MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pilem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pilem3 24124
Description: Lemma for pire 24127, pigt2lt4 24125 and sinpi 24126. Existence part. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
pilem3 (π ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘π) = 0)

Proof of Theorem pilem3
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2re 11041 . . . . 5 2 ∈ ℝ
21a1i 11 . . . 4 (⊤ → 2 ∈ ℝ)
3 4re 11048 . . . . 5 4 ∈ ℝ
43a1i 11 . . . 4 (⊤ → 4 ∈ ℝ)
5 0re 9991 . . . . 5 0 ∈ ℝ
65a1i 11 . . . 4 (⊤ → 0 ∈ ℝ)
7 2lt4 11149 . . . . 5 2 < 4
87a1i 11 . . . 4 (⊤ → 2 < 4)
9 iccssre 12204 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ) → (2[,]4) ⊆ ℝ)
101, 3, 9mp2an 707 . . . . . 6 (2[,]4) ⊆ ℝ
11 ax-resscn 9944 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℂ
1210, 11sstri 3596 . . . . 5 (2[,]4) ⊆ ℂ
1312a1i 11 . . . 4 (⊤ → (2[,]4) ⊆ ℂ)
14 sincn 24115 . . . . 5 sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
1514a1i 11 . . . 4 (⊤ → sin ∈ (ℂ–cn→ℂ))
1610sseli 3583 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (2[,]4) → 𝑦 ∈ ℝ)
1716resincld 14805 . . . . 5 (𝑦 ∈ (2[,]4) → (sin‘𝑦) ∈ ℝ)
1817adantl 482 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (2[,]4)) → (sin‘𝑦) ∈ ℝ)
19 sin4lt0 14857 . . . . . 6 (sin‘4) < 0
20 sincos2sgn 14856 . . . . . . 7 (0 < (sin‘2) ∧ (cos‘2) < 0)
2120simpli 474 . . . . . 6 0 < (sin‘2)
2219, 21pm3.2i 471 . . . . 5 ((sin‘4) < 0 ∧ 0 < (sin‘2))
2322a1i 11 . . . 4 (⊤ → ((sin‘4) < 0 ∧ 0 < (sin‘2)))
242, 4, 6, 8, 13, 15, 18, 23ivth2 23143 . . 3 (⊤ → ∃𝑥 ∈ (2(,)4)(sin‘𝑥) = 0)
2524trud 1490 . 2 𝑥 ∈ (2(,)4)(sin‘𝑥) = 0
26 df-pi 14735 . . . . . . 7 π = inf((ℝ+ ∩ (sin “ {0})), ℝ, < )
27 elioore 12154 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (2(,)4) → 𝑥 ∈ ℝ)
2827adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → 𝑥 ∈ ℝ)
295a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → 0 ∈ ℝ)
301a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → 2 ∈ ℝ)
31 2pos 11063 . . . . . . . . . . . 12 0 < 2
3231a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → 0 < 2)
33 eliooord 12182 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (2(,)4) → (2 < 𝑥𝑥 < 4))
3433simpld 475 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (2(,)4) → 2 < 𝑥)
3534adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → 2 < 𝑥)
3629, 30, 28, 32, 35lttrd 10149 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → 0 < 𝑥)
3728, 36elrpd 11820 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → 𝑥 ∈ ℝ+)
38 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (sin‘𝑥) = 0)
39 pilem1 24122 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) ↔ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (sin‘𝑥) = 0))
4037, 38, 39sylanbrc 697 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → 𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})))
41 inss1 3816 . . . . . . . . . 10 (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) ⊆ ℝ+
42 rpssre 11794 . . . . . . . . . 10 + ⊆ ℝ
4341, 42sstri 3596 . . . . . . . . 9 (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) ⊆ ℝ
4441sseli 3583 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) → 𝑧 ∈ ℝ+)
4544rpge0d 11827 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) → 0 ≤ 𝑧)
4645rgen 2917 . . . . . . . . . 10 𝑧 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))0 ≤ 𝑧
47 breq1 4621 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 0 → (𝑦𝑧 ↔ 0 ≤ 𝑧))
4847ralbidv 2981 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 0 → (∀𝑧 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))𝑦𝑧 ↔ ∀𝑧 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))0 ≤ 𝑧))
4948rspcev 3298 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))0 ≤ 𝑧) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))𝑦𝑧)
505, 46, 49mp2an 707 . . . . . . . . 9 𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))𝑦𝑧
51 infrelb 10959 . . . . . . . . 9 (((ℝ+ ∩ (sin “ {0})) ⊆ ℝ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))𝑦𝑧𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))) → inf((ℝ+ ∩ (sin “ {0})), ℝ, < ) ≤ 𝑥)
5243, 50, 51mp3an12 1411 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) → inf((ℝ+ ∩ (sin “ {0})), ℝ, < ) ≤ 𝑥)
5340, 52syl 17 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → inf((ℝ+ ∩ (sin “ {0})), ℝ, < ) ≤ 𝑥)
