Theorem axtg5seg 28927

Description: Five segments axiom, Axiom A5 of [Schwabhauser] p. 11. Take two triangles 𝑋𝑍𝑈 and 𝐴𝐶𝑉, a point 𝑌 on 𝑋𝑍, and a point 𝐵 on 𝐴𝐶. If all corresponding line segments except for 𝑍𝑈 and 𝐶𝑉 are congruent ( i.e., 𝑋𝑌 ∼ 𝐴𝐵, 𝑌𝑍 ∼ 𝐵𝐶, 𝑋𝑈 ∼ 𝐴𝑉, and 𝑌𝑈 ∼ 𝐵𝑉), then 𝑍𝑈 and 𝐶𝑉 are also congruent. As noted in Axiom 5 of [Tarski1999] p. 178, "this axiom is similar in character to the well-known theorems of Euclidean geometry that allow one to conclude, from hypotheses about the congruence of certain corresponding sides and angles in two triangles, the congruence of other corresponding sides and angles." (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
axtrkg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
axtrkg.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
axtrkg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
axtrkg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
axtg5seg.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
axtg5seg.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
axtg5seg.3	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
axtg5seg.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
axtg5seg.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
axtg5seg.6	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
axtg5seg.7	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑃)
axtg5seg.8	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑃)
axtg5seg.9	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
axtg5seg.10	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))
axtg5seg.11	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
axtg5seg.12	⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵))
axtg5seg.13	⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝐶))
axtg5seg.14	⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑉))
axtg5seg.15	⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑉))

Assertion

Ref	Expression
axtg5seg	⊢ (𝜑 → (𝑍 − 𝑈) = (𝐶 − 𝑉))

