Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expghm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expghm 20042
 Description: Exponentiation is a group homomorphism from addition to multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
expghm.m 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
expghm.u 𝑈 = (𝑀s (ℂ ∖ {0}))
Assertion
Ref Expression
expghm ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴𝑥)) ∈ (ℤring GrpHom 𝑈))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem expghm
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 expclzlem 13074 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}))
213expa 1112 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}))
3 eqid 2756 . . 3 (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴𝑥)) = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴𝑥))
42, 3fmptd 6544 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴𝑥)):ℤ⟶(ℂ ∖ {0}))
5 expaddz 13094 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)) = ((𝐴𝑦) · (𝐴𝑧)))
6 zaddcl 11605 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑦 + 𝑧) ∈ ℤ)
76adantl 473 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (𝑦 + 𝑧) ∈ ℤ)
8 oveq2 6817 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → (𝐴𝑥) = (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)))
9 ovex 6837 . . . . . 6 (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)) ∈ V
108, 3, 9fvmpt 6440 . . . . 5 ((𝑦 + 𝑧) ∈ ℤ → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)))
117, 10syl 17 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)))
12 oveq2 6817 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴𝑥) = (𝐴𝑦))
13 ovex 6837 . . . . . . 7 (𝐴𝑦) ∈ V
1412, 3, 13fvmpt 6440 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴𝑥))‘𝑦) = (𝐴𝑦))
15 oveq2 6817 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → (𝐴𝑥) = (𝐴𝑧))
16 ovex 6837 . . . . . . 7 (𝐴𝑧) ∈ V
1715, 3, 16fvmpt 6440 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℤ → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴𝑥))‘𝑧) = (𝐴𝑧))
1814, 17oveqan12d 6828 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴𝑥))‘𝑧)) = ((𝐴𝑦) · (𝐴𝑧)))
1918adantl 473 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴𝑥))‘𝑧)) = ((𝐴𝑦) · (𝐴𝑧)))
205, 11, 193eqtr4d 2800 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴𝑥))‘𝑧)))
2120ralrimivva 3105 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∀𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴𝑥))‘𝑧)))
22 zringgrp 20021 . . . 4 ring ∈ Grp
23 cnring 19966 . . . . 5 fld ∈ Ring
24 cnfldbas 19948 . . . . . . 7 ℂ = (Base‘ℂfld)
25 cnfld0 19968 . . . . . . 7 0 = (0g‘ℂfld)
26 cndrng 19973 . . . . . . 7 fld ∈ DivRing
2724, 25, 26drngui 18951 . . . . . 6 (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
28 expghm.u . . . . . . 7 𝑈 = (𝑀s (ℂ ∖ {0}))
29 expghm.m . . . . . . . 8 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
3029oveq1i 6819 . . . . . . 7 (𝑀s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
3128, 30eqtri 2778 . . . . . 6 𝑈 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
3227, 31unitgrp 18863 . . . . 5 (ℂfld ∈ Ring → 𝑈 ∈ Grp)
3323, 32ax-mp 5 . . . 4 𝑈 ∈ Grp
3422, 33pm3.2i 470 . . 3 (ℤring ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ Grp)
35 zringbas 20022 . . . 4 ℤ = (Base‘ℤring)
36 difss 3876 . . . . 5 (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ
3729, 24mgpbas 18691 . . . . . 6 ℂ = (Base‘𝑀)
3828, 37ressbas2 16129 . . . . 5 ((ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ → (ℂ ∖ {0}) = (Base‘𝑈))
3936, 38ax-mp 5 . . . 4 (ℂ ∖ {0}) = (Base‘𝑈)
40 zringplusg 20023 . . . 4 + = (+g‘ℤring)
