Theorem prmunb 12288

Description: The primes are unbounded. (Contributed by Paul Chapman, 28-Nov-2012.)

Assertion

Ref	Expression
prmunb	|- ( N e. NN -> E. p e. Prime N < p )

Distinct variable group:   N, p

Proof of Theorem prmunb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 9117	. 2 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
2		faccl 10644	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. NN )
3		elnnuz 9498	. . . . 5 |- ( ( ! ` N ) e. NN <-> ( ! ` N ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
4		eluzp1p1 9487	. . . . . 6 |- ( ( ! ` N ) e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ( ! ` N ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) )
5		df-2 8912	. . . . . . 7 |- 2 = ( 1 + 1 )
6	5	fveq2i 5488	. . . . . 6 |- ( ZZ>= ` 2 ) = ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) )
7	4, 6	eleqtrrdi 2259	. . . . 5 |- ( ( ! ` N ) e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ( ! ` N ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
8	3, 7	sylbi 120	. . . 4 |- ( ( ! ` N ) e. NN -> ( ( ! ` N ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
9		exprmfct 12066	. . . 4 |- ( ( ( ! ` N ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) -> E. p e. Prime p || ( ( ! ` N ) + 1 ) )
10	2, 8, 9	3syl 17	. . 3 |- ( N e. NN0 -> E. p e. Prime p || ( ( ! ` N ) + 1 ) )
11		prmz 12039	. . . . . . . . 9 |- ( p e. Prime -> p e. ZZ )
12		nn0z 9207	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
13		eluz 9475	. . . . . . . . 9 |- ( ( p e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N e. ( ZZ>= ` p ) <-> p <_ N ) )
14	11, 12, 13	syl2an 287	. . . . . . . 8 |- ( ( p e. Prime /\ N e. NN0 ) -> ( N e. ( ZZ>= ` p ) <-> p <_ N ) )
15		prmuz2 12059	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( p e. Prime -> p e. ( ZZ>= ` 2 ) )
16		eluz2b2 9537	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( p e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( p e. NN /\ 1 < p ) )
17	15, 16	sylib 121	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( p e. Prime -> ( p e. NN /\ 1 < p ) )
18	17	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( p e. Prime /\ N e. ( ZZ>= ` p ) ) -> ( p e. NN /\ 1 < p ) )
19	18	simpld 111	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( p e. Prime /\ N e. ( ZZ>= ` p ) ) -> p e. NN )
20	19	nnnn0d 9163	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( p e. Prime /\ N e. ( ZZ>= ` p ) ) -> p e. NN0 )
21		eluznn0 9533	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( p e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` p ) ) -> N e. NN0 )
22	20, 21	sylancom 417	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( p e. Prime /\ N e. ( ZZ>= ` p ) ) -> N e. NN0 )
23		nnz 9206	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ! ` N ) e. NN -> ( ! ` N ) e. ZZ )
24	22, 2, 23	3syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( p e. Prime /\ N e. ( ZZ>= ` p ) ) -> ( ! ` N ) e. ZZ )
25	18	simprd 113	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( p e. Prime /\ N e. ( ZZ>= ` p ) ) -> 1 < p )
26		dvdsfac 11794	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( p e. NN /\ N e. ( ZZ>= ` p ) ) -> p || ( ! ` N ) )
27	19, 26	sylancom 417	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( p e. Prime /\ N e. ( ZZ>= ` p ) ) -> p || ( ! ` N ) )
28		ndvdsp1 11865	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ! ` N ) e. ZZ /\ p e. NN /\ 1 < p ) -> ( p || ( ! ` N ) -> -. p || ( ( ! ` N ) + 1 ) ) )
29	28	imp 123	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ! ` N ) e. ZZ /\ p e. NN /\ 1 < p ) /\ p || ( ! ` N ) ) -> -. p || ( ( ! ` N ) + 1 ) )
30	24, 19, 25, 27, 29	syl31anc 1231	. . . . . . . . . 10 |- ( ( p e. Prime /\ N e. ( ZZ>= ` p ) ) -> -. p || ( ( ! ` N ) + 1 ) )
31	30	ex 114	. . . . . . . . 9 |- ( p e. Prime -> ( N e. ( ZZ>= ` p ) -> -. p || ( ( ! ` N ) + 1 ) ) )
32	31	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( p e. Prime /\ N e. NN0 ) -> ( N e. ( ZZ>= ` p ) -> -. p || ( ( ! ` N ) + 1 ) ) )
33	14, 32	sylbird 169	. . . . . . 7 |- ( ( p e. Prime /\ N e. NN0 ) -> ( p <_ N -> -. p || ( ( ! ` N ) + 1 ) ) )
34	33	con2d 614	. . . . . 6 |- ( ( p e. Prime /\ N e. NN0 ) -> ( p || ( ( ! ` N ) + 1 ) -> -. p <_ N ) )
35	34	ancoms 266	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ p e. Prime ) -> ( p || ( ( ! ` N ) + 1 ) -> -. p <_ N ) )
36		zltnle 9233	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ p e. ZZ ) -> ( N < p <-> -. p <_ N ) )
37	12, 11, 36	syl2an 287	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ p e. Prime ) -> ( N < p <-> -. p <_ N ) )
38	35, 37	sylibrd 168	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ p e. Prime ) -> ( p || ( ( ! ` N ) + 1 ) -> N < p ) )
39	38	reximdva 2567	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( E. p e. Prime p || ( ( ! ` N ) + 1 ) -> E. p e. Prime N < p ) )
40	10, 39	mpd 13	. 2 |- ( N e. NN0 -> E. p e. Prime N < p )
41	1, 40	syl 14	1 |- ( N e. NN -> E. p e. Prime N < p )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 968   e. wcel 2136   E.wrex 2444   class class class wbr 3981   ` cfv 5187  (class class class)co 5841   1c1 7750   + caddc 7752   < clt 7929   <_ cle 7930   NNcn 8853   2c2 8904   NN0cn0 9110   ZZcz 9187   ZZ>=cuz 9462   !cfa 10634   || cdvds 11723   Primecprime 12035