5426, 53syl5eqbr 4653 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → π ≤ 𝑥)
55 simplll 797 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) ∧ π < 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))) → 𝑥 ∈ (2(,)4))
56 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) ∧ π < 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))) → 𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})))
57 pilem1 24122 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) ↔ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (sin‘𝑦) = 0))
5856, 57sylib 208 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) ∧ π < 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))) → (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (sin‘𝑦) = 0))
5958simpld 475 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) ∧ π < 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))) → 𝑦 ∈ ℝ+)
60 simpllr 798 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) ∧ π < 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))) → (sin‘𝑥) = 0)
6158simprd 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) ∧ π < 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))) → (sin‘𝑦) = 0)
62 simplr 791 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) ∧ π < 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))) → π < 𝑥)
6355, 59, 60, 61, 62pilem2 24123 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) ∧ π < 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))) → ((π + 𝑥) / 2) ≤ 𝑦)
6463ralrimiva 2961 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) ∧ π < 𝑥) → ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))((π + 𝑥) / 2) ≤ 𝑦)
6543a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) ∧ π < 𝑥) → (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) ⊆ ℝ)
66 ne0i 3902 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) → (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) ≠ ∅)
6740, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) ≠ ∅)
6867adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) ∧ π < 𝑥) → (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) ≠ ∅)
6950a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) ∧ π < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))𝑦𝑧)
70 infrecl 10956 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((ℝ+ ∩ (sin “ {0})) ⊆ ℝ ∧ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))𝑦𝑧) → inf((ℝ+ ∩ (sin “ {0})), ℝ, < ) ∈ ℝ)
7143, 50, 70mp3an13 1412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((ℝ+ ∩ (sin “ {0})) ≠ ∅ → inf((ℝ+ ∩ (sin “ {0})), ℝ, < ) ∈ ℝ)
7267, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → inf((ℝ+ ∩ (sin “ {0})), ℝ, < ) ∈ ℝ)
7326, 72syl5eqel 2702 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → π ∈ ℝ)
7473, 28readdcld 10020 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (π + 𝑥) ∈ ℝ)
7574adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) ∧ π < 𝑥) → (π + 𝑥) ∈ ℝ)
7675rehalfcld 11230 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) ∧ π < 𝑥) → ((π + 𝑥) / 2) ∈ ℝ)
77 infregelb 10958 . . . . . . . . . . . 12 ((((ℝ+ ∩ (sin “ {0})) ⊆ ℝ ∧ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))𝑦𝑧) ∧ ((π + 𝑥) / 2) ∈ ℝ) → (((π + 𝑥) / 2) ≤ inf((ℝ+ ∩ (sin “ {0})), ℝ, < ) ↔ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))((π + 𝑥) / 2) ≤ 𝑦))
7865, 68, 69, 76, 77syl31anc 1326 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) ∧ π < 𝑥) → (((π + 𝑥) / 2) ≤ inf((ℝ+ ∩ (sin “ {0})), ℝ, < ) ↔ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))((π + 𝑥) / 2) ≤ 𝑦))
7964, 78mpbird 247 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) ∧ π < 𝑥) → ((π + 𝑥) / 2) ≤ inf((ℝ+ ∩ (sin “ {0})), ℝ, < ))
8079, 26syl6breqr 4660 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) ∧ π < 𝑥) → ((π + 𝑥) / 2) ≤ π)
8180ex 450 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (π < 𝑥 → ((π + 𝑥) / 2) ≤ π))
8273, 28ltnled 10135 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (π < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ≤ π))
8373recnd 10019 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → π ∈ ℂ)
8428recnd 10019 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → 𝑥 ∈ ℂ)
8583, 84addcomd 10189 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (π + 𝑥) = (𝑥 + π))
