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Theorem pntlemj 25209
Description: Lemma for pnt 25220. The induction step. Using pntibnd 25199, we find an interval in 𝐾𝐽...𝐾↑(𝐽 + 1) which is sufficiently large and has a much smaller value, 𝑅(𝑧) / 𝑧𝐸 (instead of our original bound 𝑅(𝑧) / 𝑧𝑈). (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem1.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntlem1.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
pntlem1.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
pntlem1.l (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))
pntlem1.d 𝐷 = (𝐴 + 1)
pntlem1.f 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
pntlem1.u (𝜑𝑈 ∈ ℝ+)
pntlem1.u2 (𝜑𝑈𝐴)
pntlem1.e 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
pntlem1.k 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
pntlem1.y (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
pntlem1.x (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+𝑌 < 𝑋))
pntlem1.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
pntlem1.w 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
pntlem1.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞))
pntlem1.m 𝑀 = ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1)
pntlem1.n 𝑁 = (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))
pntlem1.U (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑌[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑈)
pntlem1.K (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑋(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝐾 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
pntlem1.o 𝑂 = (((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / (𝐾𝐽))))
pntlem1.v (𝜑𝑉 ∈ ℝ+)
pntlem1.V (𝜑 → (((𝐾𝐽) < 𝑉 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) < (𝐾 · (𝐾𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑉[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
pntlem1.j (𝜑𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁))
pntlem1.i 𝐼 = (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉)))
Assertion
Ref Expression
pntlemj (𝜑 → ((𝑈𝐸) · (((𝐿 · 𝐸) / 8) · (log‘𝑍))) ≤ Σ𝑛𝑂 (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐶   𝑛,𝐼   𝑦,𝑛,𝑧,𝐽   𝑢,𝑛,𝐿,𝑦,𝑧   𝑛,𝐾,𝑦,𝑧   𝑛,𝑀,𝑧   𝑛,𝑂,𝑧   𝜑,𝑛   𝑛,𝑁,𝑧   𝑅,𝑛,𝑢,𝑦,𝑧   𝑛,𝑉,𝑢   𝑈,𝑛,𝑧   𝑛,𝑊,𝑧   𝑛,𝑋,𝑦,𝑧   𝑛,𝑌,𝑧   𝑛,𝑎,𝑢,𝑦,𝑧,𝐸   𝑛,𝑍,𝑢,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧,𝑢,𝑎)   𝐴(𝑦,𝑧,𝑢,𝑛,𝑎)   𝐵(𝑦,𝑧,𝑢,𝑛,𝑎)   𝐶(𝑦,𝑢,𝑛,𝑎)   𝐷(𝑦,𝑧,𝑢,𝑛,𝑎)   𝑅(𝑎)   𝑈(𝑦,𝑢,𝑎)   𝐹(𝑦,𝑧,𝑢,𝑛,𝑎)   𝐼(𝑦,𝑧,𝑢,𝑎)   𝐽(𝑢,𝑎)   𝐾(𝑢,𝑎)   𝐿(𝑎)   𝑀(𝑦,𝑢,𝑎)   𝑁(𝑦,𝑢,𝑎)   𝑂(𝑦,𝑢,𝑎)   𝑉(𝑦,𝑧,𝑎)   𝑊(𝑦,𝑢,𝑎)   𝑋(𝑢,𝑎)   𝑌(𝑦,𝑢,𝑎)   𝑍(𝑦,𝑎)

Proof of Theorem pntlemj
StepHypRef Expression
1 pntlem1.r . . . . . . 7 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
2 pntlem1.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
3 pntlem1.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
4 pntlem1.l . . . . . . 7 (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))
5 pntlem1.d . . . . . . 7 𝐷 = (𝐴 + 1)
6 pntlem1.f . . . . . . 7 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
7 pntlem1.u . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ ℝ+)
8 pntlem1.u2 . . . . . . 7 (𝜑𝑈𝐴)
9 pntlem1.e . . . . . . 7 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
10 pntlem1.k . . . . . . 7 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10pntlemc 25201 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐸 ∈ ℝ+𝐾 ∈ ℝ+ ∧ (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈𝐸) ∈ ℝ+)))
1211simp3d 1073 . . . . 5 (𝜑 → (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈𝐸) ∈ ℝ+))
1312simp3d 1073 . . . 4 (𝜑 → (𝑈𝐸) ∈ ℝ+)
141, 2, 3, 4, 5, 6pntlemd 25200 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐿 ∈ ℝ+𝐷 ∈ ℝ+𝐹 ∈ ℝ+))
1514simp1d 1071 . . . . . . 7 (𝜑𝐿 ∈ ℝ+)
1611simp1d 1071 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
1715, 16rpmulcld 11840 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ+)
18 8nn 11143 . . . . . . 7 8 ∈ ℕ
19 nnrp 11794 . . . . . . 7 (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℝ+)
2018, 19ax-mp 5 . . . . . 6 8 ∈ ℝ+
21 rpdivcl 11808 . . . . . 6 (((𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ+ ∧ 8 ∈ ℝ+) → ((𝐿 · 𝐸) / 8) ∈ ℝ+)
2217, 20, 21sylancl 693 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐿 · 𝐸) / 8) ∈ ℝ+)
23 pntlem1.y . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
24 pntlem1.x . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+𝑌 < 𝑋))
25 pntlem1.c . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
26 pntlem1.w . . . . . . . . 9 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
27 pntlem1.z . . . . . . . . 9 (𝜑𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞))
281, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 23, 24, 25, 26, 27pntlemb 25203 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑍 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑍 ∧ e ≤ (√‘𝑍) ∧ (√‘𝑍) ≤ (𝑍 / 𝑌)) ∧ ((4 / (𝐿 · 𝐸)) ≤ (√‘𝑍) ∧ (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + 2) ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ∧ ((𝑈 · 3) + 𝐶) ≤ (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍)))))
2928simp1d 1071 . . . . . . 7 (𝜑𝑍 ∈ ℝ+)
3029rpred 11824 . . . . . 6 (𝜑𝑍 ∈ ℝ)
3128simp2d 1072 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 < 𝑍 ∧ e ≤ (√‘𝑍) ∧ (√‘𝑍) ≤ (𝑍 / 𝑌)))
3231simp1d 1071 . . . . . 6 (𝜑 → 1 < 𝑍)
3330, 32rplogcld 24296 . . . . 5 (𝜑 → (log‘𝑍) ∈ ℝ+)
3422, 33rpmulcld 11840 . . . 4 (𝜑 → (((𝐿 · 𝐸) / 8) · (log‘𝑍)) ∈ ℝ+)
