Theorem axtg5seg 28785

Description: Five segments axiom, Axiom A5 of [Schwabhauser] p. 11. Take two triangles 𝑋𝑍𝑈 and 𝐴𝐶𝑉, a point 𝑌 on 𝑋𝑍, and a point 𝐵 on 𝐴𝐶. If all corresponding line segments except for 𝑍𝑈 and 𝐶𝑉 are congruent ( i.e., 𝑋𝑌 ∼ 𝐴𝐵, 𝑌𝑍 ∼ 𝐵𝐶, 𝑋𝑈 ∼ 𝐴𝑉, and 𝑌𝑈 ∼ 𝐵𝑉), then 𝑍𝑈 and 𝐶𝑉 are also congruent. As noted in Axiom 5 of [Tarski1999] p. 178, "this axiom is similar in character to the well-known theorems of Euclidean geometry that allow one to conclude, from hypotheses about the congruence of certain corresponding sides and angles in two triangles, the congruence of other corresponding sides and angles." (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
axtrkg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
axtrkg.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
axtrkg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
axtrkg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
axtg5seg.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
axtg5seg.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
axtg5seg.3	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
axtg5seg.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
axtg5seg.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
axtg5seg.6	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
axtg5seg.7	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑃)
axtg5seg.8	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑃)
axtg5seg.9	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
axtg5seg.10	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))
axtg5seg.11	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
axtg5seg.12	⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵))
axtg5seg.13	⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝐶))
axtg5seg.14	⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑉))
axtg5seg.15	⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑉))

Assertion

Ref	Expression
axtg5seg	⊢ (𝜑 → (𝑍 − 𝑈) = (𝐶 − 𝑉))

