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Theorem lighneallem4a 40812
Description: Lemma 1 for lighneallem4 40814. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
lighneallem4a ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑆 = (((𝐴𝑀) + 1) / (𝐴 + 1))) → 2 ≤ 𝑆)

Proof of Theorem lighneallem4a
StepHypRef Expression
1 2re 11035 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
21a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℝ)
3 eluzelre 11642 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℝ)
4 peano2re 10154 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
53, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
62, 5remulcld 10015 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (2 · (𝐴 + 1)) ∈ ℝ)
76adantr 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (2 · (𝐴 + 1)) ∈ ℝ)
8 eluzge2nn0 11671 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℕ0)
98adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → 𝐴 ∈ ℕ0)
10 eluzge3nn 11674 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (ℤ‘3) → 𝑀 ∈ ℕ)
1110nnnn0d 11296 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (ℤ‘3) → 𝑀 ∈ ℕ0)
1211adantl 482 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
139, 12nn0expcld 12968 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (𝐴𝑀) ∈ ℕ0)
1413nn0red 11297 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (𝐴𝑀) ∈ ℝ)
15 peano2re 10154 . . . . . 6 ((𝐴𝑀) ∈ ℝ → ((𝐴𝑀) + 1) ∈ ℝ)
1614, 15syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝐴𝑀) + 1) ∈ ℝ)
172, 3remulcld 10015 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
182, 17remulcld 10015 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (2 · (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
1918adantr 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (2 · (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
20 1red 10000 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 1 ∈ ℝ)
21 eluz2nn 11670 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)
2221nnge1d 11008 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 1 ≤ 𝐴)
2320, 3, 3, 22leadd2dd 10587 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 + 1) ≤ (𝐴 + 𝐴))
24 eluzelcn 11643 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℂ)
25242timesd 11220 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
2623, 25breqtrrd 4646 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 + 1) ≤ (2 · 𝐴))
2726adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (𝐴 + 1) ≤ (2 · 𝐴))
28 2pos 11057 . . . . . . . . . . . 12 0 < 2
291, 28pm3.2i 471 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
3029a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
315, 17, 303jca 1240 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)))
3231adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)))
33 lemul2 10821 . . . . . . . 8 (((𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝐴 + 1) ≤ (2 · 𝐴) ↔ (2 · (𝐴 + 1)) ≤ (2 · (2 · 𝐴))))
3432, 33syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝐴 + 1) ≤ (2 · 𝐴) ↔ (2 · (𝐴 + 1)) ≤ (2 · (2 · 𝐴))))
3527, 34mpbid 222 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (2 · (𝐴 + 1)) ≤ (2 · (2 · 𝐴)))
36 2cn 11036 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
3736a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → 2 ∈ ℂ)
3824adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → 𝐴 ∈ ℂ)
3937, 37, 38mulassd 10008 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → ((2 · 2) · 𝐴) = (2 · (2 · 𝐴)))
40 sq2 12897 . . . . . . . . . . . 12 (2↑2) = 4
41 4re 11042 . . . . . . . . . . . 12 4 ∈ ℝ
4240, 41eqeltri 2700 . . . . . . . . . . 11 (2↑2) ∈ ℝ
4342a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (2↑2) ∈ ℝ)
44 nn0sqcl 12824 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴↑2) ∈ ℕ0)
458, 44syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℕ0)
4645nn0red 11297 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
4746adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
48 nnm1nn0 11279 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
4910, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ (ℤ‘3) → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
5049adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
519, 50nn0expcld 12968 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (𝐴↑(𝑀 − 1)) ∈ ℕ0)
5251nn0red 11297 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (𝐴↑(𝑀 − 1)) ∈ ℝ)
53 2nn0 11254 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℕ0
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℕ0)
552, 3, 543jca 1240 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℕ0))
5655adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℕ0))
57 0le2 11056 . . . . . . . . . . . 12 0 ≤ 2
5857a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → 0 ≤ 2)
59 eluzle 11644 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 2 ≤ 𝐴)
6059adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → 2 ≤ 𝐴)
61 leexp1a 12856 . . . . . . . . . . 11 (((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 𝐴)) → (2↑2) ≤ (𝐴↑2))
6256, 58, 60, 61syl12anc 1321 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (2↑2) ≤ (𝐴↑2))
63 2p1e3 11096 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 + 1) = 3
