MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumzcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumzcl 14256
Description: Closure of a finite sum of integers. (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumcl.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumzcl.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
fsumzcl (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumzcl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zsscn 11215 . . 3 ℤ ⊆ ℂ
21a1i 11 . 2 (𝜑 → ℤ ⊆ ℂ)
3 zaddcl 11247 . . 3 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℤ)
43adantl 480 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℤ)
5 fsumcl.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
6 fsumzcl.2 . 2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
7 0zd 11219 . 2 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
82, 4, 5, 6, 7fsumcllem 14253 1 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wcel 1976  wss 3536  (class class class)co 6524  Fincfn 7815  cc 9787   + caddc 9792  cz 11207  Σcsu 14207
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-rep 4690  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-inf2 8395  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866  ax-pre-sup 9867
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rmo 2900  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-int 4402  df-iun 4448  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-se 4985  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-isom 5796  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-om 6932  df-1st 7033  df-2nd 7034  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-1o 7421  df-oadd 7425  df-er 7603  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-fin 7819  df-sup 8205  df-oi 8272  df-card 8622  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-div 10531  df-nn 10865  df-2 10923  df-3 10924  df-n0 11137  df-z 11208  df-uz 11517  df-rp 11662  df-fz 12150  df-fzo 12287  df-seq 12616  df-exp 12675  df-hash 12932  df-cj 13630  df-re 13631  df-im 13632  df-sqrt 13766  df-abs 13767  df-clim 14010  df-sum 14208
This theorem is referenced by:  fsumzcl2  14259  fsummsnunz  14270  eirrlem  14714  fsumdvds  14811  3dvds  14833  3dvdsOLD  14834  sumeven  14891  sumodd  14892  aalioulem1  23805  aaliou3lem6  23821  sgmnncl  24587  mersenne  24666  lgseisenlem4  24817  lgseisen  24818  lgsquadlem1  24819  jm2.22  36380  jm2.23  36381  etransclem27  38955  etransclem36  38964  etransclem44  38972  etransclem45  38973  2pwp1prm  39843  lighneallem3  39864  lighneallem4b  39866  lighneallem4  39867  fsummmodsnunz  40221
  Copyright terms: Public domain W3C validator