Theorem aaliou3lem6 24923

Description: Lemma for aaliou3 24926. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
aaliou3lem.c	⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))
aaliou3lem.d	⊢ 𝐿 = Σ𝑏 ∈ ℕ (𝐹‘𝑏)
aaliou3lem.e	⊢ 𝐻 = (𝑐 ∈ ℕ ↦ Σ𝑏 ∈ (1...𝑐)(𝐹‘𝑏))

Assertion

Ref	Expression
aaliou3lem6	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐻‘𝐴) · (2↑(!‘𝐴))) ∈ ℤ)

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑐   𝐹,𝑏,𝑐   𝐿,𝑐   𝐴,𝑎,𝑏,𝑐

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑎)   𝐻(𝑎,𝑏,𝑐)   𝐿(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem aaliou3lem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7150	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝐴 → (1...𝑐) = (1...𝐴))
2	1	sumeq1d 15043	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝐴 → Σ𝑏 ∈ (1...𝑐)(𝐹‘𝑏) = Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝐹‘𝑏))
3		aaliou3lem.e	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑐 ∈ ℕ ↦ Σ𝑏 ∈ (1...𝑐)(𝐹‘𝑏))
4		sumex 15029	. . . 4 ⊢ Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝐹‘𝑏) ∈ V
5	2, 3, 4	fvmpt 6754	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐻‘𝐴) = Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝐹‘𝑏))
6	5	oveq1d 7157	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐻‘𝐴) · (2↑(!‘𝐴))) = (Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝐹‘𝑏) · (2↑(!‘𝐴))))
7		fzfid 13331	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1...𝐴) ∈ Fin)
8		2rp 12381	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ+
9		nnnn0 11891	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℕ0)
10	9	faccld 13634	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (!‘𝐴) ∈ ℕ)
11	10	nnzd 12073	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (!‘𝐴) ∈ ℤ)
12		rpexpcl 13438	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ (!‘𝐴) ∈ ℤ) → (2↑(!‘𝐴)) ∈ ℝ+)
13	8, 11, 12	sylancr 589	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (2↑(!‘𝐴)) ∈ ℝ+)
14	13	rpcnd 12420	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (2↑(!‘𝐴)) ∈ ℂ)
15		elfznn 12926	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ (1...𝐴) → 𝑏 ∈ ℕ)
16		fveq2 6656	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (!‘𝑎) = (!‘𝑏))
17	16	negeqd 10866	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → -(!‘𝑎) = -(!‘𝑏))
18	17	oveq2d 7158	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (2↑-(!‘𝑎)) = (2↑-(!‘𝑏)))
19		aaliou3lem.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))
20		ovex 7175	. . . . . . . 8 ⊢ (2↑-(!‘𝑏)) ∈ V
21	18, 19, 20	fvmpt 6754	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑏) = (2↑-(!‘𝑏)))
22	15, 21	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ (1...𝐴) → (𝐹‘𝑏) = (2↑-(!‘𝑏)))
23	22	adantl 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (𝐹‘𝑏) = (2↑-(!‘𝑏)))
24	15	adantl 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → 𝑏 ∈ ℕ)
25	24	nnnn0d 11942	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → 𝑏 ∈ ℕ0)
26	25	faccld 13634	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (!‘𝑏) ∈ ℕ)
27	26	nnzd 12073	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (!‘𝑏) ∈ ℤ)
28	27	znegcld 12076	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → -(!‘𝑏) ∈ ℤ)
29		rpexpcl 13438	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ -(!‘𝑏) ∈ ℤ) → (2↑-(!‘𝑏)) ∈ ℝ+)
30	8, 28, 29	sylancr 589	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (2↑-(!‘𝑏)) ∈ ℝ+)
31	30	rpcnd 12420	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (2↑-(!‘𝑏)) ∈ ℂ)
32	23, 31	eqeltrd 2913	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (𝐹‘𝑏) ∈ ℂ)
33	7, 14, 32	fsummulc1 15125	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝐹‘𝑏) · (2↑(!‘𝐴))) = Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)((𝐹‘𝑏) · (2↑(!‘𝐴))))
34	23	oveq1d 7157	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → ((𝐹‘𝑏) · (2↑(!‘𝐴))) = ((2↑-(!‘𝑏)) · (2↑(!‘𝐴))))
35	11	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (!‘𝐴) ∈ ℤ)
36		2cnne0 11834	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
37		expaddz 13463	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (-(!‘𝑏) ∈ ℤ ∧ (!‘𝐴) ∈ ℤ)) → (2↑(-(!‘𝑏) + (!‘𝐴))) = ((2↑-(!‘𝑏)) · (2↑(!‘𝐴))))
38	36, 37	mpan 688	. . . . . . 7 ⊢ ((-(!‘𝑏) ∈ ℤ ∧ (!‘𝐴) ∈ ℤ) → (2↑(-(!‘𝑏) + (!‘𝐴))) = ((2↑-(!‘𝑏)) · (2↑(!‘𝐴))))
39	28, 35, 38	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (2↑(-(!‘𝑏) + (!‘𝐴))) = ((2↑-(!‘𝑏)) · (2↑(!‘𝐴))))
40		2z 12001	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
41	28	zcnd 12075	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → -(!‘𝑏) ∈ ℂ)
42	35	zcnd 12075	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (!‘𝐴) ∈ ℂ)
43	41, 42	addcomd 10828	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (-(!‘𝑏) + (!‘𝐴)) = ((!‘𝐴) + -(!‘𝑏)))
44	26	nncnd 11640	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (!‘𝑏) ∈ ℂ)
45	42, 44	negsubd 10989	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → ((!‘𝐴) + -(!‘𝑏)) = ((!‘𝐴) − (!‘𝑏)))
46	43, 45	eqtrd 2856	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (-(!‘𝑏) + (!‘𝐴)) = ((!‘𝐴) − (!‘𝑏)))
47	9	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → 𝐴 ∈ ℕ0)
48		elfzle2 12901	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ (1...𝐴) → 𝑏 ≤ 𝐴)
49	48	adantl 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → 𝑏 ≤ 𝐴)
50		facwordi 13639	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ≤ 𝐴) → (!‘𝑏) ≤ (!‘𝐴))
51	25, 47, 49, 50	syl3anc 1367	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (!‘𝑏) ≤ (!‘𝐴))
52	26	nnnn0d 11942	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (!‘𝑏) ∈ ℕ0)
53	47	faccld 13634	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (!‘𝐴) ∈ ℕ)
54	53	nnnn0d 11942	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (!‘𝐴) ∈ ℕ0)
55		nn0sub 11934	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((!‘𝑏) ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝐴) ∈ ℕ0) → ((!‘𝑏) ≤ (!‘𝐴) ↔ ((!‘𝐴) − (!‘𝑏)) ∈ ℕ0))
56	52, 54, 55	syl2anc 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → ((!‘𝑏) ≤ (!‘𝐴) ↔ ((!‘𝐴) − (!‘𝑏)) ∈ ℕ0))
57	51, 56	mpbid 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → ((!‘𝐴) − (!‘𝑏)) ∈ ℕ0)
58	46, 57	eqeltrd 2913	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (-(!‘𝑏) + (!‘𝐴)) ∈ ℕ0)
59		zexpcl 13434	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (-(!‘𝑏) + (!‘𝐴)) ∈ ℕ0) → (2↑(-(!‘𝑏) + (!‘𝐴))) ∈ ℤ)
60	40, 58, 59	sylancr 589	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (2↑(-(!‘𝑏) + (!‘𝐴))) ∈ ℤ)
61	39, 60	eqeltrrd 2914	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → ((2↑-(!‘𝑏)) · (2↑(!‘𝐴))) ∈ ℤ)
62	34, 61	eqeltrd 2913	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → ((𝐹‘𝑏) · (2↑(!‘𝐴))) ∈ ℤ)
63	7, 62	fsumzcl 15077	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)((𝐹‘𝑏) · (2↑(!‘𝐴))) ∈ ℤ)
64	33, 63	eqeltrd 2913	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝐹‘𝑏) · (2↑(!‘𝐴))) ∈ ℤ)
65	6, 64	eqeltrd 2913	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐻‘𝐴) · (2↑(!‘𝐴))) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016   class class class wbr 5052   ↦ cmpt 5132  ‘cfv 6341  (class class class)co 7142  ℂcc 10521  0cc0 10523  1c1 10524   + caddc 10526   · cmul 10528   ≤ cle 10662   − cmin 10856  -cneg 10857  ℕcn 11624  2c2 11679  ℕ₀cn0 11884  ℤcz 11968  ℝ⁺crp 12376  ...cfz 12882  ↑cexp 13419  !cfa 13623  Σcsu 15027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5252  ax-pr 5316  ax-un 7447  ax-inf2 9090  ax-cnex 10579  ax-resscn 10580  ax-1cn 10581  ax-icn 10582  ax-addcl 10583  ax-addrcl 10584  ax-mulcl 10585  ax-mulrcl 10586  ax-mulcom 10587  ax-addass 10588  ax-mulass 10589  ax-distr 10590  ax-i2m1 10591  ax-1ne0 10592  ax-1rid 10593  ax-rnegex 10594  ax-rrecex 10595  ax-cnre 10596  ax-pre-lttri 10597  ax-pre-lttrn 10598  ax-pre-ltadd 10599  ax-pre-mulgt0 10600  ax-pre-sup 10601

