Theorem prmunb 13091

Description: The primes are unbounded. (Contributed by Paul Chapman, 28-Nov-2012.)

Assertion

Ref	Expression
prmunb	|- ( N e. NN -> E. p e. Prime N < p )

Distinct variable group:   N, p

Proof of Theorem prmunb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 9525	. 2 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
2		faccl 11127	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. NN )
3		elnnuz 9914	. . . . 5 |- ( ( ! ` N ) e. NN <-> ( ! ` N ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
4		eluzp1p1 9903	. . . . . 6 |- ( ( ! ` N ) e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ( ! ` N ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) )
5		df-2 9318	. . . . . . 7 |- 2 = ( 1 + 1 )
6	5	fveq2i 5680	. . . . . 6 |- ( ZZ>= ` 2 ) = ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) )
7	4, 6	eleqtrrdi 2328	. . . . 5 |- ( ( ! ` N ) e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ( ! ` N ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
8	3, 7	sylbi 121	. . . 4 |- ( ( ! ` N ) e. NN -> ( ( ! ` N ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
9		exprmfct 12866	. . . 4 |- ( ( ( ! ` N ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) -> E. p e. Prime p || ( ( ! ` N ) + 1 ) )
10	2, 8, 9	3syl 17	. . 3 |- ( N e. NN0 -> E. p e. Prime p || ( ( ! ` N ) + 1 ) )
11		prmz 12839	. . . . . . . . 9 |- ( p e. Prime -> p e. ZZ )
12		nn0z 9619	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
13		eluz 9890	. . . . . . . . 9 |- ( ( p e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N e. ( ZZ>= ` p ) <-> p <_ N ) )
14	11, 12, 13	syl2an 289	. . . . . . . 8 |- ( ( p e. Prime /\ N e. NN0 ) -> ( N e. ( ZZ>= ` p ) <-> p <_ N ) )
15		prmuz2 12859	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( p e. Prime -> p e. ( ZZ>= ` 2 ) )
16		eluz2b2 9958	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( p e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( p e. NN /\ 1 < p ) )
17	15, 16	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( p e. Prime -> ( p e. NN /\ 1 < p ) )
18	17	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( p e. Prime /\ N e. ( ZZ>= ` p ) ) -> ( p e. NN /\ 1 < p ) )
19	18	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( p e. Prime /\ N e. ( ZZ>= ` p ) ) -> p e. NN )
20	19	nnnn0d 9575	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( p e. Prime /\ N e. ( ZZ>= ` p ) ) -> p e. NN0 )
21		eluznn0 9954	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( p e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` p ) ) -> N e. NN0 )
22	20, 21	sylancom 420	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( p e. Prime /\ N e. ( ZZ>= ` p ) ) -> N e. NN0 )
23		nnz 9618	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ! ` N ) e. NN -> ( ! ` N ) e. ZZ )
24	22, 2, 23	3syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( p e. Prime /\ N e. ( ZZ>= ` p ) ) -> ( ! ` N ) e. ZZ )
25	18	simprd 114	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( p e. Prime /\ N e. ( ZZ>= ` p ) ) -> 1 < p )
26		dvdsfac 12577	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( p e. NN /\ N e. ( ZZ>= ` p ) ) -> p || ( ! ` N ) )
27	19, 26	sylancom 420	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( p e. Prime /\ N e. ( ZZ>= ` p ) ) -> p || ( ! ` N ) )
28		ndvdsp1 12649	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ! ` N ) e. ZZ /\ p e. NN /\ 1 < p ) -> ( p || ( ! ` N ) -> -. p || ( ( ! ` N ) + 1 ) ) )
29	28	imp 124	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ! ` N ) e. ZZ /\ p e. NN /\ 1 < p ) /\ p || ( ! ` N ) ) -> -. p || ( ( ! ` N ) + 1 ) )
30	24, 19, 25, 27, 29	syl31anc 1277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( p e. Prime /\ N e. ( ZZ>= ` p ) ) -> -. p || ( ( ! ` N ) + 1 ) )
31	30	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( p e. Prime -> ( N e. ( ZZ>= ` p ) -> -. p || ( ( ! ` N ) + 1 ) ) )
32	31	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( p e. Prime /\ N e. NN0 ) -> ( N e. ( ZZ>= ` p ) -> -. p || ( ( ! ` N ) + 1 ) ) )
33	14, 32	sylbird 170	. . . . . . 7 |- ( ( p e. Prime /\ N e. NN0 ) -> ( p <_ N -> -. p || ( ( ! ` N ) + 1 ) ) )
34	33	con2d 629	. . . . . 6 |- ( ( p e. Prime /\ N e. NN0 ) -> ( p || ( ( ! ` N ) + 1 ) -> -. p <_ N ) )
35	34	ancoms 268	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ p e. Prime ) -> ( p || ( ( ! ` N ) + 1 ) -> -. p <_ N ) )
36		zltnle 9645	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ p e. ZZ ) -> ( N < p <-> -. p <_ N ) )
37	12, 11, 36	syl2an 289	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ p e. Prime ) -> ( N < p <-> -. p <_ N ) )
38	35, 37	sylibrd 169	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ p e. Prime ) -> ( p || ( ( ! ` N ) + 1 ) -> N < p ) )
39	38	reximdva 2646	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( E. p e. Prime p || ( ( ! ` N ) + 1 ) -> E. p e. Prime N < p ) )
40	10, 39	mpd 13	. 2 |- ( N e. NN0 -> E. p e. Prime N < p )
41	1, 40	syl 14	1 |- ( N e. NN -> E. p e. Prime N < p )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   e. wcel 2205   E.wrex 2523   class class class wbr 4115   ` cfv 5359  (class class class)co 6060   1c1 8146   + caddc 8148   < clt 8326   <_ cle 8327   NNcn 9259   2c2 9310   NN0cn0 9518   ZZcz 9599   ZZ>=cuz 9876   !cfa 11117   || cdvds 12504   Primecprime 12835