Proof of Theorem axtg5seg

Dummy variables 𝑓 𝑖 𝑝 𝑥 𝑦 𝑧 𝑎 𝑏 𝑐 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-trkg 28915	. . . . . . 7 ⊢ TarskiG = ((TarskiGC ∩ TarskiGB) ∩ (TarskiGCB ∩ {𝑓 ∣ [(Base‘𝑓) / 𝑝][(Itv‘𝑓) / 𝑖](LineG‘𝑓) = (𝑥 ∈ 𝑝, 𝑦 ∈ (𝑝 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ 𝑝 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝑖𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧))})}))
2		inss2 4183	. . . . . . . 8 ⊢ ((TarskiGC ∩ TarskiGB) ∩ (TarskiGCB ∩ {𝑓 ∣ [(Base‘𝑓) / 𝑝][(Itv‘𝑓) / 𝑖](LineG‘𝑓) = (𝑥 ∈ 𝑝, 𝑦 ∈ (𝑝 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ 𝑝 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝑖𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧))})})) ⊆ (TarskiGCB ∩ {𝑓 ∣ [(Base‘𝑓) / 𝑝][(Itv‘𝑓) / 𝑖](LineG‘𝑓) = (𝑥 ∈ 𝑝, 𝑦 ∈ (𝑝 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ 𝑝 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝑖𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧))})})
3		inss1 4182	. . . . . . . 8 ⊢ (TarskiGCB ∩ {𝑓 ∣ [(Base‘𝑓) / 𝑝][(Itv‘𝑓) / 𝑖](LineG‘𝑓) = (𝑥 ∈ 𝑝, 𝑦 ∈ (𝑝 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ 𝑝 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝑖𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧))})}) ⊆ TarskiGCB
4	2, 3	sstri 3940	. . . . . . 7 ⊢ ((TarskiGC ∩ TarskiGB) ∩ (TarskiGCB ∩ {𝑓 ∣ [(Base‘𝑓) / 𝑝][(Itv‘𝑓) / 𝑖](LineG‘𝑓) = (𝑥 ∈ 𝑝, 𝑦 ∈ (𝑝 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ 𝑝 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝑖𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧))})})) ⊆ TarskiGCB
5	1, 4	eqsstri 3977	. . . . . 6 ⊢ TarskiG ⊆ TarskiGCB
6		axtrkg.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7	5, 6	sselid 3929	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiGCB)
8		axtrkg.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
9		axtrkg.d	. . . . . . . 8 ⊢ − = (dist‘𝐺)
10		axtrkg.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
11	8, 9, 10	istrkgcb 28918	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ TarskiGCB ↔ (𝐺 ∈ V ∧ (∀𝑥 ∈ 𝑃 ∀𝑦 ∈ 𝑃 ∀𝑧 ∈ 𝑃 ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑥 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑥 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑃 ∀𝑦 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑎 − 𝑏)))))
12	11	simprbi 503	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ TarskiGCB → (∀𝑥 ∈ 𝑃 ∀𝑦 ∈ 𝑃 ∀𝑧 ∈ 𝑃 ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑥 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑥 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑃 ∀𝑦 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑎 − 𝑏))))
13	12	simpld 500	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ TarskiGCB → ∀𝑥 ∈ 𝑃 ∀𝑦 ∈ 𝑃 ∀𝑧 ∈ 𝑃 ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑥 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑥 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)))
14	7, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑃 ∀𝑦 ∈ 𝑃 ∀𝑧 ∈ 𝑃 ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑥 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑥 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)))
15		axtg5seg.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
16		axtg5seg.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
17		axtg5seg.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
18		neeq1 3018	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ 𝑋 ≠ 𝑦))
19		oveq1 7427	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝐼𝑧) = (𝑋𝐼𝑧))
20	19	eleq2d 2847	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ↔ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧)))
21	18, 20	3anbi12d 1465	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ↔ (𝑋 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐))))
22		oveq1 7427	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 − 𝑦) = (𝑋 − 𝑦))
23	22	eqeq1d 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ↔ (𝑋 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏)))
24	23	anbi1d 643	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (((𝑥 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ↔ ((𝑋 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐))))
25		oveq1 7427	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 − 𝑢) = (𝑋 − 𝑢))
26	25	eqeq1d 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ↔ (𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣)))
27	26	anbi1d 643	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (((𝑥 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)) ↔ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣))))
28	24, 27	anbi12d 644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((((𝑥 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑥 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣))) ↔ (((𝑋 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))))
29	21, 28	anbi12d 644	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑥 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑥 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) ↔ ((𝑋 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣))))))
30	29	imbi1d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑥 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑥 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ (((𝑋 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣))))
31	30	ralbidv 3186	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑥 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑥 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣))))
32	31	2ralbidv 3227	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑥 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑥 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣))))
33	32	2ralbidv 3227	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑥 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑥 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣))))
34		neeq2 3019	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑋 ≠ 𝑦 ↔ 𝑋 ≠ 𝑌))
35		eleq1 2849	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ↔ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧)))
36	34, 35	3anbi12d 1465	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((𝑋 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ↔ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐))))
37		oveq2 7428	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑋 − 𝑦) = (𝑋 − 𝑌))
38	37	eqeq1d 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((𝑋 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ↔ (𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏)))
39		oveq1 7427	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑦 − 𝑧) = (𝑌 − 𝑧))
40	39	eqeq1d 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐) ↔ (𝑌 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)))
41	38, 40	anbi12d 644	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (((𝑋 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ↔ ((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐))))
42		oveq1 7427	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑦 − 𝑢) = (𝑌 − 𝑢))
43	42	eqeq1d 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣) ↔ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))