Proof of Theorem axtg5seg

Dummy variables 𝑓 𝑖 𝑝 𝑥 𝑦 𝑧 𝑎 𝑏 𝑐 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-trkg 28773	. . . . . . 7 ⊢ TarskiG = ((TarskiGC ∩ TarskiGB) ∩ (TarskiGCB ∩ {𝑓 ∣ [(Base‘𝑓) / 𝑝][(Itv‘𝑓) / 𝑖](LineG‘𝑓) = (𝑥 ∈ 𝑝, 𝑦 ∈ (𝑝 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ 𝑝 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝑖𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧))})}))
2		inss2 4190	. . . . . . . 8 ⊢ ((TarskiGC ∩ TarskiGB) ∩ (TarskiGCB ∩ {𝑓 ∣ [(Base‘𝑓) / 𝑝][(Itv‘𝑓) / 𝑖](LineG‘𝑓) = (𝑥 ∈ 𝑝, 𝑦 ∈ (𝑝 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ 𝑝 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝑖𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧))})})) ⊆ (TarskiGCB ∩ {𝑓 ∣ [(Base‘𝑓) / 𝑝][(Itv‘𝑓) / 𝑖](LineG‘𝑓) = (𝑥 ∈ 𝑝, 𝑦 ∈ (𝑝 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ 𝑝 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝑖𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧))})})
3		inss1 4189	. . . . . . . 8 ⊢ (TarskiGCB ∩ {𝑓 ∣ [(Base‘𝑓) / 𝑝][(Itv‘𝑓) / 𝑖](LineG‘𝑓) = (𝑥 ∈ 𝑝, 𝑦 ∈ (𝑝 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ 𝑝 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝑖𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧))})}) ⊆ TarskiGCB
4	2, 3	sstri 3947	. . . . . . 7 ⊢ ((TarskiGC ∩ TarskiGB) ∩ (TarskiGCB ∩ {𝑓 ∣ [(Base‘𝑓) / 𝑝][(Itv‘𝑓) / 𝑖](LineG‘𝑓) = (𝑥 ∈ 𝑝, 𝑦 ∈ (𝑝 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ 𝑝 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝑖𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧))})})) ⊆ TarskiGCB
5	1, 4	eqsstri 3984	. . . . . 6 ⊢ TarskiG ⊆ TarskiGCB
6		axtrkg.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7	5, 6	sselid 3936	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiGCB)
8		axtrkg.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
9		axtrkg.d	. . . . . . . 8 ⊢ − = (dist‘𝐺)
10		axtrkg.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
11	8, 9, 10	istrkgcb 28776	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ TarskiGCB ↔ (𝐺 ∈ V ∧ (∀𝑥 ∈ 𝑃 ∀𝑦 ∈ 𝑃 ∀𝑧 ∈ 𝑃 ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑥 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑥 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑃 ∀𝑦 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑎 − 𝑏)))))
12	11	simprbi 503	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ TarskiGCB → (∀𝑥 ∈ 𝑃 ∀𝑦 ∈ 𝑃 ∀𝑧 ∈ 𝑃 ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑥 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑥 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑃 ∀𝑦 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑎 − 𝑏))))
13	12	simpld 500	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ TarskiGCB → ∀𝑥 ∈ 𝑃 ∀𝑦 ∈ 𝑃 ∀𝑧 ∈ 𝑃 ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑥 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑥 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)))
14	7, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑃 ∀𝑦 ∈ 𝑃 ∀𝑧 ∈ 𝑃 ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑥 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑥 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)))
15		axtg5seg.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
16		axtg5seg.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
17		axtg5seg.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
18		neeq1 3022	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ 𝑋 ≠ 𝑦))
19		oveq1 7426	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝐼𝑧) = (𝑋𝐼𝑧))
20	19	eleq2d 2851	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ↔ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧)))
21	18, 20	3anbi12d 1465	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ↔ (𝑋 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐))))
22		oveq1 7426	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 − 𝑦) = (𝑋 − 𝑦))
23	22	eqeq1d 2767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ↔ (𝑋 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏)))
24	23	anbi1d 643	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (((𝑥 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ↔ ((𝑋 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐))))
25		oveq1 7426	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 − 𝑢) = (𝑋 − 𝑢))
26	25	eqeq1d 2767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ↔ (𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣)))
27	26	anbi1d 643	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (((𝑥 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)) ↔ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣))))
28	24, 27	anbi12d 644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((((𝑥 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑥 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣))) ↔ (((𝑋 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))))
29	21, 28	anbi12d 644	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑥 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑥 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) ↔ ((𝑋 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣))))))
30	29	imbi1d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑥 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑥 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ (((𝑋 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣))))
31	30	ralbidv 3190	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑥 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑥 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣))))
32	31	2ralbidv 3231	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑥 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑥 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣))))
33	32	2ralbidv 3231	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑥 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑥 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣))))
34		neeq2 3023	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑋 ≠ 𝑦 ↔ 𝑋 ≠ 𝑌))
35		eleq1 2853	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ↔ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧)))
36	34, 35	3anbi12d 1465	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((𝑋 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ↔ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐))))
37		oveq2 7427	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑋 − 𝑦) = (𝑋 − 𝑌))
38	37	eqeq1d 2767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((𝑋 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ↔ (𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏)))
39		oveq1 7426	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑦 − 𝑧) = (𝑌 − 𝑧))
40	39	eqeq1d 2767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐) ↔ (𝑌 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)))
41	38, 40	anbi12d 644	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (((𝑋 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ↔ ((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐))))
42		oveq1 7426	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑦 − 𝑢) = (𝑌 − 𝑢))
43	42	eqeq1d 2767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣) ↔ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))
44	43	anbi2d 642	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)) ↔ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣))))
45	41, 44	anbi12d 644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((((𝑋 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣))) ↔ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))))
