Theorem prmunb 12314

Description: The primes are unbounded. (Contributed by Paul Chapman, 28-Nov-2012.)

Assertion

Ref	Expression
prmunb	|- ( N e. NN -> E. p e. Prime N < p )

Distinct variable group:   N, p

Proof of Theorem prmunb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 9142	. 2 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
2		faccl 10669	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. NN )
3		elnnuz 9523	. . . . 5 |- ( ( ! ` N ) e. NN <-> ( ! ` N ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
4		eluzp1p1 9512	. . . . . 6 |- ( ( ! ` N ) e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ( ! ` N ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) )
5		df-2 8937	. . . . . . 7 |- 2 = ( 1 + 1 )
6	5	fveq2i 5499	. . . . . 6 |- ( ZZ>= ` 2 ) = ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) )
7	4, 6	eleqtrrdi 2264	. . . . 5 |- ( ( ! ` N ) e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ( ! ` N ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
8	3, 7	sylbi 120	. . . 4 |- ( ( ! ` N ) e. NN -> ( ( ! ` N ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
9		exprmfct 12092	. . . 4 |- ( ( ( ! ` N ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) -> E. p e. Prime p || ( ( ! ` N ) + 1 ) )
10	2, 8, 9	3syl 17	. . 3 |- ( N e. NN0 -> E. p e. Prime p || ( ( ! ` N ) + 1 ) )
11		prmz 12065	. . . . . . . . 9 |- ( p e. Prime -> p e. ZZ )
12		nn0z 9232	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
13		eluz 9500	. . . . . . . . 9 |- ( ( p e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N e. ( ZZ>= ` p ) <-> p <_ N ) )
14	11, 12, 13	syl2an 287	. . . . . . . 8 |- ( ( p e. Prime /\ N e. NN0 ) -> ( N e. ( ZZ>= ` p ) <-> p <_ N ) )
15		prmuz2 12085	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( p e. Prime -> p e. ( ZZ>= ` 2 ) )
16		eluz2b2 9562	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( p e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( p e. NN /\ 1 < p ) )
17	15, 16	sylib 121	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( p e. Prime -> ( p e. NN /\ 1 < p ) )
18	17	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( p e. Prime /\ N e. ( ZZ>= ` p ) ) -> ( p e. NN /\ 1 < p ) )
19	18	simpld 111	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( p e. Prime /\ N e. ( ZZ>= ` p ) ) -> p e. NN )
20	19	nnnn0d 9188	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( p e. Prime /\ N e. ( ZZ>= ` p ) ) -> p e. NN0 )
21		eluznn0 9558	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( p e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` p ) ) -> N e. NN0 )
22	20, 21	sylancom 418	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( p e. Prime /\ N e. ( ZZ>= ` p ) ) -> N e. NN0 )
23		nnz 9231	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ! ` N ) e. NN -> ( ! ` N ) e. ZZ )
24	22, 2, 23	3syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( p e. Prime /\ N e. ( ZZ>= ` p ) ) -> ( ! ` N ) e. ZZ )
25	18	simprd 113	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( p e. Prime /\ N e. ( ZZ>= ` p ) ) -> 1 < p )
26		dvdsfac 11820	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( p e. NN /\ N e. ( ZZ>= ` p ) ) -> p || ( ! ` N ) )
27	19, 26	sylancom 418	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( p e. Prime /\ N e. ( ZZ>= ` p ) ) -> p || ( ! ` N ) )
28		ndvdsp1 11891	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ! ` N ) e. ZZ /\ p e. NN /\ 1 < p ) -> ( p || ( ! ` N ) -> -. p || ( ( ! ` N ) + 1 ) ) )
29	28	imp 123	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ! ` N ) e. ZZ /\ p e. NN /\ 1 < p ) /\ p || ( ! ` N ) ) -> -. p || ( ( ! ` N ) + 1 ) )
30	24, 19, 25, 27, 29	syl31anc 1236	. . . . . . . . . 10 |- ( ( p e. Prime /\ N e. ( ZZ>= ` p ) ) -> -. p || ( ( ! ` N ) + 1 ) )
31	30	ex 114	. . . . . . . . 9 |- ( p e. Prime -> ( N e. ( ZZ>= ` p ) -> -. p || ( ( ! ` N ) + 1 ) ) )
32	31	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( p e. Prime /\ N e. NN0 ) -> ( N e. ( ZZ>= ` p ) -> -. p || ( ( ! ` N ) + 1 ) ) )
33	14, 32	sylbird 169	. . . . . . 7 |- ( ( p e. Prime /\ N e. NN0 ) -> ( p <_ N -> -. p || ( ( ! ` N ) + 1 ) ) )
34	33	con2d 619	. . . . . 6 |- ( ( p e. Prime /\ N e. NN0 ) -> ( p || ( ( ! ` N ) + 1 ) -> -. p <_ N ) )
35	34	ancoms 266	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ p e. Prime ) -> ( p || ( ( ! ` N ) + 1 ) -> -. p <_ N ) )
36		zltnle 9258	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ p e. ZZ ) -> ( N < p <-> -. p <_ N ) )
37	12, 11, 36	syl2an 287	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ p e. Prime ) -> ( N < p <-> -. p <_ N ) )
38	35, 37	sylibrd 168	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ p e. Prime ) -> ( p || ( ( ! ` N ) + 1 ) -> N < p ) )
39	38	reximdva 2572	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( E. p e. Prime p || ( ( ! ` N ) + 1 ) -> E. p e. Prime N < p ) )
40	10, 39	mpd 13	. 2 |- ( N e. NN0 -> E. p e. Prime N < p )
41	1, 40	syl 14	1 |- ( N e. NN -> E. p e. Prime N < p )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 973   e. wcel 2141   E.wrex 2449   class class class wbr 3989   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   1c1 7775   + caddc 7777   < clt 7954   <_ cle 7955   NNcn 8878   2c2 8929   NN0cn0 9135   ZZcz 9212   ZZ>=cuz 9487   !cfa 10659   || cdvds 11749   Primecprime 12061

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-1o 6395  df-2o 6396  df-er 6513  df-en 6719  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-fl 10226  df-mod 10279  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-fac 10660  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-dvds 11750  df-prm 12062

This theorem is referenced by:  prminf  12410