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4231  ax-sep 4234  ax-nul 4242  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4666  ax-iinf 4717  ax-cnex 8236  ax-resscn 8237  ax-1cn 8238  ax-1re 8239  ax-icn 8240  ax-addcl 8241  ax-addrcl 8242  ax-mulcl 8243  ax-mulrcl 8244  ax-addcom 8245  ax-mulcom 8246  ax-addass 8247  ax-mulass 8248  ax-distr 8249  ax-i2m1 8250  ax-0lt1 8251  ax-1rid 8252  ax-0id 8253  ax-rnegex 8254  ax-precex 8255  ax-cnre 8256  ax-pre-ltirr 8257  ax-pre-ltwlin 8258  ax-pre-lttrn 8259  ax-pre-apti 8260  ax-pre-ltadd 8261  ax-pre-mulgt0 8262  ax-pre-mulext 8263  ax-arch 8264  ax-caucvg 8265

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3626  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-iun 3999  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-tr 4215  df-id 4420  df-po 4423  df-iso 4424  df-iord 4493  df-on 4495  df-ilim 4496  df-suc 4498  df-iom 4720  df-xp 4762  df-rel 4763  df-cnv 4764  df-co 4765  df-dm 4766  df-rn 4767  df-res 4768  df-ima 4769  df-iota 5319  df-fun 5361  df-fn 5362  df-f 5363  df-f1 5364  df-fo 5365  df-f1o 5366  df-fv 5367  df-riota 6013  df-ov 6063  df-oprab 6064  df-mpo 6065  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-recs 6551  df-frec 6637  df-1o 6662  df-2o 6663  df-er 6782  df-en 6991  df-pnf 8328  df-mnf 8329  df-xr 8330  df-ltxr 8331  df-le 8332  df-sub 8465  df-neg 8466  df-reap 8869  df-ap 8876  df-div 8969  df-inn 9260  df-2 9318  df-3 9319  df-4 9320  df-n0 9519  df-z 9600  df-uz 9877  df-q 9975  df-rp 10010  df-fz 10367  df-fzo 10504  df-fl 10659  df-mod 10714  df-seqfrec 10839  df-exp 10930  df-fac 11118  df-cj 11557  df-re 11558  df-im 11559  df-rsqrt 11714  df-abs 11715  df-dvds 12505  df-prm 12836

This theorem is referenced by:  prminf  13296