Theorem 1arithlem1 12353

Description: Lemma for 1arith 12357. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
1arith.1	|- M = ( n e. NN |-> ( p e. Prime |-> ( p pCnt n ) ) )

Assertion

Ref	Expression
1arithlem1	|- ( N e. NN -> ( M ` N ) = ( p e. Prime |-> ( p pCnt N ) ) )

Distinct variable group:   n, p, N

Allowed substitution hints:   M( n, p)

Proof of Theorem 1arithlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5880	. . 3 |- ( n = N -> ( p pCnt n ) = ( p pCnt N ) )
2	1	mpteq2dv 4093	. 2 |- ( n = N -> ( p e. Prime |-> ( p pCnt n ) ) = ( p e. Prime |-> ( p pCnt N ) ) )
3		1arith.1	. 2 |- M = ( n e. NN |-> ( p e. Prime |-> ( p pCnt n ) ) )
4		prmex 12105	. . 3 |- Prime e. _V
5	4	mptex 5741	. 2 |- ( p e. Prime |-> ( p pCnt N ) ) e. _V
6	2, 3, 5	fvmpt 5592	1 |- ( N e. NN -> ( M ` N ) = ( p e. Prime |-> ( p pCnt N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   e. wcel 2148   |-> cmpt 4063   ` cfv 5215  (class class class)co 5872   NNcn 8915   Primecprime 12099   pCnt cpc 12276

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1re 7902  ax-addrcl 7905

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-f1 5220  df-fo 5221  df-f1o 5222  df-fv 5223  df-ov 5875  df-inn 8916  df-prm 12100

This theorem is referenced by:  1arithlem2  12354  1arithlem3  12355