Theorem tppreqb 4698

Description: An unordered triple is an unordered pair if and only if one of its elements is a proper class or is identical with one of the another elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
tppreqb	⊢ (¬ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ↔ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵})

Proof of Theorem tppreqb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3ianor 1104	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ↔ (¬ 𝐶 ∈ V ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐴 ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐵))
2		df-3or 1085	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐶 ∈ V ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐴 ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐵) ↔ ((¬ 𝐶 ∈ V ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐴) ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐵))
3	1, 2	bitri 278	. . 3 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ↔ ((¬ 𝐶 ∈ V ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐴) ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐵))
4		orass 919	. . . . 5 ⊢ ((((¬ 𝐶 ∈ V ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐴) ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐵) ∨ ¬ 𝐶 ∈ V) ↔ ((¬ 𝐶 ∈ V ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐴) ∨ (¬ 𝐶 ≠ 𝐵 ∨ ¬ 𝐶 ∈ V)))
5		ianor 979	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴) ↔ (¬ 𝐶 ∈ V ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐴))
6		tpprceq3 4697	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴) → {𝐵, 𝐴, 𝐶} = {𝐵, 𝐴})
7	5, 6	sylbir 238	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝐶 ∈ V ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐴) → {𝐵, 𝐴, 𝐶} = {𝐵, 𝐴})
8		tpcoma 4646	. . . . . . 7 ⊢ {𝐵, 𝐴, 𝐶} = {𝐴, 𝐵, 𝐶}
9		prcom 4628	. . . . . . 7 ⊢ {𝐵, 𝐴} = {𝐴, 𝐵}
10	7, 8, 9	3eqtr3g 2856	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝐶 ∈ V ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐴) → {𝐴, 𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵})
11		orcom 867	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝐶 ≠ 𝐵 ∨ ¬ 𝐶 ∈ V) ↔ (¬ 𝐶 ∈ V ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐵))
12		ianor 979	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ↔ (¬ 𝐶 ∈ V ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐵))
13	11, 12	bitr4i 281	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝐶 ≠ 𝐵 ∨ ¬ 𝐶 ∈ V) ↔ ¬ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐵))
14		tpprceq3 4697	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵})
15	13, 14	sylbi 220	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝐶 ≠ 𝐵 ∨ ¬ 𝐶 ∈ V) → {𝐴, 𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵})
16	10, 15	jaoi 854	. . . . 5 ⊢ (((¬ 𝐶 ∈ V ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐴) ∨ (¬ 𝐶 ≠ 𝐵 ∨ ¬ 𝐶 ∈ V)) → {𝐴, 𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵})
17	4, 16	sylbi 220	. . . 4 ⊢ ((((¬ 𝐶 ∈ V ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐴) ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐵) ∨ ¬ 𝐶 ∈ V) → {𝐴, 𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵})
18	17	orcs 872	. . 3 ⊢ (((¬ 𝐶 ∈ V ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐴) ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵})
19	3, 18	sylbi 220	. 2 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵})
20		df-tp 4530	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})
21	20	eqeq1i 2803	. . 3 ⊢ ({𝐴, 𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵} ↔ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) = {𝐴, 𝐵})
22		ssequn2 4110	. . . 4 ⊢ ({𝐶} ⊆ {𝐴, 𝐵} ↔ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) = {𝐴, 𝐵})
23		snssg 4678	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ V → (𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ {𝐶} ⊆ {𝐴, 𝐵}))
24		elpri 4547	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵} → (𝐶 = 𝐴 ∨ 𝐶 = 𝐵))
25		nne 2991	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝐶 ≠ 𝐴 ↔ 𝐶 = 𝐴)
26		3mix2 1328	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝐶 ≠ 𝐴 → (¬ 𝐶 ∈ V ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐴 ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐵))
27	25, 26	sylbir 238	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 = 𝐴 → (¬ 𝐶 ∈ V ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐴 ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐵))
28		nne 2991	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝐶 ≠ 𝐵 ↔ 𝐶 = 𝐵)
29		3mix3 1329	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝐶 ≠ 𝐵 → (¬ 𝐶 ∈ V ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐴 ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐵))
30	28, 29	sylbir 238	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 = 𝐵 → (¬ 𝐶 ∈ V ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐴 ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐵))
31	27, 30	jaoi 854	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 = 𝐴 ∨ 𝐶 = 𝐵) → (¬ 𝐶 ∈ V ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐴 ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐵))
32	24, 31	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵} → (¬ 𝐶 ∈ V ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐴 ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐵))
33	23, 32	syl6bir 257	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ V → ({𝐶} ⊆ {𝐴, 𝐵} → (¬ 𝐶 ∈ V ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐴 ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐵)))
34		3mix1 1327	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → (¬ 𝐶 ∈ V ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐴 ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐵))
35	34	a1d 25	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → ({𝐶} ⊆ {𝐴, 𝐵} → (¬ 𝐶 ∈ V ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐴 ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐵)))
36	33, 35	pm2.61i 185	. . . . 5 ⊢ ({𝐶} ⊆ {𝐴, 𝐵} → (¬ 𝐶 ∈ V ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐴 ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐵))
37	36, 1	sylibr 237	. . . 4 ⊢ ({𝐶} ⊆ {𝐴, 𝐵} → ¬ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵))
38	22, 37	sylbir 238	. . 3 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) = {𝐴, 𝐵} → ¬ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵))
39	21, 38	sylbi 220	. 2 ⊢ ({𝐴, 𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵} → ¬ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵))
40	19, 39	impbii 212	1 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ↔ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∨ w3o 1083   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  Vcvv 3441   ∪ cun 3879   ⊆ wss 3881  {csn 4525  {cpr 4527  {ctp 4529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-12 2175  ax-ext 2770

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-ne 2988  df-v 3443  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530

This theorem is referenced by: (None)