Theorem axtg5seg 28473

Description: Five segments axiom, Axiom A5 of [Schwabhauser] p. 11. Take two triangles 𝑋𝑍𝑈 and 𝐴𝐶𝑉, a point 𝑌 on 𝑋𝑍, and a point 𝐵 on 𝐴𝐶. If all corresponding line segments except for 𝑍𝑈 and 𝐶𝑉 are congruent ( i.e., 𝑋𝑌 ∼ 𝐴𝐵, 𝑌𝑍 ∼ 𝐵𝐶, 𝑋𝑈 ∼ 𝐴𝑉, and 𝑌𝑈 ∼ 𝐵𝑉), then 𝑍𝑈 and 𝐶𝑉 are also congruent. As noted in Axiom 5 of [Tarski1999] p. 178, "this axiom is similar in character to the well-known theorems of Euclidean geometry that allow one to conclude, from hypotheses about the congruence of certain corresponding sides and angles in two triangles, the congruence of other corresponding sides and angles." (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
axtrkg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
axtrkg.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
axtrkg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
axtrkg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
axtg5seg.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
axtg5seg.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
axtg5seg.3	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
axtg5seg.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
axtg5seg.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
axtg5seg.6	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
axtg5seg.7	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑃)
axtg5seg.8	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑃)
axtg5seg.9	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
axtg5seg.10	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))
axtg5seg.11	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
axtg5seg.12	⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵))
axtg5seg.13	⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝐶))
axtg5seg.14	⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑉))
axtg5seg.15	⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑉))

Assertion

Ref	Expression
axtg5seg	⊢ (𝜑 → (𝑍 − 𝑈) = (𝐶 − 𝑉))