3513, 34rpmulcld 11840 . . 3 (𝜑 → ((𝑈𝐸) · (((𝐿 · 𝐸) / 8) · (log‘𝑍))) ∈ ℝ+)
3635rpred 11824 . 2 (𝜑 → ((𝑈𝐸) · (((𝐿 · 𝐸) / 8) · (log‘𝑍))) ∈ ℝ)
37 pntlem1.i . . . . . 6 𝐼 = (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉)))
38 fzfid 12720 . . . . . 6 (𝜑 → (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉))) ∈ Fin)
3937, 38syl5eqel 2702 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ Fin)
40 hashcl 13095 . . . . 5 (𝐼 ∈ Fin → (#‘𝐼) ∈ ℕ0)
4139, 40syl 17 . . . 4 (𝜑 → (#‘𝐼) ∈ ℕ0)
4241nn0red 11304 . . 3 (𝜑 → (#‘𝐼) ∈ ℝ)
4313rpred 11824 . . . 4 (𝜑 → (𝑈𝐸) ∈ ℝ)
44 pntlem1.v . . . . . . 7 (𝜑𝑉 ∈ ℝ+)
4529, 44rpdivcld 11841 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑍 / 𝑉) ∈ ℝ+)
4645relogcld 24290 . . . . 5 (𝜑 → (log‘(𝑍 / 𝑉)) ∈ ℝ)
4746, 45rerpdivcld 11855 . . . 4 (𝜑 → ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)) ∈ ℝ)
4843, 47remulcld 10022 . . 3 (𝜑 → ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) ∈ ℝ)
4942, 48remulcld 10022 . 2 (𝜑 → ((#‘𝐼) · ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)))) ∈ ℝ)
50 pntlem1.o . . . 4 𝑂 = (((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / (𝐾𝐽))))
51 fzfid 12720 . . . 4 (𝜑 → (((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / (𝐾𝐽)))) ∈ Fin)
5250, 51syl5eqel 2702 . . 3 (𝜑𝑂 ∈ Fin)
537rpred 11824 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
5453adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑂) → 𝑈 ∈ ℝ)
5511simp2d 1072 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾 ∈ ℝ+)
56 pntlem1.j . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁))
57 elfzoelz 12419 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐽 ∈ ℤ)
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
5958peano2zd 11437 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ ℤ)
6055, 59rpexpcld 12980 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐾↑(𝐽 + 1)) ∈ ℝ+)
6129, 60rpdivcld 11841 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1))) ∈ ℝ+)
6261rprege0d 11831 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))))
63 flge0nn0 12569 . . . . . . . 8 (((𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) → (⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) ∈ ℕ0)
64 nn0p1nn 11284 . . . . . . . 8 ((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) ∈ ℕ0 → ((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1) ∈ ℕ)
6562, 63, 643syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → ((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1) ∈ ℕ)
66 elfzuz 12288 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / (𝐾𝐽)))) → 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)))
6766, 50eleq2s 2716 . . . . . . 7 (𝑛𝑂𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)))
68 eluznn 11710 . . . . . . 7 ((((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1))) → 𝑛 ∈ ℕ)
6965, 67, 68syl2an 494 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑂) → 𝑛 ∈ ℕ)
7054, 69nndivred 11021 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑂) → (𝑈 / 𝑛) ∈ ℝ)
7129adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝑂) → 𝑍 ∈ ℝ+)
7269nnrpd 11822 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝑂) → 𝑛 ∈ ℝ+)
7371, 72rpdivcld 11841 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝑂) → (𝑍 / 𝑛) ∈ ℝ+)
741pntrf 25169 . . . . . . . . . 10 𝑅:ℝ+⟶ℝ
7574ffvelrni 6319 . . . . . . . . 9 ((𝑍 / 𝑛) ∈ ℝ+ → (𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) ∈ ℝ)
7673, 75syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝑂) → (𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) ∈ ℝ)
7776, 71rerpdivcld 11855 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑂) → ((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍) ∈ ℝ)
7877recnd 10020 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑂) → ((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍) ∈ ℂ)
7978abscld 14117 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑂) → (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) ∈ ℝ)
8070, 79resubcld 10410 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑂) → ((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) ∈ ℝ)
8172relogcld 24290 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑂) → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
8280, 81remulcld 10022 . . 3 ((𝜑𝑛𝑂) → (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)) ∈ ℝ)
8352, 82fsumrecl 14406 . 2 (𝜑 → Σ𝑛𝑂 (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)) ∈ ℝ)
84 pntlem1.m . . 3 𝑀 = ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1)
85 pntlem1.n . . 3 𝑁 = (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))
86 pntlem1.U . . 3 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑌[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑈)
87 pntlem1.K . . 3 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑋(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝐾 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
88 pntlem1.V . . 3 (𝜑 → (((𝐾𝐽) < 𝑉 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) < (𝐾 · (𝐾𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑉[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
891, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 23, 24, 25, 26, 27, 84, 85, 86, 87, 50, 44, 88, 56, 37pntlemr 25208 . 2 (𝜑 → ((𝑈𝐸) · (((𝐿 · 𝐸) / 8) · (log‘𝑍))) ≤ ((#‘𝐼) · ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)))))
9048recnd 10020 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) ∈ ℂ)
