Theorem 1arithlem1 13120

Description: Lemma for 1arith 13124. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
1arith.1	|- M = ( n e. NN |-> ( p e. Prime |-> ( p pCnt n ) ) )

Assertion

Ref	Expression
1arithlem1	|- ( N e. NN -> ( M ` N ) = ( p e. Prime |-> ( p pCnt N ) ) )

Distinct variable group:   n, p, N

Allowed substitution hints:   M( n, p)

Proof of Theorem 1arithlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6083	. . 3 |- ( n = N -> ( p pCnt n ) = ( p pCnt N ) )
2	1	mpteq2dv 4217	. 2 |- ( n = N -> ( p e. Prime |-> ( p pCnt n ) ) = ( p e. Prime |-> ( p pCnt N ) ) )
3		1arith.1	. 2 |- M = ( n e. NN |-> ( p e. Prime |-> ( p pCnt n ) ) )
4		prmex 12869	. . 3 |- Prime e. _V
5	4	mptex 5934	. 2 |- ( p e. Prime |-> ( p pCnt N ) ) e. _V
6	2, 3, 5	fvmpt 5776	1 |- ( N e. NN -> ( M ` N ) = ( p e. Prime |-> ( p pCnt N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   |-> cmpt 4187   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   NNcn 9283   Primecprime 12863   pCnt cpc 13041

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1re 8263  ax-addrcl 8266

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-ov 6078  df-inn 9284  df-prm 12864

This theorem is referenced by:  1arithlem2  13121  1arithlem3  13122