MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aaliou3lem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aaliou3lem6 23824
Description: Lemma for aaliou3 23827. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aaliou3lem.c 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))
aaliou3lem.d 𝐿 = Σ𝑏 ∈ ℕ (𝐹𝑏)
aaliou3lem.e 𝐻 = (𝑐 ∈ ℕ ↦ Σ𝑏 ∈ (1...𝑐)(𝐹𝑏))
Assertion
Ref Expression
aaliou3lem6 (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐻𝐴) · (2↑(!‘𝐴))) ∈ ℤ)
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑐   𝐹,𝑏,𝑐   𝐿,𝑐   𝐴,𝑎,𝑏,𝑐
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑎)   𝐻(𝑎,𝑏,𝑐)   𝐿(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem aaliou3lem6
StepHypRef Expression
1 oveq2 6535 . . . . 5 (𝑐 = 𝐴 → (1...𝑐) = (1...𝐴))
21sumeq1d 14225 . . . 4 (𝑐 = 𝐴 → Σ𝑏 ∈ (1...𝑐)(𝐹𝑏) = Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝐹𝑏))
3 aaliou3lem.e . . . 4 𝐻 = (𝑐 ∈ ℕ ↦ Σ𝑏 ∈ (1...𝑐)(𝐹𝑏))
4 sumex 14212 . . . 4 Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝐹𝑏) ∈ V
52, 3, 4fvmpt 6176 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐻𝐴) = Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝐹𝑏))
65oveq1d 6542 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐻𝐴) · (2↑(!‘𝐴))) = (Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝐹𝑏) · (2↑(!‘𝐴))))
7 fzfid 12589 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → (1...𝐴) ∈ Fin)
8 2rp 11669 . . . . . 6 2 ∈ ℝ+
9 nnnn0 11146 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℕ0)
10 faccl 12887 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ0 → (!‘𝐴) ∈ ℕ)
119, 10syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ → (!‘𝐴) ∈ ℕ)
1211nnzd 11313 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → (!‘𝐴) ∈ ℤ)
13 rpexpcl 12696 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ+ ∧ (!‘𝐴) ∈ ℤ) → (2↑(!‘𝐴)) ∈ ℝ+)
148, 12, 13sylancr 693 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → (2↑(!‘𝐴)) ∈ ℝ+)
1514rpcnd 11706 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → (2↑(!‘𝐴)) ∈ ℂ)
16 elfznn 12196 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ (1...𝐴) → 𝑏 ∈ ℕ)
17 fveq2 6088 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝑏 → (!‘𝑎) = (!‘𝑏))
1817negeqd 10126 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑏 → -(!‘𝑎) = -(!‘𝑏))
1918oveq2d 6543 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑏 → (2↑-(!‘𝑎)) = (2↑-(!‘𝑏)))
20 aaliou3lem.c . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))
21 ovex 6555 . . . . . . . 8 (2↑-(!‘𝑏)) ∈ V
2219, 20, 21fvmpt 6176 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ ℕ → (𝐹𝑏) = (2↑-(!‘𝑏)))
2316, 22syl 17 . . . . . 6 (𝑏 ∈ (1...𝐴) → (𝐹𝑏) = (2↑-(!‘𝑏)))
2423adantl 480 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (𝐹𝑏) = (2↑-(!‘𝑏)))
2516adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → 𝑏 ∈ ℕ)
2625nnnn0d 11198 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → 𝑏 ∈ ℕ0)
27 faccl 12887 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ ℕ0 → (!‘𝑏) ∈ ℕ)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (!‘𝑏) ∈ ℕ)
2928nnzd 11313 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (!‘𝑏) ∈ ℤ)
3029znegcld 11316 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → -(!‘𝑏) ∈ ℤ)
31 rpexpcl 12696 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℝ+ ∧ -(!‘𝑏) ∈ ℤ) → (2↑-(!‘𝑏)) ∈ ℝ+)
328, 30, 31sylancr 693 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (2↑-(!‘𝑏)) ∈ ℝ+)
3332rpcnd 11706 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (2↑-(!‘𝑏)) ∈ ℂ)
3424, 33eqeltrd 2687 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (𝐹𝑏) ∈ ℂ)
357, 15, 34fsummulc1 14305 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → (Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝐹𝑏) · (2↑(!‘𝐴))) = Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)((𝐹𝑏) · (2↑(!‘𝐴))))
3624oveq1d 6542 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → ((𝐹𝑏) · (2↑(!‘𝐴))) = ((2↑-(!‘𝑏)) · (2↑(!‘𝐴))))
