Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ismrer1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ismrer1 32697
Description: An isometry between and ℝ↑1. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ismrer1.1 𝑅 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
ismrer1.2 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({𝐴} × {𝑥}))
Assertion
Ref Expression
ismrer1 (𝐴𝑉𝐹 ∈ (𝑅 Ismty (ℝn‘{𝐴})))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem ismrer1
Dummy variables 𝑘 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sneq 4038 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐴 → {𝑦} = {𝐴})
21xpeq1d 4956 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐴 → ({𝑦} × {𝑥}) = ({𝐴} × {𝑥}))
32mpteq2dv 4571 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐴 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({𝑦} × {𝑥})) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({𝐴} × {𝑥})))
4 ismrer1.2 . . . . . 6 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({𝐴} × {𝑥}))
53, 4syl6eqr 2566 . . . . 5 (𝑦 = 𝐴 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({𝑦} × {𝑥})) = 𝐹)
6 f1oeq1 5924 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({𝑦} × {𝑥})) = 𝐹 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({𝑦} × {𝑥})):ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑𝑚 {𝑦}) ↔ 𝐹:ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑𝑚 {𝑦})))
75, 6syl 17 . . . 4 (𝑦 = 𝐴 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({𝑦} × {𝑥})):ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑𝑚 {𝑦}) ↔ 𝐹:ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑𝑚 {𝑦})))
81oveq2d 6442 . . . . 5 (𝑦 = 𝐴 → (ℝ ↑𝑚 {𝑦}) = (ℝ ↑𝑚 {𝐴}))
9 f1oeq3 5926 . . . . 5 ((ℝ ↑𝑚 {𝑦}) = (ℝ ↑𝑚 {𝐴}) → (𝐹:ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑𝑚 {𝑦}) ↔ 𝐹:ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑𝑚 {𝐴})))
108, 9syl 17 . . . 4 (𝑦 = 𝐴 → (𝐹:ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑𝑚 {𝑦}) ↔ 𝐹:ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑𝑚 {𝐴})))
117, 10bitrd 266 . . 3 (𝑦 = 𝐴 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({𝑦} × {𝑥})):ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑𝑚 {𝑦}) ↔ 𝐹:ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑𝑚 {𝐴})))
12 eqid 2514 . . . 4 {𝑦} = {𝑦}
13 reex 9782 . . . 4 ℝ ∈ V
14 vex 3080 . . . 4 𝑦 ∈ V
15 eqid 2514 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({𝑦} × {𝑥})) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({𝑦} × {𝑥}))
1612, 13, 14, 15mapsnf1o3 7668 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({𝑦} × {𝑥})):ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑𝑚 {𝑦})
1711, 16vtoclg 3143 . 2 (𝐴𝑉𝐹:ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑𝑚 {𝐴}))
18 sneq 4038 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑦 → {𝑥} = {𝑦})
