Theorem 1arithlem1 12999

Description: Lemma for 1arith 13003. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
1arith.1	|- M = ( n e. NN |-> ( p e. Prime |-> ( p pCnt n ) ) )

Assertion

Ref	Expression
1arithlem1	|- ( N e. NN -> ( M ` N ) = ( p e. Prime |-> ( p pCnt N ) ) )

Distinct variable group:   n, p, N

Allowed substitution hints:   M( n, p)

Proof of Theorem 1arithlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6036	. . 3 |- ( n = N -> ( p pCnt n ) = ( p pCnt N ) )
2	1	mpteq2dv 4185	. 2 |- ( n = N -> ( p e. Prime |-> ( p pCnt n ) ) = ( p e. Prime |-> ( p pCnt N ) ) )
3		1arith.1	. 2 |- M = ( n e. NN |-> ( p e. Prime |-> ( p pCnt n ) ) )
4		prmex 12748	. . 3 |- Prime e. _V
5	4	mptex 5890	. 2 |- ( p e. Prime |-> ( p pCnt N ) ) e. _V
6	2, 3, 5	fvmpt 5732	1 |- ( N e. NN -> ( M ` N ) = ( p e. Prime |-> ( p pCnt N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2202   |-> cmpt 4155   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   NNcn 9185   Primecprime 12742   pCnt cpc 12920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1re 8169  ax-addrcl 8172

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-ov 6031  df-inn 9186  df-prm 12743

This theorem is referenced by:  1arithlem2  13000  1arithlem3  13001