41 fvex 6358 . . . . . 6 (Unit‘ℂfld) ∈ V
4227, 41eqeltri 2831 . . . . 5 (ℂ ∖ {0}) ∈ V
43 cnfldmul 19950 . . . . . . 7 · = (.r‘ℂfld)
4429, 43mgpplusg 18689 . . . . . 6 · = (+g𝑀)
4528, 44ressplusg 16191 . . . . 5 ((ℂ ∖ {0}) ∈ V → · = (+g𝑈))
4642, 45ax-mp 5 . . . 4 · = (+g𝑈)
4735, 39, 40, 46isghm 17857 . . 3 ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴𝑥)) ∈ (ℤring GrpHom 𝑈) ↔ ((ℤring ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ Grp) ∧ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴𝑥)):ℤ⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴𝑥))‘𝑧)))))
4834, 47mpbiran 991 . 2 ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴𝑥)) ∈ (ℤring GrpHom 𝑈) ↔ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴𝑥)):ℤ⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴𝑥))‘𝑧))))
494, 21, 48sylanbrc 701 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴𝑥)) ∈ (ℤring GrpHom 𝑈))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1628   ∈ wcel 2135   ≠ wne 2928  ∀wral 3046  Vcvv 3336   ∖ cdif 3708   ⊆ wss 3711  {csn 4317   ↦ cmpt 4877  ⟶wf 6041  ‘cfv 6045  (class class class)co 6809  ℂcc 10122  0cc0 10124   + caddc 10127   · cmul 10129  ℤcz 11565  ↑cexp 13050  Basecbs 16055   ↾s cress 16056  +gcplusg 16139  Grpcgrp 17619   GrpHom cghm 17854  mulGrpcmgp 18685  Ringcrg 18743  Unitcui 18835  ℂfldccnfld 19944  ℤringzring 20016 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-rep 4919  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110  ax-cnex 10180  ax-resscn 10181  ax-1cn 10182  ax-icn 10183  ax-addcl 10184  ax-addrcl 10185  ax-mulcl 10186  ax-mulrcl 10187  ax-mulcom 10188  ax-addass 10189  ax-mulass 10190  ax-distr 10191  ax-i2m1 10192  ax-1ne0 10193  ax-1rid 10194  ax-rnegex 10195  ax-rrecex 10196  ax-cnre 10197  ax-pre-lttri 10198  ax-pre-lttrn 10199  ax-pre-ltadd 10200  ax-pre-mulgt0 10201  ax-addf 10203  ax-mulf 10204 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-nel 3032  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rmo 3054  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-pss 3727  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4585  df-int 4624  df-iun 4670  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-tr 4901  df-id 5170  df-eprel 5175  df-po 5183  df-so 5184  df-fr 5221  df-we 5223  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-pred 5837  df-ord 5883  df-on 5884  df-lim 5885  df-suc 5886  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-riota 6770  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-om 7227  df-1st 7329  df-2nd 7330  df-tpos 7517  df-wrecs 7572  df-recs 7633  df-rdg 7671  df-1o 7725  df-oadd 7729  df-er 7907  df-en 8118  df-dom 8119  df-sdom 8120  df-fin 8121  df-pnf 10264  df-mnf 10265  df-xr 10266  df-ltxr 10267  df-le 10268  df-sub 10456  df-neg 10457  df-div 10873  df-nn 11209  df-2 11267  df-3 11268  df-4 11269  df-5 11270  df-6 11271  df-7 11272  df-8 11273  df-9 11274  df-n0 11481  df-z 11566  df-dec 11682  df-uz 11876  df-fz 12516  df-seq 12992  df-exp 13051  df-struct 16057  df-ndx 16058  df-slot 16059  df-base 16061  df-sets 16062  df-ress 16063  df-plusg 16152  df-mulr 16153  df-starv 16154  df-tset 16158  df-ple 16159  df-ds 16162  df-unif 16163  df-0g 16300  df-mgm 17439  df-sgrp 17481  df-mnd 17492  df-grp 17622  df-minusg 17623  df-subg 17788  df-ghm 17855  df-cmn 18391  df-mgp 18686  df-ur 18698  df-ring 18745  df-cring 18746  df-oppr 18819  df-dvdsr 18837  df-unit 18838  df-invr 18868  df-dvr 18879  df-drng 18947  df-subrg 18976  df-cnfld 19945  df-zring 20017 This theorem is referenced by:  lgseisenlem4  25298
 Copyright terms: Public domain W3C validator