Theorem 1arithlem1 12501

Description: Lemma for 1arith 12505. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
1arith.1	|- M = ( n e. NN |-> ( p e. Prime |-> ( p pCnt n ) ) )

Assertion

Ref	Expression
1arithlem1	|- ( N e. NN -> ( M ` N ) = ( p e. Prime |-> ( p pCnt N ) ) )

Distinct variable group:   n, p, N

Allowed substitution hints:   M( n, p)

Proof of Theorem 1arithlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5926	. . 3 |- ( n = N -> ( p pCnt n ) = ( p pCnt N ) )
2	1	mpteq2dv 4120	. 2 |- ( n = N -> ( p e. Prime |-> ( p pCnt n ) ) = ( p e. Prime |-> ( p pCnt N ) ) )
3		1arith.1	. 2 |- M = ( n e. NN |-> ( p e. Prime |-> ( p pCnt n ) ) )
4		prmex 12251	. . 3 |- Prime e. _V
5	4	mptex 5784	. 2 |- ( p e. Prime |-> ( p pCnt N ) ) e. _V
6	2, 3, 5	fvmpt 5634	1 |- ( N e. NN -> ( M ` N ) = ( p e. Prime |-> ( p pCnt N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2164   |-> cmpt 4090   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   NNcn 8982   Primecprime 12245   pCnt cpc 12422

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1re 7966  ax-addrcl 7969

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-ov 5921  df-inn 8983  df-prm 12246

This theorem is referenced by:  1arithlem2  12502  1arithlem3  12503