MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltadd2dd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltadd2dd 10181
Description: Addition to both sides of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
ltletrd.4 (𝜑𝐴 < 𝐵)
Assertion
Ref Expression
ltadd2dd (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵))

Proof of Theorem ltadd2dd
StepHypRef Expression
1 ltletrd.4 . 2 (𝜑𝐴 < 𝐵)
2 ltd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 ltd.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
4 letrd.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
52, 3, 4ltadd2d 10178 . 2 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵)))
61, 5mpbid 222 1 (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1988   class class class wbr 4644  (class class class)co 6635  cr 9920   + caddc 9924   < clt 10059
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-resscn 9978  ax-addrcl 9982  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-ltadd 9997
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-ov 6638  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-ltxr 10064
This theorem is referenced by:  zltaddlt1le  12309  2tnp1ge0ge0  12613  ccatrn  13355  eirrlem  14913  prmreclem5  15605  iccntr  22605  icccmplem2  22607  ivthlem2  23202  uniioombllem3  23334  opnmbllem  23350  dvcnvre  23763  cosordlem  24258  efif1olem2  24270  atanlogaddlem  24621  pntibndlem2  25261  pntlemr  25272  dya2icoseg  30313  opnmbllem0  33416  binomcxplemdvbinom  38372  zltlesub  39310  supxrge  39367  ltadd12dd  39372  xrralrecnnle  39415  0ellimcdiv  39681  climleltrp  39708  ioodvbdlimc1lem2  39910  stoweidlem11  39991  stoweidlem14  39994  stoweidlem26  40006  stoweidlem44  40024  dirkertrigeqlem3  40080  dirkercncflem1  40083  dirkercncflem2  40084  fourierdlem4  40091  fourierdlem10  40097  fourierdlem28  40115  fourierdlem40  40127  fourierdlem50  40136  fourierdlem57  40143  fourierdlem59  40145  fourierdlem60  40146  fourierdlem61  40147  fourierdlem68  40154  fourierdlem74  40160  fourierdlem75  40161  fourierdlem76  40162  fourierdlem78  40164  fourierdlem79  40165  fourierdlem84  40170  fourierdlem93  40179  fourierdlem111  40197  fouriersw  40211  smfaddlem1  40734  smflimlem3  40744
  Copyright terms: Public domain W3C validator