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Theorem tgcgrxfr 27749

Description: A line segment can be divided at the same place as a congruent line segment is divided. Theorem 4.5 of [Schwabhauser] p. 35. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Apr-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
tgcgrxfr.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tgcgrxfr.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
tgcgrxfr.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tgcgrxfr.r	⊢ ∼ = (cgrG‘𝐺)
tgcgrxfr.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tgcgrxfr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
tgcgrxfr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
tgcgrxfr.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
tgcgrxfr.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
tgcgrxfr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
tgcgrxfr.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
tgcgrxfr.2	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐹))

**Assertion**
Ref	Expression
tgcgrxfr	⊢ (𝜑 → ∃𝑒 ∈ 𝑃 (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑒 𝐵,𝑒 𝐶,𝑒 𝐷,𝑒 𝑒,𝐹 𝑒,𝐼 𝑃,𝑒 − ,𝑒 ∼ ,𝑒 𝜑,𝑒 Allowed substitution hint: 𝐺(𝑒)

Proof of Theorem tgcgrxfr Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgcgrxfr.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
2	1	adantr 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐴 ∈ 𝑃)
3		tgcgrxfr.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
4		tgcgrxfr.m	. . . 4 ⊢ − = (dist‘𝐺)
5		tgcgrxfr.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
6		tgcgrxfr.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7	6	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8		tgcgrxfr.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
9	8	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐷 ∈ 𝑃)
10		tgcgrxfr.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
11	10	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐹 ∈ 𝑃)
12		simpr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → (♯‘𝑃) = 1)
13	3, 4, 5, 7, 2, 9, 11, 12	tgldim0itv 27735	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
14		tgcgrxfr.r	. . . 4 ⊢ ∼ = (cgrG‘𝐺)
15		tgcgrxfr.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
16	15	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐵 ∈ 𝑃)
17		tgcgrxfr.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
18	17	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐶 ∈ 𝑃)
19	3, 4, 5, 7, 2, 16, 9, 12, 2	tgldim0cgr 27736	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐴))
20	3, 4, 5, 7, 16, 18, 2, 12, 11	tgldim0cgr 27736	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → (𝐵 − 𝐶) = (𝐴 − 𝐹))
21	3, 4, 5, 7, 18, 2, 11, 12, 9	tgldim0cgr 27736	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷))
22	3, 4, 14, 7, 2, 16, 18, 9, 2, 11, 19, 20, 21	trgcgr 27747	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝐴𝐹”⟩)
23		eleq1 2822	. . . . 5 ⊢ (𝑒 = 𝐴 → (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ↔ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐹)))
24		s3eq2 14817	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 = 𝐴 → ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩ = ⟨“𝐷𝐴𝐹”⟩)
25	24	breq2d 5159	. . . . 5 ⊢ (𝑒 = 𝐴 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩ ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝐴𝐹”⟩))
26	23, 25	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (𝑒 = 𝐴 → ((𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩) ↔ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝐴𝐹”⟩)))
27	26	rspcev 3612	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝐴𝐹”⟩)) → ∃𝑒 ∈ 𝑃 (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩))
28	2, 13, 22, 27	syl12anc 836	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → ∃𝑒 ∈ 𝑃 (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩))
29	6	ad3antrrr 729	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
30		simplr 768	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) → 𝑔 ∈ 𝑃)
31	8	ad3antrrr 729	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
32	1	ad3antrrr 729	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
33	15	ad3antrrr 729	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
34	3, 4, 5, 29, 30, 31, 32, 33	axtgsegcon 27695	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) → ∃𝑒 ∈ 𝑃 (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵)))
35	6	ad7antr 737	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
36	30	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝑔 ∈ 𝑃)
37	36	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝑔 ∈ 𝑃)
38	8	ad7antr 737	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝐷 ∈ 𝑃)
39		simplr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝑒 ∈ 𝑃)
40	39	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝑒 ∈ 𝑃)
41		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝑓 ∈ 𝑃)
42		simpllr 775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵)))
43	42	simpld 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒))
44		simprl 770	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓))
45	3, 4, 5, 35, 37, 38, 40, 41, 43, 44	tgbtwnexch3 27725	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝑓))
46	1	ad7antr 737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
47	17	ad7antr 737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
48	10	ad7antr 737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝐹 ∈ 𝑃)
49		simp-5r 785	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔))
50	49	simprd 497	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝐷 ≠ 𝑔)
51	50	necomd 2997	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝑔 ≠ 𝐷)
52	3, 4, 5, 35, 37, 38, 40, 41, 43, 44	tgbtwnexch 27729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑓))
53	49	simpld 496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔))
54	3, 4, 5, 35, 48, 38, 37, 53	tgbtwncom 27719	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝐹))
55	15	ad7antr 737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
56		tgcgrxfr.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
57	56	ad7antr 737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
58	42	simprd 497	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))
59		simprr 772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))
60	3, 4, 5, 35, 38, 40, 41, 46, 55, 47, 45, 57, 58, 59	tgcgrextend 27716	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → (𝐷 − 𝑓) = (𝐴 − 𝐶))
61		tgcgrxfr.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐹))
62	61	ad7antr 737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → (𝐴 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐹))
63	62	eqcomd 2739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → (𝐷 − 𝐹) = (𝐴 − 𝐶))
64	3, 4, 5, 35, 38, 46, 47, 37, 41, 48, 51, 52, 54, 60, 63	tgsegconeq 27717	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝑓 = 𝐹)
65	64	oveq2d 7420	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → (𝐷𝐼𝑓) = (𝐷𝐼𝐹))
66	45, 65	eleqtrd 2836	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
67	58	eqcomd 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝑒))
68	64	oveq2d 7420	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → (𝑒 − 𝑓) = (𝑒 − 𝐹))
69	59, 68	eqtr3d 2775	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → (𝐵 − 𝐶) = (𝑒 − 𝐹))
70	3, 4, 5, 6, 1, 17, 8, 10, 61	tgcgrcomlr 27711	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷))
71	70	ad7antr 737	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷))
72	3, 4, 14, 35, 46, 55, 47, 38, 40, 48, 67, 69, 71	trgcgr 27747	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩)
73	66, 72	jca 513	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩))
74	29	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
75	33	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
76	17	ad5antr 733	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
77	3, 4, 5, 74, 36, 39, 75, 76	axtgsegcon 27695	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) → ∃𝑓 ∈ 𝑃 (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))
78	73, 77	r19.29a 3163	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) → (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩))
79	78	ex 414	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) → ((𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵)) → (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩)))
80	79	reximdva 3169	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) → (∃𝑒 ∈ 𝑃 (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵)) → ∃𝑒 ∈ 𝑃 (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩)))
81	34, 80	mpd 15	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) → ∃𝑒 ∈ 𝑃 (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩))
82	6	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
83	10	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝐹 ∈ 𝑃)
84	8	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
85		simpr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
86	3, 4, 5, 82, 83, 84, 85	tgbtwndiff 27737	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ∃𝑔 ∈ 𝑃 (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔))
87	81, 86	r19.29a 3163	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ∃𝑒 ∈ 𝑃 (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩))
88	3, 1	tgldimor 27733	. 2 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)))
89	28, 87, 88	mpjaodan 958	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑒 ∈ 𝑃 (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 397 = wceq 1542 ∈ wcel 2107 ≠ wne 2941 ∃wrex 3071 class class class wbr 5147 ‘cfv 6540 (class class class)co 7404 1c1 11107 ≤ cle 11245 2c2 12263 ♯chash 14286 ⟨“cs3 14789 Basecbs 17140 distcds 17202 TarskiGcstrkg 27658 Itvcitv 27664 cgrGccgrg 27741

