Theorem 1arithlem1 12363

Description: Lemma for 1arith 12367. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
1arith.1	⊢ 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
1arithlem1	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑀‘𝑁) = (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑁)))

Distinct variable group:   𝑛,𝑝,𝑁

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑛,𝑝)

Proof of Theorem 1arithlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5885	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑝 pCnt 𝑛) = (𝑝 pCnt 𝑁))
2	1	mpteq2dv 4096	. 2 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) = (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑁)))
3		1arith.1	. 2 ⊢ 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)))
4		prmex 12115	. . 3 ⊢ ℙ ∈ V
5	4	mptex 5744	. 2 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑁)) ∈ V
6	2, 3, 5	fvmpt 5595	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑀‘𝑁) = (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ↦ cmpt 4066  ‘cfv 5218  (class class class)co 5877  ℕcn 8921  ℙcprime 12109   pCnt cpc 12286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1re 7907  ax-addrcl 7910

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5880  df-inn 8922  df-prm 12110

This theorem is referenced by:  1arithlem2  12364  1arithlem3  12365