Theorem 1arithlem1 12852

Description: Lemma for 1arith 12856. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
1arith.1	⊢ 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
1arithlem1	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑀‘𝑁) = (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑁)))

Distinct variable group:   𝑛,𝑝,𝑁

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑛,𝑝)

Proof of Theorem 1arithlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5982	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑝 pCnt 𝑛) = (𝑝 pCnt 𝑁))
2	1	mpteq2dv 4154	. 2 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) = (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑁)))
3		1arith.1	. 2 ⊢ 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)))
4		prmex 12601	. . 3 ⊢ ℙ ∈ V
5	4	mptex 5838	. 2 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑁)) ∈ V
6	2, 3, 5	fvmpt 5684	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑀‘𝑁) = (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1375   ∈ wcel 2180   ↦ cmpt 4124  ‘cfv 5294  (class class class)co 5974  ℕcn 9078  ℙcprime 12595   pCnt cpc 12773

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1re 8061  ax-addrcl 8064

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 985  df-tru 1378  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-id 4361  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-ov 5977  df-inn 9079  df-prm 12596

This theorem is referenced by:  1arithlem2  12853  1arithlem3  12854