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Theorem pntlemj 26179

Description: Lemma for pnt 26190. The induction step. Using pntibnd 26169, we find an interval in 𝐾↑𝐽...𝐾↑(𝐽 + 1) which is sufficiently large and has a much smaller value, 𝑅(𝑧) / 𝑧 ≤ 𝐸 (instead of our original bound 𝑅(𝑧) / 𝑧 ≤ 𝑈). (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
pntlem1.r	⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ⁺ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntlem1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ⁺)
pntlem1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ⁺)
pntlem1.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0(,)1))
pntlem1.d	⊢ 𝐷 = (𝐴 + 1)
pntlem1.f	⊢ 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (;32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
pntlem1.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ⁺)
pntlem1.u2	⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ 𝐴)
pntlem1.e	⊢ 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
pntlem1.k	⊢ 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
pntlem1.y	⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ⁺ ∧ 1 ≤ 𝑌))
pntlem1.x	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 < 𝑋))
pntlem1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ⁺)
pntlem1.w	⊢ 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
pntlem1.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞))
pntlem1.m	⊢ 𝑀 = ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1)
pntlem1.n	⊢ 𝑁 = (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))
pntlem1.U	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑌[,)+∞)(abs‘((𝑅‘𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑈)
pntlem1.K	⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑋(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝐾 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
pntlem1.o	⊢ 𝑂 = (((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / (𝐾↑𝐽))))
pntlem1.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℝ⁺)
pntlem1.V	⊢ (𝜑 → (((𝐾↑𝐽) < 𝑉 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑉[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
pntlem1.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁))
pntlem1.i	⊢ 𝐼 = (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉)))

**Assertion**
Ref	Expression
pntlemj	⊢ (𝜑 → ((𝑈 − 𝐸) · (((𝐿 · 𝐸) / 8) · (log‘𝑍))) ≤ Σ𝑛 ∈ 𝑂 (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))

Distinct variable groups: 𝑧,𝐶 𝑛,𝐼 𝑦,𝑛,𝑧,𝐽 𝑢,𝑛,𝐿,𝑦,𝑧 𝑛,𝐾,𝑦,𝑧 𝑛,𝑀,𝑧 𝑛,𝑂,𝑧 𝜑,𝑛 𝑛,𝑁,𝑧 𝑅,𝑛,𝑢,𝑦,𝑧 𝑛,𝑉,𝑢 𝑈,𝑛,𝑧 𝑛,𝑊,𝑧 𝑛,𝑋,𝑦,𝑧 𝑛,𝑌,𝑧 𝑛,𝑎,𝑢,𝑦,𝑧,𝐸 𝑛,𝑍,𝑢,𝑧 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑦,𝑧,𝑢,𝑎) 𝐴(𝑦,𝑧,𝑢,𝑛,𝑎) 𝐵(𝑦,𝑧,𝑢,𝑛,𝑎) 𝐶(𝑦,𝑢,𝑛,𝑎) 𝐷(𝑦,𝑧,𝑢,𝑛,𝑎) 𝑅(𝑎) 𝑈(𝑦,𝑢,𝑎) 𝐹(𝑦,𝑧,𝑢,𝑛,𝑎) 𝐼(𝑦,𝑧,𝑢,𝑎) 𝐽(𝑢,𝑎) 𝐾(𝑢,𝑎) 𝐿(𝑎) 𝑀(𝑦,𝑢,𝑎) 𝑁(𝑦,𝑢,𝑎) 𝑂(𝑦,𝑢,𝑎) 𝑉(𝑦,𝑧,𝑎) 𝑊(𝑦,𝑢,𝑎) 𝑋(𝑢,𝑎) 𝑌(𝑦,𝑢,𝑎) 𝑍(𝑦,𝑎)

**Proof of Theorem pntlemj**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		pntlem1.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ⁺ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
2		pntlem1.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ⁺)
3		pntlem1.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ⁺)
4		pntlem1.l	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0(,)1))
5		pntlem1.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (𝐴 + 1)
6		pntlem1.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (;32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
7		pntlem1.u	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ⁺)
8		pntlem1.u2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ 𝐴)
9		pntlem1.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
10		pntlem1.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	pntlemc 26171	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐾 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈 − 𝐸) ∈ ℝ⁺)))
12	11	simp3d 1140	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈 − 𝐸) ∈ ℝ⁺))
13	12	simp3d 1140	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 − 𝐸) ∈ ℝ⁺)
14	1, 2, 3, 4, 5, 6	pntlemd 26170	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐷 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐹 ∈ ℝ⁺))
15	14	simp1d 1138	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ⁺)
16	11	simp1d 1138	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ⁺)
17	15, 16	rpmulcld 12448	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ⁺)
18		8nn 11733	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ
19		nnrp 12401	. . . . . . 7 ⊢ (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℝ⁺)
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℝ⁺
21		rpdivcl 12415	. . . . . 6 ⊢ (((𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ⁺ ∧ 8 ∈ ℝ⁺) → ((𝐿 · 𝐸) / 8) ∈ ℝ⁺)
22	17, 20, 21	sylancl 588	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 · 𝐸) / 8) ∈ ℝ⁺)
23		pntlem1.y	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ⁺ ∧ 1 ≤ 𝑌))
24		pntlem1.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 < 𝑋))
25		pntlem1.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ⁺)
26		pntlem1.w	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
27		pntlem1.z	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞))
28	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 23, 24, 25, 26, 27	pntlemb 26173	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ ℝ⁺ ∧ (1 < 𝑍 ∧ e ≤ (√‘𝑍) ∧ (√‘𝑍) ≤ (𝑍 / 𝑌)) ∧ ((4 / (𝐿 · 𝐸)) ≤ (√‘𝑍) ∧ (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + 2) ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ∧ ((𝑈 · 3) + 𝐶) ≤ (((𝑈 − 𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (;32 · 𝐵))) · (log‘𝑍)))))