Proof of Theorem axtg5seg

Dummy variables 𝑓 𝑖 𝑝 𝑥 𝑦 𝑧 𝑎 𝑏 𝑐 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-trkg 28461	. . . . . . 7 ⊢ TarskiG = ((TarskiGC ∩ TarskiGB) ∩ (TarskiGCB ∩ {𝑓 ∣ [(Base‘𝑓) / 𝑝][(Itv‘𝑓) / 𝑖](LineG‘𝑓) = (𝑥 ∈ 𝑝, 𝑦 ∈ (𝑝 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ 𝑝 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝑖𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧))})}))
2		inss2 4238	. . . . . . . 8 ⊢ ((TarskiGC ∩ TarskiGB) ∩ (TarskiGCB ∩ {𝑓 ∣ [(Base‘𝑓) / 𝑝][(Itv‘𝑓) / 𝑖](LineG‘𝑓) = (𝑥 ∈ 𝑝, 𝑦 ∈ (𝑝 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ 𝑝 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝑖𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧))})})) ⊆ (TarskiGCB ∩ {𝑓 ∣ [(Base‘𝑓) / 𝑝][(Itv‘𝑓) / 𝑖](LineG‘𝑓) = (𝑥 ∈ 𝑝, 𝑦 ∈ (𝑝 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ 𝑝 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝑖𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧))})})
3		inss1 4237	. . . . . . . 8 ⊢ (TarskiGCB ∩ {𝑓 ∣ [(Base‘𝑓) / 𝑝][(Itv‘𝑓) / 𝑖](LineG‘𝑓) = (𝑥 ∈ 𝑝, 𝑦 ∈ (𝑝 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ 𝑝 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝑖𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧))})}) ⊆ TarskiGCB
4	2, 3	sstri 3993	. . . . . . 7 ⊢ ((TarskiGC ∩ TarskiGB) ∩ (TarskiGCB ∩ {𝑓 ∣ [(Base‘𝑓) / 𝑝][(Itv‘𝑓) / 𝑖](LineG‘𝑓) = (𝑥 ∈ 𝑝, 𝑦 ∈ (𝑝 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ 𝑝 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝑖𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧))})})) ⊆ TarskiGCB
5	1, 4	eqsstri 4030	. . . . . 6 ⊢ TarskiG ⊆ TarskiGCB
6		axtrkg.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7	5, 6	sselid 3981	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiGCB)
8		axtrkg.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
9		axtrkg.d	. . . . . . . 8 ⊢ − = (dist‘𝐺)
10		axtrkg.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
11	8, 9, 10	istrkgcb 28464	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ TarskiGCB ↔ (𝐺 ∈ V ∧ (∀𝑥 ∈ 𝑃 ∀𝑦 ∈ 𝑃 ∀𝑧 ∈ 𝑃 ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑥 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑥 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑃 ∀𝑦 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑎 − 𝑏)))))
12	11	simprbi 496	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ TarskiGCB → (∀𝑥 ∈ 𝑃 ∀𝑦 ∈ 𝑃 ∀𝑧 ∈ 𝑃 ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑥 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑥 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑃 ∀𝑦 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑎 − 𝑏))))
13	12	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ TarskiGCB → ∀𝑥 ∈ 𝑃 ∀𝑦 ∈ 𝑃 ∀𝑧 ∈ 𝑃 ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑥 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑥 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)))
14	7, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑃 ∀𝑦 ∈ 𝑃 ∀𝑧 ∈ 𝑃 ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑥 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑥 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)))
15		axtg5seg.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
16		axtg5seg.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
17		axtg5seg.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
18		neeq1 3003	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ 𝑋 ≠ 𝑦))
19		oveq1 7438	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝐼𝑧) = (𝑋𝐼𝑧))
20	19	eleq2d 2827	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ↔ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧)))
21	18, 20	3anbi12d 1439	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ↔ (𝑋 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐))))
22		oveq1 7438	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 − 𝑦) = (𝑋 − 𝑦))
23	22	eqeq1d 2739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ↔ (𝑋 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏)))
24	23	anbi1d 631	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (((𝑥 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ↔ ((𝑋 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐))))
25		oveq1 7438	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 − 𝑢) = (𝑋 − 𝑢))
26	25	eqeq1d 2739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ↔ (𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣)))
27	26	anbi1d 631	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (((𝑥 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)) ↔ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣))))
28	24, 27	anbi12d 632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((((𝑥 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑥 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣))) ↔ (((𝑋 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))))
29	21, 28	anbi12d 632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑥 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑥 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) ↔ ((𝑋 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣))))))
30	29	imbi1d 341	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑥 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑥 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ (((𝑋 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣))))
31	30	ralbidv 3178	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑥 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑥 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣))))
32	31	2ralbidv 3221	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑥 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑥 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣))))
33	32	2ralbidv 3221	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑥 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑥 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣))))
34		neeq2 3004	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑋 ≠ 𝑦 ↔ 𝑋 ≠ 𝑌))
35		eleq1 2829	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ↔ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧)))
36	34, 35	3anbi12d 1439	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((𝑋 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ↔ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐))))
37		oveq2 7439	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑋 − 𝑦) = (𝑋 − 𝑌))
38	37	eqeq1d 2739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((𝑋 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ↔ (𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏)))
39		oveq1 7438	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑦 − 𝑧) = (𝑌 − 𝑧))
40	39	eqeq1d 2739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐) ↔ (𝑌 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)))
41	38, 40	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (((𝑋 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ↔ ((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐))))
42		oveq1 7438	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑦 − 𝑢) = (𝑌 − 𝑢))
43	42	eqeq1d 2739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣) ↔ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))
