Theorem axtg5seg 27696

Description: Five segments axiom, Axiom A5 of [Schwabhauser] p. 11. Take two triangles 𝑋𝑍𝑈 and 𝐴𝐶𝑉, a point 𝑌 on 𝑋𝑍, and a point 𝐵 on 𝐴𝐶. If all corresponding line segments except for 𝑍𝑈 and 𝐶𝑉 are congruent ( i.e., 𝑋𝑌 ∼ 𝐴𝐵, 𝑌𝑍 ∼ 𝐵𝐶, 𝑋𝑈 ∼ 𝐴𝑉, and 𝑌𝑈 ∼ 𝐵𝑉), then 𝑍𝑈 and 𝐶𝑉 are also congruent. As noted in Axiom 5 of [Tarski1999] p. 178, "this axiom is similar in character to the well-known theorems of Euclidean geometry that allow one to conclude, from hypotheses about the congruence of certain corresponding sides and angles in two triangles, the congruence of other corresponding sides and angles." (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
axtrkg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
axtrkg.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
axtrkg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
axtrkg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
axtg5seg.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
axtg5seg.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
axtg5seg.3	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
axtg5seg.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
axtg5seg.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
axtg5seg.6	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
axtg5seg.7	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑃)
axtg5seg.8	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑃)
axtg5seg.9	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
axtg5seg.10	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))
axtg5seg.11	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
axtg5seg.12	⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵))
axtg5seg.13	⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝐶))
axtg5seg.14	⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑉))
axtg5seg.15	⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑉))

Assertion

Ref	Expression
axtg5seg	⊢ (𝜑 → (𝑍 − 𝑈) = (𝐶 − 𝑉))