29	28	simp1d 1138	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℝ⁺)
30	29	rpred 12432	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℝ)
31	28	simp2d 1139	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 < 𝑍 ∧ e ≤ (√‘𝑍) ∧ (√‘𝑍) ≤ (𝑍 / 𝑌)))
32	31	simp1d 1138	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝑍)
33	30, 32	rplogcld 25212	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (log‘𝑍) ∈ ℝ⁺)
34	22, 33	rpmulcld 12448	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐿 · 𝐸) / 8) · (log‘𝑍)) ∈ ℝ⁺)
35	13, 34	rpmulcld 12448	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 − 𝐸) · (((𝐿 · 𝐸) / 8) · (log‘𝑍))) ∈ ℝ⁺)
36	35	rpred 12432	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 − 𝐸) · (((𝐿 · 𝐸) / 8) · (log‘𝑍))) ∈ ℝ)
37		pntlem1.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉)))
38		fzfid 13342	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉))) ∈ Fin)
39	37, 38	eqeltrid 2917	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
40		hashcl 13718	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (♯‘𝐼) ∈ ℕ₀)
41	39, 40	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℕ₀)
42	41	nn0red 11957	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℝ)
43	13	rpred 12432	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 − 𝐸) ∈ ℝ)
44		pntlem1.v	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℝ⁺)
45	29, 44	rpdivcld 12449	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑍 / 𝑉) ∈ ℝ⁺)
46	45	relogcld 25206	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝑍 / 𝑉)) ∈ ℝ)
47	46, 45	rerpdivcld 12463	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)) ∈ ℝ)
48	43, 47	remulcld 10671	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) ∈ ℝ)
49	42, 48	remulcld 10671	. 2 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐼) · ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)))) ∈ ℝ)
50		pntlem1.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / (𝐾↑𝐽))))
51		fzfid 13342	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / (𝐾↑𝐽)))) ∈ Fin)
52	50, 51	eqeltrid 2917	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ Fin)
53	7	rpred 12432	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
54	53	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) → 𝑈 ∈ ℝ)
55	11	simp2d 1139	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ⁺)
56		pntlem1.j	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁))
57		elfzoelz 13039	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐽 ∈ ℤ)
58	56, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
59	58	peano2zd 12091	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ ℤ)
60	55, 59	rpexpcld 13609	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐾↑(𝐽 + 1)) ∈ ℝ⁺)
61	29, 60	rpdivcld 12449	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1))) ∈ ℝ⁺)
62	61	rprege0d 12439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))))
63		flge0nn0 13191	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) → (⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) ∈ ℕ₀)
64		nn0p1nn 11937	. . . . . . . 8 ⊢ ((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) ∈ ℕ₀ → ((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1) ∈ ℕ)
65	62, 63, 64	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1) ∈ ℕ)
66		elfzuz 12905	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / (𝐾↑𝐽)))) → 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)))
67	66, 50	eleq2s 2931	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑂 → 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)))
68		eluznn 12319	. . . . . . 7 ⊢ ((((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1))) → 𝑛 ∈ ℕ)
69	65, 67, 68	syl2an 597	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) → 𝑛 ∈ ℕ)
70	54, 69	nndivred 11692	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) → (𝑈 / 𝑛) ∈ ℝ)
71	29	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) → 𝑍 ∈ ℝ⁺)
72	69	nnrpd 12430	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) → 𝑛 ∈ ℝ⁺)
73	71, 72	rpdivcld 12449	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) → (𝑍 / 𝑛) ∈ ℝ⁺)
74	1	pntrf 26139	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑅:ℝ⁺⟶ℝ
75	74	ffvelrni 6850	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑍 / 𝑛) ∈ ℝ⁺ → (𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) ∈ ℝ)
76	73, 75	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) → (𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) ∈ ℝ)
77	76, 71	rerpdivcld 12463	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) → ((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍) ∈ ℝ)
78	77	recnd 10669	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) → ((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍) ∈ ℂ)
79	78	abscld 14796	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) → (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) ∈ ℝ)
80	70, 79	resubcld 11068	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) → ((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) ∈ ℝ)
81	72	relogcld 25206	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
82	80, 81	remulcld 10671	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) → (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)) ∈ ℝ)
83	52, 82	fsumrecl 15091	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ 𝑂 (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)) ∈ ℝ)
84		pntlem1.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1)
85		pntlem1.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))
86		pntlem1.U	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑌[,)+∞)(abs‘((𝑅‘𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑈)