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-rep 5284 ax-sep 5298 ax-nul 5305 ax-pow 5362 ax-pr 5426 ax-un 7720 ax-cnex 11162 ax-resscn 11163 ax-1cn 11164 ax-icn 11165 ax-addcl 11166 ax-addrcl 11167 ax-mulcl 11168 ax-mulrcl 11169 ax-mulcom 11170 ax-addass 11171 ax-mulass 11172 ax-distr 11173 ax-i2m1 11174 ax-1ne0 11175 ax-1rid 11176 ax-rnegex 11177 ax-rrecex 11178 ax-cnre 11179 ax-pre-lttri 11180 ax-pre-lttrn 11181 ax-pre-ltadd 11182 ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2942 df-nel 3048 df-ral 3063 df-rex 3072 df-reu 3378 df-rab 3434 df-v 3477 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-pss 3966 df-nul 4322 df-if 4528 df-pw 4603 df-sn 4628 df-pr 4630 df-tp 4632 df-op 4634 df-uni 4908 df-int 4950 df-iun 4998 df-br 5148 df-opab 5210 df-mpt 5231 df-tr 5265 df-id 5573 df-eprel 5579 df-po 5587 df-so 5588 df-fr 5630 df-we 5632 df-xp 5681 df-rel 5682 df-cnv 5683 df-co 5684 df-dm 5685 df-rn 5686 df-res 5687 df-ima 5688 df-pred 6297 df-ord 6364 df-on 6365 df-lim 6366 df-suc 6367 df-iota 6492 df-fun 6542 df-fn 6543 df-f 6544 df-f1 6545 df-fo 6546 df-f1o 6547 df-fv 6548 df-riota 7360 df-ov 7407 df-oprab 7408 df-mpo 7409 df-om 7851 df-1st 7970 df-2nd 7971 df-frecs 8261 df-wrecs 8292 df-recs 8366 df-rdg 8405 df-1o 8461 df-oadd 8465 df-er 8699 df-pm 8819 df-en 8936 df-dom 8937 df-sdom 8938 df-fin 8939 df-dju 9892 df-card 9930 df-pnf 11246 df-mnf 11247 df-xr 11248 df-ltxr 11249 df-le 11250 df-sub 11442 df-neg 11443 df-nn 12209 df-2 12271 df-3 12272 df-n0 12469 df-xnn0 12541 df-z 12555 df-uz 12819 df-fz 13481 df-fzo 13624 df-hash 14287 df-word 14461 df-concat 14517 df-s1 14542 df-s2 14795 df-s3 14796 df-trkgc 27679 df-trkgb 27680 df-trkgcb 27681 df-trkg 27684 df-cgrg 27742

This theorem is referenced by: tgbtwnxfr 27761 lnext 27798 midexlem 27923

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