ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prmunb Unicode version

Theorem prmunb 12307
Description: The primes are unbounded. (Contributed by Paul Chapman, 28-Nov-2012.)
Assertion
Ref Expression
prmunb  |-  ( N  e.  NN  ->  E. p  e.  Prime  N  <  p
)
Distinct variable group:    N, p

Proof of Theorem prmunb
StepHypRef Expression
1 nnnn0 9135 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
2 faccl 10662 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
3 elnnuz 9516 . . . . 5  |-  ( ( ! `  N )  e.  NN  <->  ( ! `  N )  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
4 eluzp1p1 9505 . . . . . 6  |-  ( ( ! `  N )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( ( ! `  N )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )
5 df-2 8930 . . . . . . 7  |-  2  =  ( 1  +  1 )
65fveq2i 5497 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= ` 
2 )  =  (
ZZ>= `  ( 1  +  1 ) )
74, 6eleqtrrdi 2264 . . . . 5  |-  ( ( ! `  N )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( ( ! `  N )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
83, 7sylbi 120 . . . 4  |-  ( ( ! `  N )  e.  NN  ->  (
( ! `  N
)  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
) )
9 exprmfct 12085 . . . 4  |-  ( ( ( ! `  N
)  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  E. p  e.  Prime  p  ||  (
( ! `  N
)  +  1 ) )
102, 8, 93syl 17 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  E. p  e.  Prime  p  ||  (
( ! `  N
)  +  1 ) )
11 prmz 12058 . . . . . . . . 9  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  ZZ )
12 nn0z 9225 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
13 eluz 9493 . . . . . . . . 9  |-  ( ( p  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  p )  <->  p  <_  N ) )
1411, 12, 13syl2an 287 . . . . . . . 8  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  p )  <->  p  <_  N ) )
15 prmuz2 12078 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
16 eluz2b2 9555 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( p  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( p  e.  NN  /\  1  < 
p ) )
1715, 16sylib 121 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( p  e.  Prime  ->  ( p  e.  NN  /\  1  <  p ) )
1817adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  N  e.  ( ZZ>= `  p )
)  ->  ( p  e.  NN  /\  1  < 
p ) )
1918simpld 111 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  N  e.  ( ZZ>= `  p )
)  ->  p  e.  NN )
2019nnnn0d 9181 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  N  e.  ( ZZ>= `  p )
)  ->  p  e.  NN0 )
21 eluznn0 9551 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( p  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  p ) )  ->  N  e.  NN0 )
2220, 21sylancom 418 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  N  e.  ( ZZ>= `  p )
)  ->  N  e.  NN0 )
23 nnz 9224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ! `  N )  e.  NN  ->  ( ! `  N )  e.  ZZ )
2422, 2, 233syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  N  e.  ( ZZ>= `  p )
)  ->  ( ! `  N )  e.  ZZ )
2518simprd 113 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  N  e.  ( ZZ>= `  p )
)  ->  1  <  p )
26 dvdsfac 11813 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( p  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  p ) )  ->  p  ||  ( ! `  N ) )
2719, 26sylancom 418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  N  e.  ( ZZ>= `  p )
)  ->  p  ||  ( ! `  N )
)
28 ndvdsp1 11884 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ! `  N
)  e.  ZZ  /\  p  e.  NN  /\  1  <  p )  ->  (
p  ||  ( ! `  N )  ->  -.  p  ||  ( ( ! `
 N )  +  1 ) ) )
2928imp 123 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ! `  N )  e.  ZZ  /\  p  e.  NN  /\  1  <  p )  /\  p  ||  ( ! `  N ) )  ->  -.  p  ||  ( ( ! `  N )  +  1 ) )
3024, 19, 25, 27, 29syl31anc 1236 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  N  e.  ( ZZ>= `  p )
)  ->  -.  p  ||  ( ( ! `  N )  +  1 ) )
3130ex 114 . . . . . . . . 9  |-  ( p  e.  Prime  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  p
)  ->  -.  p  ||  ( ( ! `  N )  +  1 ) ) )
3231adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  p )  ->  -.  p  ||  ( ( ! `
 N )  +  1 ) ) )
3314, 32sylbird 169 . . . . . . 7  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
p  <_  N  ->  -.  p  ||  ( ( ! `  N )  +  1 ) ) )
3433con2d 619 . . . . . 6  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
p  ||  ( ( ! `  N )  +  1 )  ->  -.  p  <_  N ) )
3534ancoms 266 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  ||  (
( ! `  N
)  +  1 )  ->  -.  p  <_  N ) )
36 zltnle 9251 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  p  e.  ZZ )  ->  ( N  <  p  <->  -.  p  <_  N )
)
3712, 11, 36syl2an 287 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  p  e.  Prime )  -> 
( N  <  p  <->  -.  p  <_  N )
)
3835, 37sylibrd 168 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  ||  (
( ! `  N
)  +  1 )  ->  N  <  p
) )
3938reximdva 2572 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( E. p  e.  Prime  p  ||  ( ( ! `  N )  +  1 )  ->  E. p  e.  Prime  N  <  p
) )
4010, 39mpd 13 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  E. p  e.  Prime  N  <  p
)
411, 40syl 14 1  |-  ( N  e.  NN  ->  E. p  e.  Prime  N  <  p
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 973    e. wcel 2141   E.wrex 2449   class class class wbr 3987   ` cfv 5196  (class class class)co 5851   1c1 7768    + caddc 7770    < clt 7947    <_ cle 7948   NNcn 8871   2c2 8922   NN0cn0 9128   ZZcz 9205   ZZ>=cuz 9480   !cfa 10652    || cdvds 11742   Primecprime 12054
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7858  ax-resscn 7859  ax-1cn 7860  ax-1re 7861  ax-icn 7862  ax-addcl 7863  ax-addrcl 7864  ax-mulcl 7865  ax-mulrcl 7866  ax-addcom 7867  ax-mulcom 7868  ax-addass 7869  ax-mulass 7870  ax-distr 7871  ax-i2m1 7872  ax-0lt1 7873  ax-1rid 7874  ax-0id 7875  ax-rnegex 7876  ax-precex 7877  ax-cnre 7878  ax-pre-ltirr 7879  ax-pre-ltwlin 7880  ax-pre-lttrn 7881  ax-pre-apti 7882  ax-pre-ltadd 7883  ax-pre-mulgt0 7884  ax-pre-mulext 7885  ax-arch 7886  ax-caucvg 7887
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-recs 6282  df-frec 6368  df-1o 6393  df-2o 6394  df-er 6511  df-en 6717  df-pnf 7949  df-mnf 7950  df-xr 7951  df-ltxr 7952  df-le 7953  df-sub 8085  df-neg 8086  df-reap 8487  df-ap 8494  df-div 8583  df-inn 8872  df-2 8930  df-3 8931  df-4 8932  df-n0 9129  df-z 9206  df-uz 9481  df-q 9572  df-rp 9604  df-fz 9959  df-fzo 10092  df-fl 10219  df-mod 10272  df-seqfrec 10395  df-exp 10469  df-fac 10653  df-cj 10799  df-re 10800  df-im 10801  df-rsqrt 10955  df-abs 10956  df-dvds 11743  df-prm 12055
This theorem is referenced by:  prminf  12403
  Copyright terms: Public domain W3C validator