87		pntlem1.K	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑋(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝐾 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
88		pntlem1.V	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐾↑𝐽) < 𝑉 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑉[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
89	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 23, 24, 25, 26, 27, 84, 85, 86, 87, 50, 44, 88, 56, 37	pntlemr 26178	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 − 𝐸) · (((𝐿 · 𝐸) / 8) · (log‘𝑍))) ≤ ((♯‘𝐼) · ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)))))
90	48	recnd 10669	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) ∈ ℂ)
91		fsumconst 15145	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) ∈ ℂ) → Σ𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) = ((♯‘𝐼) · ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)))))
92	39, 90, 91	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) = ((♯‘𝐼) · ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)))))
93	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 23, 24, 25, 26, 27, 84, 85, 86, 87, 50, 44, 88, 56, 37	pntlemq 26177	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ 𝑂)
94	90	ralrimivw 3183	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) ∈ ℂ)
95	52	olcd 870	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ⊆ (ℤ_≥‘1) ∨ 𝑂 ∈ Fin))
96		sumss2 15083	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) ∈ ℂ) ∧ (𝑂 ⊆ (ℤ_≥‘1) ∨ 𝑂 ∈ Fin)) → Σ𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) = Σ𝑛 ∈ 𝑂 if(𝑛 ∈ 𝐼, ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))), 0))
97	93, 94, 95, 96	syl21anc 835	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ 𝐼 ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) = Σ𝑛 ∈ 𝑂 if(𝑛 ∈ 𝐼, ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))), 0))
98	92, 97	eqtr3d 2858	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐼) · ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)))) = Σ𝑛 ∈ 𝑂 if(𝑛 ∈ 𝐼, ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))), 0))
99	48	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) ∈ ℝ)
100	99	adantlr 713	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) ∈ ℝ)
101		0red 10644	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) ∧ ¬ 𝑛 ∈ 𝐼) → 0 ∈ ℝ)
102	100, 101	ifclda 4501	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) → if(𝑛 ∈ 𝐼, ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))), 0) ∈ ℝ)
103		breq1 5069	. . . . 5 ⊢ (((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) = if(𝑛 ∈ 𝐼, ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))), 0) → (((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) ≤ (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)) ↔ if(𝑛 ∈ 𝐼, ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))), 0) ≤ (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛))))
104		breq1 5069	. . . . 5 ⊢ (0 = if(𝑛 ∈ 𝐼, ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))), 0) → (0 ≤ (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)) ↔ if(𝑛 ∈ 𝐼, ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))), 0) ≤ (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛))))
105	13	rpregt0d 12438	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 − 𝐸) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑈 − 𝐸)))
106	105	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑈 − 𝐸) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑈 − 𝐸)))
107	106	simpld 497	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑈 − 𝐸) ∈ ℝ)
108		1rp 12394	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ ℝ⁺
109		rpaddcl 12412	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((1 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ⁺) → (1 + (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℝ⁺)
110	108, 17, 109	sylancr 589	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (1 + (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℝ⁺)
111	110, 44	rpmulcld 12448	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ∈ ℝ⁺)
112	29, 111	rpdivcld 12449	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ∈ ℝ⁺)
113	112	rprege0d 12439	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))))
114		flge0nn0 13191	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) → (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) ∈ ℕ₀)
115		nn0p1nn 11937	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) ∈ ℕ₀ → ((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1) ∈ ℕ)
116	113, 114, 115	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1) ∈ ℕ)
117		elfzuz 12905	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉))) → 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)))
118	117, 37	eleq2s 2931	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ 𝐼 → 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)))
119		eluznn 12319	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1))) → 𝑛 ∈ ℕ)
120	116, 118, 119	syl2an 597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝑛 ∈ ℕ)
121	120	nnrpd 12430	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝑛 ∈ ℝ⁺)
122	121	relogcld 25206	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
123	122, 120	nndivred 11692	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((log‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
124	107, 123	remulcld 10671	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℝ)
125	93	sselda 3967	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝑛 ∈ 𝑂)
126	125, 82	syldan 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)) ∈ ℝ)
