtr3d 2793	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → (𝐵 − 𝐶) = (𝑒 − 𝐹))
70	3, 4, 5, 6, 1, 17, 8, 10, 61	tgcgrcomlr 28619	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷))
71	70	ad7antr 746	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷))
72	3, 4, 14, 35, 46, 55, 47, 38, 40, 48, 67, 69, 71	trgcgr 28655	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩)
73	66, 72	jca 518	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩))
74	29	ad2antrr 734	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
75	33	ad2antrr 734	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
76	17	ad5antr 742	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
77	3, 4, 5, 74, 36, 39, 75, 76	axtgsegcon 28603	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) → ∃𝑓 ∈ 𝑃 (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))
78	73, 77	r19.29a 3164	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) → (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩))
79	78	ex 415	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) → ((𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵)) → (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩)))
80	79	reximdva 3169	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) → (∃𝑒 ∈ 𝑃 (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵)) → ∃𝑒 ∈ 𝑃 (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩)))
81	34, 80	mpd 15	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) → ∃𝑒 ∈ 𝑃 (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩))
82	6	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
83	10	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝐹 ∈ 𝑃)
84	8	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
85		simpr 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
86	3, 4, 5, 82, 83, 84, 85	tgbtwndiff 28645	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ∃𝑔 ∈ 𝑃 (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔))
87	81, 86	r19.29a 3164	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ∃𝑒 ∈ 𝑃 (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩))
88	3, 1	tgldimor 28641	. 2 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)))
89	28, 87, 88	mpjaodan 969	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑒 ∈ 𝑃 (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1554   ∈ wcel 2136   ≠ wne 2951  ∃wrex 3080   class class class wbr 5094  ‘cfv 6510  (class class class)co 7385  1c1 11064   ≤ cle 11207  2c2 12262  ♯chash 14333  ⟨“cs3 14845  Basecbs 17221  distcds 17271  TarskiGcstrkg 28566  Itvcitv 28572  cgrGccgrg 28649

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-rep 5221  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-om 7836  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-1o 8425  df-oadd 8429  df-er 8666  df-pm 8799  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-fin 8920  df-dju 9849  df-card 9887  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-nn 12201  df-2 12270  df-3 12271  df-n0 12472  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12830  df-fz 13503  df-fzo 13650  df-hash 14334  df-word 14517  df-concat 14574  df-s1 14600  df-s2 14851  df-s3 14852  df-trkgc 28587  df-trkgb 28588  df-trkgcb 28589  df-trkg 28592  df-cgrg 28650

This theorem is referenced by:  tgbtwnxfr  28669  lnext  28706  midexlem  28831