1918xpeq2d 4957 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑦 → ({𝐴} × {𝑥}) = ({𝐴} × {𝑦}))
20 snex 4734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝐴} ∈ V
21 snex 4734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝑥} ∈ V
2220, 21xpex 6736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ({𝐴} × {𝑥}) ∈ V
2319, 4, 22fvmpt3i 6080 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℝ → (𝐹𝑦) = ({𝐴} × {𝑦}))
2423fveq1d 5989 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ → ((𝐹𝑦)‘𝐴) = (({𝐴} × {𝑦})‘𝐴))
2524adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑦)‘𝐴) = (({𝐴} × {𝑦})‘𝐴))
26 snidg 4056 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴𝑉𝐴 ∈ {𝐴})
27 fvconst2g 6249 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ {𝐴}) → (({𝐴} × {𝑦})‘𝐴) = 𝑦)
2814, 26, 27sylancr 693 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑉 → (({𝐴} × {𝑦})‘𝐴) = 𝑦)
2925, 28sylan9eqr 2570 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((𝐹𝑦)‘𝐴) = 𝑦)
30 sneq 4038 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑧 → {𝑥} = {𝑧})
3130xpeq2d 4957 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑧 → ({𝐴} × {𝑥}) = ({𝐴} × {𝑧}))
3231, 4, 22fvmpt3i 6080 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ ℝ → (𝐹𝑧) = ({𝐴} × {𝑧}))
3332fveq1d 5989 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ ℝ → ((𝐹𝑧)‘𝐴) = (({𝐴} × {𝑧})‘𝐴))
3433adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑧)‘𝐴) = (({𝐴} × {𝑧})‘𝐴))
35 vex 3080 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑧 ∈ V
36 fvconst2g 6249 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ {𝐴}) → (({𝐴} × {𝑧})‘𝐴) = 𝑧)
3735, 26, 36sylancr 693 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑉 → (({𝐴} × {𝑧})‘𝐴) = 𝑧)
3834, 37sylan9eqr 2570 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((𝐹𝑧)‘𝐴) = 𝑧)
3929, 38oveq12d 6444 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (((𝐹𝑦)‘𝐴) − ((𝐹𝑧)‘𝐴)) = (𝑦𝑧))
4039oveq1d 6441 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((((𝐹𝑦)‘𝐴) − ((𝐹𝑧)‘𝐴))↑2) = ((𝑦𝑧)↑2))
41 resubcl 10096 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑦𝑧) ∈ ℝ)
4241adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (𝑦𝑧) ∈ ℝ)
43 absresq 13749 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦𝑧) ∈ ℝ → ((abs‘(𝑦𝑧))↑2) = ((𝑦𝑧)↑2))
4442, 43syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((abs‘(𝑦𝑧))↑2) = ((𝑦𝑧)↑2))
4540, 44eqtr4d 2551 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((((𝐹𝑦)‘𝐴) − ((𝐹𝑧)‘𝐴))↑2) = ((abs‘(𝑦𝑧))↑2))
4642recnd 9823 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (𝑦𝑧) ∈ ℂ)
4746abscld 13882 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (abs‘(𝑦𝑧)) ∈ ℝ)
4847recnd 9823 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (abs‘(𝑦𝑧)) ∈ ℂ)
4948sqcld 12736 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((abs‘(𝑦𝑧))↑2) ∈ ℂ)
