Theorem axtg5seg 28734

Description: Five segments axiom, Axiom A5 of [Schwabhauser] p. 11. Take two triangles 𝑋𝑍𝑈 and 𝐴𝐶𝑉, a point 𝑌 on 𝑋𝑍, and a point 𝐵 on 𝐴𝐶. If all corresponding line segments except for 𝑍𝑈 and 𝐶𝑉 are congruent ( i.e., 𝑋𝑌 ∼ 𝐴𝐵, 𝑌𝑍 ∼ 𝐵𝐶, 𝑋𝑈 ∼ 𝐴𝑉, and 𝑌𝑈 ∼ 𝐵𝑉), then 𝑍𝑈 and 𝐶𝑉 are also congruent. As noted in Axiom 5 of [Tarski1999] p. 178, "this axiom is similar in character to the well-known theorems of Euclidean geometry that allow one to conclude, from hypotheses about the congruence of certain corresponding sides and angles in two triangles, the congruence of other corresponding sides and angles." (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
axtrkg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
axtrkg.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
axtrkg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
axtrkg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
axtg5seg.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
axtg5seg.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
axtg5seg.3	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
axtg5seg.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
axtg5seg.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
axtg5seg.6	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
axtg5seg.7	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑃)
axtg5seg.8	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑃)
axtg5seg.9	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
axtg5seg.10	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))
axtg5seg.11	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
axtg5seg.12	⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵))
axtg5seg.13	⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝐶))
axtg5seg.14	⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑉))
axtg5seg.15	⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑉))

Assertion

Ref	Expression
axtg5seg	⊢ (𝜑 → (𝑍 − 𝑈) = (𝐶 − 𝑉))

