Theorem expghm 19763

Description: Exponentiation is a group homomorphism from addition to multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
expghm.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
expghm.u	⊢ 𝑈 = (𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0}))

Assertion

Ref	Expression
expghm	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥)) ∈ (ℤring GrpHom 𝑈))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem expghm

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expclzlem 12824	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}))
2	1	3expa 1262	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}))
3		eqid 2621	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥)) = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))
4	2, 3	fmptd 6340	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥)):ℤ⟶(ℂ ∖ {0}))
5		expaddz 12844	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)) = ((𝐴↑𝑦) · (𝐴↑𝑧)))
6		zaddcl 11361	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑦 + 𝑧) ∈ ℤ)
7	6	adantl 482	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (𝑦 + 𝑧) ∈ ℤ)
8		oveq2 6612	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → (𝐴↑𝑥) = (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)))
9		ovex 6632	. . . . . 6 ⊢ (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)) ∈ V
10	8, 3, 9	fvmpt 6239	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 + 𝑧) ∈ ℤ → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)))
11	7, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)))
12		oveq2 6612	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴↑𝑥) = (𝐴↑𝑦))
13		ovex 6632	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴↑𝑦) ∈ V
14	12, 3, 13	fvmpt 6239	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑦) = (𝐴↑𝑦))
15		oveq2 6612	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐴↑𝑥) = (𝐴↑𝑧))
16		ovex 6632	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴↑𝑧) ∈ V
17	15, 3, 16	fvmpt 6239	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑧) = (𝐴↑𝑧))
18	14, 17	oveqan12d 6623	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑧)) = ((𝐴↑𝑦) · (𝐴↑𝑧)))
19	18	adantl 482	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑧)) = ((𝐴↑𝑦) · (𝐴↑𝑧)))
20	5, 11, 19	3eqtr4d 2665	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑧)))
21	20	ralrimivva 2965	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∀𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑧)))
22		zringgrp 19742	. . . 4 ⊢ ℤring ∈ Grp
23		cnring 19687	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ Ring
24		cnfldbas 19669	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
25		cnfld0 19689	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
26		cndrng 19694	. . . . . . 7 ⊢ ℂfld ∈ DivRing
27	24, 25, 26	drngui 18674	. . . . . 6 ⊢ (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
28		expghm.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0}))
29		expghm.m	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
30	29	oveq1i 6614	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
31	28, 30	eqtri 2643	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
32	27, 31	unitgrp 18588	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → 𝑈 ∈ Grp)
33	23, 32	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝑈 ∈ Grp
34	22, 33	pm3.2i 471	. . 3 ⊢ (ℤring ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ Grp)
35		zringbas 19743	. . . 4 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
36		difss 3715	. . . . 5 ⊢ (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ
37	29, 24	mgpbas 18416	. . . . . 6 ⊢ ℂ = (Base‘𝑀)
38	28, 37	ressbas2 15852	. . . . 5 ⊢ ((ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ → (ℂ ∖ {0}) = (Base‘𝑈))
39	36, 38	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ℂ ∖ {0}) = (Base‘𝑈)
40		zringplusg 19744	. . . 4 ⊢ + = (+g‘ℤring)
41		fvex 6158	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘ℂfld) ∈ V
42	27, 41	eqeltri 2694	. . . . 5 ⊢ (ℂ ∖ {0}) ∈ V
43		cnfldmul 19671	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
44	29, 43	mgpplusg 18414	. . . . . 6 ⊢ · = (+g‘𝑀)
45	28, 44	ressplusg 15914	. . . . 5 ⊢ ((ℂ ∖ {0}) ∈ V → · = (+g‘𝑈))
46	42, 45	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ · = (+g‘𝑈)
47	35, 39, 40, 46	isghm 17581	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥)) ∈ (ℤring GrpHom 𝑈) ↔ ((ℤring ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ Grp) ∧ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥)):ℤ⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑧)))))
48	34, 47	mpbiran 952	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥)) ∈ (ℤring GrpHom 𝑈) ↔ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥)):ℤ⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑧))))
49	4, 21, 48	sylanbrc 697	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥)) ∈ (ℤring GrpHom 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ∀wral 2907  Vcvv 3186   ∖ cdif 3552   ⊆ wss 3555  {csn 4148   ↦ cmpt 4673  ⟶wf 5843  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  ℂcc 9878  0cc0 9880   + caddc 9883   · cmul 9885  ℤcz 11321  ↑cexp 12800  Basecbs 15781   ↾_s cress 15782  +_gcplusg 15862  Grpcgrp 17343   GrpHom cghm 17578  mulGrpcmgp 18410  Ringcrg 18468  Unitcui 18560  ℂ_fldccnfld 19665  ℤ_ringzring 19737

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-addf 9959  ax-mulf 9960

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-tpos 7297  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-fz 12269  df-seq 12742  df-exp 12801  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-0g 16023  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-subg 17512  df-ghm 17579  df-cmn 18116  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-cring 18471  df-oppr 18544  df-dvdsr 18562  df-unit 18563  df-invr 18593  df-dvr 18604  df-drng 18670  df-subrg 18699  df-cnfld 19666  df-zring 19738

This theorem is referenced by:  lgseisenlem4  25003