127		simpr 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝑛 ∈ 𝐼)
128	127, 37	eleqtrdi 2923	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝑛 ∈ (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉))))
129		elfzle2 12912	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉))) → 𝑛 ≤ (⌊‘(𝑍 / 𝑉)))
130	128, 129	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝑛 ≤ (⌊‘(𝑍 / 𝑉)))
131	45	rpred 12432	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑍 / 𝑉) ∈ ℝ)
132	131	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑍 / 𝑉) ∈ ℝ)
133		elfzelz 12909	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉))) → 𝑛 ∈ ℤ)
134	128, 133	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝑛 ∈ ℤ)
135		flge 13176	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑍 / 𝑉) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 ≤ (𝑍 / 𝑉) ↔ 𝑛 ≤ (⌊‘(𝑍 / 𝑉))))
136	132, 134, 135	syl2anc 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑛 ≤ (𝑍 / 𝑉) ↔ 𝑛 ≤ (⌊‘(𝑍 / 𝑉))))
137	130, 136	mpbird 259	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝑛 ≤ (𝑍 / 𝑉))
138	120	nnred 11653	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝑛 ∈ ℝ)
139		ere 15442	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ e ∈ ℝ
140	139	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → e ∈ ℝ)
141	112	rpred 12432	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ∈ ℝ)
142	141	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ∈ ℝ)
143	139	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → e ∈ ℝ)
144	29	rpsqrtcld 14771	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (√‘𝑍) ∈ ℝ⁺)
145	144	rpred 12432	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (√‘𝑍) ∈ ℝ)
146	31	simp2d 1139	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → e ≤ (√‘𝑍))
147	111	rpred 12432	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ∈ ℝ)
148	60	rpred 12432	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐾↑(𝐽 + 1)) ∈ ℝ)
149	88	simpld 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((𝐾↑𝐽) < 𝑉 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))))
150	149	simprd 498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽)))
151	55	rpcnd 12434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
152	55, 58	rpexpcld 13609	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝐾↑𝐽) ∈ ℝ⁺)
153	152	rpcnd 12434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝐾↑𝐽) ∈ ℂ)
154	151, 153	mulcomd 10662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · (𝐾↑𝐽)) = ((𝐾↑𝐽) · 𝐾))
155	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 23, 24, 25, 26, 27, 84, 85	pntlemg 26174	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ≤ (𝑁 − 𝑀)))
156	155	simp1d 1138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
157		elfzouz 13043	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐽 ∈ (ℤ_≥‘𝑀))
158	56, 157	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (ℤ_≥‘𝑀))
159		eluznn 12319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ (ℤ_≥‘𝑀)) → 𝐽 ∈ ℕ)
160	156, 158, 159	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ)
161	160	nnnn0d 11956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ₀)
162	151, 161	expp1d 13512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝐾↑(𝐽 + 1)) = ((𝐾↑𝐽) · 𝐾))
163	154, 162	eqtr4d 2859	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · (𝐾↑𝐽)) = (𝐾↑(𝐽 + 1)))
164	150, 163	breqtrd 5092	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) < (𝐾↑(𝐽 + 1)))
165	147, 148, 164	ltled 10788	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ≤ (𝐾↑(𝐽 + 1)))
166		fzofzp1 13135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝐽 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
167	56, 166	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
168	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 23, 24, 25, 26, 27, 84, 85	pntlemh 26175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑋 < (𝐾↑(𝐽 + 1)) ∧ (𝐾↑(𝐽 + 1)) ≤ (√‘𝑍)))
169	167, 168	mpdan 685	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑋 < (𝐾↑(𝐽 + 1)) ∧ (𝐾↑(𝐽 + 1)) ≤ (√‘𝑍)))
170	169	simprd 498	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐾↑(𝐽 + 1)) ≤ (√‘𝑍))
171	147, 148, 145, 165, 170	letrd 10797	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ≤ (√‘𝑍))
172	147, 145, 144	lemul2d 12476	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ≤ (√‘𝑍) ↔ ((√‘𝑍) · ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ≤ ((√‘𝑍) · (√‘𝑍))))
173	171, 172	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((√‘𝑍) · ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ≤ ((√‘𝑍) · (√‘𝑍)))
174	29	rprege0d 12439	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑍))
175		remsqsqrt 14616	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑍) → ((√‘𝑍) · (√‘𝑍)) = 𝑍)
176	174, 175	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((√‘𝑍) · (√‘𝑍)) = 𝑍)
177	173, 176	breqtrd 5092	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((√‘𝑍) · ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ≤ 𝑍)
178	145, 30, 111	lemuldivd 12481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((√‘𝑍) · ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ≤ 𝑍 ↔ (√‘𝑍) ≤ (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))))
179	177, 178	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (√‘𝑍) ≤ (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))
180	143, 145, 141, 146, 179	letrd 10797	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → e ≤ (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))
181	180	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → e ≤ (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))