Proof of Theorem axtg5seg

Dummy variables 𝑓 𝑖 𝑝 𝑥 𝑦 𝑧 𝑎 𝑏 𝑐 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-trkg 28722	. . . . . . 7 ⊢ TarskiG = ((TarskiGC ∩ TarskiGB) ∩ (TarskiGCB ∩ {𝑓 ∣ [(Base‘𝑓) / 𝑝][(Itv‘𝑓) / 𝑖](LineG‘𝑓) = (𝑥 ∈ 𝑝, 𝑦 ∈ (𝑝 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ 𝑝 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝑖𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧))})}))
2		inss2 4190	. . . . . . . 8 ⊢ ((TarskiGC ∩ TarskiGB) ∩ (TarskiGCB ∩ {𝑓 ∣ [(Base‘𝑓) / 𝑝][(Itv‘𝑓) / 𝑖](LineG‘𝑓) = (𝑥 ∈ 𝑝, 𝑦 ∈ (𝑝 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ 𝑝 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝑖𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧))})})) ⊆ (TarskiGCB ∩ {𝑓 ∣ [(Base‘𝑓) / 𝑝][(Itv‘𝑓) / 𝑖](LineG‘𝑓) = (𝑥 ∈ 𝑝, 𝑦 ∈ (𝑝 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ 𝑝 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝑖𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧))})})
3		inss1 4189	. . . . . . . 8 ⊢ (TarskiGCB ∩ {𝑓 ∣ [(Base‘𝑓) / 𝑝][(Itv‘𝑓) / 𝑖](LineG‘𝑓) = (𝑥 ∈ 𝑝, 𝑦 ∈ (𝑝 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ 𝑝 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝑖𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧))})}) ⊆ TarskiGCB
4	2, 3	sstri 3946	. . . . . . 7 ⊢ ((TarskiGC ∩ TarskiGB) ∩ (TarskiGCB ∩ {𝑓 ∣ [(Base‘𝑓) / 𝑝][(Itv‘𝑓) / 𝑖](LineG‘𝑓) = (𝑥 ∈ 𝑝, 𝑦 ∈ (𝑝 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ 𝑝 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝑖𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧))})})) ⊆ TarskiGCB
5	1, 4	eqsstri 3983	. . . . . 6 ⊢ TarskiG ⊆ TarskiGCB
6		axtrkg.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7	5, 6	sselid 3935	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiGCB)
8		axtrkg.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
9		axtrkg.d	. . . . . . . 8 ⊢ − = (dist‘𝐺)
10		axtrkg.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
11	8, 9, 10	istrkgcb 28725	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ TarskiGCB ↔ (𝐺 ∈ V ∧ (∀𝑥 ∈ 𝑃 ∀𝑦 ∈ 𝑃 ∀𝑧 ∈ 𝑃 ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑥 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑥 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑃 ∀𝑦 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑎 − 𝑏)))))
12	11	simprbi 502	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ TarskiGCB → (∀𝑥 ∈ 𝑃 ∀𝑦 ∈ 𝑃 ∀𝑧 ∈ 𝑃 ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑥 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑥 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑃 ∀𝑦 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑎 − 𝑏))))
13	12	simpld 499	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ TarskiGCB → ∀𝑥 ∈ 𝑃 ∀𝑦 ∈ 𝑃 ∀𝑧 ∈ 𝑃 ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑥 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑥 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)))
14	7, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑃 ∀𝑦 ∈ 𝑃 ∀𝑧 ∈ 𝑃 ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑥 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑥 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)))
15		axtg5seg.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
16		axtg5seg.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
17		axtg5seg.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
18		neeq1 3020	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ 𝑋 ≠ 𝑦))
19		oveq1 7417	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝐼𝑧) = (𝑋𝐼𝑧))
20	19	eleq2d 2849	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ↔ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧)))
21	18, 20	3anbi12d 1465	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ↔ (𝑋 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐))))
22		oveq1 7417	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 − 𝑦) = (𝑋 − 𝑦))
23	22	eqeq1d 2765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ↔ (𝑋 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏)))
24	23	anbi1d 642	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (((𝑥 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ↔ ((𝑋 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐))))
25		oveq1 7417	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 − 𝑢) = (𝑋 − 𝑢))
26	25	eqeq1d 2765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ↔ (𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣)))
27	26	anbi1d 642	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (((𝑥 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)) ↔ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣))))
28	24, 27	anbi12d 643	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((((𝑥 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑥 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣))) ↔ (((𝑋 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))))
29	21, 28	anbi12d 643	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑥 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑥 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) ↔ ((𝑋 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣))))))
30	29	imbi1d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑥 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑥 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ (((𝑋 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣))))
31	30	ralbidv 3188	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑥 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑥 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣))))
32	31	2ralbidv 3229	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑥 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑥 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣))))
33	32	2ralbidv 3229	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑥 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑥 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣))))
34		neeq2 3021	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑋 ≠ 𝑦 ↔ 𝑋 ≠ 𝑌))
35		eleq1 2851	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ↔ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧)))
36	34, 35	3anbi12d 1465	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((𝑋 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ↔ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐))))
37		oveq2 7418	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑋 − 𝑦) = (𝑋 − 𝑌))
38	37	eqeq1d 2765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((𝑋 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ↔ (𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏)))
39		oveq1 7417	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑦 − 𝑧) = (𝑌 − 𝑧))
40	39	eqeq1d 2765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐) ↔ (𝑌 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)))
41	38, 40	anbi12d 643	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (((𝑋 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ↔ ((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐))))
42		oveq1 7417	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑦 − 𝑢) = (𝑌 − 𝑢))
43	42	eqeq1d 2765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣) ↔ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))
44	43	anbi2d 641	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)) ↔ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣))))