Proof of Theorem axtg5seg

Dummy variables 𝑓 𝑖 𝑝 𝑥 𝑦 𝑧 𝑎 𝑏 𝑐 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-trkg 27684	. . . . . . 7 ⊢ TarskiG = ((TarskiGC ∩ TarskiGB) ∩ (TarskiGCB ∩ {𝑓 ∣ [(Base‘𝑓) / 𝑝][(Itv‘𝑓) / 𝑖](LineG‘𝑓) = (𝑥 ∈ 𝑝, 𝑦 ∈ (𝑝 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ 𝑝 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝑖𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧))})}))
2		inss2 4228	. . . . . . . 8 ⊢ ((TarskiGC ∩ TarskiGB) ∩ (TarskiGCB ∩ {𝑓 ∣ [(Base‘𝑓) / 𝑝][(Itv‘𝑓) / 𝑖](LineG‘𝑓) = (𝑥 ∈ 𝑝, 𝑦 ∈ (𝑝 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ 𝑝 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝑖𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧))})})) ⊆ (TarskiGCB ∩ {𝑓 ∣ [(Base‘𝑓) / 𝑝][(Itv‘𝑓) / 𝑖](LineG‘𝑓) = (𝑥 ∈ 𝑝, 𝑦 ∈ (𝑝 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ 𝑝 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝑖𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧))})})
3		inss1 4227	. . . . . . . 8 ⊢ (TarskiGCB ∩ {𝑓 ∣ [(Base‘𝑓) / 𝑝][(Itv‘𝑓) / 𝑖](LineG‘𝑓) = (𝑥 ∈ 𝑝, 𝑦 ∈ (𝑝 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ 𝑝 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝑖𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧))})}) ⊆ TarskiGCB
4	2, 3	sstri 3990	. . . . . . 7 ⊢ ((TarskiGC ∩ TarskiGB) ∩ (TarskiGCB ∩ {𝑓 ∣ [(Base‘𝑓) / 𝑝][(Itv‘𝑓) / 𝑖](LineG‘𝑓) = (𝑥 ∈ 𝑝, 𝑦 ∈ (𝑝 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ 𝑝 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝑖𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧))})})) ⊆ TarskiGCB
5	1, 4	eqsstri 4015	. . . . . 6 ⊢ TarskiG ⊆ TarskiGCB
6		axtrkg.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7	5, 6	sselid 3979	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiGCB)
8		axtrkg.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
9		axtrkg.d	. . . . . . . 8 ⊢ − = (dist‘𝐺)
10		axtrkg.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
11	8, 9, 10	istrkgcb 27687	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ TarskiGCB ↔ (𝐺 ∈ V ∧ (∀𝑥 ∈ 𝑃 ∀𝑦 ∈ 𝑃 ∀𝑧 ∈ 𝑃 ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑥 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑥 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑃 ∀𝑦 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑎 − 𝑏)))))
12	11	simprbi 498	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ TarskiGCB → (∀𝑥 ∈ 𝑃 ∀𝑦 ∈ 𝑃 ∀𝑧 ∈ 𝑃 ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑥 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑥 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑃 ∀𝑦 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑎 − 𝑏))))
13	12	simpld 496	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ TarskiGCB → ∀𝑥 ∈ 𝑃 ∀𝑦 ∈ 𝑃 ∀𝑧 ∈ 𝑃 ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑥 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑥 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)))
14	7, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑃 ∀𝑦 ∈ 𝑃 ∀𝑧 ∈ 𝑃 ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑥 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑥 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)))
15		axtg5seg.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
16		axtg5seg.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
17		axtg5seg.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
18		neeq1 3004	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ 𝑋 ≠ 𝑦))
19		oveq1 7411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝐼𝑧) = (𝑋𝐼𝑧))
20	19	eleq2d 2820	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ↔ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧)))
21	18, 20	3anbi12d 1438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ↔ (𝑋 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐))))
22		oveq1 7411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 − 𝑦) = (𝑋 − 𝑦))
23	22	eqeq1d 2735	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ↔ (𝑋 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏)))
24	23	anbi1d 631	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (((𝑥 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ↔ ((𝑋 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐))))
25		oveq1 7411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 − 𝑢) = (𝑋 − 𝑢))
26	25	eqeq1d 2735	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ↔ (𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣)))
27	26	anbi1d 631	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (((𝑥 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)) ↔ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣))))
28	24, 27	anbi12d 632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((((𝑥 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑥 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣))) ↔ (((𝑋 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))))
29	21, 28	anbi12d 632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑥 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑥 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) ↔ ((𝑋 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣))))))
30	29	imbi1d 342	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑥 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑥 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ (((𝑋 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣))))
31	30	ralbidv 3178	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑥 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑥 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣))))
32	31	2ralbidv 3219	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑥 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑥 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣))))
33	32	2ralbidv 3219	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑥 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑥 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣))))
34		neeq2 3005	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑋 ≠ 𝑦 ↔ 𝑋 ≠ 𝑌))
35		eleq1 2822	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ↔ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧)))
36	34, 35	3anbi12d 1438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((𝑋 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ↔ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐))))
37		oveq2 7412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑋 − 𝑦) = (𝑋 − 𝑌))
38	37	eqeq1d 2735	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((𝑋 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ↔ (𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏)))
39		oveq1 7411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑦 − 𝑧) = (𝑌 − 𝑧))
40	39	eqeq1d 2735	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐) ↔ (𝑌 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)))
41	38, 40	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (((𝑋 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ↔ ((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐))))
42		oveq1 7411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑦 − 𝑢) = (𝑌 − 𝑢))
43	42	eqeq1d 2735	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣) ↔ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))
