Theorem prmunb 12531

Description: The primes are unbounded. (Contributed by Paul Chapman, 28-Nov-2012.)

Assertion

Ref	Expression
prmunb	|- ( N e. NN -> E. p e. Prime N < p )

Distinct variable group:   N, p

Proof of Theorem prmunb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 9256	. 2 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
2		faccl 10827	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. NN )
3		elnnuz 9638	. . . . 5 |- ( ( ! ` N ) e. NN <-> ( ! ` N ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
4		eluzp1p1 9627	. . . . . 6 |- ( ( ! ` N ) e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ( ! ` N ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) )
5		df-2 9049	. . . . . . 7 |- 2 = ( 1 + 1 )
6	5	fveq2i 5561	. . . . . 6 |- ( ZZ>= ` 2 ) = ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) )
7	4, 6	eleqtrrdi 2290	. . . . 5 |- ( ( ! ` N ) e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ( ! ` N ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
8	3, 7	sylbi 121	. . . 4 |- ( ( ! ` N ) e. NN -> ( ( ! ` N ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
9		exprmfct 12306	. . . 4 |- ( ( ( ! ` N ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) -> E. p e. Prime p || ( ( ! ` N ) + 1 ) )
10	2, 8, 9	3syl 17	. . 3 |- ( N e. NN0 -> E. p e. Prime p || ( ( ! ` N ) + 1 ) )
11		prmz 12279	. . . . . . . . 9 |- ( p e. Prime -> p e. ZZ )
12		nn0z 9346	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
13		eluz 9614	. . . . . . . . 9 |- ( ( p e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N e. ( ZZ>= ` p ) <-> p <_ N ) )
14	11, 12, 13	syl2an 289	. . . . . . . 8 |- ( ( p e. Prime /\ N e. NN0 ) -> ( N e. ( ZZ>= ` p ) <-> p <_ N ) )
15		prmuz2 12299	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( p e. Prime -> p e. ( ZZ>= ` 2 ) )
16		eluz2b2 9677	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( p e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( p e. NN /\ 1 < p ) )
17	15, 16	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( p e. Prime -> ( p e. NN /\ 1 < p ) )
18	17	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( p e. Prime /\ N e. ( ZZ>= ` p ) ) -> ( p e. NN /\ 1 < p ) )
19	18	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( p e. Prime /\ N e. ( ZZ>= ` p ) ) -> p e. NN )
20	19	nnnn0d 9302	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( p e. Prime /\ N e. ( ZZ>= ` p ) ) -> p e. NN0 )
21		eluznn0 9673	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( p e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` p ) ) -> N e. NN0 )
22	20, 21	sylancom 420	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( p e. Prime /\ N e. ( ZZ>= ` p ) ) -> N e. NN0 )
23		nnz 9345	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ! ` N ) e. NN -> ( ! ` N ) e. ZZ )
24	22, 2, 23	3syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( p e. Prime /\ N e. ( ZZ>= ` p ) ) -> ( ! ` N ) e. ZZ )
25	18	simprd 114	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( p e. Prime /\ N e. ( ZZ>= ` p ) ) -> 1 < p )
26		dvdsfac 12025	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( p e. NN /\ N e. ( ZZ>= ` p ) ) -> p || ( ! ` N ) )
27	19, 26	sylancom 420	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( p e. Prime /\ N e. ( ZZ>= ` p ) ) -> p || ( ! ` N ) )
28		ndvdsp1 12097	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ! ` N ) e. ZZ /\ p e. NN /\ 1 < p ) -> ( p || ( ! ` N ) -> -. p || ( ( ! ` N ) + 1 ) ) )
29	28	imp 124	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ! ` N ) e. ZZ /\ p e. NN /\ 1 < p ) /\ p || ( ! ` N ) ) -> -. p || ( ( ! ` N ) + 1 ) )
30	24, 19, 25, 27, 29	syl31anc 1252	. . . . . . . . . 10 |- ( ( p e. Prime /\ N e. ( ZZ>= ` p ) ) -> -. p || ( ( ! ` N ) + 1 ) )
31	30	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( p e. Prime -> ( N e. ( ZZ>= ` p ) -> -. p || ( ( ! ` N ) + 1 ) ) )
32	31	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( p e. Prime /\ N e. NN0 ) -> ( N e. ( ZZ>= ` p ) -> -. p || ( ( ! ` N ) + 1 ) ) )
33	14, 32	sylbird 170	. . . . . . 7 |- ( ( p e. Prime /\ N e. NN0 ) -> ( p <_ N -> -. p || ( ( ! ` N ) + 1 ) ) )
34	33	con2d 625	. . . . . 6 |- ( ( p e. Prime /\ N e. NN0 ) -> ( p || ( ( ! ` N ) + 1 ) -> -. p <_ N ) )
35	34	ancoms 268	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ p e. Prime ) -> ( p || ( ( ! ` N ) + 1 ) -> -. p <_ N ) )
36		zltnle 9372	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ p e. ZZ ) -> ( N < p <-> -. p <_ N ) )
37	12, 11, 36	syl2an 289	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ p e. Prime ) -> ( N < p <-> -. p <_ N ) )
38	35, 37	sylibrd 169	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ p e. Prime ) -> ( p || ( ( ! ` N ) + 1 ) -> N < p ) )
39	38	reximdva 2599	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( E. p e. Prime p || ( ( ! ` N ) + 1 ) -> E. p e. Prime N < p ) )
40	10, 39	mpd 13	. 2 |- ( N e. NN0 -> E. p e. Prime N < p )
41	1, 40	syl 14	1 |- ( N e. NN -> E. p e. Prime N < p )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   e. wcel 2167   E.wrex 2476   class class class wbr 4033   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   1c1 7880   + caddc 7882   < clt 8061   <_ cle 8062   NNcn 8990   2c2 9041   NN0cn0 9249   ZZcz 9326   ZZ>=cuz 9601   !cfa 10817   || cdvds 11952   Primecprime 12275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-1o 6474  df-2o 6475  df-er 6592  df-en 6800  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-fz 10084  df-fzo 10218  df-fl 10360  df-mod 10415  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-fac 10818  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-dvds 11953  df-prm 12276

This theorem is referenced by:  prminf  12672