44	43	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)) ↔ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣))))
45	41, 44	anbi12d 632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((((𝑋 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣))) ↔ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))))
46	36, 45	anbi12d 632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (((𝑋 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) ↔ ((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣))))))
47	46	imbi1d 341	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((((𝑋 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣))))
48	47	ralbidv 3178	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣))))
49	48	2ralbidv 3221	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣))))
50	49	2ralbidv 3221	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣))))
51		oveq2 7439	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (𝑋𝐼𝑧) = (𝑋𝐼𝑍))
52	51	eleq2d 2827	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ↔ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)))
53	52	3anbi2d 1443	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → ((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ↔ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐))))
54		oveq2 7439	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (𝑌 − 𝑧) = (𝑌 − 𝑍))
55	54	eqeq1d 2739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → ((𝑌 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐) ↔ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)))
56	55	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ↔ ((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐))))
57	56	anbi1d 631	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → ((((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣))) ↔ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))))
58	53, 57	anbi12d 632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) ↔ ((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣))))))
59		oveq1 7438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (𝑧 − 𝑢) = (𝑍 − 𝑢))
60	59	eqeq1d 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → ((𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣) ↔ (𝑍 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)))
61	58, 60	imbi12d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → ((((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣))))
62	61	ralbidv 3178	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣))))
63	62	2ralbidv 3221	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣))))
64	63	2ralbidv 3221	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣))))
65	33, 50, 64	rspc3v 3638	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) → (∀𝑥 ∈ 𝑃 ∀𝑦 ∈ 𝑃 ∀𝑧 ∈ 𝑃 ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑥 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑥 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) → ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣))))
66	15, 16, 17, 65	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑃 ∀𝑦 ∈ 𝑃 ∀𝑧 ∈ 𝑃 ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑥 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑥 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) → ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣))))
67	14, 66	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)))
68		axtg5seg.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑃)
69		axtg5seg.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
70		axtg5seg.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
71		oveq2 7439	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (𝑋 − 𝑢) = (𝑋 − 𝑈))
72	71	eqeq1d 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ↔ (𝑋 − 𝑈) = (𝑎 − 𝑣)))
73		oveq2 7439	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (𝑌 − 𝑢) = (𝑌 − 𝑈))
74	73	eqeq1d 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → ((𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣) ↔ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣)))
75	72, 74	anbi12d 632	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)) ↔ ((𝑋 − 𝑈) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣))))
76	75	anbi2d 630	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → ((((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣))) ↔ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣)))))
77	76	anbi2d 630	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) ↔ ((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣))))))
78		oveq2 7439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (𝑍 − 𝑢) = (𝑍 − 𝑈))
79	78	eqeq1d 2739	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → ((𝑍 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣) ↔ (𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣)))
80	77, 79	imbi12d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → ((((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣))))
81	80	2ralbidv 3221	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣))))
82		oveq1 7438	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎𝐼𝑐) = (𝐴𝐼𝑐))
83	82	eleq2d 2827	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐) ↔ 𝑏 ∈ (𝐴𝐼𝑐)))
84	83	3anbi3d 1444	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ↔ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴𝐼𝑐))))
85		oveq1 7438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 − 𝑏) = (𝐴 − 𝑏))
86	85	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ↔ (𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝑏)))
87	86	anbi1d 631	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ↔ ((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐))))
88		oveq1 7438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 − 𝑣) = (𝐴 − 𝑣))
89	88	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝑋 − 𝑈) = (𝑎 − 𝑣) ↔ (𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣)))
90	89	anbi1d 631	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (((𝑋 − 𝑈) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣)) ↔ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣))))
91	87, 90	anbi12d 632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣))) ↔ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣)))))
92	84, 91	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣)))) ↔ ((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣))))))
93	92	imbi1d 341	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣))))
94	93	2ralbidv 3221	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣))))
95		eleq1 2829	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑏 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ↔ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐)))
96	95	3anbi3d 1444	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ↔ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐))))
97		oveq2 7439	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝐴 − 𝑏) = (𝐴 − 𝐵))
98	97	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝑏) ↔ (𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵)))
99		oveq1 7438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑏 − 𝑐) = (𝐵 − 𝑐))
100	99	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐) ↔ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝑐)))
