Theorem 1arithufdlem1 33507

Description: Lemma for 1arithufd 33511. The set 𝑆 of elements which can be written as a product of primes is not empty. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
1arithufd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
1arithufd.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
1arithufd.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
1arithufd.p	⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
1arithufd.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
1arithufd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ UFD)
1arithufdlem.2	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑅 ∈ DivRing)
1arithufdlem.s	⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)}

Assertion

Ref	Expression
1arithufdlem1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ ∅)

Distinct variable groups:   0 ,𝑓   𝑥,𝐵   𝑓,𝑀,𝑥   𝑃,𝑓,𝑥   𝑅,𝑓   𝜑,𝑓

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑓)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥,𝑓)   𝑈(𝑥,𝑓)   0 (𝑥)

Proof of Theorem 1arithufdlem1

Dummy variables 𝑚 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2735	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑝 → (𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓) ↔ 𝑝 = (𝑀 Σg 𝑓)))
2	1	rexbidv 3156	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑝 → (∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓) ↔ ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑝 = (𝑀 Σg 𝑓)))
3		1arithufd.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		1arithufd.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
5		1arithufd.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ UFD)
6	5	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ≠ { 0 }) → 𝑅 ∈ UFD)
7	6	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ≠ { 0 }) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ 𝑚) → 𝑅 ∈ UFD)
8		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ≠ { 0 }) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ 𝑚) → 𝑝 ∈ 𝑃)
9	3, 4, 7, 8	rprmcl 33481	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ≠ { 0 }) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ 𝑚) → 𝑝 ∈ 𝐵)
10		oveq2 7354	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = ⟨“𝑝”⟩ → (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑀 Σg ⟨“𝑝”⟩))
11	10	eqeq2d 2742	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = ⟨“𝑝”⟩ → (𝑝 = (𝑀 Σg 𝑓) ↔ 𝑝 = (𝑀 Σg ⟨“𝑝”⟩)))
12	8	s1cld 14511	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ≠ { 0 }) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ 𝑚) → ⟨“𝑝”⟩ ∈ Word 𝑃)
13		1arithufd.m	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
14	13, 3	mgpbas 20064	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
15	14	gsumws1 18746	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐵 → (𝑀 Σg ⟨“𝑝”⟩) = 𝑝)
16	9, 15	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ≠ { 0 }) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ 𝑚) → (𝑀 Σg ⟨“𝑝”⟩) = 𝑝)
17	16	eqcomd 2737	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ≠ { 0 }) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ 𝑚) → 𝑝 = (𝑀 Σg ⟨“𝑝”⟩))
18	11, 12, 17	rspcedvdw 3580	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ≠ { 0 }) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ 𝑚) → ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑝 = (𝑀 Σg 𝑓))
19	2, 9, 18	elrabd 3649	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ≠ { 0 }) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ 𝑚) → 𝑝 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)})
20		1arithufdlem.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)}
21	19, 20	eleqtrrdi 2842	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ≠ { 0 }) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ 𝑚) → 𝑝 ∈ 𝑆)
22	21	ne0d 4292	. . 3 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ≠ { 0 }) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ 𝑚) → 𝑆 ≠ ∅)
23		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (PrmIdeal‘𝑅) = (PrmIdeal‘𝑅)
24		1arithufd.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
25	5	ufdidom 33505	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
26	25	idomcringd 20643	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
27	26	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ≠ { 0 }) → 𝑅 ∈ CRing)
28		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ≠ { 0 }) → 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
29		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (LSSum‘(mulGrp‘𝑅)) = (LSSum‘(mulGrp‘𝑅))
30	29	mxidlprm 33433	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → 𝑚 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
31	27, 28, 30	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ≠ { 0 }) → 𝑚 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
32		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ≠ { 0 }) → 𝑚 ≠ { 0 })
33	23, 4, 24, 6, 31, 32	ufdprmidl 33504	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ≠ { 0 }) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 𝑝 ∈ 𝑚)
34	22, 33	r19.29a 3140	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ≠ { 0 }) → 𝑆 ≠ ∅)
35	25	idomdomd 20642	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
36		domnnzr 20622	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
37	35, 36	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
38		1arithufdlem.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑅 ∈ DivRing)
39	24, 37, 38	krullndrng 33444	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)𝑚 ≠ { 0 })
40	34, 39	r19.29a 3140	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∃wrex 3056  {crab 3395  ∅c0 4283  {csn 4576  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Word cword 14420  ⟨“cs1 14503  Basecbs 17120  0_gc0g 17343   Σ_g cgsu 17344  LSSumclsm 19547  mulGrpcmgp 20059  CRingccrg 20153  Unitcui 20274  RPrimecrpm 20351  NzRingcnzr 20428  Domncdomn 20608  DivRingcdr 20645  PrmIdealcprmidl 33398  MaxIdealcmxidl 33422  UFDcufd 33501

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-ac2 10354  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-rpss 7656  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8156  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-oadd 8389  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-dju 9794  df-card 9832  df-ac 10007  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-n0 12382  df-xnn0 12455  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-seq 13909  df-hash 14238  df-word 14421  df-s1 14504  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-submnd 18692  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-sbg 18851  df-subg 19036  df-cntz 19230  df-lsm 19549  df-cmn 19695  df-abl 19696  df-mgp 20060  df-rng 20072  df-ur 20101  df-ring 20154  df-cring 20155  df-oppr 20256  df-dvdsr 20276  df-unit 20277  df-invr 20307  df-rprm 20352  df-nzr 20429  df-subrg 20486  df-domn 20611  df-idom 20612  df-drng 20647  df-lmod 20796  df-lss 20866  df-lsp 20906  df-sra 21108  df-rgmod 21109  df-lidl 21146  df-rsp 21147  df-lpidl 21260  df-prmidl 33399  df-mxidl 33423  df-ufd 33502

This theorem is referenced by: (None)