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3488  df-sbc 3764  df-csb 3872  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3940  df-pss 3942  df-nul 4280  df-if 4454  df-pw 4527  df-sn 4554  df-pr 4556  df-tp 4558  df-op 4560  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5446  df-eprel 5451  df-po 5460  df-so 5461  df-fr 5500  df-se 5501  df-we 5502  df-xp 5547  df-rel 5548  df-cnv 5549  df-co 5550  df-dm 5551  df-rn 5552  df-res 5553  df-ima 5554  df-pred 6134  df-ord 6180  df-on 6181  df-lim 6182  df-suc 6183  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-isom 6350  df-riota 7100  df-ov 7145  df-oprab 7146  df-mpo 7147  df-om 7567  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-oadd 8092  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-sup 8892  df-oi 8960  df-card 9354  df-pnf 10663  df-mnf 10664  df-xr 10665  df-ltxr 10666  df-le 10667  df-sub 10858  df-neg 10859  df-div 11284  df-nn 11625  df-2 11687  df-3 11688  df-n0 11885  df-z 11969  df-uz 12231  df-rp 12377  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-seq 13360  df-exp 13420  df-fac 13624  df-hash 13681  df-cj 14443  df-re 14444  df-im 14445  df-sqrt 14579  df-abs 14580  df-clim 14830  df-sum 15028

This theorem is referenced by:  aaliou3lem9  24925