3712adantr 479 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (!‘𝐴) ∈ ℤ)
38 2cnne0 11089 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
39 expaddz 12721 . . . . . . . 8 (((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (-(!‘𝑏) ∈ ℤ ∧ (!‘𝐴) ∈ ℤ)) → (2↑(-(!‘𝑏) + (!‘𝐴))) = ((2↑-(!‘𝑏)) · (2↑(!‘𝐴))))
4038, 39mpan 701 . . . . . . 7 ((-(!‘𝑏) ∈ ℤ ∧ (!‘𝐴) ∈ ℤ) → (2↑(-(!‘𝑏) + (!‘𝐴))) = ((2↑-(!‘𝑏)) · (2↑(!‘𝐴))))
4130, 37, 40syl2anc 690 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (2↑(-(!‘𝑏) + (!‘𝐴))) = ((2↑-(!‘𝑏)) · (2↑(!‘𝐴))))
42 2z 11242 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
4330zcnd 11315 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → -(!‘𝑏) ∈ ℂ)
4437zcnd 11315 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (!‘𝐴) ∈ ℂ)
4543, 44addcomd 10089 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (-(!‘𝑏) + (!‘𝐴)) = ((!‘𝐴) + -(!‘𝑏)))
4628nncnd 10883 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (!‘𝑏) ∈ ℂ)
4744, 46negsubd 10249 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → ((!‘𝐴) + -(!‘𝑏)) = ((!‘𝐴) − (!‘𝑏)))
4845, 47eqtrd 2643 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (-(!‘𝑏) + (!‘𝐴)) = ((!‘𝐴) − (!‘𝑏)))
499adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → 𝐴 ∈ ℕ0)
50 elfzle2 12171 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ (1...𝐴) → 𝑏𝐴)
5150adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → 𝑏𝐴)
52 facwordi 12893 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ0𝑏𝐴) → (!‘𝑏) ≤ (!‘𝐴))
5326, 49, 51, 52syl3anc 1317 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (!‘𝑏) ≤ (!‘𝐴))
5428nnnn0d 11198 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (!‘𝑏) ∈ ℕ0)
5549, 10syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (!‘𝐴) ∈ ℕ)
5655nnnn0d 11198 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (!‘𝐴) ∈ ℕ0)
57 nn0sub 11190 . . . . . . . . . 10 (((!‘𝑏) ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝐴) ∈ ℕ0) → ((!‘𝑏) ≤ (!‘𝐴) ↔ ((!‘𝐴) − (!‘𝑏)) ∈ ℕ0))
5854, 56, 57syl2anc 690 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → ((!‘𝑏) ≤ (!‘𝐴) ↔ ((!‘𝐴) − (!‘𝑏)) ∈ ℕ0))
5953, 58mpbid 220 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → ((!‘𝐴) − (!‘𝑏)) ∈ ℕ0)
6048, 59eqeltrd 2687 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (-(!‘𝑏) + (!‘𝐴)) ∈ ℕ0)
61 zexpcl 12692 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℤ ∧ (-(!‘𝑏) + (!‘𝐴)) ∈ ℕ0) → (2↑(-(!‘𝑏) + (!‘𝐴))) ∈ ℤ)
6242, 60, 61sylancr 693 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (2↑(-(!‘𝑏) + (!‘𝐴))) ∈ ℤ)
6341, 62eqeltrrd 2688 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → ((2↑-(!‘𝑏)) · (2↑(!‘𝐴))) ∈ ℤ)
6436, 63eqeltrd 2687 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → ((𝐹𝑏) · (2↑(!‘𝐴))) ∈ ℤ)
657, 64fsumzcl 14259 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)((𝐹𝑏) · (2↑(!‘𝐴))) ∈ ℤ)
6635, 65eqeltrd 2687 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → (Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝐹𝑏) · (2↑(!‘𝐴))) ∈ ℤ)
676, 66eqeltrd 2687 1 (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐻𝐴) · (2↑(!‘𝐴))) ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779   class class class wbr 4577  cmpt 4637  cfv 5790  (class class class)co 6527  cc 9790  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795   · cmul 9797  cle 9931  cmin 10117  -cneg 10118  cn 10867  2c2 10917  0cn0 11139  cz 11210  +crp 11664  ...cfz 12152  cexp 12677  !cfa 12877  Σcsu 14210
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-sup 8208  df-oi 8275  df-card 8625  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-rp 11665  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-seq 12619  df-exp 12678  df-fac 12878  df-hash 12935  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-clim 14013  df-sum 14211
This theorem is referenced by:  aaliou3lem9  23826
  Copyright terms: Public domain W3C validator