Theorem pntlemd 26170

Description: Lemma for pnt 26190. Closure for the constants used in the proof. For comparison with Equation 10.6.27 of [Shapiro], p. 434, 𝐴 is C^*, 𝐵 is c₁, 𝐿 is λ, 𝐷 is c₂, and 𝐹 is c₃. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pntlem1.r	⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntlem1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
pntlem1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
pntlem1.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0(,)1))
pntlem1.d	⊢ 𝐷 = (𝐴 + 1)
pntlem1.f	⊢ 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (;32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))

Assertion

Ref	Expression
pntlemd	⊢ (𝜑 → (𝐿 ∈ ℝ+ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ 𝐹 ∈ ℝ+))

Proof of Theorem pntlemd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioossre 12799	. . . 4 ⊢ (0(,)1) ⊆ ℝ
2		pntlem1.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0(,)1))
3	1, 2	sseldi 3965	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
4		eliooord 12797	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝐿 ∧ 𝐿 < 1))
5	2, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐿 ∧ 𝐿 < 1))
6	5	simpld 497	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐿)
7	3, 6	elrpd 12429	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ+)
8		pntlem1.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝐴 + 1)
9		pntlem1.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
10		1rp 12394	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ+
11		rpaddcl 12412	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℝ+) → (𝐴 + 1) ∈ ℝ+)
12	9, 10, 11	sylancl 588	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℝ+)
13	8, 12	eqeltrid 2917	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ+)
14		pntlem1.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (;32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
15		1re 10641	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
16		ltaddrp 12427	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 1 < (1 + 𝐴))
17	15, 9, 16	sylancr 589	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 < (1 + 𝐴))
18	9	rpcnd 12434	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
19		ax-1cn 10595	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
20		addcom 10826	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 + 1) = (1 + 𝐴))
21	18, 19, 20	sylancl 588	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) = (1 + 𝐴))
22	8, 21	syl5eq 2868	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (1 + 𝐴))
23	17, 22	breqtrrd 5094	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝐷)
24	13	recgt1d 12446	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 < 𝐷 ↔ (1 / 𝐷) < 1))
25	23, 24	mpbid 234	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐷) < 1)
26	13	rprecred 12443	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐷) ∈ ℝ)
27		difrp 12428	. . . . . 6 ⊢ (((1 / 𝐷) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((1 / 𝐷) < 1 ↔ (1 − (1 / 𝐷)) ∈ ℝ+))
28	26, 15, 27	sylancl 588	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐷) < 1 ↔ (1 − (1 / 𝐷)) ∈ ℝ+))
29	25, 28	mpbid 234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 − (1 / 𝐷)) ∈ ℝ+)
30		3nn0 11916	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℕ0
31		2nn 11711	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ
32	30, 31	decnncl 12119	. . . . . . . 8 ⊢ ;32 ∈ ℕ
33		nnrp 12401	. . . . . . . 8 ⊢ (;32 ∈ ℕ → ;32 ∈ ℝ+)
34	32, 33	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ;32 ∈ ℝ+
35		pntlem1.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
36		rpmulcl 12413	. . . . . . 7 ⊢ ((;32 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (;32 · 𝐵) ∈ ℝ+)
37	34, 35, 36	sylancr 589	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (;32 · 𝐵) ∈ ℝ+)
38	7, 37	rpdivcld 12449	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿 / (;32 · 𝐵)) ∈ ℝ+)
39		2z 12015	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
40		rpexpcl 13449	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝐷↑2) ∈ ℝ+)
41	13, 39, 40	sylancl 588	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℝ+)
42	38, 41	rpdivcld 12449	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 / (;32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)) ∈ ℝ+)
43	29, 42	rpmulcld 12448	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (;32 · 𝐵)) / (𝐷↑2))) ∈ ℝ+)
44	14, 43	eqeltrid 2917	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℝ+)
45	7, 13, 44	3jca 1124	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∈ ℝ+ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ 𝐹 ∈ ℝ+))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5066   ↦ cmpt 5146  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  ℂcc 10535  ℝcr 10536  0cc0 10537  1c1 10538   + caddc 10540   · cmul 10542   < clt 10675   − cmin 10870   / cdiv 11297  ℕcn 11638  2c2 11693  3c3 11694  ℤcz 11982  ;cdc 12099  ℝ⁺crp 12390  (,)cioo 12739  ↑cexp 13430  ψcchp 25670

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-7 11706  df-8 11707  df-9 11708  df-n0 11899  df-z 11983  df-dec 12100  df-uz 12245  df-rp 12391  df-ioo 12743  df-seq 13371  df-exp 13431

This theorem is referenced by:  pntlemc  26171  pntlema  26172  pntlemb  26173  pntlemq  26177  pntlemr  26178  pntlemj  26179  pntlemf  26181  pntlemo  26183  pntleml  26187