91 fsumconst 14461 . . . . 5 ((𝐼 ∈ Fin ∧ ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) ∈ ℂ) → Σ𝑛𝐼 ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) = ((#‘𝐼) · ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)))))
9239, 90, 91syl2anc 692 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑛𝐼 ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) = ((#‘𝐼) · ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)))))
931, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 23, 24, 25, 26, 27, 84, 85, 86, 87, 50, 44, 88, 56, 37pntlemq 25207 . . . . 5 (𝜑𝐼𝑂)
9490ralrimivw 2962 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑛𝐼 ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) ∈ ℂ)
9552olcd 408 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂 ⊆ (ℤ‘1) ∨ 𝑂 ∈ Fin))
96 sumss2 14398 . . . . 5 (((𝐼𝑂 ∧ ∀𝑛𝐼 ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) ∈ ℂ) ∧ (𝑂 ⊆ (ℤ‘1) ∨ 𝑂 ∈ Fin)) → Σ𝑛𝐼 ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) = Σ𝑛𝑂 if(𝑛𝐼, ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))), 0))
9793, 94, 95, 96syl21anc 1322 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑛𝐼 ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) = Σ𝑛𝑂 if(𝑛𝐼, ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))), 0))
9892, 97eqtr3d 2657 . . 3 (𝜑 → ((#‘𝐼) · ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)))) = Σ𝑛𝑂 if(𝑛𝐼, ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))), 0))
9948adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐼) → ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) ∈ ℝ)
10099adantlr 750 . . . . 5 (((𝜑𝑛𝑂) ∧ 𝑛𝐼) → ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) ∈ ℝ)
101 0red 9993 . . . . 5 (((𝜑𝑛𝑂) ∧ ¬ 𝑛𝐼) → 0 ∈ ℝ)
102100, 101ifclda 4097 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑂) → if(𝑛𝐼, ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))), 0) ∈ ℝ)
103 breq1 4621 . . . . 5 (((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) = if(𝑛𝐼, ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))), 0) → (((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) ≤ (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)) ↔ if(𝑛𝐼, ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))), 0) ≤ (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛))))
104 breq1 4621 . . . . 5 (0 = if(𝑛𝐼, ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))), 0) → (0 ≤ (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)) ↔ if(𝑛𝐼, ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))), 0) ≤ (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛))))
10513rpregt0d 11830 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑈𝐸) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑈𝐸)))
106105adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝐼) → ((𝑈𝐸) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑈𝐸)))
107106simpld 475 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑈𝐸) ∈ ℝ)
108 1rp 11788 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℝ+
109 rpaddcl 11806 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 ∈ ℝ+ ∧ (𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ+) → (1 + (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℝ+)
110108, 17, 109sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (1 + (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℝ+)
111110, 44rpmulcld 11840 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ∈ ℝ+)
11229, 111rpdivcld 11841 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ∈ ℝ+)
113112rprege0d 11831 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))))
114 flge0nn0 12569 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) → (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) ∈ ℕ0)
115 nn0p1nn 11284 . . . . . . . . . . . . 13 ((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) ∈ ℕ0 → ((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1) ∈ ℕ)
116113, 114, 1153syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1) ∈ ℕ)
117 elfzuz 12288 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉))) → 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)))
118117, 37eleq2s 2716 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛𝐼𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)))
119 eluznn 11710 . . . . . . . . . . . 12 ((((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1))) → 𝑛 ∈ ℕ)
120116, 118, 119syl2an 494 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝐼) → 𝑛 ∈ ℕ)
121120nnrpd 11822 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝐼) → 𝑛 ∈ ℝ+)
122121relogcld 24290 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝐼) → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
123122, 120nndivred 11021 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐼) → ((log‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
124107, 123remulcld 10022 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐼) → ((𝑈𝐸) · ((log‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℝ)
12593sselda 3587 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐼) → 𝑛𝑂)
126125, 82syldan 487 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐼) → (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)) ∈ ℝ)
127 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝐼) → 𝑛𝐼)
128127, 37syl6eleq 2708 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝐼) → 𝑛 ∈ (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉))))