64 eluzle 11644 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ (ℤ‘3) → 3 ≤ 𝑀)
6563, 64syl5eqbr 4653 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ (ℤ‘3) → (2 + 1) ≤ 𝑀)
66 1red 10000 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ (ℤ‘3) → 1 ∈ ℝ)
67 eluzelre 11642 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ (ℤ‘3) → 𝑀 ∈ ℝ)
68 leaddsub 10449 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((2 + 1) ≤ 𝑀 ↔ 2 ≤ (𝑀 − 1)))
691, 66, 67, 68mp3an2i 1426 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ (ℤ‘3) → ((2 + 1) ≤ 𝑀 ↔ 2 ≤ (𝑀 − 1)))
7065, 69mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ (ℤ‘3) → 2 ≤ (𝑀 − 1))
7170adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → 2 ≤ (𝑀 − 1))
723adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → 𝐴 ∈ ℝ)
73 2z 11354 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℤ
7473a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → 2 ∈ ℤ)
75 eluzelz 11641 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ (ℤ‘3) → 𝑀 ∈ ℤ)
76 peano2zm 11365 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
7775, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ (ℤ‘3) → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
7877adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
79 eluz2gt1 11704 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝐴)
8079adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → 1 < 𝐴)
8172, 74, 78, 80leexp2d 12976 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (2 ≤ (𝑀 − 1) ↔ (𝐴↑2) ≤ (𝐴↑(𝑀 − 1))))
8271, 81mpbid 222 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (𝐴↑2) ≤ (𝐴↑(𝑀 − 1)))
8343, 47, 52, 62, 82letrd 10139 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (2↑2) ≤ (𝐴↑(𝑀 − 1)))
8436sqvali 12880 . . . . . . . . . . 11 (2↑2) = (2 · 2)
8584eqcomi 2635 . . . . . . . . . 10 (2 · 2) = (2↑2)
8685a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (2 · 2) = (2↑2))
87 eluz2n0 11672 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ≠ 0)
8887adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → 𝐴 ≠ 0)
8975adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → 𝑀 ∈ ℤ)
9038, 88, 89expm1d 12955 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (𝐴↑(𝑀 − 1)) = ((𝐴𝑀) / 𝐴))
9190eqcomd 2632 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝐴𝑀) / 𝐴) = (𝐴↑(𝑀 − 1)))
9283, 86, 913brtr4d 4650 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (2 · 2) ≤ ((𝐴𝑀) / 𝐴))
931, 1remulcli 9999 . . . . . . . . 9 (2 · 2) ∈ ℝ
9421nngt0d 11009 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 0 < 𝐴)
953, 94jca 554 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
9695adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
97 lemuldiv 10848 . . . . . . . . 9 (((2 · 2) ∈ ℝ ∧ (𝐴𝑀) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (((2 · 2) · 𝐴) ≤ (𝐴𝑀) ↔ (2 · 2) ≤ ((𝐴𝑀) / 𝐴)))
9893, 14, 96, 97mp3an2i 1426 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (((2 · 2) · 𝐴) ≤ (𝐴𝑀) ↔ (2 · 2) ≤ ((𝐴𝑀) / 𝐴)))
9992, 98mpbird 247 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → ((2 · 2) · 𝐴) ≤ (𝐴𝑀))
10039, 99eqbrtrrd 4642 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (2 · (2 · 𝐴)) ≤ (𝐴𝑀))
1017, 19, 14, 35, 100letrd 10139 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (2 · (𝐴 + 1)) ≤ (𝐴𝑀))
10214lep1d 10900 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (𝐴𝑀) ≤ ((𝐴𝑀) + 1))
1037, 14, 16, 101, 102letrd 10139 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (2 · (𝐴 + 1)) ≤ ((𝐴𝑀) + 1))
104 nnnn0 11244 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℕ0)
105 nn0p1gt0 11267 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 < (𝐴 + 1))
10621, 104, 1053syl 18 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 0 < (𝐴 + 1))
1075, 106jca 554 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 1)))
108107adantr 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 1)))
109 lemuldiv 10848 . . . . 5 ((2 ∈ ℝ ∧ ((𝐴𝑀) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 1))) → ((2 · (𝐴 + 1)) ≤ ((𝐴𝑀) + 1) ↔ 2 ≤ (((𝐴𝑀) + 1) / (𝐴 + 1))))
1101, 16, 108, 109mp3an2i 1426 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → ((2 · (𝐴 + 1)) ≤ ((𝐴𝑀) + 1) ↔ 2 ≤ (((𝐴𝑀) + 1) / (𝐴 + 1))))
111103, 110mpbid 222 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → 2 ≤ (((𝐴𝑀) + 1) / (𝐴 + 1)))
1121113adant3 1079 . 2 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑆 = (((𝐴𝑀) + 1) / (𝐴 + 1))) → 2 ≤ (((𝐴𝑀) + 1) / (𝐴 + 1)))
113 breq2 4622 . . 3 (𝑆 = (((𝐴𝑀) + 1) / (𝐴 + 1)) → (2 ≤ 𝑆 ↔ 2 ≤ (((𝐴𝑀) + 1) / (𝐴 + 1))))
1141133ad2ant3 1082 . 2 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑆 = (((𝐴𝑀) + 1) / (𝐴 + 1))) → (2 ≤ 𝑆 ↔ 2 ≤ (((𝐴𝑀) + 1) / (𝐴 + 1))))
115112, 114mpbird 247 1 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑆 = (((𝐴𝑀) + 1) / (𝐴 + 1))) → 2 ≤ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796   class class class wbr 4618  cfv 5850  (class class class)co 6605  cc 9879  cr 9880  0cc0 9881  1c1 9882   + caddc 9884   · cmul 9886   < clt 10019  cle 10020  cmin 10211   / cdiv 10629  cn 10965  2c2 11015  3c3 11016  4c4 11017  0cn0 11237  cz 11322  cuz 11631  cexp 12797
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-rp 11777  df-seq 12739  df-exp 12798
This theorem is referenced by:  lighneallem4b  40813
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