8685oveq1d 6625 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → ((π + 𝑥) / 2) = ((𝑥 + π) / 2))
8786breq1d 4628 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (((π + 𝑥) / 2) ≤ π ↔ ((𝑥 + π) / 2) ≤ π))
88 avgle2 11224 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (𝑥 ≤ π ↔ ((𝑥 + π) / 2) ≤ π))
8928, 73, 88syl2anc 692 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (𝑥 ≤ π ↔ ((𝑥 + π) / 2) ≤ π))
9087, 89bitr4d 271 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (((π + 𝑥) / 2) ≤ π ↔ 𝑥 ≤ π))
9181, 82, 903imtr3d 282 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (¬ 𝑥 ≤ π → 𝑥 ≤ π))
9291pm2.18d 124 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → 𝑥 ≤ π)
9373, 28letri3d 10130 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (π = 𝑥 ↔ (π ≤ 𝑥𝑥 ≤ π)))
9454, 92, 93mpbir2and 956 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → π = 𝑥)
95 simpl 473 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → 𝑥 ∈ (2(,)4))
9694, 95eqeltrd 2698 . . . 4 ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → π ∈ (2(,)4))
9794fveq2d 6157 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (sin‘π) = (sin‘𝑥))
9897, 38eqtrd 2655 . . . 4 ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (sin‘π) = 0)
9996, 98jca 554 . . 3 ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (π ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘π) = 0))
10099rexlimiva 3022 . 2 (∃𝑥 ∈ (2(,)4)(sin‘𝑥) = 0 → (π ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘π) = 0))
10125, 100ax-mp 5 1 (π ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘π) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wtru 1481  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  wrex 2908  cin 3558  wss 3559  c0 3896  {csn 4153   class class class wbr 4618  ccnv 5078  cima 5082  cfv 5852  (class class class)co 6610  infcinf 8298  cc 9885  cr 9886  0cc0 9887   + caddc 9890   < clt 10025  cle 10026   / cdiv 10635  2c2 11021  4c4 11023  +crp 11783  (,)cioo 12124  [,]cicc 12127  sincsin 14726  cosccos 14727  πcpi 14729  cnccncf 22598
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8489  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964  ax-pre-sup 9965  ax-addf 9966  ax-mulf 9967
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-supp 7248  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-ixp 7860  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-fin 7910  df-fsupp 8227  df-fi 8268  df-sup 8299  df-inf 8300  df-oi 8366  df-card 8716  df-cda 8941  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-div 10636  df-nn 10972  df-2 11030  df-3 11031  df-4 11032  df-5 11033  df-6 11034  df-7 11035  df-8 11036  df-9 11037  df-n0 11244  df-z 11329  df-dec 11445  df-uz 11639  df-q 11740  df-rp 11784  df-xneg 11897  df-xadd 11898  df-xmul 11899  df-ioo 12128  df-ioc 12129  df-ico 12130  df-icc 12131  df-fz 12276  df-fzo 12414  df-fl 12540  df-seq 12749  df-exp 12808  df-fac 13008  df-bc 13037  df-hash 13065  df-shft 13748  df-cj 13780  df-re 13781  df-im 13782  df-sqrt 13916  df-abs 13917  df-limsup 14143  df-clim 14160  df-rlim 14161  df-sum 14358  df-ef 14730  df-sin 14732  df-cos 14733  df-pi 14735  df-struct 15790  df-ndx 15791  df-slot 15792  df-base 15793  df-sets 15794  df-ress 15795  df-plusg 15882  df-mulr 15883  df-starv 15884  df-sca 15885  df-vsca 15886  df-ip 15887  df-tset 15888  df-ple 15889  df-ds 15892  df-unif 15893  df-hom 15894  df-cco 15895  df-rest 16011  df-topn 16012  df-0g 16030  df-gsum 16031  df-topgen 16032  df-pt 16033  df-prds 16036  df-xrs 16090  df-qtop 16095  df-imas 16096  df-xps 16098  df-mre 16174  df-mrc 16175  df-acs 16177  df-mgm 17170  df-sgrp 17212  df-mnd 17223  df-submnd 17264  df-mulg 17469  df-cntz 17678  df-cmn 18123  df-psmet 19666  df-xmet 19667  df-met 19668  df-bl 19669  df-mopn 19670  df-fbas 19671  df-fg 19672  df-cnfld 19675  df-top 20627  df-topon 20644  df-topsp 20657  df-bases 20670  df-cld 20742  df-ntr 20743  df-cls 20744  df-nei 20821  df-lp 20859  df-perf 20860  df-cn 20950  df-cnp 20951  df-haus 21038  df-tx 21284  df-hmeo 21477  df-fil 21569  df-fm 21661  df-flim 21662  df-flf 21663  df-xms 22044  df-ms 22045  df-tms 22046  df-cncf 22600  df-limc 23549  df-dv 23550
This theorem is referenced by:  pigt2lt4  24125  sinpi  24126  pire  24127
  Copyright terms: Public domain W3C validator