MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltadd2dd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltadd2dd 10043
Description: Addition to both sides of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
ltletrd.4 (𝜑𝐴 < 𝐵)
Assertion
Ref Expression
ltadd2dd (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵))

Proof of Theorem ltadd2dd
StepHypRef Expression
1 ltletrd.4 . 2 (𝜑𝐴 < 𝐵)
2 ltd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 ltd.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
4 letrd.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
52, 3, 4ltadd2d 10040 . 2 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵)))
61, 5mpbid 220 1 (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1975   class class class wbr 4573  (class class class)co 6523  cr 9787   + caddc 9791   < clt 9926
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-resscn 9845  ax-addrcl 9849  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-ltadd 9864
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-op 4127  df-uni 4363  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-id 4939  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-ov 6526  df-er 7602  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-ltxr 9931
This theorem is referenced by:  zltaddlt1le  12147  2tnp1ge0ge0  12443  ccatrn  13167  eirrlem  14713  prmreclem5  15404  iccntr  22360  icccmplem2  22362  ivthlem2  22941  uniioombllem3  23072  opnmbllem  23088  dvcnvre  23499  cosordlem  23994  efif1olem2  24006  atanlogaddlem  24353  pntibndlem2  24993  pntlemr  25004  dya2icoseg  29468  opnmbllem0  32414  binomcxplemdvbinom  37373  zltlesub  38237  supxrge  38295  ltadd12dd  38300  xrralrecnnle  38343  0ellimcdiv  38516  climleltrp  38543  ioodvbdlimc1lem2  38622  stoweidlem11  38704  stoweidlem14  38707  stoweidlem26  38719  stoweidlem44  38737  dirkertrigeqlem3  38793  dirkercncflem1  38796  dirkercncflem2  38797  fourierdlem4  38804  fourierdlem10  38810  fourierdlem28  38828  fourierdlem40  38840  fourierdlem50  38849  fourierdlem57  38856  fourierdlem59  38858  fourierdlem60  38859  fourierdlem61  38860  fourierdlem68  38867  fourierdlem74  38873  fourierdlem75  38874  fourierdlem76  38875  fourierdlem78  38877  fourierdlem79  38878  fourierdlem84  38883  fourierdlem93  38892  fourierdlem111  38910  fouriersw  38924  smfaddlem1  39449  smflimlem3  39459
  Copyright terms: Public domain W3C validator