129 elfzle2 12295 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉))) → 𝑛 ≤ (⌊‘(𝑍 / 𝑉)))
130128, 129syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝐼) → 𝑛 ≤ (⌊‘(𝑍 / 𝑉)))
13145rpred 11824 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑍 / 𝑉) ∈ ℝ)
132131adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑍 / 𝑉) ∈ ℝ)
133 elfzelz 12292 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉))) → 𝑛 ∈ ℤ)
134128, 133syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝐼) → 𝑛 ∈ ℤ)
135 flge 12554 . . . . . . . . . . 11 (((𝑍 / 𝑉) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 ≤ (𝑍 / 𝑉) ↔ 𝑛 ≤ (⌊‘(𝑍 / 𝑉))))
136132, 134, 135syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑛 ≤ (𝑍 / 𝑉) ↔ 𝑛 ≤ (⌊‘(𝑍 / 𝑉))))
137130, 136mpbird 247 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝐼) → 𝑛 ≤ (𝑍 / 𝑉))
138120nnred 10987 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝐼) → 𝑛 ∈ ℝ)
139 ere 14755 . . . . . . . . . . . 12 e ∈ ℝ
140139a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝐼) → e ∈ ℝ)
141112rpred 11824 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ∈ ℝ)
142141adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ∈ ℝ)
143139a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → e ∈ ℝ)
14429rpsqrtcld 14092 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (√‘𝑍) ∈ ℝ+)
145144rpred 11824 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (√‘𝑍) ∈ ℝ)
14631simp2d 1072 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → e ≤ (√‘𝑍))
147111rpred 11824 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ∈ ℝ)
14860rpred 11824 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐾↑(𝐽 + 1)) ∈ ℝ)
14988simpld 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝐾𝐽) < 𝑉 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) < (𝐾 · (𝐾𝐽))))
150149simprd 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) < (𝐾 · (𝐾𝐽)))
15155rpcnd 11826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
15255, 58rpexpcld 12980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝐾𝐽) ∈ ℝ+)
153152rpcnd 11826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐾𝐽) ∈ ℂ)
154151, 153mulcomd 10013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐾 · (𝐾𝐽)) = ((𝐾𝐽) · 𝐾))
1551, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 23, 24, 25, 26, 27, 84, 85pntlemg 25204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ≤ (𝑁𝑀)))
156155simp1d 1071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
157 elfzouz 12423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐽 ∈ (ℤ𝑀))
15856, 157syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝐽 ∈ (ℤ𝑀))
159 eluznn 11710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐽 ∈ ℕ)
160156, 158, 159syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝐽 ∈ ℕ)
161160nnnn0d 11303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
162151, 161expp1d 12957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐾↑(𝐽 + 1)) = ((𝐾𝐽) · 𝐾))
163154, 162eqtr4d 2658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐾 · (𝐾𝐽)) = (𝐾↑(𝐽 + 1)))
164150, 163breqtrd 4644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) < (𝐾↑(𝐽 + 1)))
165147, 148, 164ltled 10137 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ≤ (𝐾↑(𝐽 + 1)))
166 fzofzp1 12514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝐽 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
16756, 166syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
1681, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 23, 24, 25, 26, 27, 84, 85pntlemh 25205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝐽 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑋 < (𝐾↑(𝐽 + 1)) ∧ (𝐾↑(𝐽 + 1)) ≤ (√‘𝑍)))
169167, 168mpdan 701 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑋 < (𝐾↑(𝐽 + 1)) ∧ (𝐾↑(𝐽 + 1)) ≤ (√‘𝑍)))
170169simprd 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐾↑(𝐽 + 1)) ≤ (√‘𝑍))
171147, 148, 145, 165, 170letrd 10146 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ≤ (√‘𝑍))
172147, 145, 144lemul2d 11868 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ≤ (√‘𝑍) ↔ ((√‘𝑍) · ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ≤ ((√‘𝑍) · (√‘𝑍))))
173171, 172mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((√‘𝑍) · ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ≤ ((√‘𝑍) · (√‘𝑍)))
17429rprege0d 11831 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑍 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑍))
175 remsqsqrt 13939 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑍) → ((√‘𝑍) · (√‘𝑍)) = 𝑍)
176174, 175syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((√‘𝑍) · (√‘𝑍)) = 𝑍)
177173, 176breqtrd 4644 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((√‘𝑍) · ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ≤ 𝑍)
178145, 30, 111lemuldivd 11873 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((√‘𝑍) · ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ≤ 𝑍 ↔ (√‘𝑍) ≤ (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))))
179177, 178mpbid 222 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (√‘𝑍) ≤ (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))
180143, 145, 141, 146, 179letrd 10146 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → e ≤ (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))
181180adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝐼) → e ≤ (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))
182 reflcl 12545 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) ∈ ℝ)