5045, 49eqeltrd 2592 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((((𝐹𝑦)‘𝐴) − ((𝐹𝑧)‘𝐴))↑2) ∈ ℂ)
51 fveq2 5987 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝐴 → ((𝐹𝑦)‘𝑘) = ((𝐹𝑦)‘𝐴))
52 fveq2 5987 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝐴 → ((𝐹𝑧)‘𝑘) = ((𝐹𝑧)‘𝐴))
5351, 52oveq12d 6444 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝐴 → (((𝐹𝑦)‘𝑘) − ((𝐹𝑧)‘𝑘)) = (((𝐹𝑦)‘𝐴) − ((𝐹𝑧)‘𝐴)))
5453oveq1d 6441 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝐴 → ((((𝐹𝑦)‘𝑘) − ((𝐹𝑧)‘𝑘))↑2) = ((((𝐹𝑦)‘𝐴) − ((𝐹𝑧)‘𝐴))↑2))
5554sumsn 14188 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉 ∧ ((((𝐹𝑦)‘𝐴) − ((𝐹𝑧)‘𝐴))↑2) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝐴} ((((𝐹𝑦)‘𝑘) − ((𝐹𝑧)‘𝑘))↑2) = ((((𝐹𝑦)‘𝐴) − ((𝐹𝑧)‘𝐴))↑2))
5650, 55syldan 485 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → Σ𝑘 ∈ {𝐴} ((((𝐹𝑦)‘𝑘) − ((𝐹𝑧)‘𝑘))↑2) = ((((𝐹𝑦)‘𝐴) − ((𝐹𝑧)‘𝐴))↑2))
5756, 45eqtrd 2548 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → Σ𝑘 ∈ {𝐴} ((((𝐹𝑦)‘𝑘) − ((𝐹𝑧)‘𝑘))↑2) = ((abs‘(𝑦𝑧))↑2))
5857fveq2d 5991 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (√‘Σ𝑘 ∈ {𝐴} ((((𝐹𝑦)‘𝑘) − ((𝐹𝑧)‘𝑘))↑2)) = (√‘((abs‘(𝑦𝑧))↑2)))
5946absge0d 13890 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → 0 ≤ (abs‘(𝑦𝑧)))
6047, 59sqrtsqd 13865 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (√‘((abs‘(𝑦𝑧))↑2)) = (abs‘(𝑦𝑧)))
6158, 60eqtrd 2548 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (√‘Σ𝑘 ∈ {𝐴} ((((𝐹𝑦)‘𝑘) − ((𝐹𝑧)‘𝑘))↑2)) = (abs‘(𝑦𝑧)))
62 f1of 5934 . . . . . . . 8 (𝐹:ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑𝑚 {𝐴}) → 𝐹:ℝ⟶(ℝ ↑𝑚 {𝐴}))
6317, 62syl 17 . . . . . . 7 (𝐴𝑉𝐹:ℝ⟶(ℝ ↑𝑚 {𝐴}))
6463ffvelrnda 6151 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹𝑦) ∈ (ℝ ↑𝑚 {𝐴}))
6563ffvelrnda 6151 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝑧 ∈ ℝ) → (𝐹𝑧) ∈ (ℝ ↑𝑚 {𝐴}))
6664, 65anim12dan 877 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((𝐹𝑦) ∈ (ℝ ↑𝑚 {𝐴}) ∧ (𝐹𝑧) ∈ (ℝ ↑𝑚 {𝐴})))
67 snfi 7799 . . . . . 6 {𝐴} ∈ Fin
68 eqid 2514 . . . . . . 7 (ℝ ↑𝑚 {𝐴}) = (ℝ ↑𝑚 {𝐴})
6968rrnmval 32687 . . . . . 6 (({𝐴} ∈ Fin ∧ (𝐹𝑦) ∈ (ℝ ↑𝑚 {𝐴}) ∧ (𝐹𝑧) ∈ (ℝ ↑𝑚 {𝐴})) → ((𝐹𝑦)(ℝn‘{𝐴})(𝐹𝑧)) = (√‘Σ𝑘 ∈ {𝐴} ((((𝐹𝑦)‘𝑘) − ((𝐹𝑧)‘𝑘))↑2)))
7067, 69mp3an1 1402 . . . . 5 (((𝐹𝑦) ∈ (ℝ ↑𝑚 {𝐴}) ∧ (𝐹𝑧) ∈ (ℝ ↑𝑚 {𝐴})) → ((𝐹𝑦)(ℝn‘{𝐴})(𝐹𝑧)) = (√‘Σ𝑘 ∈ {𝐴} ((((𝐹𝑦)‘𝑘) − ((𝐹𝑧)‘𝑘))↑2)))
7166, 70syl 17 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((𝐹𝑦)(ℝn‘{𝐴})(𝐹𝑧)) = (√‘Σ𝑘 ∈ {𝐴} ((((𝐹𝑦)‘𝑘) − ((𝐹𝑧)‘𝑘))↑2)))
72 ismrer1.1 . . . . . 6 𝑅 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
7372remetdval 22309 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑦𝑅𝑧) = (abs‘(𝑦𝑧)))
7473adantl 480 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (𝑦𝑅𝑧) = (abs‘(𝑦𝑧)))
7561, 71, 743eqtr4rd 2559 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (𝑦𝑅𝑧) = ((𝐹𝑦)(ℝn‘{𝐴})(𝐹𝑧)))
7675ralrimivva 2858 . 2 (𝐴𝑉 → ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑦𝑅𝑧) = ((𝐹𝑦)(ℝn‘{𝐴})(𝐹𝑧)))
