Theorem 1arithufdlem1 33701

Description: Lemma for 1arithufd 33705. The set 𝑆 of elements which can be written as a product of primes is not empty. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
1arithufd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
1arithufd.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
1arithufd.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
1arithufd.p	⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
1arithufd.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
1arithufd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ UFD)
1arithufdlem.2	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑅 ∈ DivRing)
1arithufdlem.s	⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)}

Assertion

Ref	Expression
1arithufdlem1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ ∅)

Distinct variable groups:   0 ,𝑓   𝑥,𝐵   𝑓,𝑀,𝑥   𝑃,𝑓,𝑥   𝑅,𝑓   𝜑,𝑓

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑓)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥,𝑓)   𝑈(𝑥,𝑓)   0 (𝑥)

Proof of Theorem 1arithufdlem1

Dummy variables 𝑚 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2765	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑝 → (𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓) ↔ 𝑝 = (𝑀 Σg 𝑓)))
2	1	rexbidv 3185	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑝 → (∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓) ↔ ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑝 = (𝑀 Σg 𝑓)))
3		1arithufd.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		1arithufd.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
5		1arithufd.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ UFD)
6	5	ad2antrr 736	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ≠ { 0 }) → 𝑅 ∈ UFD)
7	6	ad2antrr 736	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ≠ { 0 }) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ 𝑚) → 𝑅 ∈ UFD)
8		simplr 778	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ≠ { 0 }) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ 𝑚) → 𝑝 ∈ 𝑃)
9	3, 4, 7, 8	rprmcl 33675	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ≠ { 0 }) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ 𝑚) → 𝑝 ∈ 𝐵)
10		oveq2 7400	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = ⟨“𝑝”⟩ → (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑀 Σg ⟨“𝑝”⟩))
11	10	eqeq2d 2772	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = ⟨“𝑝”⟩ → (𝑝 = (𝑀 Σg 𝑓) ↔ 𝑝 = (𝑀 Σg ⟨“𝑝”⟩)))
12	8	s1cld 14614	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ≠ { 0 }) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ 𝑚) → ⟨“𝑝”⟩ ∈ Word 𝑃)
13		1arithufd.m	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
14	13, 3	mgpbas 20174	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
15	14	gsumws1 18855	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐵 → (𝑀 Σg ⟨“𝑝”⟩) = 𝑝)
16	9, 15	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ≠ { 0 }) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ 𝑚) → (𝑀 Σg ⟨“𝑝”⟩) = 𝑝)
17	16	eqcomd 2767	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ≠ { 0 }) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ 𝑚) → 𝑝 = (𝑀 Σg ⟨“𝑝”⟩))
18	11, 12, 17	rspcedvdw 3584	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ≠ { 0 }) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ 𝑚) → ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑝 = (𝑀 Σg 𝑓))
19	2, 9, 18	elrabd 3652	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ≠ { 0 }) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ 𝑚) → 𝑝 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)})
20		1arithufdlem.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)}
21	19, 20	eleqtrrdi 2872	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ≠ { 0 }) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ 𝑚) → 𝑝 ∈ 𝑆)
22	21	ne0d 4294	. . 3 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ≠ { 0 }) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ 𝑚) → 𝑆 ≠ ∅)
23		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (PrmIdeal‘𝑅) = (PrmIdeal‘𝑅)
24		1arithufd.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
25	5	ufdidom 33699	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
26	25	idomcringd 20756	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
27	26	ad2antrr 736	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ≠ { 0 }) → 𝑅 ∈ CRing)
28		simplr 778	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ≠ { 0 }) → 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
29		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (LSSum‘(mulGrp‘𝑅)) = (LSSum‘(mulGrp‘𝑅))
30	29	mxidlprm 33619	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → 𝑚 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
31	27, 28, 30	syl2anc 593	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ≠ { 0 }) → 𝑚 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
32		simpr 488	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ≠ { 0 }) → 𝑚 ≠ { 0 })
33	23, 4, 24, 6, 31, 32	ufdprmidl 33698	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ≠ { 0 }) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 𝑝 ∈ 𝑚)
34	22, 33	r19.29a 3169	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ≠ { 0 }) → 𝑆 ≠ ∅)
35	25	idomdomd 20755	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
36		domnnzr 20735	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
37	35, 36	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
38		1arithufdlem.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑅 ∈ DivRing)
39	24, 37, 38	krullndrng 33630	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)𝑚 ≠ { 0 })
40	34, 39	r19.29a 3169	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∃wrex 3085  {crab 3413  ∅c0 4285  {csn 4581  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  Word cword 14523  ⟨“cs1 14606  Basecbs 17228  0_gc0g 17451   Σ_g cgsu 17452  LSSumclsm 19657  mulGrpcmgp 20169  CRingccrg 20263  Unitcui 20383  RPrimecrpm 20460  NzRingcnzr 20541  Domncdomn 20721  DivRingcdr 20758  PrmIdealcprmidl 33582  MaxIdealcmxidl 33608  UFDcufd 33695

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-ac2 10417  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-se 5599  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-isom 6526  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-rpss 7702  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-tpos 8201  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-oadd 8436  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-dju 9856  df-card 9894  df-ac 10069  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-n0 12479  df-xnn0 12552  df-z 12566  df-uz 12837  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-seq 14012  df-hash 14341  df-word 14524  df-s1 14607  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-ip 17287  df-0g 17453  df-gsum 17454  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-submnd 18801  df-grp 18961  df-minusg 18962  df-sbg 18963  df-subg 19148  df-cntz 19340  df-lsm 19659  df-cmn 19805  df-abl 19806  df-mgp 20170  df-rng 20182  df-ur 20211  df-ring 20264  df-cring 20265  df-oppr 20365  df-dvdsr 20385  df-unit 20386  df-invr 20416  df-rprm 20461  df-nzr 20542  df-subrg 20599  df-domn 20724  df-idom 20725  df-drng 20760  df-lmod 20909  df-lss 20979  df-lsp 21019  df-sra 21220  df-rgmod 21221  df-lidl 21258  df-rsp 21259  df-lpidl 21372  df-prmidl 33583  df-mxidl 33609  df-ufd 33696

This theorem is referenced by: (None)