183 peano2re 10161 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) ∈ ℝ → ((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1) ∈ ℝ)
184141, 182, 1833syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1) ∈ ℝ)
185184adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝐼) → ((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1) ∈ ℝ)
186 fllep1 12550 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ∈ ℝ → (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ≤ ((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1))
187142, 186syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ≤ ((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1))
188 elfzle1 12294 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉))) → ((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1) ≤ 𝑛)
189128, 188syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝐼) → ((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1) ≤ 𝑛)
190142, 185, 138, 187, 189letrd 10146 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ≤ 𝑛)
191140, 142, 138, 181, 190letrd 10146 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝐼) → e ≤ 𝑛)
192140, 138, 132, 191, 137letrd 10146 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝐼) → e ≤ (𝑍 / 𝑉))
193 logdivle 24289 . . . . . . . . . 10 (((𝑛 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝑛) ∧ ((𝑍 / 𝑉) ∈ ℝ ∧ e ≤ (𝑍 / 𝑉))) → (𝑛 ≤ (𝑍 / 𝑉) ↔ ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)) ≤ ((log‘𝑛) / 𝑛)))
194138, 191, 132, 192, 193syl22anc 1324 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑛 ≤ (𝑍 / 𝑉) ↔ ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)) ≤ ((log‘𝑛) / 𝑛)))
195137, 194mpbid 222 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐼) → ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)) ≤ ((log‘𝑛) / 𝑛))
19647adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝐼) → ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)) ∈ ℝ)
197 lemul2 10828 . . . . . . . . 9 ((((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)) ∈ ℝ ∧ ((log‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ ∧ ((𝑈𝐸) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑈𝐸))) → (((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)) ≤ ((log‘𝑛) / 𝑛) ↔ ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) ≤ ((𝑈𝐸) · ((log‘𝑛) / 𝑛))))
198196, 123, 106, 197syl3anc 1323 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐼) → (((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)) ≤ ((log‘𝑛) / 𝑛) ↔ ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) ≤ ((𝑈𝐸) · ((log‘𝑛) / 𝑛))))
199195, 198mpbid 222 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐼) → ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) ≤ ((𝑈𝐸) · ((log‘𝑛) / 𝑛)))
20013rpcnd 11826 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑈𝐸) ∈ ℂ)
201200adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑈𝐸) ∈ ℂ)
202122recnd 10020 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝐼) → (log‘𝑛) ∈ ℂ)
203121rpcnne0d 11833 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ≠ 0))
204 div23 10656 . . . . . . . . . 10 (((𝑈𝐸) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ≠ 0)) → (((𝑈𝐸) · (log‘𝑛)) / 𝑛) = (((𝑈𝐸) / 𝑛) · (log‘𝑛)))
205201, 202, 203, 204syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝐼) → (((𝑈𝐸) · (log‘𝑛)) / 𝑛) = (((𝑈𝐸) / 𝑛) · (log‘𝑛)))
206 divass 10655 . . . . . . . . . 10 (((𝑈𝐸) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ≠ 0)) → (((𝑈𝐸) · (log‘𝑛)) / 𝑛) = ((𝑈𝐸) · ((log‘𝑛) / 𝑛)))
207201, 202, 203, 206syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝐼) → (((𝑈𝐸) · (log‘𝑛)) / 𝑛) = ((𝑈𝐸) · ((log‘𝑛) / 𝑛)))
208205, 207eqtr3d 2657 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐼) → (((𝑈𝐸) / 𝑛) · (log‘𝑛)) = ((𝑈𝐸) · ((log‘𝑛) / 𝑛)))
20943adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑈𝐸) ∈ ℝ)
210209, 120nndivred 11021 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝐼) → ((𝑈𝐸) / 𝑛) ∈ ℝ)
211125, 80syldan 487 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝐼) → ((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) ∈ ℝ)
212 log1 24253 . . . . . . . . . 10 (log‘1) = 0
213120nnge1d 11015 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝐼) → 1 ≤ 𝑛)
214 logleb 24270 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) → (1 ≤ 𝑛 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝑛)))
215108, 121, 214sylancr 694 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝐼) → (1 ≤ 𝑛 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝑛)))
216213, 215mpbid 222 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝐼) → (log‘1) ≤ (log‘𝑛))
217212, 216syl5eqbrr 4654 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝐼) → 0 ≤ (log‘𝑛))
2187rpcnd 11826 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑈 ∈ ℂ)
219218adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝐼) → 𝑈 ∈ ℂ)
22016rpred 11824 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
221220adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝐼) → 𝐸 ∈ ℝ)
222221recnd 10020 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝐼) → 𝐸 ∈ ℂ)
223 divsubdir 10673 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ≠ 0)) → ((𝑈𝐸) / 𝑛) = ((𝑈 / 𝑛) − (𝐸 / 𝑛)))
224219, 222, 203, 223syl3anc 1323 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝐼) → ((𝑈𝐸) / 𝑛) = ((𝑈 / 𝑛) − (𝐸 / 𝑛)))
225125, 79syldan 487 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝐼) → (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) ∈ ℝ)