44	43	anbi2d 642	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)) ↔ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣))))
45	41, 44	anbi12d 644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((((𝑋 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣))) ↔ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))))
46	36, 45	anbi12d 644	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (((𝑋 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) ↔ ((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣))))))
47	46	imbi1d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((((𝑋 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣))))
48	47	ralbidv 3186	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣))))
49	48	2ralbidv 3227	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣))))
50	49	2ralbidv 3227	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣))))
51		oveq2 7428	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (𝑋𝐼𝑧) = (𝑋𝐼𝑍))
52	51	eleq2d 2847	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ↔ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)))
53	52	3anbi2d 1469	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → ((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ↔ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐))))
54		oveq2 7428	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (𝑌 − 𝑧) = (𝑌 − 𝑍))
55	54	eqeq1d 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → ((𝑌 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐) ↔ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)))
56	55	anbi2d 642	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ↔ ((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐))))
57	56	anbi1d 643	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → ((((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣))) ↔ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))))
58	53, 57	anbi12d 644	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) ↔ ((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣))))))
59		oveq1 7427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (𝑧 − 𝑢) = (𝑍 − 𝑢))
60	59	eqeq1d 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → ((𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣) ↔ (𝑍 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)))
61	58, 60	imbi12d 347	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → ((((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣))))
62	61	ralbidv 3186	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣))))
63	62	2ralbidv 3227	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣))))
64	63	2ralbidv 3227	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣))))
65	33, 50, 64	rspc3v 3592	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) → (∀𝑥 ∈ 𝑃 ∀𝑦 ∈ 𝑃 ∀𝑧 ∈ 𝑃 ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑥 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑥 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) → ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣))))
66	15, 16, 17, 65	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑃 ∀𝑦 ∈ 𝑃 ∀𝑧 ∈ 𝑃 ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑥 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑥 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) → ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣))))
67	14, 66	mpd 16	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)))
68		axtg5seg.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑃)
69		axtg5seg.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
70		axtg5seg.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
71		oveq2 7428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (𝑋 − 𝑢) = (𝑋 − 𝑈))
72	71	eqeq1d 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ↔ (𝑋 − 𝑈) = (𝑎 − 𝑣)))
73		oveq2 7428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (𝑌 − 𝑢) = (𝑌 − 𝑈))
74	73	eqeq1d 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → ((𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣) ↔ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣)))
75	72, 74	anbi12d 644	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)) ↔ ((𝑋 − 𝑈) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣))))
76	75	anbi2d 642	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → ((((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣))) ↔ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣)))))
77	76	anbi2d 642	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) ↔ ((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣))))))
78		oveq2 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (𝑍 − 𝑢) = (𝑍 − 𝑈))
79	78	eqeq1d 2763	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → ((𝑍 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣) ↔ (𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣)))
80	77, 79	imbi12d 347	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → ((((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣))))
81	80	2ralbidv 3227	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣))))
82		oveq1 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎𝐼𝑐) = (𝐴𝐼𝑐))
83	82	eleq2d 2847	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐) ↔ 𝑏 ∈ (𝐴𝐼𝑐)))
84	83	3anbi3d 1470	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ↔ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴𝐼𝑐))))
85		oveq1 7427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 − 𝑏) = (𝐴 − 𝑏))
86	85	eqeq2d 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ↔ (𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝑏)))
87	86	anbi1d 643	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ↔ ((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐))))
88		oveq1 7427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 − 𝑣) = (𝐴 − 𝑣))
89	88	eqeq2d 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝑋 − 𝑈) = (𝑎 − 𝑣) ↔ (𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣)))
90	89	anbi1d 643	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (((𝑋 − 𝑈) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣)) ↔ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣))))
91	87, 90	anbi12d 644	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣))) ↔ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣)))))
92	84, 91	anbi12d 644	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣)))) ↔ ((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣))))))
93	92	imbi1d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣))))
94	93	2ralbidv 3227	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣))))
95		eleq1 2849	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑏 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ↔ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐)))
96	95	3anbi3d 1470	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ↔ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐))))
97		oveq2 7428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝐴 − 𝑏) = (𝐴 − 𝐵))
98	97	eqeq2d 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝑏) ↔ (𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵)))
99		oveq1 7427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑏 − 𝑐) = (𝐵 − 𝑐))
100	99	eqeq2d 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐) ↔ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝑐)))
