Theorem 1arithufdlem1 33955

Description: Lemma for 1arithufd 33959. The set 𝑆 of elements which can be written as a product of primes is not empty. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
1arithufd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
1arithufd.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
1arithufd.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
1arithufd.p	⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
1arithufd.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
1arithufd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ UFD)
1arithufdlem.2	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑅 ∈ DivRing)
1arithufdlem.s	⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)}

Assertion

Ref	Expression
1arithufdlem1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ ∅)

Distinct variable groups:   0 ,𝑓   𝑥,𝐵   𝑓,𝑀,𝑥   𝑃,𝑓,𝑥   𝑅,𝑓   𝜑,𝑓

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑓)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥, 𝑓)   𝑈(𝑥, 𝑓)   0 (𝑥)

Proof of Theorem 1arithufdlem1

Dummy variables 𝑚 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2764	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑝 → (𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓) ↔ 𝑝 = (𝑀 Σg 𝑓)))
2	1	rexbidv 3186	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑝 → (∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓) ↔ ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑝 = (𝑀 Σg 𝑓)))
3		1arithufd.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		1arithufd.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
5		1arithufd.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ UFD)
6	5	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ≠ { 0 }) → 𝑅 ∈ UFD)
7	6	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ≠ { 0 }) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ 𝑚) → 𝑅 ∈ UFD)
8		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ≠ { 0 }) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ 𝑚) → 𝑝 ∈ 𝑃)
9	3, 4, 7, 8	rprmcl 33929	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ≠ { 0 }) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ 𝑚) → 𝑝 ∈ 𝐵)
10		oveq2 7422	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = ⟨“𝑝”⟩ → (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑀 Σg ⟨“𝑝”⟩))
11	10	eqeq2d 2771	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = ⟨“𝑝”⟩ → (𝑝 = (𝑀 Σg 𝑓) ↔ 𝑝 = (𝑀 Σg ⟨“𝑝”⟩)))
12	8	s1cld 14671	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ≠ { 0 }) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ 𝑚) → ⟨“𝑝”⟩ ∈ Word 𝑃)
13		1arithufd.m	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
14	13, 3	mgpbas 20279	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
15	14	gsumws1 18948	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐵 → (𝑀 Σg ⟨“𝑝”⟩) = 𝑝)
16	9, 15	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ≠ { 0 }) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ 𝑚) → (𝑀 Σg ⟨“𝑝”⟩) = 𝑝)
17	16	eqcomd 2766	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ≠ { 0 }) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ 𝑚) → 𝑝 = (𝑀 Σg ⟨“𝑝”⟩))
18	11, 12, 17	rspcedvdw 3579	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ≠ { 0 }) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ 𝑚) → ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑝 = (𝑀 Σg 𝑓))
19	2, 9, 18	elrabd 3647	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ≠ { 0 }) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ 𝑚) → 𝑝 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)})
20		1arithufdlem.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)}
21	19, 20	eleqtrrdi 2871	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ≠ { 0 }) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ 𝑚) → 𝑝 ∈ 𝑆)
22	21	ne0d 4288	. . 3 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ≠ { 0 }) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ 𝑚) → 𝑆 ≠ ∅)
23		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (PrmIdeal‘𝑅) = (PrmIdeal‘𝑅)
24		1arithufd.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
25	5	ufdidom 33953	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
26	25	idomcringd 20889	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
27	26	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ≠ { 0 }) → 𝑅 ∈ CRing)
28		simplr 781	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ≠ { 0 }) → 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
29		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (LSSum‘(mulGrp‘𝑅)) = (LSSum‘(mulGrp‘𝑅))
30	29	mxidlprm 33874	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → 𝑚 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
31	27, 28, 30	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ≠ { 0 }) → 𝑚 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
32		simpr 490	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ≠ { 0 }) → 𝑚 ≠ { 0 })
33	23, 4, 24, 6, 31, 32	ufdprmidl 33952	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ≠ { 0 }) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 𝑝 ∈ 𝑚)
34	22, 33	r19.29a 3170	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ≠ { 0 }) → 𝑆 ≠ ∅)
35	25	idomdomd 20888	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
36		domnnzr 20869	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
37	35, 36	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
38		1arithufdlem.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑅 ∈ DivRing)
39	24, 37, 38	krullndrng 33884	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)𝑚 ≠ { 0 })
40	34, 39	r19.29a 3170	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ ∅)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086  {crab 3412  ∅c0 4279  {csn 4584  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  Word cword 14579  ⟨“cs1 14663  Basecbs 17302  0_gc0g 17525   Σ_g cgsu 17526  LSSumclsm 19762  mulGrpcmgp 20274  CRingccrg 20374  Unitcui 20497  RPrimecrpm 20574  NzRingcnzr 20673  Domncdomn 20855  DivRingcdr 20891  PrmIdealcprmidl 21524  MaxIdealcmxidl 33863  UFDcufd 33949

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-ac2 10466  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-rpss 7725  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-oadd 8460  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-dju 9907  df-card 9945  df-ac 10120  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-n0 12530  df-xnn0 12603  df-z 12617  df-uz 12889  df-fz 13563  df-fzo 13711  df-seq 14067  df-hash 14396  df-word 14580  df-s1 14664  df-sets 17257  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-ress 17324  df-plusg 17356  df-mulr 17357  df-sca 17359  df-vsca 17360  df-ip 17361  df-0g 17527  df-gsum 17528  df-mgm 18731  df-sgrp 18822  df-mnd 18838  df-submnd 18893  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-sbg 19063  df-subg 19247  df-cntz 19445  df-lsm 19764  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-mgp 20275  df-rng 20289  df-ur 20322  df-ring 20375  df-cring 20376  df-oppr 20479  df-dvdsr 20499  df-unit 20500  df-invr 20530  df-rprm 20575  df-nzr 20674  df-subrg 20733  df-domn 20858  df-idom 20859  df-drng 20893  df-lmod 21047  df-lss 21117  df-lsp 21157  df-sra 21358  df-rgmod 21359  df-lidl 21396  df-rsp 21397  df-prmidl 21525  df-lpidl 21554  df-mxidl 33864  df-ufd 33950

This theorem is used by: (None)