226221, 120nndivred 11021 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝐸 / 𝑛) ∈ ℝ)
227125, 70syldan 487 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑈 / 𝑛) ∈ ℝ)
228125, 76syldan 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) ∈ ℝ)
229228recnd 10020 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) ∈ ℂ)
23029adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑛𝐼) → 𝑍 ∈ ℝ+)
231230rpcnne0d 11833 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑍 ∈ ℂ ∧ 𝑍 ≠ 0))
232 divdiv2 10689 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) ∈ ℂ ∧ (𝑍 ∈ ℂ ∧ 𝑍 ≠ 0) ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ≠ 0)) → ((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / (𝑍 / 𝑛)) = (((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) · 𝑛) / 𝑍))
233229, 231, 203, 232syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛𝐼) → ((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / (𝑍 / 𝑛)) = (((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) · 𝑛) / 𝑍))
234121rpcnd 11826 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛𝐼) → 𝑛 ∈ ℂ)
235 div23 10656 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ ∧ (𝑍 ∈ ℂ ∧ 𝑍 ≠ 0)) → (((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) · 𝑛) / 𝑍) = (((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍) · 𝑛))
236229, 234, 231, 235syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛𝐼) → (((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) · 𝑛) / 𝑍) = (((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍) · 𝑛))
237233, 236eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛𝐼) → ((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / (𝑍 / 𝑛)) = (((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍) · 𝑛))
238237fveq2d 6157 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛𝐼) → (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / (𝑍 / 𝑛))) = (abs‘(((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍) · 𝑛)))
239125, 78syldan 487 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛𝐼) → ((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍) ∈ ℂ)
240239, 234absmuld 14135 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛𝐼) → (abs‘(((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍) · 𝑛)) = ((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) · (abs‘𝑛)))
241121rprege0d 11831 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑛))
242 absid 13978 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑛) → (abs‘𝑛) = 𝑛)
243241, 242syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛𝐼) → (abs‘𝑛) = 𝑛)
244243oveq2d 6626 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛𝐼) → ((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) · (abs‘𝑛)) = ((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) · 𝑛))
245238, 240, 2443eqtrd 2659 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛𝐼) → (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / (𝑍 / 𝑛))) = ((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) · 𝑛))
24630adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛𝐼) → 𝑍 ∈ ℝ)
247246, 120nndivred 11021 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑍 / 𝑛) ∈ ℝ)
24844rpregt0d 11830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑉 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑉))
249248adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑉 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑉))
250 lemuldiv2 10856 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ ℝ ∧ (𝑉 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑉)) → ((𝑉 · 𝑛) ≤ 𝑍𝑛 ≤ (𝑍 / 𝑉)))
251138, 246, 249, 250syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛𝐼) → ((𝑉 · 𝑛) ≤ 𝑍𝑛 ≤ (𝑍 / 𝑉)))
252137, 251mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑉 · 𝑛) ≤ 𝑍)
253249simpld 475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛𝐼) → 𝑉 ∈ ℝ)
254253, 246, 121lemuldivd 11873 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛𝐼) → ((𝑉 · 𝑛) ≤ 𝑍𝑉 ≤ (𝑍 / 𝑛)))
255252, 254mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛𝐼) → 𝑉 ≤ (𝑍 / 𝑛))
256111rpregt0d 11830 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ∈ ℝ ∧ 0 < ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))
257256adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛𝐼) → (((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ∈ ℝ ∧ 0 < ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))
258121rpregt0d 11830 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑛))
259 lediv23 10867 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑍 ∈ ℝ ∧ (((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ∈ ℝ ∧ 0 < ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑛)) → ((𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ≤ 𝑛 ↔ (𝑍 / 𝑛) ≤ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))
260246, 257, 258, 259syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛𝐼) → ((𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ≤ 𝑛 ↔ (𝑍 / 𝑛) ≤ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))
261190, 260mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑍 / 𝑛) ≤ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))
26244rpred 11824 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑉 ∈ ℝ)
263262adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛𝐼) → 𝑉 ∈ ℝ)
264147adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛𝐼) → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ∈ ℝ)
