Theorem 1arithufdlem1 34160

Description: Lemma for 1arithufd 34164. The set 𝑆 of elements which can be written as a product of primes is not empty. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
1arithufd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
1arithufd.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
1arithufd.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
1arithufd.p	⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
1arithufd.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
1arithufd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ UFD)
1arithufdlem.2	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑅 ∈ DivRing)
1arithufdlem.s	⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)}

Assertion

Ref	Expression
1arithufdlem1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ ∅)

Distinct variable groups:   0 ,𝑓   𝑥,𝐵   𝑓,𝑀,𝑥   𝑃,𝑓,𝑥   𝑅,𝑓   𝜑,𝑓

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑓)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥, 𝑓)   𝑈(𝑥, 𝑓)   0 (𝑥)

Proof of Theorem 1arithufdlem1

Dummy variables 𝑚 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2767	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑝 → (𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓) ↔ 𝑝 = (𝑀 Σg 𝑓)))
2	1	rexbidv 3190	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑝 → (∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓) ↔ ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑝 = (𝑀 Σg 𝑓)))
3		1arithufd.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		1arithufd.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
5		1arithufd.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ UFD)
6	5	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ≠ { 0 }) → 𝑅 ∈ UFD)
7	6	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ≠ { 0 }) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ 𝑚) → 𝑅 ∈ UFD)
8		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ≠ { 0 }) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ 𝑚) → 𝑝 ∈ 𝑃)
9	3, 4, 7, 8	rprmcl 34134	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ≠ { 0 }) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ 𝑚) → 𝑝 ∈ 𝐵)
10		oveq2 7454	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = ⟨“𝑝”⟩ → (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑀 Σg ⟨“𝑝”⟩))
11	10	eqeq2d 2774	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = ⟨“𝑝”⟩ → (𝑝 = (𝑀 Σg 𝑓) ↔ 𝑝 = (𝑀 Σg ⟨“𝑝”⟩)))
12	8	s1cld 14780	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ≠ { 0 }) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ 𝑚) → ⟨“𝑝”⟩ ∈ Word 𝑃)
13		1arithufd.m	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
14	13, 3	mgpbas 20398	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
15	14	gsumws1 19066	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐵 → (𝑀 Σg ⟨“𝑝”⟩) = 𝑝)
16	9, 15	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ≠ { 0 }) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ 𝑚) → (𝑀 Σg ⟨“𝑝”⟩) = 𝑝)
17	16	eqcomd 2769	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ≠ { 0 }) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ 𝑚) → 𝑝 = (𝑀 Σg ⟨“𝑝”⟩))
18	11, 12, 17	rspcedvdw 3583	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ≠ { 0 }) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ 𝑚) → ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑝 = (𝑀 Σg 𝑓))
19	2, 9, 18	elrabd 3650	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ≠ { 0 }) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ 𝑚) → 𝑝 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)})
20		1arithufdlem.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)}
21	19, 20	eleqtrrdi 2875	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ≠ { 0 }) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ 𝑚) → 𝑝 ∈ 𝑆)
22	21	ne0d 4291	. . 3 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ≠ { 0 }) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ 𝑚) → 𝑆 ≠ ∅)
23		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (PrmIdeal‘𝑅) = (PrmIdeal‘𝑅)
24		1arithufd.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
25	5	ufdidom 34158	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
26	25	idomcringd 21011	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
27	26	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ≠ { 0 }) → 𝑅 ∈ CRing)
28		simplr 781	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ≠ { 0 }) → 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
29		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (LSSum‘(mulGrp‘𝑅)) = (LSSum‘(mulGrp‘𝑅))
30	29	mxidlprm 34079	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → 𝑚 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
31	27, 28, 30	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ≠ { 0 }) → 𝑚 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
32		simpr 490	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ≠ { 0 }) → 𝑚 ≠ { 0 })
33	23, 4, 24, 6, 31, 32	ufdprmidl 34157	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ≠ { 0 }) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 𝑝 ∈ 𝑚)
34	22, 33	r19.29a 3174	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ≠ { 0 }) → 𝑆 ≠ ∅)
35	25	idomdomd 21010	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
36		domnnzr 20991	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
37	35, 36	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
38		1arithufdlem.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑅 ∈ DivRing)
39	24, 37, 38	krullndrng 34089	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)𝑚 ≠ { 0 })
40	34, 39	r19.29a 3174	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ ∅)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∃wrex 3090  {crab 3416  ∅c0 4281  {csn 4588  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  Word cword 14688  ⟨“cs1 14772  Basecbs 17419  0_gc0g 17642   Σ_g cgsu 17643  LSSumclsm 19881  mulGrpcmgp 20393  CRingccrg 20493  Unitcui 20618  RPrimecrpm 20695  NzRingcnzr 20795  Domncdomn 20977  DivRingcdr 21013  PrmIdealcprmidl 21649  MaxIdealcmxidl 34068  UFDcufd 34154

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-ac2 10571  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-rpss 7766  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-tpos 8274  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-oadd 8511  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-dju 10012  df-card 10050  df-ac 10225  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-7 12440  df-8 12441  df-n0 12637  df-xnn0 12710  df-z 12724  df-uz 12996  df-fz 13670  df-fzo 13819  df-seq 14175  df-hash 14505  df-word 14689  df-s1 14773  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-ress 17441  df-plusg 17473  df-mulr 17474  df-sca 17476  df-vsca 17477  df-ip 17478  df-0g 17644  df-gsum 17645  df-mgm 18848  df-sgrp 18940  df-mnd 18956  df-submnd 19011  df-grp 19179  df-minusg 19180  df-sbg 19181  df-subg 19365  df-cntz 19564  df-lsm 19883  df-cmn 20029  df-abl 20030  df-mgp 20394  df-rng 20408  df-ur 20441  df-ring 20494  df-cring 20495  df-oppr 20600  df-dvdsr 20620  df-unit 20621  df-invr 20651  df-rprm 20696  df-nzr 20796  df-subrg 20855  df-domn 20980  df-idom 20981  df-drng 21015  df-lmod 21170  df-lss 21240  df-lsp 21280  df-sra 21481  df-rgmod 21482  df-lidl 21519  df-rsp 21520  df-prmidl 21650  df-lpidl 21679  df-mxidl 34069  df-ufd 34155

This theorem is used by: (None)