182		reflcl 13167	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) ∈ ℝ)
183		peano2re 10813	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) ∈ ℝ → ((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1) ∈ ℝ)
184	141, 182, 183	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1) ∈ ℝ)
185	184	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1) ∈ ℝ)
186		fllep1 13172	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ∈ ℝ → (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ≤ ((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1))
187	142, 186	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ≤ ((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1))
188		elfzle1 12911	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉))) → ((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1) ≤ 𝑛)
189	128, 188	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1) ≤ 𝑛)
190	142, 185, 138, 187, 189	letrd 10797	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ≤ 𝑛)
191	140, 142, 138, 181, 190	letrd 10797	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → e ≤ 𝑛)
192	140, 138, 132, 191, 137	letrd 10797	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → e ≤ (𝑍 / 𝑉))
193		logdivle 25205	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑛 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝑛) ∧ ((𝑍 / 𝑉) ∈ ℝ ∧ e ≤ (𝑍 / 𝑉))) → (𝑛 ≤ (𝑍 / 𝑉) ↔ ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)) ≤ ((log‘𝑛) / 𝑛)))
194	138, 191, 132, 192, 193	syl22anc 836	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑛 ≤ (𝑍 / 𝑉) ↔ ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)) ≤ ((log‘𝑛) / 𝑛)))
195	137, 194	mpbid 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)) ≤ ((log‘𝑛) / 𝑛))
196	47	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)) ∈ ℝ)
197		lemul2 11493	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)) ∈ ℝ ∧ ((log‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ ∧ ((𝑈 − 𝐸) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑈 − 𝐸))) → (((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)) ≤ ((log‘𝑛) / 𝑛) ↔ ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) ≤ ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘𝑛) / 𝑛))))
198	196, 123, 106, 197	syl3anc 1367	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)) ≤ ((log‘𝑛) / 𝑛) ↔ ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) ≤ ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘𝑛) / 𝑛))))
199	195, 198	mpbid 234	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) ≤ ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘𝑛) / 𝑛)))
200	13	rpcnd 12434	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑈 − 𝐸) ∈ ℂ)
201	200	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑈 − 𝐸) ∈ ℂ)
202	122	recnd 10669	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (log‘𝑛) ∈ ℂ)
203	121	rpcnne0d 12441	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ≠ 0))
204		div23 11317	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑈 − 𝐸) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ≠ 0)) → (((𝑈 − 𝐸) · (log‘𝑛)) / 𝑛) = (((𝑈 − 𝐸) / 𝑛) · (log‘𝑛)))
205	201, 202, 203, 204	syl3anc 1367	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (((𝑈 − 𝐸) · (log‘𝑛)) / 𝑛) = (((𝑈 − 𝐸) / 𝑛) · (log‘𝑛)))
206		divass 11316	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑈 − 𝐸) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ≠ 0)) → (((𝑈 − 𝐸) · (log‘𝑛)) / 𝑛) = ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘𝑛) / 𝑛)))
207	201, 202, 203, 206	syl3anc 1367	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (((𝑈 − 𝐸) · (log‘𝑛)) / 𝑛) = ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘𝑛) / 𝑛)))
208	205, 207	eqtr3d 2858	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (((𝑈 − 𝐸) / 𝑛) · (log‘𝑛)) = ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘𝑛) / 𝑛)))
209	43	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑈 − 𝐸) ∈ ℝ)
210	209, 120	nndivred 11692	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑈 − 𝐸) / 𝑛) ∈ ℝ)
211	125, 80	syldan 593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) ∈ ℝ)
212		log1 25169	. . . . . . . . . 10 ⊢ (log‘1) = 0
213	120	nnge1d 11686	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 1 ≤ 𝑛)
214		logleb 25186	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑛 ∈ ℝ⁺) → (1 ≤ 𝑛 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝑛)))
215	108, 121, 214	sylancr 589	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (1 ≤ 𝑛 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝑛)))
216	213, 215	mpbid 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (log‘1) ≤ (log‘𝑛))
217	212, 216	eqbrtrrid 5102	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 0 ≤ (log‘𝑛))
218	7	rpcnd 12434	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂ)
219	218	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝑈 ∈ ℂ)
220	16	rpred 12432	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
221	220	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝐸 ∈ ℝ)
222	221	recnd 10669	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝐸 ∈ ℂ)
223		divsubdir 11334	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ≠ 0)) → ((𝑈 − 𝐸) / 𝑛) = ((𝑈 / 𝑛) − (𝐸 / 𝑛)))
224	219, 222, 203, 223	syl3anc 1367	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑈 − 𝐸) / 𝑛) = ((𝑈 / 𝑛) − (𝐸 / 𝑛)))
225	125, 79	syldan 593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) ∈ ℝ)
226	221, 120	nndivred 11692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝐸 / 𝑛) ∈ ℝ)
227	125, 70	syldan 593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑈 / 𝑛) ∈ ℝ)