265 elicc2 12188 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑉 ∈ ℝ ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ∈ ℝ) → ((𝑍 / 𝑛) ∈ (𝑉[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ↔ ((𝑍 / 𝑛) ∈ ℝ ∧ 𝑉 ≤ (𝑍 / 𝑛) ∧ (𝑍 / 𝑛) ≤ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))))
266263, 264, 265syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛𝐼) → ((𝑍 / 𝑛) ∈ (𝑉[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ↔ ((𝑍 / 𝑛) ∈ ℝ ∧ 𝑉 ≤ (𝑍 / 𝑛) ∧ (𝑍 / 𝑛) ≤ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))))
267247, 255, 261, 266mpbir3and 1243 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑍 / 𝑛) ∈ (𝑉[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))
26888simprd 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (𝑉[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)
269268adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛𝐼) → ∀𝑢 ∈ (𝑉[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)
270 fveq2 6153 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢 = (𝑍 / 𝑛) → (𝑅𝑢) = (𝑅‘(𝑍 / 𝑛)))
271 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢 = (𝑍 / 𝑛) → 𝑢 = (𝑍 / 𝑛))
272270, 271oveq12d 6628 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑢 = (𝑍 / 𝑛) → ((𝑅𝑢) / 𝑢) = ((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / (𝑍 / 𝑛)))
273272fveq2d 6157 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑢 = (𝑍 / 𝑛) → (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) = (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / (𝑍 / 𝑛))))
274273breq1d 4628 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 = (𝑍 / 𝑛) → ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸 ↔ (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / (𝑍 / 𝑛))) ≤ 𝐸))
275274rspcv 3294 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑍 / 𝑛) ∈ (𝑉[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) → (∀𝑢 ∈ (𝑉[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸 → (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / (𝑍 / 𝑛))) ≤ 𝐸))
276267, 269, 275sylc 65 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛𝐼) → (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / (𝑍 / 𝑛))) ≤ 𝐸)
277245, 276eqbrtrrd 4642 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝐼) → ((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) · 𝑛) ≤ 𝐸)
278225, 221, 121lemuldivd 11873 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝐼) → (((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) · 𝑛) ≤ 𝐸 ↔ (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) ≤ (𝐸 / 𝑛)))
279277, 278mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝐼) → (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍)) ≤ (𝐸 / 𝑛))
280225, 226, 227, 279lesub2dd 10596 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝐼) → ((𝑈 / 𝑛) − (𝐸 / 𝑛)) ≤ ((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))))
281224, 280eqbrtrd 4640 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝐼) → ((𝑈𝐸) / 𝑛) ≤ ((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))))
282210, 211, 122, 217, 281lemul1ad 10915 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐼) → (((𝑈𝐸) / 𝑛) · (log‘𝑛)) ≤ (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))
283208, 282eqbrtrrd 4642 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐼) → ((𝑈𝐸) · ((log‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))
28499, 124, 126, 199, 283letrd 10146 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐼) → ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) ≤ (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))
285284adantlr 750 . . . . 5 (((𝜑𝑛𝑂) ∧ 𝑛𝐼) → ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))) ≤ (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))
28669nnred 10987 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝑂) → 𝑛 ∈ ℝ)
28729, 152rpdivcld 11841 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑍 / (𝐾𝐽)) ∈ ℝ+)
288287rpred 11824 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑍 / (𝐾𝐽)) ∈ ℝ)
289288adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝑂) → (𝑍 / (𝐾𝐽)) ∈ ℝ)
29023simpld 475 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑌 ∈ ℝ+)
29129, 290rpdivcld 11841 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑍 / 𝑌) ∈ ℝ+)
292291rpred 11824 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑍 / 𝑌) ∈ ℝ)
293292adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝑂) → (𝑍 / 𝑌) ∈ ℝ)
294 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝑂) → 𝑛𝑂)
295294, 50syl6eleq 2708 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝑂) → 𝑛 ∈ (((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / (𝐾𝐽)))))
296 elfzle2 12295 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / (𝐾𝐽)))) → 𝑛 ≤ (⌊‘(𝑍 / (𝐾𝐽))))
297295, 296syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝑂) → 𝑛 ≤ (⌊‘(𝑍 / (𝐾𝐽))))
29869nnzd 11433 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝑂) → 𝑛 ∈ ℤ)
299 flge 12554 . . . . . . . . . . 11 (((𝑍 / (𝐾𝐽)) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 ≤ (𝑍 / (𝐾𝐽)) ↔ 𝑛 ≤ (⌊‘(𝑍 / (𝐾𝐽)))))
300289, 298, 299syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝑂) → (𝑛 ≤ (𝑍 / (𝐾𝐽)) ↔ 𝑛 ≤ (⌊‘(𝑍 / (𝐾𝐽)))))
301297, 300mpbird 247 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝑂) → 𝑛 ≤ (𝑍 / (𝐾𝐽)))
302290rpred 11824 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
30324simpld 475 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