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4096  ax-sep 4099  ax-nul 4107  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-iinf 4564  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-1cn 7842  ax-1re 7843  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-addrcl 7846  ax-mulcl 7847  ax-mulrcl 7848  ax-addcom 7849  ax-mulcom 7850  ax-addass 7851  ax-mulass 7852  ax-distr 7853  ax-i2m1 7854  ax-0lt1 7855  ax-1rid 7856  ax-0id 7857  ax-rnegex 7858  ax-precex 7859  ax-cnre 7860  ax-pre-ltirr 7861  ax-pre-ltwlin 7862  ax-pre-lttrn 7863  ax-pre-apti 7864  ax-pre-ltadd 7865  ax-pre-mulgt0 7866  ax-pre-mulext 7867  ax-arch 7868  ax-caucvg 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 821  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-reu 2450  df-rmo 2451  df-rab 2452  df-v 2727  df-sbc 2951  df-csb 3045  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-nul 3409  df-if 3520  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-int 3824  df-iun 3867  df-br 3982  df-opab 4043  df-mpt 4044  df-tr 4080  df-id 4270  df-po 4273  df-iso 4274  df-iord 4343  df-on 4345  df-ilim 4346  df-suc 4348  df-iom 4567  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-rn 4614  df-res 4615  df-ima 4616  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fn 5190  df-f 5191  df-f1 5192  df-fo 5193  df-f1o 5194  df-fv 5195  df-riota 5797  df-ov 5844  df-oprab 5845  df-mpo 5846  df-1st 6105  df-2nd 6106  df-recs 6269  df-frec 6355  df-1o 6380  df-2o 6381  df-er 6497  df-en 6703  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-xr 7933  df-ltxr 7934  df-le 7935  df-sub 8067  df-neg 8068  df-reap 8469  df-ap 8476  df-div 8565  df-inn 8854  df-2 8912  df-3 8913  df-4 8914  df-n0 9111  df-z 9188  df-uz 9463  df-q 9554  df-rp 9586  df-fz 9941  df-fzo 10074  df-fl 10201  df-mod 10254  df-seqfrec 10377  df-exp 10451  df-fac 10635  df-cj 10780  df-re 10781  df-im 10782  df-rsqrt 10936  df-abs 10937  df-dvds 11724  df-prm 12036

This theorem is referenced by:  prminf  12384