Theorem cokexg 4310

Description: The Kuratowski composition of two sets is a set. (Contributed by SF, 14-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cokexg	⊢ ((A ∈ V ∧ B ∈ W) → (A ∘k B) ∈ V)

Proof of Theorem cokexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-cok 4191	. 2 ⊢ (A ∘k B) = (( Ins2k A ∩ Ins3k ◡kB) “k V)
2		ins2kexg 4306	. . . 4 ⊢ (A ∈ V → Ins2k A ∈ V)
3		cnvkexg 4287	. . . . 5 ⊢ (B ∈ W → ◡kB ∈ V)
4		ins3kexg 4307	. . . . 5 ⊢ (◡kB ∈ V → Ins3k ◡kB ∈ V)
5	3, 4	syl 15	. . . 4 ⊢ (B ∈ W → Ins3k ◡kB ∈ V)
6		inexg 4101	. . . 4 ⊢ (( Ins2k A ∈ V ∧ Ins3k ◡kB ∈ V) → ( Ins2k A ∩ Ins3k ◡kB) ∈ V)
7	2, 5, 6	syl2an 463	. . 3 ⊢ ((A ∈ V ∧ B ∈ W) → ( Ins2k A ∩ Ins3k ◡kB) ∈ V)
8		vvex 4110	. . 3 ⊢ V ∈ V
9		imakexg 4300	. . 3 ⊢ ((( Ins2k A ∩ Ins3k ◡kB) ∈ V ∧ V ∈ V) → (( Ins2k A ∩ Ins3k ◡kB) “k V) ∈ V)
10	7, 8, 9	sylancl 643	. 2 ⊢ ((A ∈ V ∧ B ∈ W) → (( Ins2k A ∩ Ins3k ◡kB) “k V) ∈ V)
11	1, 10	syl5eqel 2437	1 ⊢ ((A ∈ V ∧ B ∈ W) → (A ∘k B) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 358   ∈ wcel 1710  Vcvv 2860   ∩ cin 3209  ^◡_kccnvk 4176   Ins2_k cins2k 4177   Ins3_k cins3k 4178   “_k cimak 4180   ∘_k ccomk 4181

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-v 2862  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-ss 3260  df-nul 3552  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193

This theorem is referenced by:  cokex  4311  imagekexg  4312  coexg  4750