45	41, 44	anbi12d 643	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((((𝑋 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣))) ↔ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))))
46	36, 45	anbi12d 643	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (((𝑋 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) ↔ ((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣))))))
47	46	imbi1d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((((𝑋 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣))))
48	47	ralbidv 3188	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣))))
49	48	2ralbidv 3229	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣))))
50	49	2ralbidv 3229	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣))))
51		oveq2 7418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (𝑋𝐼𝑧) = (𝑋𝐼𝑍))
52	51	eleq2d 2849	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ↔ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)))
53	52	3anbi2d 1469	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → ((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ↔ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐))))
54		oveq2 7418	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (𝑌 − 𝑧) = (𝑌 − 𝑍))
55	54	eqeq1d 2765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → ((𝑌 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐) ↔ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)))
56	55	anbi2d 641	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ↔ ((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐))))
57	56	anbi1d 642	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → ((((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣))) ↔ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))))
58	53, 57	anbi12d 643	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) ↔ ((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣))))))
59		oveq1 7417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (𝑧 − 𝑢) = (𝑍 − 𝑢))
60	59	eqeq1d 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → ((𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣) ↔ (𝑍 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)))
61	58, 60	imbi12d 347	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → ((((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣))))
62	61	ralbidv 3188	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣))))
63	62	2ralbidv 3229	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣))))
64	63	2ralbidv 3229	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣))))
65	33, 50, 64	rspc3v 3597	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) → (∀𝑥 ∈ 𝑃 ∀𝑦 ∈ 𝑃 ∀𝑧 ∈ 𝑃 ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑥 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑥 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) → ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣))))
66	15, 16, 17, 65	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑃 ∀𝑦 ∈ 𝑃 ∀𝑧 ∈ 𝑃 ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑥 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑥 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) → ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣))))
67	14, 66	mpd 16	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)))
68		axtg5seg.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑃)
69		axtg5seg.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
70		axtg5seg.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
71		oveq2 7418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (𝑋 − 𝑢) = (𝑋 − 𝑈))
72	71	eqeq1d 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ↔ (𝑋 − 𝑈) = (𝑎 − 𝑣)))
73		oveq2 7418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (𝑌 − 𝑢) = (𝑌 − 𝑈))
74	73	eqeq1d 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → ((𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣) ↔ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣)))
75	72, 74	anbi12d 643	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)) ↔ ((𝑋 − 𝑈) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣))))
76	75	anbi2d 641	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → ((((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣))) ↔ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣)))))
77	76	anbi2d 641	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) ↔ ((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣))))))
78		oveq2 7418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (𝑍 − 𝑢) = (𝑍 − 𝑈))
79	78	eqeq1d 2765	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → ((𝑍 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣) ↔ (𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣)))
80	77, 79	imbi12d 347	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → ((((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣))))
81	80	2ralbidv 3229	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣))))
82		oveq1 7417	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎𝐼𝑐) = (𝐴𝐼𝑐))
83	82	eleq2d 2849	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐) ↔ 𝑏 ∈ (𝐴𝐼𝑐)))
84	83	3anbi3d 1470	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ↔ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴𝐼𝑐))))
85		oveq1 7417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 − 𝑏) = (𝐴 − 𝑏))
86	85	eqeq2d 2774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ↔ (𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝑏)))
87	86	anbi1d 642	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ↔ ((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐))))
88		oveq1 7417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 − 𝑣) = (𝐴 − 𝑣))
89	88	eqeq2d 2774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝑋 − 𝑈) = (𝑎 − 𝑣) ↔ (𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣)))
90	89	anbi1d 642	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (((𝑋 − 𝑈) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣)) ↔ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣))))
91	87, 90	anbi12d 643	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣))) ↔ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣)))))
92	84, 91	anbi12d 643	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣)))) ↔ ((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣))))))
93	92	imbi1d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣))))
94	93	2ralbidv 3229	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣))))
95		eleq1 2851	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑏 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ↔ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐)))
96	95	3anbi3d 1470	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ↔ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐))))
97		oveq2 7418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝐴 − 𝑏) = (𝐴 − 𝐵))
98	97	eqeq2d 2774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝑏) ↔ (𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵)))
99		oveq1 7417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑏 − 𝑐) = (𝐵 − 𝑐))
100	99	eqeq2d 2774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐) ↔ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝑐)))
101	98, 100	anbi12d 643	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ↔ ((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝑐))))