101	98, 100	anbi12d 644	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ↔ ((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝑐))))
102		oveq1 7427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑏 − 𝑣) = (𝐵 − 𝑣))
103	102	eqeq2d 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣) ↔ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣)))
104	103	anbi2d 642	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣)) ↔ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣))))
105	101, 104	anbi12d 644	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣))) ↔ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣)))))
106	96, 105	anbi12d 644	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣)))) ↔ ((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣))))))
107	106	imbi1d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣))))
108	107	2ralbidv 3227	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣))))
109	81, 94, 108	rspc3v 3592	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 ∈ 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ 𝑃) → (∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) → ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣))))
110	68, 69, 70, 109	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) → ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣))))
111	67, 110	mpd 16	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣)))
112		axtg5seg.9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
113		axtg5seg.10	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))
114		axtg5seg.11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
115	112, 113, 114	3jca 1146	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
116		axtg5seg.12	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵))
117		axtg5seg.13	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝐶))
118	116, 117	jca 521	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝐶)))
119		axtg5seg.14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑉))
120		axtg5seg.15	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑉))
121	119, 120	jca 521	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑉) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑉)))
122	115, 118, 121	jca32 525	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑉) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑉)))))
123		axtg5seg.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
124		axtg5seg.8	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑃)
125		oveq2 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (𝐴𝐼𝑐) = (𝐴𝐼𝐶))
126	125	eleq2d 2847	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ↔ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
127	126	3anbi3d 1470	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ↔ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))))
128		oveq2 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (𝐵 − 𝑐) = (𝐵 − 𝐶))
129	128	eqeq2d 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ((𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝑐) ↔ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝐶)))
130	129	anbi2d 642	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝑐)) ↔ ((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝐶))))
131	130	anbi1d 643	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ((((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣))) ↔ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣)))))
132	127, 131	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣)))) ↔ ((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣))))))
133		oveq1 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (𝑐 − 𝑣) = (𝐶 − 𝑣))
134	133	eqeq2d 2772	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ((𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣) ↔ (𝑍 − 𝑈) = (𝐶 − 𝑣)))
135	132, 134	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ((((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝐶 − 𝑣))))
136		oveq2 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → (𝐴 − 𝑣) = (𝐴 − 𝑉))
137	136	eqeq2d 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ↔ (𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑉)))
138		oveq2 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → (𝐵 − 𝑣) = (𝐵 − 𝑉))
139	138	eqeq2d 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → ((𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣) ↔ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑉)))
140	137, 139	anbi12d 644	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → (((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣)) ↔ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑉) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑉))))
141	140	anbi2d 642	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → ((((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣))) ↔ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑉) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑉)))))
142	141	anbi2d 642	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣)))) ↔ ((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑉) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑉))))))
143		oveq2 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → (𝐶 − 𝑣) = (𝐶 − 𝑉))
144	143	eqeq2d 2772	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → ((𝑍 − 𝑈) = (𝐶 − 𝑣) ↔ (𝑍 − 𝑈) = (𝐶 − 𝑉)))
145	142, 144	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → ((((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝐶 − 𝑣)) ↔ (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑉) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑉)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝐶 − 𝑉))))
146	135, 145	rspc2v 3587	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑃 ∧ 𝑉 ∈ 𝑃) → (∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣)) → (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑉) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑉)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝐶 − 𝑉))))
147	123, 124, 146	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣)) → (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑉) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑉)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝐶 − 𝑉))))
148	111, 122, 147	mp2d 50	1 ⊢ (𝜑 → (𝑍 − 𝑈) = (𝐶 − 𝑉))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ w3o 1102   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {cab 2739   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  {crab 3413  Vcvv 3451  [wsbc 3739   ∖ cdif 3896   ∩ cin 3898  {csn 4584  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∈ cmpo 7422  Basecbs 17387  distcds 17437  TarskiGcstrkg 28889  TarskiG_Ccstrkgc 28890  TarskiG_Bcstrkgb 28891  TarskiG_CBcstrkgcb 28892  Itvcitv 28895  LineGclng 28896

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2733  ax-nul 5260

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-iota 6494  df-fv 6546  df-ov 7423  df-trkgcb 28912  df-trkg 28915

This theorem is used by:  tgcgrextend  28947  tgsegconeq  28948  tgifscgr  28971  tgfscgr  29031  tgbtwnconn1lem2  29036  tgbtwnconn1lem3  29037  miriso  29142  midexlem  29164  ragcgr  29182  footexALT  29193  footexlem1  29194  footexlem2  29195  lmiisolem  29301  tgaaddcpbllem1  29349  f1otrg  29448  tg5segofs  35305