MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntlemc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntlemc 25028
Description: Lemma for pnt 25047. Closure for the constants used in the proof. For comparison with Equation 10.6.27 of [Shapiro], p. 434, 𝑈 is α, 𝐸 is ε, and 𝐾 is K. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem1.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntlem1.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
pntlem1.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
pntlem1.l (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))
pntlem1.d 𝐷 = (𝐴 + 1)
pntlem1.f 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
pntlem1.u (𝜑𝑈 ∈ ℝ+)
pntlem1.u2 (𝜑𝑈𝐴)
pntlem1.e 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
pntlem1.k 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
Assertion
Ref Expression
pntlemc (𝜑 → (𝐸 ∈ ℝ+𝐾 ∈ ℝ+ ∧ (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈𝐸) ∈ ℝ+)))
Distinct variable group:   𝐸,𝑎
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝐴(𝑎)   𝐵(𝑎)   𝐷(𝑎)   𝑅(𝑎)   𝑈(𝑎)   𝐹(𝑎)   𝐾(𝑎)   𝐿(𝑎)

Proof of Theorem pntlemc
StepHypRef Expression
1 pntlem1.e . . 3 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
2 pntlem1.u . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ ℝ+)
3 pntlem1.r . . . . . 6 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
4 pntlem1.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
5 pntlem1.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
6 pntlem1.l . . . . . 6 (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))
7 pntlem1.d . . . . . 6 𝐷 = (𝐴 + 1)
8 pntlem1.f . . . . . 6 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
93, 4, 5, 6, 7, 8pntlemd 25027 . . . . 5 (𝜑 → (𝐿 ∈ ℝ+𝐷 ∈ ℝ+𝐹 ∈ ℝ+))
109simp2d 1066 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ ℝ+)
112, 10rpdivcld 11723 . . 3 (𝜑 → (𝑈 / 𝐷) ∈ ℝ+)
121, 11syl5eqel 2691 . 2 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
13 pntlem1.k . . 3 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
145, 12rpdivcld 11723 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 / 𝐸) ∈ ℝ+)
1514rpred 11706 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 / 𝐸) ∈ ℝ)
1615rpefcld 14622 . . 3 (𝜑 → (exp‘(𝐵 / 𝐸)) ∈ ℝ+)
1713, 16syl5eqel 2691 . 2 (𝜑𝐾 ∈ ℝ+)
1812rpred 11706 . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
1912rpgt0d 11709 . . . 4 (𝜑 → 0 < 𝐸)
202rpred 11706 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
214rpred 11706 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2210rpred 11706 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
23 pntlem1.u2 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈𝐴)
2421ltp1d 10805 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 < (𝐴 + 1))
2524, 7syl6breqr 4619 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 < 𝐷)
2620, 21, 22, 23, 25lelttrd 10046 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 < 𝐷)
2710rpcnd 11708 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
2827mulid1d 9913 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷 · 1) = 𝐷)
2926, 28breqtrrd 4605 . . . . . 6 (𝜑𝑈 < (𝐷 · 1))
30 1red 9911 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
3120, 30, 10ltdivmuld 11757 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑈 / 𝐷) < 1 ↔ 𝑈 < (𝐷 · 1)))
3229, 31mpbird 245 . . . . 5 (𝜑 → (𝑈 / 𝐷) < 1)
331, 32syl5eqbr 4612 . . . 4 (𝜑𝐸 < 1)
34 0xr 9942 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
35 1re 9895 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
3635rexri 9948 . . . . 5 1 ∈ ℝ*
37 elioo2 12045 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝐸 ∈ (0(,)1) ↔ (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸𝐸 < 1)))
3834, 36, 37mp2an 703 . . . 4 (𝐸 ∈ (0(,)1) ↔ (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸𝐸 < 1))
3918, 19, 33, 38syl3anbrc 1238 . . 3 (𝜑𝐸 ∈ (0(,)1))
40 efgt1 14633 . . . . 5 ((𝐵 / 𝐸) ∈ ℝ+ → 1 < (exp‘(𝐵 / 𝐸)))
4114, 40syl 17 . . . 4 (𝜑 → 1 < (exp‘(𝐵 / 𝐸)))
4241, 13syl6breqr 4619 . . 3 (𝜑 → 1 < 𝐾)
43 ltaddrp 11701 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 1 < (1 + 𝐴))
4435, 4, 43sylancr 693 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 < (1 + 𝐴))
452rpcnne0d 11715 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑈 ∈ ℂ ∧ 𝑈 ≠ 0))
46 divid 10565 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ ℂ ∧ 𝑈 ≠ 0) → (𝑈 / 𝑈) = 1)
4745, 46syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑈 / 𝑈) = 1)
484rpcnd 11708 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
49 ax-1cn 9850 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
50 addcom 10073 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 + 1) = (1 + 𝐴))
5148, 49, 50sylancl 692 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 + 1) = (1 + 𝐴))
527, 51syl5eq 2655 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 = (1 + 𝐴))
5344, 47, 523brtr4d 4609 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈 / 𝑈) < 𝐷)
5420, 2, 10, 53ltdiv23d 11771 . . . . 5 (𝜑 → (𝑈 / 𝐷) < 𝑈)
551, 54syl5eqbr 4612 . . . 4 (𝜑𝐸 < 𝑈)
56 difrp 11702 . . . . 5 ((𝐸 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ) → (𝐸 < 𝑈 ↔ (𝑈𝐸) ∈ ℝ+))
5718, 20, 56syl2anc 690 . . . 4 (𝜑 → (𝐸 < 𝑈 ↔ (𝑈𝐸) ∈ ℝ+))
5855, 57mpbid 220 . . 3 (𝜑 → (𝑈𝐸) ∈ ℝ+)
5939, 42, 583jca 1234 . 2 (𝜑 → (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈𝐸) ∈ ℝ+))
6012, 17, 593jca 1234 1 (𝜑 → (𝐸 ∈ ℝ+𝐾 ∈ ℝ+ ∧ (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈𝐸) ∈ ℝ+)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779   class class class wbr 4577  cmpt 4637  cfv 5789  (class class class)co 6526  cc 9790  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795   · cmul 9797  *cxr 9929   < clt 9930  cle 9931  cmin 10117   / cdiv 10535  2c2 10919  3c3 10920  cdc 11327  +crp 11666  (,)cioo 12004  cexp 12679  expce 14579  ψcchp 24563
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870  ax-addf 9871  ax-mulf 9872
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-se 4987  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-isom 5798  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-pm 7724  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-card 8625  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10536  df-nn 10870  df-2 10928  df-3 10929  df-4 10930  df-5 10931  df-6 10932  df-7 10933  df-8 10934  df-9 10935  df-n0 11142  df-z 11213  df-dec 11328  df-uz 11522  df-rp 11667  df-ioo 12008  df-ico 12010  df-fz 12155  df-fzo 12292  df-fl 12412  df-seq 12621  df-exp 12680  df-fac 12880  df-bc 12909  df-hash 12937  df-shft 13603  df-cj 13635  df-re 13636  df-im 13637  df-sqrt 13771  df-abs 13772  df-limsup 13998  df-clim 14015  df-rlim 14016  df-sum 14213  df-ef 14585
This theorem is referenced by:  pntlema  25029  pntlemb  25030  pntlemg  25031  pntlemh  25032  pntlemq  25034  pntlemr  25035  pntlemj  25036  pntlemi  25037  pntlemf  25038  pntlemo  25040  pntleme  25041  pntlemp  25043
  Copyright terms: Public domain W3C validator