44	43	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)) ↔ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣))))
45	41, 44	anbi12d 632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((((𝑋 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣))) ↔ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))))
46	36, 45	anbi12d 632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (((𝑋 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) ↔ ((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣))))))
47	46	imbi1d 342	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((((𝑋 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣))))
48	47	ralbidv 3178	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣))))
49	48	2ralbidv 3219	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣))))
50	49	2ralbidv 3219	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣))))
51		oveq2 7412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (𝑋𝐼𝑧) = (𝑋𝐼𝑍))
52	51	eleq2d 2820	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ↔ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)))
53	52	3anbi2d 1442	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → ((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ↔ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐))))
54		oveq2 7412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (𝑌 − 𝑧) = (𝑌 − 𝑍))
55	54	eqeq1d 2735	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → ((𝑌 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐) ↔ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)))
56	55	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ↔ ((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐))))
57	56	anbi1d 631	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → ((((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣))) ↔ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))))
58	53, 57	anbi12d 632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) ↔ ((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣))))))
59		oveq1 7411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (𝑧 − 𝑢) = (𝑍 − 𝑢))
60	59	eqeq1d 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → ((𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣) ↔ (𝑍 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)))
61	58, 60	imbi12d 345	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → ((((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣))))
62	61	ralbidv 3178	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣))))
63	62	2ralbidv 3219	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣))))
64	63	2ralbidv 3219	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣))))
65	33, 50, 64	rspc3v 3626	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) → (∀𝑥 ∈ 𝑃 ∀𝑦 ∈ 𝑃 ∀𝑧 ∈ 𝑃 ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑥 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑥 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) → ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣))))
66	15, 16, 17, 65	syl3anc 1372	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑃 ∀𝑦 ∈ 𝑃 ∀𝑧 ∈ 𝑃 ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑥 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑥 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) → ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣))))
67	14, 66	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)))
68		axtg5seg.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑃)
69		axtg5seg.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
70		axtg5seg.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
71		oveq2 7412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (𝑋 − 𝑢) = (𝑋 − 𝑈))
72	71	eqeq1d 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ↔ (𝑋 − 𝑈) = (𝑎 − 𝑣)))
73		oveq2 7412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (𝑌 − 𝑢) = (𝑌 − 𝑈))
74	73	eqeq1d 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → ((𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣) ↔ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣)))
75	72, 74	anbi12d 632	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)) ↔ ((𝑋 − 𝑈) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣))))
76	75	anbi2d 630	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → ((((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣))) ↔ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣)))))
77	76	anbi2d 630	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) ↔ ((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣))))))
78		oveq2 7412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (𝑍 − 𝑢) = (𝑍 − 𝑈))
79	78	eqeq1d 2735	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → ((𝑍 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣) ↔ (𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣)))
80	77, 79	imbi12d 345	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → ((((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣))))
81	80	2ralbidv 3219	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣))))
82		oveq1 7411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎𝐼𝑐) = (𝐴𝐼𝑐))
83	82	eleq2d 2820	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐) ↔ 𝑏 ∈ (𝐴𝐼𝑐)))
84	83	3anbi3d 1443	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ↔ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴𝐼𝑐))))
85		oveq1 7411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 − 𝑏) = (𝐴 − 𝑏))
86	85	eqeq2d 2744	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ↔ (𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝑏)))
87	86	anbi1d 631	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ↔ ((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐))))
88		oveq1 7411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 − 𝑣) = (𝐴 − 𝑣))
89	88	eqeq2d 2744	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝑋 − 𝑈) = (𝑎 − 𝑣) ↔ (𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣)))
90	89	anbi1d 631	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (((𝑋 − 𝑈) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣)) ↔ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣))))
91	87, 90	anbi12d 632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣))) ↔ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣)))))
92	84, 91	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣)))) ↔ ((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣))))))
93	92	imbi1d 342	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣))))
94	93	2ralbidv 3219	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣))))
95		eleq1 2822	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑏 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ↔ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐)))
96	95	3anbi3d 1443	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ↔ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐))))
97		oveq2 7412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝐴 − 𝑏) = (𝐴 − 𝐵))
98	97	eqeq2d 2744	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝑏) ↔ (𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵)))
99		oveq1 7411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑏 − 𝑐) = (𝐵 − 𝑐))
100	99	eqeq2d 2744	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐) ↔ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝑐)))