46	36, 45	anbi12d 644	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (((𝑋 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) ↔ ((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣))))))
47	46	imbi1d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((((𝑋 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣))))
48	47	ralbidv 3190	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣))))
49	48	2ralbidv 3231	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣))))
50	49	2ralbidv 3231	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣))))
51		oveq2 7427	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (𝑋𝐼𝑧) = (𝑋𝐼𝑍))
52	51	eleq2d 2851	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ↔ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)))
53	52	3anbi2d 1469	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → ((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ↔ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐))))
54		oveq2 7427	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (𝑌 − 𝑧) = (𝑌 − 𝑍))
55	54	eqeq1d 2767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → ((𝑌 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐) ↔ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)))
56	55	anbi2d 642	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ↔ ((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐))))
57	56	anbi1d 643	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → ((((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣))) ↔ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))))
58	53, 57	anbi12d 644	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) ↔ ((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣))))))
59		oveq1 7426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (𝑧 − 𝑢) = (𝑍 − 𝑢))
60	59	eqeq1d 2767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → ((𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣) ↔ (𝑍 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)))
61	58, 60	imbi12d 347	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → ((((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣))))
62	61	ralbidv 3190	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣))))
63	62	2ralbidv 3231	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣))))
64	63	2ralbidv 3231	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣))))
65	33, 50, 64	rspc3v 3599	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) → (∀𝑥 ∈ 𝑃 ∀𝑦 ∈ 𝑃 ∀𝑧 ∈ 𝑃 ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑥 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑥 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) → ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣))))
66	15, 16, 17, 65	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑃 ∀𝑦 ∈ 𝑃 ∀𝑧 ∈ 𝑃 ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑥 − 𝑦) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑥 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑧 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) → ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣))))
67	14, 66	mpd 16	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)))
68		axtg5seg.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑃)
69		axtg5seg.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
70		axtg5seg.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
71		oveq2 7427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (𝑋 − 𝑢) = (𝑋 − 𝑈))
72	71	eqeq1d 2767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ↔ (𝑋 − 𝑈) = (𝑎 − 𝑣)))
73		oveq2 7427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (𝑌 − 𝑢) = (𝑌 − 𝑈))
74	73	eqeq1d 2767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → ((𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣) ↔ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣)))
75	72, 74	anbi12d 644	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)) ↔ ((𝑋 − 𝑈) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣))))
76	75	anbi2d 642	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → ((((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣))) ↔ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣)))))
77	76	anbi2d 642	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) ↔ ((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣))))))
78		oveq2 7427	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (𝑍 − 𝑢) = (𝑍 − 𝑈))
79	78	eqeq1d 2767	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → ((𝑍 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣) ↔ (𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣)))
80	77, 79	imbi12d 347	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → ((((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣))))
81	80	2ralbidv 3231	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣))))
82		oveq1 7426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎𝐼𝑐) = (𝐴𝐼𝑐))
83	82	eleq2d 2851	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐) ↔ 𝑏 ∈ (𝐴𝐼𝑐)))
84	83	3anbi3d 1470	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ↔ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴𝐼𝑐))))
85		oveq1 7426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 − 𝑏) = (𝐴 − 𝑏))
86	85	eqeq2d 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ↔ (𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝑏)))
87	86	anbi1d 643	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ↔ ((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐))))
88		oveq1 7426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 − 𝑣) = (𝐴 − 𝑣))
89	88	eqeq2d 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝑋 − 𝑈) = (𝑎 − 𝑣) ↔ (𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣)))
90	89	anbi1d 643	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (((𝑋 − 𝑈) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣)) ↔ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣))))
91	87, 90	anbi12d 644	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣))) ↔ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣)))))
92	84, 91	anbi12d 644	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣)))) ↔ ((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣))))))
93	92	imbi1d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣))))
94	93	2ralbidv 3231	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣))))
95		eleq1 2853	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑏 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ↔ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐)))
96	95	3anbi3d 1470	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ↔ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐))))
97		oveq2 7427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝐴 − 𝑏) = (𝐴 − 𝐵))
98	97	eqeq2d 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝑏) ↔ (𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵)))
99		oveq1 7426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑏 − 𝑐) = (𝐵 − 𝑐))
100	99	eqeq2d 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐) ↔ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝑐)))
101	98, 100	anbi12d 644	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ↔ ((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝑐))))
102		oveq1 7426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑏 − 𝑣) = (𝐵 − 𝑣))
103	102	eqeq2d 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣) ↔ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣)))
