Theorem 1arithlem1 12938

Description: Lemma for 1arith 12942. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
1arith.1	⊢ 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
1arithlem1	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑀‘𝑁) = (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑁)))

Distinct variable group:   𝑛,𝑝,𝑁

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑛,𝑝)

Proof of Theorem 1arithlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6026	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑝 pCnt 𝑛) = (𝑝 pCnt 𝑁))
2	1	mpteq2dv 4180	. 2 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) = (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑁)))
3		1arith.1	. 2 ⊢ 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)))
4		prmex 12687	. . 3 ⊢ ℙ ∈ V
5	4	mptex 5880	. 2 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑁)) ∈ V
6	2, 3, 5	fvmpt 5723	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑀‘𝑁) = (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   ↦ cmpt 4150  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  ℕcn 9143  ℙcprime 12681   pCnt cpc 12859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1re 8126  ax-addrcl 8129

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6021  df-inn 9144  df-prm 12682

This theorem is referenced by:  1arithlem2  12939  1arithlem3  12940