101	98, 100	anbi12d 632	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ↔ ((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝑐))))
102		oveq1 7411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑏 − 𝑣) = (𝐵 − 𝑣))
103	102	eqeq2d 2744	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣) ↔ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣)))
104	103	anbi2d 630	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣)) ↔ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣))))
105	101, 104	anbi12d 632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣))) ↔ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣)))))
106	96, 105	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣)))) ↔ ((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣))))))
107	106	imbi1d 342	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣))))
108	107	2ralbidv 3219	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣))))
109	81, 94, 108	rspc3v 3626	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 ∈ 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ 𝑃) → (∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) → ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣))))
110	68, 69, 70, 109	syl3anc 1372	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) → ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣))))
111	67, 110	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣)))
112		axtg5seg.9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
113		axtg5seg.10	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))
114		axtg5seg.11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
115	112, 113, 114	3jca 1129	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
116		axtg5seg.12	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵))
117		axtg5seg.13	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝐶))
118	116, 117	jca 513	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝐶)))
119		axtg5seg.14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑉))
120		axtg5seg.15	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑉))
121	119, 120	jca 513	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑉) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑉)))
122	115, 118, 121	jca32 517	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑉) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑉)))))
123		axtg5seg.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
124		axtg5seg.8	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑃)
125		oveq2 7412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (𝐴𝐼𝑐) = (𝐴𝐼𝐶))
126	125	eleq2d 2820	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ↔ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
127	126	3anbi3d 1443	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ↔ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))))
128		oveq2 7412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (𝐵 − 𝑐) = (𝐵 − 𝐶))
129	128	eqeq2d 2744	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ((𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝑐) ↔ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝐶)))
130	129	anbi2d 630	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝑐)) ↔ ((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝐶))))
131	130	anbi1d 631	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ((((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣))) ↔ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣)))))
132	127, 131	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣)))) ↔ ((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣))))))
133		oveq1 7411	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (𝑐 − 𝑣) = (𝐶 − 𝑣))
134	133	eqeq2d 2744	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ((𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣) ↔ (𝑍 − 𝑈) = (𝐶 − 𝑣)))
135	132, 134	imbi12d 345	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ((((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝐶 − 𝑣))))
136		oveq2 7412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → (𝐴 − 𝑣) = (𝐴 − 𝑉))
137	136	eqeq2d 2744	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ↔ (𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑉)))
138		oveq2 7412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → (𝐵 − 𝑣) = (𝐵 − 𝑉))
139	138	eqeq2d 2744	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → ((𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣) ↔ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑉)))
140	137, 139	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → (((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣)) ↔ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑉) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑉))))
141	140	anbi2d 630	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → ((((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣))) ↔ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑉) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑉)))))
142	141	anbi2d 630	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣)))) ↔ ((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑉) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑉))))))
143		oveq2 7412	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → (𝐶 − 𝑣) = (𝐶 − 𝑉))
144	143	eqeq2d 2744	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → ((𝑍 − 𝑈) = (𝐶 − 𝑣) ↔ (𝑍 − 𝑈) = (𝐶 − 𝑉)))
145	142, 144	imbi12d 345	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → ((((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝐶 − 𝑣)) ↔ (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑉) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑉)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝐶 − 𝑉))))
146	135, 145	rspc2v 3621	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑃 ∧ 𝑉 ∈ 𝑃) → (∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣)) → (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑉) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑉)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝐶 − 𝑉))))
147	123, 124, 146	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣)) → (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑉) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑉)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝐶 − 𝑉))))
148	111, 122, 147	mp2d 49	1 ⊢ (𝜑 → (𝑍 − 𝑈) = (𝐶 − 𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∨ w3o 1087   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {cab 2710   ≠ wne 2941  ∀wral 3062  ∃wrex 3071  {crab 3433  Vcvv 3475  [wsbc 3776   ∖ cdif 3944   ∩ cin 3946  {csn 4627  ‘cfv 6540  (class class class)co 7404   ∈ cmpo 7406  Basecbs 17140  distcds 17202  TarskiGcstrkg 27658  TarskiG_Ccstrkgc 27659  TarskiG_Bcstrkgb 27660  TarskiG_CBcstrkgcb 27661  Itvcitv 27664  LineGclng 27665

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-nul 5305

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-iota 6492  df-fv 6548  df-ov 7407  df-trkgcb 27681  df-trkg 27684

This theorem is referenced by:  tgcgrextend  27716  tgsegconeq  27717  tgifscgr  27739  tgfscgr  27799  tgbtwnconn1lem2  27804  tgbtwnconn1lem3  27805  miriso  27901  midexlem  27923  ragcgr  27938  footexALT  27949  footexlem1  27950  footexlem2  27951  lmiisolem  28027  f1otrg  28102  tg5segofs  33623