104	103	anbi2d 642	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣)) ↔ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣))))
105	101, 104	anbi12d 644	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣))) ↔ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣)))))
106	96, 105	anbi12d 644	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣)))) ↔ ((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣))))))
107	106	imbi1d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣))))
108	107	2ralbidv 3231	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣))))
109	81, 94, 108	rspc3v 3599	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 ∈ 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ 𝑃) → (∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) → ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣))))
110	68, 69, 70, 109	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝑎 − 𝑏) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑏 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑎 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑏 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑢) = (𝑐 − 𝑣)) → ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣))))
111	67, 110	mpd 16	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣)))
112		axtg5seg.9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
113		axtg5seg.10	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))
114		axtg5seg.11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
115	112, 113, 114	3jca 1146	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
116		axtg5seg.12	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵))
117		axtg5seg.13	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝐶))
118	116, 117	jca 521	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝐶)))
119		axtg5seg.14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑉))
120		axtg5seg.15	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑉))
121	119, 120	jca 521	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑉) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑉)))
122	115, 118, 121	jca32 525	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑉) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑉)))))
123		axtg5seg.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
124		axtg5seg.8	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑃)
125		oveq2 7427	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (𝐴𝐼𝑐) = (𝐴𝐼𝐶))
126	125	eleq2d 2851	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ↔ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
127	126	3anbi3d 1470	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ↔ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))))
128		oveq2 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (𝐵 − 𝑐) = (𝐵 − 𝐶))
129	128	eqeq2d 2776	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ((𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝑐) ↔ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝐶)))
130	129	anbi2d 642	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝑐)) ↔ ((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝐶))))
131	130	anbi1d 643	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ((((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣))) ↔ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣)))))
132	127, 131	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣)))) ↔ ((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣))))))
133		oveq1 7426	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (𝑐 − 𝑣) = (𝐶 − 𝑣))
134	133	eqeq2d 2776	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ((𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣) ↔ (𝑍 − 𝑈) = (𝐶 − 𝑣)))
135	132, 134	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ((((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣)) ↔ (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝐶 − 𝑣))))
136		oveq2 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → (𝐴 − 𝑣) = (𝐴 − 𝑉))
137	136	eqeq2d 2776	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ↔ (𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑉)))
138		oveq2 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → (𝐵 − 𝑣) = (𝐵 − 𝑉))
139	138	eqeq2d 2776	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → ((𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣) ↔ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑉)))
140	137, 139	anbi12d 644	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → (((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣)) ↔ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑉) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑉))))
141	140	anbi2d 642	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → ((((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣))) ↔ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑉) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑉)))))
142	141	anbi2d 642	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣)))) ↔ ((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑉) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑉))))))
143		oveq2 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → (𝐶 − 𝑣) = (𝐶 − 𝑉))
144	143	eqeq2d 2776	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → ((𝑍 − 𝑈) = (𝐶 − 𝑣) ↔ (𝑍 − 𝑈) = (𝐶 − 𝑉)))
145	142, 144	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → ((((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝐶 − 𝑣)) ↔ (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑉) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑉)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝐶 − 𝑉))))
146	135, 145	rspc2v 3594	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑃 ∧ 𝑉 ∈ 𝑃) → (∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣)) → (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑉) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑉)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝐶 − 𝑉))))
147	123, 124, 146	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑐 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝑐)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑣)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝑐 − 𝑣)) → (((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ (((𝑋 − 𝑌) = (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ ((𝑋 − 𝑈) = (𝐴 − 𝑉) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝐵 − 𝑉)))) → (𝑍 − 𝑈) = (𝐶 − 𝑉))))
148	111, 122, 147	mp2d 50	1 ⊢ (𝜑 → (𝑍 − 𝑈) = (𝐶 − 𝑉))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ w3o 1102   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {cab 2743   ≠ wne 2960  ∀wral 3081  ∃wrex 3091  {crab 3418  Vcvv 3457  [wsbc 3746   ∖ cdif 3903   ∩ cin 3905  {csn 4591  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   ∈ cmpo 7421  Basecbs 17291  distcds 17341  TarskiGcstrkg 28747  TarskiG_Ccstrkgc 28748  TarskiG_Bcstrkgb 28749  TarskiG_CBcstrkgcb 28750  Itvcitv 28753  LineGclng 28754

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2737  ax-nul 5271

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-iota 6496  df-fv 6548  df-ov 7422  df-trkgcb 28770  df-trkg 28773

This theorem is used by:  tgcgrextend  28805  tgsegconeq  28806  tgifscgr  28828  tgfscgr  28888  tgbtwnconn1lem2  28893  tgbtwnconn1lem3  28894  miriso  28998  midexlem  29020  ragcgr  29038  footexALT  29049  footexlem1  29050  footexlem2  29051  lmiisolem  29156  tgaaddcpbllem1  29203  f1otrg  29275  tg5segofs  35128