102		oveq1 7417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑏 − 𝑣) = (𝐵 − 𝑣))
103	102	eqeq2d 2774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣) ↔ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣)))
104	103	anbi2d 641	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣)) ↔ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣))))
105	101, 104	anbi12d 643	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣))) ↔ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣)))))
106	96, 105	anbi12d 643	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣)))) ↔ ((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣))))))
107	106	imbi1d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣))))
108	107	2ralbidv 3229	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣))))
109	81, 94, 108	rspc3v 3597	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 ∈ 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ 𝑃) → (∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) → ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣))))
110	68, 69, 70, 109	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) → ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣))))
111	67, 110	mpd 16	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣)))
112		axtg5seg.9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
113		axtg5seg.10	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))
114		axtg5seg.11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
115	112, 113, 114	3jca 1146	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
116		axtg5seg.12	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵))
117		axtg5seg.13	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝐶))
118	116, 117	jca 520	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝐶)))
119		axtg5seg.14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑉))
120		axtg5seg.15	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑉))
121	119, 120	jca 520	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑉) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑉)))
122	115, 118, 121	jca32 524	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑉) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑉)))))
123		axtg5seg.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
124		axtg5seg.8	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑃)
125		oveq2 7418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (𝐴𝐼𝑐) = (𝐴𝐼𝐶))
126	125	eleq2d 2849	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ↔ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
127	126	3anbi3d 1470	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ↔ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))))
128		oveq2 7418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (𝐵 − 𝑐) = (𝐵 − 𝐶))
129	128	eqeq2d 2774	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ((𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝑐) ↔ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝐶)))
130	129	anbi2d 641	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝑐)) ↔ ((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝐶))))
131	130	anbi1d 642	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ((((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣))) ↔ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣)))))
132	127, 131	anbi12d 643	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣)))) ↔ ((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣))))))
133		oveq1 7417	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (𝑐 − 𝑣) = (𝐶 − 𝑣))
134	133	eqeq2d 2774	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ((𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣) ↔ (𝑍 − 𝑈) = (𝐶 − 𝑣)))
135	132, 134	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ((((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝐶 − 𝑣))))
136		oveq2 7418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → (𝐴 − 𝑣) = (𝐴 − 𝑉))
137	136	eqeq2d 2774	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ↔ (𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑉)))
138		oveq2 7418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → (𝐵 − 𝑣) = (𝐵 − 𝑉))
139	138	eqeq2d 2774	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → ((𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣) ↔ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑉)))
140	137, 139	anbi12d 643	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → (((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣)) ↔ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑉) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑉))))
141	140	anbi2d 641	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → ((((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣))) ↔ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑉) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑉)))))
142	141	anbi2d 641	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣)))) ↔ ((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑉) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑉))))))
143		oveq2 7418	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → (𝐶 − 𝑣) = (𝐶 − 𝑉))
144	143	eqeq2d 2774	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → ((𝑍 − 𝑈) = (𝐶 − 𝑣) ↔ (𝑍 − 𝑈) = (𝐶 − 𝑉)))
145	142, 144	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → ((((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝐶 − 𝑣)) ↔ (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑉) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑉)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝐶 − 𝑉))))
146	135, 145	rspc2v 3592	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑃 ∧ 𝑉 ∈ 𝑃) → (∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣)) → (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑉) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑉)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝐶 − 𝑉))))
147	123, 124, 146	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣)) → (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑉) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑉)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝐶 − 𝑉))))
148	111, 122, 147	mp2d 50	1 ⊢ (𝜑 → (𝑍 − 𝑈) = (𝐶 − 𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ w3o 1102   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  {cab 2741   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  {crab 3416  Vcvv 3455  [wsbc 3744   ∖ cdif 3902   ∩ cin 3904  {csn 4589  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ∈ cmpo 7412  Basecbs 17264  distcds 17314  TarskiGcstrkg 28696  TarskiG_Ccstrkgc 28697  TarskiG_Bcstrkgb 28698  TarskiG_CBcstrkgcb 28699  Itvcitv 28702  LineGclng 28703

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-ext 2735  ax-nul 5269

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-sb 2097  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-iota 6492  df-fv 6544  df-ov 7413  df-trkgcb 28719  df-trkg 28722

This theorem is referenced by:  tgcgrextend  28754  tgsegconeq  28755  tgifscgr  28777  tgfscgr  28837  tgbtwnconn1lem2  28842  tgbtwnconn1lem3  28843  miriso  28947  midexlem  28969  ragcgr  28987  footexALT  28998  footexlem1  28999  footexlem2  29000  lmiisolem  29105  f1otrg  29220  tg5segofs  35063