Theorem ufdprmidl 34121

Description: In a unique factorization domain 𝑅, a nonzero prime ideal 𝐽 contains a prime element 𝑝. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
isufd.i	⊢ 𝐼 = (PrmIdeal‘𝑅)
isufd.3	⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
isufd.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
ufdprmidl.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ UFD)
ufdprmidl.3	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)
ufdprmidl.4	⊢ (𝜑 → 𝐽 ≠ { 0 })

Assertion

Ref	Expression
ufdprmidl	⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ 𝑃 𝑝 ∈ 𝐽)

Distinct variable groups:   𝐽,𝑝   𝑃,𝑝

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑝)   𝑅(𝑝)   𝐼(𝑝)   0 (𝑝)

Proof of Theorem ufdprmidl

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ineq1 4109	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝐽 → (𝑗 ∩ 𝑃) = (𝐽 ∩ 𝑃))
2	1	neeq1d 3014	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝐽 → ((𝑗 ∩ 𝑃) ≠ ∅ ↔ (𝐽 ∩ 𝑃) ≠ ∅))
3	2	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 = 𝐽) → ((𝑗 ∩ 𝑃) ≠ ∅ ↔ (𝐽 ∩ 𝑃) ≠ ∅))
4		incom 4105	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∩ 𝐽) = (𝐽 ∩ 𝑃)
5	4	neeq1i 3019	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∩ 𝐽) ≠ ∅ ↔ (𝐽 ∩ 𝑃) ≠ ∅)
6		inn0 4319	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∩ 𝐽) ≠ ∅ ↔ ∃𝑝 ∈ 𝑃 𝑝 ∈ 𝐽)
7	5, 6	bitr3i 280	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∩ 𝑃) ≠ ∅ ↔ ∃𝑝 ∈ 𝑃 𝑝 ∈ 𝐽)
8	3, 7	bitrdi 290	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 = 𝐽) → ((𝑗 ∩ 𝑃) ≠ ∅ ↔ ∃𝑝 ∈ 𝑃 𝑝 ∈ 𝐽))
9		ufdprmidl.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)
10		ufdprmidl.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ≠ { 0 })
11	9, 10	eldifsnd 4746	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (𝐼 ∖ {{ 0 }}))
12		ufdprmidl.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ UFD)
13		isufd.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (PrmIdeal‘𝑅)
14		isufd.3	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
15		isufd.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
16	13, 14, 15	isufd 34120	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ UFD ↔ (𝑅 ∈ IDomn ∧ ∀𝑗 ∈ (𝐼 ∖ {{ 0 }})(𝑗 ∩ 𝑃) ≠ ∅))
17	16	simprbi 503	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ UFD → ∀𝑗 ∈ (𝐼 ∖ {{ 0 }})(𝑗 ∩ 𝑃) ≠ ∅)
18	12, 17	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (𝐼 ∖ {{ 0 }})(𝑗 ∩ 𝑃) ≠ ∅)
19	8, 11, 18	rspcdv2 3571	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ 𝑃 𝑝 ∈ 𝐽)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   ∖ cdif 4044   ∩ cin 4088  ∅c0 4277  {csn 4584  ‘cfv 6541  0_gc0g 17617  RPrimecrpm 20669  IDomncidom 20952  PrmIdealcprmidl 21623  UFDcufd 34118

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-iota 6496  df-fv 6549  df-ufd 34119

This theorem is used by:  1arithufdlem1  34124