7772rexmet 22311 . . 3 𝑅 ∈ (∞Met‘ℝ)
7868rrnmet 32688 . . . 4 ({𝐴} ∈ Fin → (ℝn‘{𝐴}) ∈ (Met‘(ℝ ↑𝑚 {𝐴})))
79 metxmet 21851 . . . 4 ((ℝn‘{𝐴}) ∈ (Met‘(ℝ ↑𝑚 {𝐴})) → (ℝn‘{𝐴}) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑𝑚 {𝐴})))
8067, 78, 79mp2b 10 . . 3 (ℝn‘{𝐴}) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑𝑚 {𝐴}))
81 isismty 32660 . . 3 ((𝑅 ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ (ℝn‘{𝐴}) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑𝑚 {𝐴}))) → (𝐹 ∈ (𝑅 Ismty (ℝn‘{𝐴})) ↔ (𝐹:ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑𝑚 {𝐴}) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑦𝑅𝑧) = ((𝐹𝑦)(ℝn‘{𝐴})(𝐹𝑧)))))
8277, 80, 81mp2an 703 . 2 (𝐹 ∈ (𝑅 Ismty (ℝn‘{𝐴})) ↔ (𝐹:ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑𝑚 {𝐴}) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑦𝑅𝑧) = ((𝐹𝑦)(ℝn‘{𝐴})(𝐹𝑧))))
8317, 76, 82sylanbrc 694 1 (𝐴𝑉𝐹 ∈ (𝑅 Ismty (ℝn‘{𝐴})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1938  wral 2800  Vcvv 3077  {csn 4028  cmpt 4541   × cxp 4930  cres 4934  ccom 4936  wf 5685  1-1-ontowf1o 5688  cfv 5689  (class class class)co 6426  𝑚 cmap 7620  Fincfn 7717  cc 9689  cr 9690  cmin 10017  2c2 10825  cexp 12590  csqrt 13680  abscabs 13681  Σcsu 14133  ∞Metcxmt 19456  Metcme 19457   Ismty cismty 32657  ncrrn 32684
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-rep 4597  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6723  ax-inf2 8297  ax-cnex 9747  ax-resscn 9748  ax-1cn 9749  ax-icn 9750  ax-addcl 9751  ax-addrcl 9752  ax-mulcl 9753  ax-mulrcl 9754  ax-mulcom 9755  ax-addass 9756  ax-mulass 9757  ax-distr 9758  ax-i2m1 9759  ax-1ne0 9760  ax-1rid 9761  ax-rnegex 9762  ax-rrecex 9763  ax-cnre 9764  ax-pre-lttri 9765  ax-pre-lttrn 9766  ax-pre-ltadd 9767  ax-pre-mulgt0 9768  ax-pre-sup 9769
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-int 4309  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-se 4892  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-isom 5698  df-riota 6388  df-ov 6429  df-oprab 6430  df-mpt2 6431  df-om 6834  df-1st 6934  df-2nd 6935  df-wrecs 7169  df-recs 7231  df-rdg 7269  df-1o 7323  df-oadd 7327  df-er 7505  df-map 7622  df-en 7718  df-dom 7719  df-sdom 7720  df-fin 7721  df-sup 8107  df-oi 8174  df-card 8524  df-pnf 9831  df-mnf 9832  df-xr 9833  df-ltxr 9834  df-le 9835  df-sub 10019  df-neg 10020  df-div 10434  df-nn 10776  df-2 10834  df-3 10835  df-4 10836  df-n0 11048  df-z 11119  df-uz 11428  df-rp 11575  df-xadd 11689  df-ico 11921  df-fz 12066  df-fzo 12203  df-seq 12532  df-exp 12591  df-hash 12848  df-cj 13546  df-re 13547  df-im 13548  df-sqrt 13682  df-abs 13683  df-clim 13933  df-sum 14134  df-xmet 19464  df-met 19465  df-ismty 32658  df-rrn 32685
This theorem is referenced by:  reheibor  32698
  Copyright terms: Public domain W3C validator