MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntlemc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntlemc 25483
Description: Lemma for pnt 25502. Closure for the constants used in the proof. For comparison with Equation 10.6.27 of [Shapiro], p. 434, 𝑈 is α, 𝐸 is ε, and 𝐾 is K. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem1.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntlem1.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
pntlem1.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
pntlem1.l (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))
pntlem1.d 𝐷 = (𝐴 + 1)
pntlem1.f 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
pntlem1.u (𝜑𝑈 ∈ ℝ+)
pntlem1.u2 (𝜑𝑈𝐴)
pntlem1.e 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
pntlem1.k 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
Assertion
Ref Expression
pntlemc (𝜑 → (𝐸 ∈ ℝ+𝐾 ∈ ℝ+ ∧ (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈𝐸) ∈ ℝ+)))
Distinct variable group:   𝐸,𝑎
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝐴(𝑎)   𝐵(𝑎)   𝐷(𝑎)   𝑅(𝑎)   𝑈(𝑎)   𝐹(𝑎)   𝐾(𝑎)   𝐿(𝑎)

Proof of Theorem pntlemc
StepHypRef Expression
1 pntlem1.e . . 3 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
2 pntlem1.u . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ ℝ+)
3 pntlem1.r . . . . . 6 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
4 pntlem1.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
5 pntlem1.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
6 pntlem1.l . . . . . 6 (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))
7 pntlem1.d . . . . . 6 𝐷 = (𝐴 + 1)
8 pntlem1.f . . . . . 6 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
93, 4, 5, 6, 7, 8pntlemd 25482 . . . . 5 (𝜑 → (𝐿 ∈ ℝ+𝐷 ∈ ℝ+𝐹 ∈ ℝ+))
109simp2d 1138 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ ℝ+)
112, 10rpdivcld 12082 . . 3 (𝜑 → (𝑈 / 𝐷) ∈ ℝ+)
121, 11syl5eqel 2843 . 2 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
13 pntlem1.k . . 3 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
145, 12rpdivcld 12082 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 / 𝐸) ∈ ℝ+)
1514rpred 12065 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 / 𝐸) ∈ ℝ)
1615rpefcld 15034 . . 3 (𝜑 → (exp‘(𝐵 / 𝐸)) ∈ ℝ+)
1713, 16syl5eqel 2843 . 2 (𝜑𝐾 ∈ ℝ+)
1812rpred 12065 . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
1912rpgt0d 12068 . . . 4 (𝜑 → 0 < 𝐸)
202rpred 12065 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
214rpred 12065 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2210rpred 12065 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
23 pntlem1.u2 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈𝐴)
2421ltp1d 11146 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 < (𝐴 + 1))
2524, 7syl6breqr 4846 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 < 𝐷)
2620, 21, 22, 23, 25lelttrd 10387 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 < 𝐷)
2710rpcnd 12067 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
2827mulid1d 10249 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷 · 1) = 𝐷)
2926, 28breqtrrd 4832 . . . . . 6 (𝜑𝑈 < (𝐷 · 1))
30 1red 10247 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
3120, 30, 10ltdivmuld 12116 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑈 / 𝐷) < 1 ↔ 𝑈 < (𝐷 · 1)))
3229, 31mpbird 247 . . . . 5 (𝜑 → (𝑈 / 𝐷) < 1)
331, 32syl5eqbr 4839 . . . 4 (𝜑𝐸 < 1)
34 0xr 10278 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
35 1re 10231 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
3635rexri 10289 . . . . 5 1 ∈ ℝ*
37 elioo2 12409 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝐸 ∈ (0(,)1) ↔ (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸𝐸 < 1)))
3834, 36, 37mp2an 710 . . . 4 (𝐸 ∈ (0(,)1) ↔ (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸𝐸 < 1))
3918, 19, 33, 38syl3anbrc 1429 . . 3 (𝜑𝐸 ∈ (0(,)1))
40 efgt1 15045 . . . . 5 ((𝐵 / 𝐸) ∈ ℝ+ → 1 < (exp‘(𝐵 / 𝐸)))
4114, 40syl 17 . . . 4 (𝜑 → 1 < (exp‘(𝐵 / 𝐸)))
4241, 13syl6breqr 4846 . . 3 (𝜑 → 1 < 𝐾)
43 ltaddrp 12060 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 1 < (1 + 𝐴))
4435, 4, 43sylancr 698 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 < (1 + 𝐴))
452rpcnne0d 12074 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑈 ∈ ℂ ∧ 𝑈 ≠ 0))
46 divid 10906 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ ℂ ∧ 𝑈 ≠ 0) → (𝑈 / 𝑈) = 1)
4745, 46syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑈 / 𝑈) = 1)
484rpcnd 12067 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
49 ax-1cn 10186 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
50 addcom 10414 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 + 1) = (1 + 𝐴))
5148, 49, 50sylancl 697 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 + 1) = (1 + 𝐴))
527, 51syl5eq 2806 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 = (1 + 𝐴))
5344, 47, 523brtr4d 4836 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈 / 𝑈) < 𝐷)
5420, 2, 10, 53ltdiv23d 12130 . . . . 5 (𝜑 → (𝑈 / 𝐷) < 𝑈)
551, 54syl5eqbr 4839 . . . 4 (𝜑𝐸 < 𝑈)
56 difrp 12061 . . . . 5 ((𝐸 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ) → (𝐸 < 𝑈 ↔ (𝑈𝐸) ∈ ℝ+))
5718, 20, 56syl2anc 696 . . . 4 (𝜑 → (𝐸 < 𝑈 ↔ (𝑈𝐸) ∈ ℝ+))
5855, 57mpbid 222 . . 3 (𝜑 → (𝑈𝐸) ∈ ℝ+)
5939, 42, 583jca 1123 . 2 (𝜑 → (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈𝐸) ∈ ℝ+))
6012, 17, 593jca 1123 1 (𝜑 → (𝐸 ∈ ℝ+𝐾 ∈ ℝ+ ∧ (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈𝐸) ∈ ℝ+)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932   class class class wbr 4804  cmpt 4881  cfv 6049  (class class class)co 6813  cc 10126  cr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   · cmul 10133  *cxr 10265   < clt 10266  cle 10267  cmin 10458   / cdiv 10876  2c2 11262  3c3 11263  cdc 11685  +crp 12025  (,)cioo 12368  cexp 13054  expce 14991  ψcchp 25018
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-addf 10207  ax-mulf 10208
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-pm 8026  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-rp 12026  df-ioo 12372  df-ico 12374  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-seq 12996  df-exp 13055  df-fac 13255  df-bc 13284  df-hash 13312  df-shft 14006  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-limsup 14401  df-clim 14418  df-rlim 14419  df-sum 14616  df-ef 14997
This theorem is referenced by:  pntlema  25484  pntlemb  25485  pntlemg  25486  pntlemh  25487  pntlemq  25489  pntlemr  25490  pntlemj  25491  pntlemi  25492  pntlemf  25493  pntlemo  25495  pntleme  25496  pntlemp  25498
  Copyright terms: Public domain W3C validator