228	125, 76	syldan 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) ∈ ℝ)
229	228	recnd 10669	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) ∈ ℂ)
230	29	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝑍 ∈ ℝ⁺)
231	230	rpcnne0d 12441	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑍 ∈ ℂ ∧ 𝑍 ≠ 0))
232		divdiv2 11352	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) ∈ ℂ ∧ (𝑍 ∈ ℂ ∧ 𝑍 ≠ 0) ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ≠ 0)) → ((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / (𝑍 / 𝑛)) = (((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) · 𝑛) / 𝑍))
233	229, 231, 203, 232	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / (𝑍 / 𝑛)) = (((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) · 𝑛) / 𝑍))
234	121	rpcnd 12434	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝑛 ∈ ℂ)
235		div23 11317	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ ∧ (𝑍 ∈ ℂ ∧ 𝑍 ≠ 0)) → (((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) · 𝑛) / 𝑍) = (((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍) · 𝑛))
236	229, 234, 231, 235	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) · 𝑛) / 𝑍) = (((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍) · 𝑛))
237	233, 236	eqtrd 2856	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / (𝑍 / 𝑛)) = (((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍) · 𝑛))
238	237	fveq2d 6674	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / (𝑍 / 𝑛))) = (abs‘(((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍) · 𝑛)))
239	125, 78	syldan 593	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍) ∈ ℂ)
240	239, 234	absmuld 14814	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (abs‘(((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍) · 𝑛)) = ((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) · (abs‘𝑛)))
241	121	rprege0d 12439	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑛))
242		absid 14656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑛) → (abs‘𝑛) = 𝑛)
243	241, 242	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (abs‘𝑛) = 𝑛)
244	243	oveq2d 7172	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) · (abs‘𝑛)) = ((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) · 𝑛))
245	238, 240, 244	3eqtrd 2860	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / (𝑍 / 𝑛))) = ((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) · 𝑛))
246		fveq2 6670	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑢 = (𝑍 / 𝑛) → (𝑅‘𝑢) = (𝑅‘(𝑍 / 𝑛)))
247		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑢 = (𝑍 / 𝑛) → 𝑢 = (𝑍 / 𝑛))
248	246, 247	oveq12d 7174	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑢 = (𝑍 / 𝑛) → ((𝑅‘𝑢) / 𝑢) = ((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / (𝑍 / 𝑛)))
249	248	fveq2d 6674	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 = (𝑍 / 𝑛) → (abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) = (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / (𝑍 / 𝑛))))
250	249	breq1d 5076	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 = (𝑍 / 𝑛) → ((abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸 ↔ (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / (𝑍 / 𝑛))) ≤ 𝐸))
251	88	simprd 498	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (𝑉[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)
252	251	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ∀𝑢 ∈ (𝑉[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)
253	30	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝑍 ∈ ℝ)
254	253, 120	nndivred 11692	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑍 / 𝑛) ∈ ℝ)
255	44	rpregt0d 12438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑉 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑉))
256	255	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑉 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑉))
257		lemuldiv2 11521	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ ℝ ∧ (𝑉 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑉)) → ((𝑉 · 𝑛) ≤ 𝑍 ↔ 𝑛 ≤ (𝑍 / 𝑉)))
258	138, 253, 256, 257	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑉 · 𝑛) ≤ 𝑍 ↔ 𝑛 ≤ (𝑍 / 𝑉)))
259	137, 258	mpbird 259	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑉 · 𝑛) ≤ 𝑍)
260	256	simpld 497	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝑉 ∈ ℝ)
261	260, 253, 121	lemuldivd 12481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑉 · 𝑛) ≤ 𝑍 ↔ 𝑉 ≤ (𝑍 / 𝑛)))
262	259, 261	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝑉 ≤ (𝑍 / 𝑛))
263	111	rpregt0d 12438	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ∈ ℝ ∧ 0 < ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))
264	263	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ∈ ℝ ∧ 0 < ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))
265	121	rpregt0d 12438	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑛))
266		lediv23 11532	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑍 ∈ ℝ ∧ (((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ∈ ℝ ∧ 0 < ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑛)) → ((𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ≤ 𝑛 ↔ (𝑍 / 𝑛) ≤ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))
267	253, 264, 265, 266	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ≤ 𝑛 ↔ (𝑍 / 𝑛) ≤ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))
268	190, 267	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑍 / 𝑛) ≤ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))
269	44	rpred 12432	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℝ)
270	269	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝑉 ∈ ℝ)
