Theorem 1arithufdlem1 33625

Description: Lemma for 1arithufd 33629. The set 𝑆 of elements which can be written as a product of primes is not empty. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
1arithufd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
1arithufd.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
1arithufd.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
1arithufd.p	⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
1arithufd.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
1arithufd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ UFD)
1arithufdlem.2	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑅 ∈ DivRing)
1arithufdlem.s	⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)}

Assertion

Ref	Expression
1arithufdlem1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ ∅)

Distinct variable groups:   0 ,𝑓   𝑥,𝐵   𝑓,𝑀,𝑥   𝑃,𝑓,𝑥   𝑅,𝑓   𝜑,𝑓

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑓)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥,𝑓)   𝑈(𝑥,𝑓)   0 (𝑥)

Proof of Theorem 1arithufdlem1

Dummy variables 𝑚 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2740	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑝 → (𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓) ↔ 𝑝 = (𝑀 Σg 𝑓)))
2	1	rexbidv 3160	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑝 → (∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓) ↔ ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑝 = (𝑀 Σg 𝑓)))
3		1arithufd.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		1arithufd.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
5		1arithufd.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ UFD)
6	5	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ≠ { 0 }) → 𝑅 ∈ UFD)
7	6	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ≠ { 0 }) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ 𝑚) → 𝑅 ∈ UFD)
8		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ≠ { 0 }) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ 𝑚) → 𝑝 ∈ 𝑃)
9	3, 4, 7, 8	rprmcl 33599	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ≠ { 0 }) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ 𝑚) → 𝑝 ∈ 𝐵)
10		oveq2 7366	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = ⟨“𝑝”⟩ → (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑀 Σg ⟨“𝑝”⟩))
11	10	eqeq2d 2747	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = ⟨“𝑝”⟩ → (𝑝 = (𝑀 Σg 𝑓) ↔ 𝑝 = (𝑀 Σg ⟨“𝑝”⟩)))
12	8	s1cld 14527	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ≠ { 0 }) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ 𝑚) → ⟨“𝑝”⟩ ∈ Word 𝑃)
13		1arithufd.m	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
14	13, 3	mgpbas 20080	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
15	14	gsumws1 18763	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐵 → (𝑀 Σg ⟨“𝑝”⟩) = 𝑝)
16	9, 15	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ≠ { 0 }) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ 𝑚) → (𝑀 Σg ⟨“𝑝”⟩) = 𝑝)
17	16	eqcomd 2742	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ≠ { 0 }) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ 𝑚) → 𝑝 = (𝑀 Σg ⟨“𝑝”⟩))
18	11, 12, 17	rspcedvdw 3579	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ≠ { 0 }) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ 𝑚) → ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑝 = (𝑀 Σg 𝑓))
19	2, 9, 18	elrabd 3648	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ≠ { 0 }) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ 𝑚) → 𝑝 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)})
20		1arithufdlem.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)}
21	19, 20	eleqtrrdi 2847	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ≠ { 0 }) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ 𝑚) → 𝑝 ∈ 𝑆)
22	21	ne0d 4294	. . 3 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ≠ { 0 }) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ 𝑚) → 𝑆 ≠ ∅)
23		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (PrmIdeal‘𝑅) = (PrmIdeal‘𝑅)
24		1arithufd.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
25	5	ufdidom 33623	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
26	25	idomcringd 20660	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
27	26	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ≠ { 0 }) → 𝑅 ∈ CRing)
28		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ≠ { 0 }) → 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
29		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (LSSum‘(mulGrp‘𝑅)) = (LSSum‘(mulGrp‘𝑅))
30	29	mxidlprm 33551	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → 𝑚 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
31	27, 28, 30	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ≠ { 0 }) → 𝑚 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
32		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ≠ { 0 }) → 𝑚 ≠ { 0 })
33	23, 4, 24, 6, 31, 32	ufdprmidl 33622	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ≠ { 0 }) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 𝑝 ∈ 𝑚)
34	22, 33	r19.29a 3144	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ≠ { 0 }) → 𝑆 ≠ ∅)
35	25	idomdomd 20659	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
36		domnnzr 20639	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
37	35, 36	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
38		1arithufdlem.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑅 ∈ DivRing)
39	24, 37, 38	krullndrng 33562	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)𝑚 ≠ { 0 })
40	34, 39	r19.29a 3144	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∃wrex 3060  {crab 3399  ∅c0 4285  {csn 4580  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Word cword 14436  ⟨“cs1 14519  Basecbs 17136  0_gc0g 17359   Σ_g cgsu 17360  LSSumclsm 19563  mulGrpcmgp 20075  CRingccrg 20169  Unitcui 20291  RPrimecrpm 20368  NzRingcnzr 20445  Domncdomn 20625  DivRingcdr 20662  PrmIdealcprmidl 33516  MaxIdealcmxidl 33540  UFDcufd 33619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-ac2 10373  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-rpss 7668  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-tpos 8168  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-oadd 8401  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-dju 9813  df-card 9851  df-ac 10026  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-n0 12402  df-xnn0 12475  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-seq 13925  df-hash 14254  df-word 14437  df-s1 14520  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-0g 17361  df-gsum 17362  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18709  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19053  df-cntz 19246  df-lsm 19565  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-ring 20170  df-cring 20171  df-oppr 20273  df-dvdsr 20293  df-unit 20294  df-invr 20324  df-rprm 20369  df-nzr 20446  df-subrg 20503  df-domn 20628  df-idom 20629  df-drng 20664  df-lmod 20813  df-lss 20883  df-lsp 20923  df-sra 21125  df-rgmod 21126  df-lidl 21163  df-rsp 21164  df-lpidl 21277  df-prmidl 33517  df-mxidl 33541  df-ufd 33620

This theorem is referenced by: (None)