Theorem zfregfr 9600

Description: The membership relation is well-founded on any class. (Contributed by NM, 26-Nov-1995.)

Assertion

Ref	Expression
zfregfr	⊢ E Fr 𝐴

Proof of Theorem zfregfr

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfepfr 5662	. 2 ⊢ ( E Fr 𝐴 ↔ ∀𝑥((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝑥 (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅))
2		vex 3479	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
3		zfreg 9590	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 ∩ 𝑥) = ∅)
4	2, 3	mpan 689	. . . 4 ⊢ (𝑥 ≠ ∅ → ∃𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 ∩ 𝑥) = ∅)
5		incom 4202	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∩ 𝑥) = (𝑥 ∩ 𝑦)
6	5	eqeq1i 2738	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∩ 𝑥) = ∅ ↔ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅)
7	6	rexbii 3095	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 ∩ 𝑥) = ∅ ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑥 (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅)
8	4, 7	sylib 217	. . 3 ⊢ (𝑥 ≠ ∅ → ∃𝑦 ∈ 𝑥 (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅)
9	8	adantl 483	. 2 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝑥 (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅)
10	1, 9	mpgbir 1802	1 ⊢ E Fr 𝐴

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ∃wrex 3071  Vcvv 3475   ∩ cin 3948   ⊆ wss 3949  ∅c0 4323   E cep 5580   Fr wfr 5629

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-reg 9587

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-br 5150  df-opab 5212  df-eprel 5581  df-fr 5632

This theorem is referenced by:  en2lp  9601  dford2  9615  noinfep  9655  zfregs  9727  bnj852  33932  dford5reg  34754  trelpss  43214