271	147	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ∈ ℝ)
272		elicc2 12802	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑉 ∈ ℝ ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ∈ ℝ) → ((𝑍 / 𝑛) ∈ (𝑉[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ↔ ((𝑍 / 𝑛) ∈ ℝ ∧ 𝑉 ≤ (𝑍 / 𝑛) ∧ (𝑍 / 𝑛) ≤ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))))
273	270, 271, 272	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑍 / 𝑛) ∈ (𝑉[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ↔ ((𝑍 / 𝑛) ∈ ℝ ∧ 𝑉 ≤ (𝑍 / 𝑛) ∧ (𝑍 / 𝑛) ≤ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))))
274	254, 262, 268, 273	mpbir3and 1338	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑍 / 𝑛) ∈ (𝑉[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))
275	250, 252, 274	rspcdva 3625	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / (𝑍 / 𝑛))) ≤ 𝐸)
276	245, 275	eqbrtrrd 5090	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) · 𝑛) ≤ 𝐸)
277	225, 221, 121	lemuldivd 12481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) · 𝑛) ≤ 𝐸 ↔ (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) ≤ (𝐸 / 𝑛)))
278	276, 277	mpbid 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) ≤ (𝐸 / 𝑛))
279	225, 226, 227, 278	lesub2dd 11257	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑈 / 𝑛) − (𝐸 / 𝑛)) ≤ ((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))))
280	224, 279	eqbrtrd 5088	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑈 − 𝐸) / 𝑛) ≤ ((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))))
281	210, 211, 122, 217, 280	lemul1ad 11579	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (((𝑈 − 𝐸) / 𝑛) · (log‘𝑛)) ≤ (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))
282	208, 281	eqbrtrrd 5090	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))
283	99, 124, 126, 199, 282	letrd 10797	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) ≤ (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))
284	283	adantlr 713	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) ≤ (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))
285	69	nnred 11653	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) → 𝑛 ∈ ℝ)
286	29, 152	rpdivcld 12449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑍 / (𝐾↑𝐽)) ∈ ℝ⁺)
287	286	rpred 12432	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑍 / (𝐾↑𝐽)) ∈ ℝ)
288	287	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) → (𝑍 / (𝐾↑𝐽)) ∈ ℝ)
289	23	simpld 497	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ⁺)
290	29, 289	rpdivcld 12449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑍 / 𝑌) ∈ ℝ⁺)
291	290	rpred 12432	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑍 / 𝑌) ∈ ℝ)
292	291	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) → (𝑍 / 𝑌) ∈ ℝ)
293		simpr 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) → 𝑛 ∈ 𝑂)
294	293, 50	eleqtrdi 2923	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) → 𝑛 ∈ (((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / (𝐾↑𝐽)))))
295		elfzle2 12912	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ (((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / (𝐾↑𝐽)))) → 𝑛 ≤ (⌊‘(𝑍 / (𝐾↑𝐽))))
296	294, 295	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) → 𝑛 ≤ (⌊‘(𝑍 / (𝐾↑𝐽))))
297	69	nnzd 12087	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) → 𝑛 ∈ ℤ)
298		flge 13176	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑍 / (𝐾↑𝐽)) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 ≤ (𝑍 / (𝐾↑𝐽)) ↔ 𝑛 ≤ (⌊‘(𝑍 / (𝐾↑𝐽)))))
299	288, 297, 298	syl2anc 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) → (𝑛 ≤ (𝑍 / (𝐾↑𝐽)) ↔ 𝑛 ≤ (⌊‘(𝑍 / (𝐾↑𝐽)))))
300	296, 299	mpbird 259	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) → 𝑛 ≤ (𝑍 / (𝐾↑𝐽)))
301	289	rpred 12432	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
302	24	simpld 497	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ⁺)
303	302	rpred 12432	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
304	152	rpred 12432	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐾↑𝐽) ∈ ℝ)
305	24	simprd 498	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑌 < 𝑋)
306	301, 303, 305	ltled 10788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ 𝑋)
307		elfzofz 13054	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁))
308	56, 307	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁))
309	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 23, 24, 25, 26, 27, 84, 85	pntlemh 26175	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑋 < (𝐾↑𝐽) ∧ (𝐾↑𝐽) ≤ (√‘𝑍)))
310	308, 309	mpdan 685	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑋 < (𝐾↑𝐽) ∧ (𝐾↑𝐽) ≤ (√‘𝑍)))
311	310	simpld 497	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < (𝐾↑𝐽))
312	303, 304, 311	ltled 10788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ (𝐾↑𝐽))
313	301, 303, 304, 306, 312	letrd 10797	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ (𝐾↑𝐽))
314	289, 152, 29	lediv2d 12456	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ≤ (𝐾↑𝐽) ↔ (𝑍 / (𝐾↑𝐽)) ≤ (𝑍 / 𝑌)))
315	313, 314	mpbid 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑍 / (𝐾↑𝐽)) ≤ (𝑍 / 𝑌))
316	315	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) → (𝑍 / (𝐾↑𝐽)) ≤ (𝑍 / 𝑌))
317	285, 288, 292, 300, 316	letrd 10797	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) → 𝑛 ≤ (𝑍 / 𝑌))
318	69, 317	jca 514	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) → (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ≤ (𝑍 / 𝑌)))
319	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 23, 24, 25, 26, 27, 84, 85, 86	pntlemn 26176	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → 0 ≤ (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))