304303rpred 11824 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
305152rpred 11824 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐾𝐽) ∈ ℝ)
30624simprd 479 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑌 < 𝑋)
307302, 304, 306ltled 10137 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑌𝑋)
308 elfzofz 12434 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁))
30956, 308syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁))
3101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 23, 24, 25, 26, 27, 84, 85pntlemh 25205 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑋 < (𝐾𝐽) ∧ (𝐾𝐽) ≤ (√‘𝑍)))
311309, 310mpdan 701 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑋 < (𝐾𝐽) ∧ (𝐾𝐽) ≤ (√‘𝑍)))
312311simpld 475 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑋 < (𝐾𝐽))
313304, 305, 312ltled 10137 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ≤ (𝐾𝐽))
314302, 304, 305, 307, 313letrd 10146 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑌 ≤ (𝐾𝐽))
315290, 152, 29lediv2d 11848 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑌 ≤ (𝐾𝐽) ↔ (𝑍 / (𝐾𝐽)) ≤ (𝑍 / 𝑌)))
316314, 315mpbid 222 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑍 / (𝐾𝐽)) ≤ (𝑍 / 𝑌))
317316adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝑂) → (𝑍 / (𝐾𝐽)) ≤ (𝑍 / 𝑌))
318286, 289, 293, 301, 317letrd 10146 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝑂) → 𝑛 ≤ (𝑍 / 𝑌))
31969, 318jca 554 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑂) → (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ≤ (𝑍 / 𝑌)))
3201, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 23, 24, 25, 26, 27, 84, 85, 86pntlemn 25206 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → 0 ≤ (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))
321319, 320syldan 487 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑂) → 0 ≤ (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))
322321adantr 481 . . . . 5 (((𝜑𝑛𝑂) ∧ ¬ 𝑛𝐼) → 0 ≤ (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))
323103, 104, 285, 322ifbothda 4100 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑂) → if(𝑛𝐼, ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))), 0) ≤ (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))
32452, 102, 82, 323fsumle 14469 . . 3 (𝜑 → Σ𝑛𝑂 if(𝑛𝐼, ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉))), 0) ≤ Σ𝑛𝑂 (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))
32598, 324eqbrtrd 4640 . 2 (𝜑 → ((#‘𝐼) · ((𝑈𝐸) · ((log‘(𝑍 / 𝑉)) / (𝑍 / 𝑉)))) ≤ Σ𝑛𝑂 (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))
32636, 49, 83, 89, 325letrd 10146 1 (𝜑 → ((𝑈𝐸) · (((𝐿 · 𝐸) / 8) · (log‘𝑍))) ≤ Σ𝑛𝑂 (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  wrex 2908  wss 3559  ifcif 4063   class class class wbr 4618  cmpt 4678  cfv 5852  (class class class)co 6610  Fincfn 7907  cc 9886  cr 9887  0cc0 9888  1c1 9889   + caddc 9891   · cmul 9893  +∞cpnf 10023   < clt 10026  cle 10027  cmin 10218   / cdiv 10636  cn 10972  2c2 11022  3c3 11023  4c4 11024  8c8 11028  0cn0 11244  cz 11329  cdc 11445  cuz 11639  +crp 11784  (,)cioo 12125  [,)cico 12127  [,]cicc 12128  ...cfz 12276  ..^cfzo 12414  cfl 12539  cexp 12808  #chash 13065  csqrt 13915  abscabs 13916  Σcsu 14358  expce 14728  eceu 14729  logclog 24222  ψcchp 24736
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966  ax-addf 9967  ax-mulf 9968
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-supp 7248  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-ixp 7861  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-fsupp 8228  df-fi 8269  df-sup 8300  df-inf 8301  df-oi 8367  df-card 8717  df-cda 8942  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-5 11034  df-6 11035  df-7 11036  df-8 11037  df-9 11038  df-n0 11245  df-z 11330  df-dec 11446  df-uz 11640  df-q 11741  df-rp 11785  df-xneg 11898  df-xadd 11899  df-xmul 11900  df-ioo 12129  df-ioc 12130  df-ico 12131  df-icc 12132  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-fl 12541  df-mod 12617  df-seq 12750  df-exp 12809  df-fac 13009  df-bc 13038  df-hash 13066  df-shft 13749  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-limsup 14144  df-clim 14161  df-rlim 14162  df-sum 14359  df-ef 14734  df-e 14735  df-sin 14736  df-cos 14737  df-pi 14739  df-dvds 14919  df-gcd 15152  df-prm 15321  df-pc 15477  df-struct 15794  df-ndx 15795  df-slot 15796  df-base 15797  df-sets 15798  df-ress 15799  df-plusg 15886  df-mulr 15887  df-starv 15888  df-sca 15889  df-vsca 15890  df-ip 15891  df-tset 15892  df-ple 15893  df-ds 15896  df-unif 15897  df-hom 15898  df-cco 15899  df-rest 16015  df-topn 16016  df-0g 16034  df-gsum 16035  df-topgen 16036  df-pt 16037  df-prds 16040  df-xrs 16094  df-qtop 16099  df-imas 16100  df-xps 16102  df-mre 16178  df-mrc 16179  df-acs 16181  df-mgm 17174  df-sgrp 17216  df-mnd 17227  df-submnd 17268  df-mulg 17473  df-cntz 17682  df-cmn 18127  df-psmet 19670  df-xmet 19671  df-met 19672  df-bl 19673  df-mopn 19674  df-fbas 19675  df-fg 19676  df-cnfld 19679  df-top 20631  df-topon 20648  df-topsp 20661  df-bases 20674  df-cld 20746  df-ntr 20747  df-cls 20748  df-nei 20825  df-lp 20863  df-perf 20864  df-cn 20954  df-cnp 20955  df-haus 21042  df-tx 21288  df-hmeo 21481  df-fil 21573  df-fm 21665  df-flim 21666  df-flf 21667  df-xms 22048  df-ms 22049  df-tms 22050  df-cncf 22604  df-limc 23553  df-dv 23554  df-log 24224  df-vma 24741  df-chp 24742
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