101	98, 100	anbi12d 632	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ↔ ((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝑐))))
102		oveq1 7438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑏 − 𝑣) = (𝐵 − 𝑣))
103	102	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣) ↔ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣)))
104	103	anbi2d 630	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣)) ↔ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣))))
105	101, 104	anbi12d 632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣))) ↔ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣)))))
106	96, 105	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣)))) ↔ ((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣))))))
107	106	imbi1d 341	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣))))
108	107	2ralbidv 3221	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣))))
109	81, 94, 108	rspc3v 3638	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 ∈ 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ 𝑃) → (∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) → ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣))))
110	68, 69, 70, 109	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) → ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣))))
111	67, 110	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣)))
112		axtg5seg.9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
113		axtg5seg.10	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))
114		axtg5seg.11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
115	112, 113, 114	3jca 1129	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
116		axtg5seg.12	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵))
117		axtg5seg.13	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝐶))
118	116, 117	jca 511	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝐶)))
119		axtg5seg.14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑉))
120		axtg5seg.15	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑉))
121	119, 120	jca 511	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑉) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑉)))
122	115, 118, 121	jca32 515	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑉) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑉)))))
123		axtg5seg.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
124		axtg5seg.8	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑃)
125		oveq2 7439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (𝐴𝐼𝑐) = (𝐴𝐼𝐶))
126	125	eleq2d 2827	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ↔ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
127	126	3anbi3d 1444	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ↔ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))))
128		oveq2 7439	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (𝐵 − 𝑐) = (𝐵 − 𝐶))
129	128	eqeq2d 2748	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ((𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝑐) ↔ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝐶)))
130	129	anbi2d 630	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝑐)) ↔ ((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝐶))))
131	130	anbi1d 631	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ((((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣))) ↔ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣)))))
132	127, 131	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣)))) ↔ ((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣))))))
133		oveq1 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (𝑐 − 𝑣) = (𝐶 − 𝑣))
134	133	eqeq2d 2748	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ((𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣) ↔ (𝑍 − 𝑈) = (𝐶 − 𝑣)))
135	132, 134	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ((((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝐶 − 𝑣))))
136		oveq2 7439	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → (𝐴 − 𝑣) = (𝐴 − 𝑉))
137	136	eqeq2d 2748	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ↔ (𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑉)))
138		oveq2 7439	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → (𝐵 − 𝑣) = (𝐵 − 𝑉))
139	138	eqeq2d 2748	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → ((𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣) ↔ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑉)))
140	137, 139	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → (((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣)) ↔ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑉) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑉))))
141	140	anbi2d 630	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → ((((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣))) ↔ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑉) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑉)))))
142	141	anbi2d 630	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣)))) ↔ ((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑉) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑉))))))
143		oveq2 7439	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → (𝐶 − 𝑣) = (𝐶 − 𝑉))
144	143	eqeq2d 2748	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → ((𝑍 − 𝑈) = (𝐶 − 𝑣) ↔ (𝑍 − 𝑈) = (𝐶 − 𝑉)))
145	142, 144	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → ((((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝐶 − 𝑣)) ↔ (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑉) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑉)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝐶 − 𝑉))))
146	135, 145	rspc2v 3633	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑃 ∧ 𝑉 ∈ 𝑃) → (∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣)) → (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑉) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑉)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝐶 − 𝑉))))
147	123, 124, 146	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣)) → (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑉) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑉)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝐶 − 𝑉))))
148	111, 122, 147	mp2d 49	1 ⊢ (𝜑 → (𝑍 − 𝑈) = (𝐶 − 𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ w3o 1086   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {cab 2714   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  {crab 3436  Vcvv 3480  [wsbc 3788   ∖ cdif 3948   ∩ cin 3950  {csn 4626  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ∈ cmpo 7433  Basecbs 17247  distcds 17306  TarskiGcstrkg 28435  TarskiG_Ccstrkgc 28436  TarskiG_Bcstrkgb 28437  TarskiG_CBcstrkgcb 28438  Itvcitv 28441  LineGclng 28442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2708  ax-nul 5306

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-iota 6514  df-fv 6569  df-ov 7434  df-trkgcb 28458  df-trkg 28461

This theorem is referenced by:  tgcgrextend  28493  tgsegconeq  28494  tgifscgr  28516  tgfscgr  28576  tgbtwnconn1lem2  28581  tgbtwnconn1lem3  28582  miriso  28678  midexlem  28700  ragcgr  28715  footexALT  28726  footexlem1  28727  footexlem2  28728  lmiisolem  28804  f1otrg  28879  tg5segofs  34688