320	318, 319	syldan 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) → 0 ≤ (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))
321	320	adantr 483	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) ∧ ¬ 𝑛 ∈ 𝐼) → 0 ≤ (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))
322	103, 104, 284, 321	ifbothda 4504	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑂) → if(𝑛 ∈ 𝐼, ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))), 0) ≤ (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))
323	52, 102, 82, 322	fsumle 15154	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ 𝑂 if(𝑛 ∈ 𝐼, ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))), 0) ≤ Σ𝑛 ∈ 𝑂 (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))
324	98, 323	eqbrtrd 5088	. 2 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐼) · ((𝑈 − 𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)))) ≤ Σ𝑛 ∈ 𝑂 (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))
325	36, 49, 83, 89, 324	letrd 10797	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 − 𝐸) · (((𝐿 · 𝐸) / 8) · (log‘𝑍))) ≤ Σ𝑛 ∈ 𝑂 (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 208 ∧ wa 398 ∨ wo 843 ∧ w3a 1083 = wceq 1537 ∈ wcel 2114 ≠ wne 3016 ∀wral 3138 ∃wrex 3139 ⊆ wss 3936 ifcif 4467 class class class wbr 5066 ↦ cmpt 5146 ‘cfv 6355 (class class class)co 7156 Fincfn 8509 ℂcc 10535 ℝcr 10536 0cc0 10537 1c1 10538 + caddc 10540 · cmul 10542 +∞cpnf 10672 < clt 10675 ≤ cle 10676 − cmin 10870 / cdiv 11297 ℕcn 11638 2c2 11693 3c3 11694 4c4 11695 8c8 11699 ℕ₀cn0 11898 ℤcz 11982 cdc 12099 ℤ_≥cuz 12244 ℝ⁺crp 12390 (,)cioo 12739 [,)cico 12741 [,]cicc 12742 ...cfz 12893 ..^cfzo 13034 ⌊cfl 13161 ↑cexp 13430 ♯chash 13691 √csqrt 14592 abscabs 14593 Σcsu 15042 expce 15415 eceu 15416 logclog 25138 ψcchp 25670

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1911 ax-6 1970 ax-7 2015 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2145 ax-11 2161 ax-12 2177 ax-ext 2793 ax-rep 5190 ax-sep 5203 ax-nul 5210 ax-pow 5266 ax-pr 5330 ax-un 7461 ax-inf2 9104 ax-cnex 10593 ax-resscn 10594 ax-1cn 10595 ax-icn 10596 ax-addcl 10597 ax-addrcl 10598 ax-mulcl 10599 ax-mulrcl 10600 ax-mulcom 10601 ax-addass 10602 ax-mulass 10603 ax-distr 10604 ax-i2m1 10605 ax-1ne0 10606 ax-1rid 10607 ax-rnegex 10608 ax-rrecex 10609 ax-cnre 10610 ax-pre-lttri 10611 ax-pre-lttrn 10612 ax-pre-ltadd 10613 ax-pre-mulgt0 10614 ax-pre-sup 10615 ax-addf 10616 ax-mulf 10617

This theorem depends on definitions: df-bi 209 df-an 399 df-or 844 df-3or 1084 df-3an 1085 df-tru 1540 df-fal 1550 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2070 df-mo 2622 df-eu 2654 df-clab 2800 df-cleq 2814 df-clel 2893 df-nfc 2963 df-ne 3017 df-nel 3124 df-ral 3143 df-rex 3144 df-reu 3145 df-rmo 3146 df-rab 3147 df-v 3496 df-sbc 3773 df-csb 3884 df-dif 3939 df-un 3941 df-in 3943 df-ss 3952 df-pss 3954 df-nul 4292 df-if 4468 df-pw 4541 df-sn 4568 df-pr 4570 df-tp 4572 df-op 4574 df-uni 4839 df-int 4877 df-iun 4921 df-iin 4922 df-br 5067 df-opab 5129 df-mpt 5147 df-tr 5173 df-id 5460 df-eprel 5465 df-po 5474 df-so 5475 df-fr 5514 df-se 5515 df-we 5516 df-xp 5561 df-rel 5562 df-cnv 5563 df-co 5564 df-dm 5565 df-rn 5566 df-res 5567 df-ima 5568 df-pred 6148 df-ord 6194 df-on 6195 df-lim 6196 df-suc 6197 df-iota 6314 df-fun 6357 df-fn 6358 df-f 6359 df-f1 6360 df-fo 6361 df-f1o 6362 df-fv 6363 df-isom 6364 df-riota 7114 df-ov 7159 df-oprab 7160 df-mpo 7161 df-of 7409 df-om 7581 df-1st 7689 df-2nd 7690 df-supp 7831 df-wrecs 7947 df-recs 8008 df-rdg 8046 df-1o 8102 df-2o 8103 df-oadd 8106 df-er 8289 df-map 8408 df-pm 8409 df-ixp 8462 df-en 8510 df-dom 8511 df-sdom 8512 df-fin 8513 df-fsupp 8834 df-fi 8875 df-sup 8906 df-inf 8907 df-oi 8974 df-dju 9330 df-card 9368 df-pnf 10677 df-mnf 10678 df-xr 10679 df-ltxr 10680 df-le 10681 df-sub 10872 df-neg 10873 df-div 11298 df-nn 11639 df-2 11701 df-3 11702 df-4 11703 df-5 11704 df-6 11705 df-7 11706 df-8 11707 df-9 11708 df-n0 11899 df-z 11983 df-dec 12100 df-uz 12245 df-q 12350 df-rp 12391 df-xneg 12508 df-xadd 12509 df-xmul 12510 df-ioo 12743 df-ioc 12744 df-ico 12745 df-icc 12746 df-fz 12894 df-fzo 13035 df-fl 13163 df-mod 13239 df-seq 13371 df-exp 13431 df-fac 13635 df-bc 13664 df-hash 13692 df-shft 14426 df-cj 14458 df-re 14459 df-im 14460 df-sqrt 14594 df-abs 14595 df-limsup 14828 df-clim 14845 df-rlim 14846 df-sum 15043 df-ef 15421 df-e 15422 df-sin 15423 df-cos 15424 df-pi 15426 df-dvds 15608 df-gcd 15844 df-prm 16016 df-pc 16174 df-struct 16485 df-ndx 16486 df-slot 16487 df-base 16489 df-sets 16490 df-ress 16491 df-plusg 16578 df-mulr 16579 df-starv 16580 df-sca 16581 df-vsca 16582 df-ip 16583 df-tset 16584 df-ple 16585 df-ds 16587 df-unif 16588 df-hom 16589 df-cco 16590 df-rest 16696 df-topn 16697 df-0g 16715 df-gsum 16716 df-topgen 16717 df-pt 16718 df-prds 16721 df-xrs 16775 df-qtop 16780 df-imas 16781 df-xps 16783 df-mre 16857 df-mrc 16858 df-acs 16860 df-mgm 17852 df-sgrp 17901 df-mnd 17912 df-submnd 17957 df-mulg 18225 df-cntz 18447 df-cmn 18908 df-psmet 20537 df-xmet 20538 df-met 20539 df-bl 20540 df-mopn 20541 df-fbas 20542 df-fg 20543 df-cnfld 20546 df-top 21502 df-topon 21519 df-topsp 21541 df-bases 21554 df-cld 21627 df-ntr 21628 df-cls 21629 df-nei 21706 df-lp 21744 df-perf 21745 df-cn 21835 df-cnp 21836 df-haus 21923 df-tx 22170 df-hmeo 22363 df-fil 22454 df-fm 22546 df-flim 22547 df-flf 22548 df-xms 22930 df-ms 22931 df-tms 22932 df-cncf 23486 df-limc 24464 df-dv 24465 df-log 25140 df-vma 25675 df-chp 25676

This theorem is referenced by: pntlemi 26180

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